Функции комплексного переменного

УДК 517.53/55
ББК 22.161.5
М 20

М а л ы ш е в а Н. Б., Р о з е н д о р н Э. Р. Функции комплексного переменного / Под ред. Э. Р. Розендорна. Учеб. для вузов. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2010. — 168 с. — ISBN 978-5-9221-0977-2.

Теория функций комплексного переменного изложена в объеме, соответствующем программам математики для естественных факультетов университетов (кроме физических специальностей, у которых программа математики
обширнее). Изложение иллюстрируется примерами из механики и гидродинамики.
Предназначено студентам естественных факультетов.

Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений.

Учебное издание

МАЛЫШЕВА Надежда Борисовна
РОЗЕНДОРН Эмиль Ренольдович

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Редактор О.В. Максимова
Оригинал-макет: И.Г. Андреева
Оформление переплета: Н.В. Гришина

Подписано в печать 05.05.08. Формат 6090/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 10,5. Уч.-изд. л. 10,5. Тираж 700 экз. Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru

Отпечатано в ООО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15

ISBN 978-5-9221-0977-2

ISBN 978-5-9221-0977-2

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2008, 2010

c⃝ Н. Б. Малышева, Э. Р. Розендорн, 2008,
2010

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . .
5

Обозначения и сокращения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Г л а в а 1.
Комплексная плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
§ 1. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Различные формы записи комплексных чисел. .. . . . . . . . . . .. . . . . .
7
§ 2. Множества на комплексной плоскости. .. . . . . . . . . . . . . . . .
11
§ 3. Последовательности комплексных чисел . .. . . . . . . . . . . . . .
17
§ 4. Расширенная комплексная плоскость. Сфера Римана . .. . . . .
24
§ 5. Ряды с комплексными членами . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . .
27

Г л а в а 2.
Начальные сведения о функциях комплексного
переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
§ 1. Понятие о функции комплексного переменного. Ограниченные функции. Обратные функции . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
§ 2. Предел функции . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
§ 3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции . .. . . . . .
39
§ 4. Непрерывные функции . .. . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . .
42
§ 5. Линейная функция . .. . . . . . . . . . . .. .. .. .. . . . .. . . . . . . . . . . .
44
§ 6. Функция w = z. Инверсия относительно окружности. Функция w = 1

z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48

§ 7*. Круговое свойство. .. . . . . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . .
50
§ 8. Дробно-линейная функция . .. . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . .
52
§ 9. Степенная функция. .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56

Г л а в а 3.
Дифференцируемые функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
§ 1. Производная и дифференциал. Условия Коши–Римана . .. . . .
58
§ 2. Геометрический смысл модуля и аргумента производной . .. .
66
§ 3*. Конформные отображения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70

Оглавление

§ 4. Функциональные ряды . .. . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . .
74
§ 5. Степенные ряды . .. . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . .
75
§ 6. Показательная,
тригонометрические
и
гиперболические
функции . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
§ 7*. Логарифмическая функция . .. . .. . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . .
86

Г л а в а 4.
Интеграл от функции комплексного переменного.
Вычеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
§ 1. Определение интеграла, некоторые свойства интеграла . .. . .
87
§ 2. Интегральная теорема Коши. Первообразная. Формула Ньютона–Лейбница . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
§ 3. Интегральная теорема Коши для составного контура . .. .. . . .
97
§ 4. Интегральная формула Коши и ее обобщения . .. . . . . . . . . . 100
§ 5. Разложение аналитической функции в степенной ряд . .. . . . 103
§ 6. Теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры . .. .. .. .. .. . . . . 109
§ 7. Ряд Лорана. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . 111
§ 8. Нули аналитических функций . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
§ 9. Изолированные особые точки . .. . . .. .. .. .. . . . . . . . . . .. . . . . . 118
§ 10. Вычеты . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
§ 11. Несколько примеров нахождения интегралов . .. . . . . . . . . . . 131
§ 12*. Изолированные особые точки в бесконечности. Вычеты
в бесконечности . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Д о б а в л е н и е. Некоторые приложения функций комплексного переменного . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
§ 1. Задача об обтекании плотины . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
§ 2. Центробежная сила и сила Кориолиса . .. . . . . . . . . . . . . . . . 158

Контрольные вопросы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Заключение. .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Список литературы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Предисловие

В 1995–99 годах Минобразования РФ проводило Всероссийский конкурс новых учебников. В номинации «Высшая математика для естественных факультетов университетов» первое место
заняла трехтомная рукопись под девизом «Лес», написаная авторским коллективом под руководством лауреата Ломоносовской
премии Э. Р. Розендорна.
При ее создании был использован многолетний опыт преподавания, главным образом — на естественных факультетах МГУ
им. М. В. Ломоносова. Учитывая этот опыт, часть математических утверждений сообщалась без доказательств, что позволяло
увеличить общее количество пройденного материала.
Дополнительный материал, предназначенный лишь для отдельных специальностей, либо для магистрантов и аспирантов,
применяющих математические методы, помечен звездочками.
В настоящее время «Физматлит» приступает к изданию этой
рукописи в виде серии отдельных книг. С учетом потребности
студентов выбрана в качестве одной из них часть «Функции
комплексного переменного».
По данному курсу для практических занятий удобен задачник [1].

Август 2007
Э. Р. Розендорн

Обозначения и сокращения

N — множество натуральных чисел.
R — множество действительных чисел.
R2 — плоскость, рассматриваемая как множество точек (x; y),
x ∈ R, y ∈ R.
C — комплексная плоскость — множество комплексных чисел.
∞ — бесконечность — бесконечно удаленная точка комплексной
плоскости.

C = C ∪ ∞ — расширенная комплексная плоскость.
∀ — для любого (-ой, -ых).
∃ — существует (-ют).
(...) ⇒ из (...) — следует.
: — такой (-е), что...
⇔ — знак равносильности утверждений.
̸∃ — не существует.
f ◦ g — композиция отображений (f ◦ g)(x) = f
g(x)
.

Человек должен верить,
что непонятное можно понять.
И. В. Гёте

Г л а в а 1

КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ

§ 1. Геометрическая интерпретация комплексных
чисел. Различные формы записи комплексных чисел

1. В этом параграфе кратко изложены основные сведения
о комплексных числах.

О п р е д е л е н и е. Комплексными числами называются всевозможные пары (x, iy), где x и y — действительные числа;
буква i, стоящая перед y, — символ, используемый для записи
комплексных чисел. Число x называется действительной частью комплексного числа z = (x, iy), число y — мнимой частью.
Обозначения: x = Re z и y = Im z. Два комплесных числа z1 и z2
называются равными, если Re z1 = Re z2 и Im z1 = Im z2.
Поставим в соответствие комплексному числу z = (x, iy)
точку M ∈ R2 с прямоугольными декартовыми координатами
(x; y). Мы получим взаимно однозначное соответствие между
всеми комплексными числами и точками плоскости. Поэтому
для множества комплексных чисел вполне естественно название комплексная плоскость. Обозначается комплексная плоскость C. Теперь комплексные числа мы можем называть точками на комплексной плоскости, или просто точками. Множество Ox = {(x, i0) ∈ C} называется действительной осью,
числа (x, i0) ∈ Ox находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством R и называются действительными.
Именно в этом смысле понимается вложение R ⊂ C. Множество Oy = {(0, iy) ∈ C} называется мнимой осью, а числа вида

Гл. 1. Комплексная плоскость

(0, iy) ∈ Oy называются мнимыми; иногда их называют «чисто
мнимыми». Мнимое число (0, i1) называется мнимой единицей.

2. На множестве C введены операции сложения и умножения, обладающие свойствами ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности. Роль нуля для сложения играет число
(0, i0), роль единицы для умножения — число (1, i0). При этом

∀ (x, i0) ∈ C,
∀ (0, iy) ∈ C,
(x, i0) + (0, iy) = (x, iy)
,

∀ (x, i0) ∈ C
(x, i0)(0, i1) = (0, ix)
,

(0, i1)(0, i1) = (−1, i0).

Отождествляя действительную ось с множеством R, мы считаем, что для любого x ∈ R справедливо равенство (x, i0) = x
(в частности, (0, i0) = 0 и (1, i0) = 1). Кроме того, мнимую
единицу будем обозначать просто i. В этих обозначениях любое
чисто мнимое число (0, iy) равно произведению iy и для любого
комплексного числа z мы можем ввести алгебраическую форму
записи
z = x + iy,
где x = Re z,
y = Im z.
(1.1)

Сложение и умножение комплексных чисел, записанных в виде (1.1), выполняются по тем же правилам, что и в случае действительных чисел с учетом равенства i2 = −1. Это замечание
относится и к операциям вычитания и деления, которые вводятся
как обратные операции к сложению и умножению соответственно.

3. Каждому комплексному числу z = x + iy можно поставить в соответствие вектор az(x; y). В этом случае сумме или
разности комплексных чисел z1 и z2 соответствует сумма или
разность векторов az1 и az2, произведению комплексного числа z
на действительное число λ соответствует вектор λaz. Аналога
операциям умножения и деления комплексных чисел для векторов нет.

О п р е д е л е н и е. Длина вектора |az| = +
x2 + y2 называется модулем комплексного числа z и обозначается |z| (обозначение +
√r , r ⩾ 0, используется для арифметического значения
корня).
Комплексное число z = x − iy называется комплексно сопряженным к числу z = x + iy, и для модуля верно равенство
|z|2 = z · z.

§ 1. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
9

Для любых z1, z2 ∈ C справедливо неравенство треугольника:
|z1 + z2| ⩽ |z1| + |z2|,
(1.2)

а также неравенство

|z1 − z2| ⩾
|z1| − |z2|
.
(1.3)

Рис. 1.1

Эти неравенства имеют простую геометрическую интерпретацию.
Рассмотрим
на
плоскости
треугольник
со
сторонами az1, az2 и az1+z2
(см. рис. 1.1). Тогда неравенство (1.2) означает, что сумма
длин двух сторон треугольника не меньше длины третьей
стороны, а неравенство (1.3)
соответствует тому, что разность длин двух сторон треугольника не может быть больше
длины третьей стороны. Из этой геометрической интерпретации
видно, что равенства в (1.2) и (1.3) достигаются тогда и только
тогда, когда либо один из векторов az1 или az2 нулевой, либо
когда векторы az1 и az2 сонаправлены. Сонаправленность ненулевых векторов az1 и az2 означает, что z1 = λz2 и λ ∈ R, λ > 0.
Важные неравенства для модуля комплексного числа следуют из неравенств |a| = +
√

a2 ⩽ +
√

a2 + b2 ⩽ +
2 max(a2, b2) ,
справедливых для любых a, b ∈ R. Для каждого z = x + iy мы
получаем
max(|x|, |y|) ⩽ |z| ⩽
√

2 max(|x|, |y|).
(1.4)

О п р е д е л е н и е. Аргументом ненулевого числа z = x + iy
называется угол между вектором az и положительным направлением оси Ox.
Аргумент числа z обозначается через Arg z и представляет
собой многозначную функцию, так как множество ее значений
в каждой точке счетно и состоит из чисел, отличающихся друг от
друга на целое кратное 2π. При этом значение аргумента arg z,
удовлетворяющее условию arg z ∈ (−π; π], называется главным
значением аргумента. Для каждого ϕ ∈ Arg z выполнены условия
cos ϕ = x

|z|,
sin ϕ = y

|z|.
(1.5)

Гл. 1. Комплексная плоскость

Комплексное число z = 0 — это единственное число, модуль
которого равен нулю. Аргумент числа z = 0 неопределен.

4. Каждому ненулевому числу z ∈ C мы можем поставить
в соответствие пару (r, ϕ), где r = |z| и ϕ ∈ Arg z. Используя
равенства (1.5), мы теперь можем записать ненулевое число
в тригонометрической форме:

z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
(1.6)

В тригонометрической форме произведение и частное двух
ненулевых комплексных чисел z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1) и z2 =
= r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2) выглядят так:

z1 · z2 = r1 · r2
cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)
,
(1.7)
z1
z2
= r1

r2
·
cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)
.
(1.8)

Следствием (1.7) является формула Муавра:

zn = rncos(nϕ) + i sin(nϕ)
,
(1.9)

для любого ненулевого числа z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Для каждого ненулевого комплексного числа z = r(cos ϕ +
+ i sin ϕ) и каждого n ∈ N уравнение

ξn = z
(1.10)

имеет ровно n различных решений. Каждое решение уравнения
(1.10) называется корнем n-й степени из z и обозначается
n√z .
Эти n различных решений (1.10) можно найти по формулам

ξk = + n√r
cos
ϕ

n + 2π

n k
+ i sin
ϕ

n + 2π

n k
,
k = 0, ... , n − 1

(+ n√r обозначает единственное арифметическое значение корня
n-й степени из положительного действительного числа r).

5. Введем еще одно обозначение:

eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ.
(1.11)

Теперь мы можем записать ненулевое комплексное число z в показательной форме:

z = r · eiϕ,
где r = |z|,
ϕ ∈ Arg z.
(1.12)

§ 2. Множества на комплексной плоскости
11

Обычно в формуле (1.12), как и в (1.6), берут ϕ = arg z.
Из (1.12) мы получаем e−iϕ = cos ϕ − i sin ϕ и тогда

cos ϕ = eiϕ + e−iϕ

2
,
sin ϕ = eiϕ − e−iϕ

2i
.
(1.13)

Формулы (1.11) и (1.13) справедливы для всех действительных чисел ϕ и называются формулами Эйлера (так же как
и (6.7)–(6.9), полученные в п. 3 § 6 гл. 3 для произвольных комплексных чисел).
Равенства (1.7), (1.8) и (1.9) для ненулевых комплексных
чисел z1 = r1 · eiϕ1 и z2 = r2 · eiϕ2 можно записать и так:

z1 · z2 = r1 · r2 · ei(ϕ1+ϕ2);
z1
z2
= r1

r2
· ei(ϕ1−ϕ2);
zn
1 = rn
1 · einϕ1.

§ 2. Множества на комплексной плоскости

1. Открытые и замкнутые множества. Граница множества.
Множество

Ur(z0) =
z ∈ C : (|z − z0| < r, z0 ∈ C, r > 0)
называется кругом с центром в точке z0 радиуса r. Точка
z0 ∈ E называется внутренней точкой множества E, если найдется круг Ur(z0) ⊂ E. Множество U называется открытым,
если каждая точка z ∈ U является внутренней точкой U.
В дальнейшем мы часто будем иметь дела с множеством

Vr,R(z0) =
z ∈ C : (r < |z − z0| < R, z0 ∈ C, 0 ⩽ r < R ⩽ +∞)
,

которое называется кольцом.

Упражнение. Докажите, что любое кольцо является открытым множеством.

Каждое открытое множество, содержащее точку z0, называется окрестностью точки z0 и может обозначаться как U(z0).
В каждой окрестности U(z0) содержится окрестность вида
Ur(z0). Множество ˙U(z0) = U(z0)\{z0} является открытым (Покажите это!) и называется проколотой окрестностью точки z0.
Точка z0 называется предельной точкой множества E ⊂ C,
если в любой окрестности U(z0) содержится бесконечно много
точек из E. Эквивалентным образом предельную точку множе

Гл. 1. Комплексная плоскость

ства можно определить как такую точку, в каждой проколотой
окрестности которой есть хотя бы одна точка из E. Обозначим
через E′ совокупность всех предельных точек множества E.
Множество E = E ∪ E′ называется замыканием множества E.
Отметим, что всегда E ⊂ E.
Если F = F, то множество F называется замкнутым. Пустое
множество ∅ и вся плоскость C являются одновременно и замкнутыми, и открытыми множествами, и других таких множеств
на плоскости C нет. Для каждого замкнутого множества F
множество C\F является открытым и наоборот, для каждого
открытого множества U множество C\U является замкнутым.
Точка z0 ∈ E называется изолированной точкой множества E, если в некоторой проколотой окрестности
˙U(z0) нет
точек из E.
Граничной точкой множества E называется такая точка z0 ∈
∈ C, в каждой окрестности которой есть как точки из E, так
и точки, не принадлежащие E.
Совокупность всех граничных точек множества E называется
границей множества E и обозначается ∂E.
Граница любого открытого множества U состоит из тех предельных точек этого множества, которые не принадлежат U.
Поэтому U ∩ ∂U = ∅ и U ∪ ∂U = U для любого открытого
множества U.
Рассмотрим круг Ur(z0). Границей этого круга является
окружность

γr(z0) =
z ∈ C :
|z − z0| = r, z0 ∈ C, r > 0
(2.1)

с центром в точке z0 радиуса r, т. е. ∂Ur(z0) = γr(z0).

Задача. Докажите, что граница произвольного множества
в C является замкнутым множеством.

2. Ограниченные множества. Множество E ⊂ C называется
ограниченным, если найдется такое R > 0, что E ⊂ UR(0). Из
неравенств (1.4) мы получаем, что множество E ⊂ C ограничено
в C тогда и только тогда, когда в R ограничены множества E1 =
= {x ∈ R : (∃ z ∈ E : z = x + iy)} и E2 = {y ∈ R : (∃ z ∈ E : z =
= x + iy)}.

3. Компактом в C называется замкнутое ограниченное множество. Замыкание любого ограниченного в C множества явля