Применение метода продолжения по параметру к нестационарной модели ценового равновесия

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ К 
НЕСТАЦИОНАРНОЙ МОДЕЛИ ЦЕНОВОГО РАВНОВЕСИЯ 
 
Борисевич А.В., 
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 
г. Санкт-Петербург 
 
В работе рассматривается применение метода продолжения по 
параметру для решения задачи вычисления равновесной цены в модели 
обменной экономики с функциями полезности, удовлетворяющими свойству 
постоянной эластичности замещения. Рассмотрен общий численный метод 
решения нелинейных нестационарных уравнения на основе метода 
продолжения по параметру, модель ценового равновесия и численный пример, 
иллюстрирующий подход. 
 
Ключевые 
слова: 
модель 
ценового 
равновесия, 
нелинейные 
нестационарные уравнения, метод продолжения по параметру 
 
1. Общий численный метод 
Рассматривается задача поиска корней нестационарного уравнения 
 
0
=
)
,
(
t


 
(1) 

где 
n
n
R
R 
 :
, 

R
t
 – параметр времени 
1
=
t
, 
n
R


 – 
независимая переменная. 
Решением уравнения (1) является функция 
n
R
R 


:
*
 такая, что 

0
=
)
),
(
( *
t
t


. 

Пусть 
n
R


 – открытое множество и 
)
(
C
 – множество 

непрерывных отображений из его замыкания   в 
n
R
. Две функции 

)
(
, 1
0

C
F
F
 гомотопны (гомотопически эквивалентны) если существует 
непрерывное отображение 
 
n
H
R



[0,1]
:
 
(2) 
такое, что 
)
(
=
,0)
(
0 

F
H
, 
)
(
=
,1)
(
1 

F
H
 для всех  . По теореме об 
инвариантности степени Брауэра [1] при гомотопической эквивалентности 
уравнение 
0
=
)
,
(


H
 имеет решения 
)
,
(


 для любых 
[0,1]


. 
Метод численного продолжения по параметру [1] рассматривает 
разрешимость уравнения (1) для случая 

=
1
F
 и 
0
F  – некоторой функции с 
известными корнями. Сущность алгоритмов численного продолжения по 

параметру состоит в поиске кривой, начинающейся в точке 
,0)
( 0

, где 

0
=
)
( 0
0 
F
, и заканчивающейся в точке 
,1)
( *

, где 
*
  – искомое решение (1). 
Сопоставим с функцией (1) следующее гомотопическое отображение 
 
,0)
(
1)
(
)
,
(
=
0







t
H
 
(3) 
где 
(0)
=
0


 – точка начального приближения к решению. 
Продифференцировав (3) по времени, получаем 

 
,0)
(
=
0















t
J
H
 
(4) 

где 


J
 – матрица якобиана функции  . 

Обозначив 

 


B
t
A
J
=
,
=
,0)
( 0







 
(5) 

можно переписать (4) в матричном виде 

 
B
A
H













 

 =
 
(6) 

Основной теоретический результат может быть сформулирован в виде 
следующей теоремы. 
Теорема. Пусть 
 
,
=
=
,
n
rankA
H
rankJ


 
(7) 
тогда для следующей динамики независимых переменных 

 
,
)
(
=
B
A
A



















 
(8) 

где вектор 
)
(
=
A


 вычисляется таким образом, чтобы удовлетворять 
соотношениям 

 
0
>
det
1,
=
0,
=
2












T
A
A
 
(9) 

и 



R
const
=
, следующее может быть сформулировано: 
1. Существует гладкая траектория 
))
(
),
(
(
t
t 

, определяемая (8), которая 
выходит из точки 
(0),0)
(
. 
2. При динамике независимых переменных (8) для (4), (3) верно 
следующее 
 
0
=
0,
=
H
H
 
(10) 
3. Кривая 
))
(
),
(
(
t
t 

 либо проходит через точку 
1
=

, либо 
диффеоморфна окружности. 
  

Полное доказательство опущено. Утверждение 1 доказывается явным 
выражением вектора 
)
(A

 для 
0
=
t
и проверкой условий существования 
решения задачи Коши (8). Утверждение 2 тривиально после подстановки (8) в 
(6). Утверждение 3 аргументируется также как аналогичное утверждение о 
кривой решения метода продолжения по параметру для нелинейных 
уравнений [1].   
 
2. Ценовое равновесие в экономике обмена 
Рассмотрим обменный рынок с m  агентами и n  товарами. Каждый 
агент i  имеет вогнутую функцию полезности 

 R
Rn
iu :
, которая 
описывает его предпочтения товарам. 
Пусть у каждого агента имеется некоторый запас продукции 
n
in
i
i





R
)
,
(
=
1
. По ценам 
n



R  агент i  продает свою продукцию и 

получает множество товаров 
n
in
i
i
x
x
x

R
)
,...
(
=
1
, которое максимизирует 
функцию полезности 
iu  с бюджетными ограничениями 
i
x



. 
Если полезность 
iu  является унимодальной функцией, то ее максимум – 

однозначно определенная функция от вектора цен 
n
n
ix

 

R
R
:)
(
. 

Ценовое равновесие – это такой вектор цен 
n



R , что выполняются 
два условия: 
1. Для каждого продавца, вектор   максимизирует его функцию 
полезности 
iu . 
2. Для каждого товара j : 
ij
i
ij
ix

 

, где 
)
(
=

i
i
x
x
 – оптимальное 
потребление для агента i , максимизирующее его функцию полезности. 
Описанная модель экономики называется экономикой обмена (exchange 
economy). 
Пусть функции полезности 
iu  каждого агента обладают свойством 
постоянной эластичности замещения. В таком случае, они могут записаны в 
виде 

 
i
i
ij
ij

n

j
i
i
x
x
u















1

1
=
=
)
(
 
(11) 

где 
0

ij
 – весовые коэффициенты, 
i  – параметр, связанный с 

эластичностью замещения 
i
  следующим образом 

i
i



1
1
=
. 

Известно [2], что для функций полезности вида (11), максимизирующий 

ее вектор потребности 
ix  может быть вычислен аналитически следующим 
образом: 

 
)
/(1
)
)

)

=
)
(
1/(1
1/(1

1/(1

i
i
k
i
ik
k

ik
k
k

i
j

i
ij
ij
x



























 
(12) 

Задача поиска ценового равновесия может быть сформулирована как 
задача выпуклого программирования при 
1
1




, 
0


. При 
1
< 

, 
существует несвязное множество равновесных состояний, поиска которых 
становится NP-трудным. 
В настоящей работе исследуется ценовое равновесие, заданное системой 
уравнений 

 

1
=

,1
1,
=
,
=
)
(

1
=

1
=
1
=

j

n

j

ij

m

i
ij

m

i
n
j
x











 
(13) 

Предположим, что параметры 
ij
  в (13), а также 
ij
  и 
i  для (12) 

нестационарны, т.е. являются функциями от времени: 
)
(
=
t
ij
ij


, 
)
(
=
t
ij
ij


, 

)
(
=
t
i
i


. Тогда на основе (13) можно записать следующую функцию вида (1) 

 

















































1
=

)
(
=
)
,
(

...

)
(
=
)
,
(

=
)
,
(

1
=

1
,
1
=
1
,
1
=

1
1
=
1
1
=

j

n

j

n
i

m

i
n
i

m

i

i

m

i
i

m

i

t
t
x

t
t
x

t
 
(14) 

где 
)
,
(
t
xij 
 – функция оптимального потребления (12) с учетом 

нестационарности параметров 
ij
  и 
i . 

 
Численный пример применения метода 
 
Рассмотрим экономику с двумя агентами 
2
=
m
, функции полезности 

2
1,u
u
 которых обладают свойством постоянной эластичности замещения. 
Обмен осуществляется двумя товарами 
2
=
n
, запасы которых являются 
функциями от времени 
)
(
),
(
2
1
t
t 

. 

Выбраны следующие параметры модели: 

 


T

t
t

4
4
=

1024
1

1
1024
=

)/2)
2
(
exp
(1
=
1),
)/2
(
exp
(
=

12
1

1
10
=

0
12
12
0
11
11

0


































 
(15) 

Алгоритм вычисления вектора ценового равновесия 
)
(t

 согласно 
алгоритму (8) был реализован в среде MATLAB/Simulink. В качестве 
начального приближения к решению взят вектор 
(0.2,0.8)
=
(0)

. Параметр   
алгоритма принят 
1
=

. На рисунках 1-3 приведены базовые результаты 
моделирования. 
 

  
 
Рисунок 1. Динамика параметра .  
 

  
 
Рисунок 2. Целевая функция  .  
 

 
Рисунок 3. Вектор цен .  
 
Список литературы. 
1. Eugene L. Allgower, Kurt Georg. Introduction to Numerical Continuation 
Methods. – 2003 – 388 p. 
2. B. Codenotti, B. McCune, S. Penumatcha, K. Varadarajan. Market 
Equilibrium for CES Exchange Economies: Existence, Multiplicity, and 
Computation [Text] // FSTTCS 2005: Foundations of Software 
Technology and Theoretical Computer Science – Volume 3821 – 2005 – 
pp 505-516