Задачи по физической кинетике

ФИЗТЕХОВСКИЙ УЧЕБНИК

ЗАДАЧИ  
ПО ФИЗИЧЕСКОЙ 
КИНЕТИКЕ

С.Н. БУРМИСТРОВ 

Ñ.Í. Áóðìèñòðîâ
Çàäà÷è ïî ôèçè÷åñêîé êèíåòèêå: Ó÷åáíîå ïîñîáèå /
Ñ.Í. Áóðìèñòðîâ – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», 2016. – 192 ñ.

ISBN 978-5-91559-216-1

Êíèãà ñîäåðæèò 40 çàäà÷ ðàçëè÷íîé ñòåïåíè ñëîæíîñòè, â
îñíîâå êîòîðûõ ëåæàò ìàòåðèàëû ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèé ïî
êóðñó Ôèçè÷åñêàÿ êèíåòèêà ñî ñòóäåíòàìè Ôàêóëüòåòà Îáùåé è Ïðèêëàäíîé Ôèçèêè ÌÔÒÈ. Âñåì çàäà÷àì äàíû ïîäðîáíûå ðåøåíèÿ, à â êîììåíòàðèÿõ îòðàæåíà èõ ñâÿçü ñ âîïðîñàìè è ìåòîäàìè ñîâðåìåííîé ôèçè÷åñêîé êèíåòèêè.
Êðàòêîå ââåäåíèå ñîäåðæèò íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ è ïîíèìàíèÿ çàäà÷.
Êíèãà ïðåäíàçíà÷åíà ñòóäåíòàì è àñïèðàíòàì âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé, èçó÷àþùèì òåîðåòè÷åñêóþ ôèçèêó, ïðåïîäàâàòåëÿì è íàó÷íûì ðàáîòíèêàì â îáëàñòÿõ ôèçè÷åñêîé êèíåòèêè è ôèçèêè êîíäåíñèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ.

© 2015, Ñ.Í. Áóðìèñòðîâ
© 2016, ÎÎÎ «Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-216-1

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Глава 1. Краткие сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1. Кинетическое уравнение Больцмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2. Обобщенная восприимчивость. Линейный отклик . . . . . . . . . . .
10
1.3. Флуктуационно-диссипационная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.4. Принцип симметрии кинетических коэффициентов . . . . . . . . . .
14

Глава 2. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1. Уравнение Ланжевена. Флуктационно-диссипационная теорема . .
17
2.2. Кинетическое уравнение Больцмана в τ-приближении. Термоэлектрические явления в проводниках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.3. Гальваномагнитные явления в металле . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.4. Кинетические явления в металле и в нормальной ферми-жидкости
19
2.5. Электрон-фононное рассеяние в металле. Кинетические коэффициенты
20
2.6. Рассеяние электронов на магнитной примеси. Эффект Кондо . . .
23
2.7. Прыжковая проводимость Мотта. Кулоновская щель . . . . . . . . .
23
2.8. Кинетика фононов в диэлектрике. Теплопроводность диэлектрика
25
2.9. Гидродинамика нормальной и сверхтекучей жидкости. Звуковые
колебания и диссипация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.10. Бесстолкновительная плазма. Диэлектрическая проницаемость.
Продольные и поперечные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.11. Макроскопическое квантовое туннелирование . . . . . . . . . . . . .
27
2.12. Макроскопическая квантовая нуклеация . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.13. Элементы диаграммной техники Келдыша для неравновесных систем
32

Глава 3. Ответы, решения и указания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.1. Уравнение Ланжевена. Флуктационно-диссипационная теорема . .
36
3.2. Кинетическое уравнение Больцмана в τ-приближении. Термоэлектрические явления в проводниках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

Оглавление

3.3. Гальваномагнитные явления в металле . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.4. Кинетические явления в металле и в нормальной ферми-жидкости
64
3.5. Электрон-фононное рассеяние в металле. Кинетические коэффициенты
80
3.6. Рассеяние электронов на магнитной примеси. Эффект Кондо . . .
103
3.7. Прыжковая проводимость Мотта. Кулоновская щель . . . . . . . . .
110
3.8. Кинетика фононов в диэлектрике. Теплопроводность диэлектрика
118
3.9. Гидродинамика нормальной и сверхтекучей жидкости. Звуковые
колебания и диссипация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
3.10. Бесстолкновительная плазма. Диэлектрическая проницаемость.
Продольные и поперечные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
3.11. Макроскопическое квантовое туннелирование . . . . . . . . . . . . .
147
3.12. Макроскопическая квантовая нуклеация . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
3.13. Элементы диаграммной техники Келдыша для неравновесных систем
172

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191

ПРЕДИСЛОВИЕ

Чтобы изучить физическую кинетику, а главное — овладеть ее методами исследования термодинамически неравновесных систем, недостаточно ограничиться прослушиванием лекционного курса и
рассмотрением теоретических положений. Поэтому в учебной программе по физической кинетике предусмотрены семинарские занятия, которые имеют своей целью помочь студенту научиться применять общую
теорию к практическим задачам физической кинетики. Решение задач
дает студенту-физику возможность проверить свои реальные знания,
которые в идеале не должны быть только набором заученных сведений. Для преподавателя самостоятельно решенная студентом задача —
самый эффективный показатель глубины понимания изучаемого предмета. Самостоятельное решение задач развивает и воспитывает аналитическое и творческое научное мышление.
Освоить физическую кинетику и научиться применять ее методы на
практике гораздо труднее, чем овладеть такими разделами теоретической физики как статистическая физика, квантовая механика или теория поля. Дело в том, что физическая кинетика состоит из многих совершенно разнородных разделов, например, кинетическая теория газов,
теория плазмы, кинетические явления в металлах, полупроводниках,
диэлектриках, неупорядоченных средах, кинетические явления в квантовых кристаллах и жидкостях, кинетика фазовых переходов первого
и второго рода. Для описания кинетических явлений в каждой из этих
областей физики, вообще говоря, приходится использовать и применять
свои специфические модели и методы. Последние часто оказываются
очень сложными, требуют громоздких вычислений и могут быть просто
недоступными без специальной математической подготовки. С другой
стороны, изучение физической кинетики несомненно требует также и
освоения практических методов решения задач. Решение и разбор конкретных задач дополняет лекционный материал и помогает студенту
лучше усвоить и понять весь курс в целом.

Предисловие

В основу этого задачника положены семинарские занятия со студентами, изучающими физическую кинетику в общем курсе теоретической физики на факультете общей и прикладной физики Московского
физико-технического института. Чтобы изложить основы физической
кинетики в форме доступной студентам-физикам, необязательно специализирующимся как будущие физики-теоретики, мы старались избегать
применения сложного диаграммного, ренорм-группового и другого специального математического аппарата теоретической физики. Как правило, изложение материала ведется на основе простых представлений
о кинетическом уравнении Больцмана. Всем задачам даны подробные
решения и комментарии, поясняющие мотивировку задач и их связь с
разнообразными вопросами современной физической кинетики. Разделу
с условиями задач предшествует краткое введение, содержащее необходимые сведения и понятия, которые будут полезны для решения и
понимания предлагаемых задач.
Книга может быть использована как дополнение к существующим
учебным пособиям по физической кинетике. Цель книги — помочь
студентам развить практические навыки и освоить основные элементы физической кинетики. Для понимания материала достаточно знать
основы теоретической физики для студентов физических факультетов
высших учебных заведений. Физическая общность изложения и анализ
большого числа конкретных физических задач позволяет этой книге
служить учебным пособием для всех изучающих физическую кинетику.
В заключение автор выражает искреннюю благодарность всему коллективу преподавателей кафедры теоретической физики МФТИ.

Г Л А В А
1

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1.
КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

Если предметом статистической физики является изучение термодинамически равновесных физических систем, т. е. систем в
которых вероятность найти систему в том или ином состоянии подчиняется распределению Гиббса, то под предметом физической кинетики
в широком смысле слова можно понимать изучение термодинамически
неравновесных систем и кинетики физических процессов в них. Кинетические процессы, происходящие в термодинамически неравновесных
системах, являются необратимыми и, следовательно, диссипативными.
Основной задачей физической кинетики является вывод и установление кинетического уравнения, решение которого позволяло бы находить и вычислять физические характеристики неравновновесной системы. Сложность этой задачи связана с огромным разнообразием физических систем, которое предполагает подразделение физической кинетики на большое число самостоятельных разделов, например, таких как
кинетическая теория газов, теория неравновесных процессов в плазме, кинетические явления в диэлектриках, металлах, полупроводниках,
неупорядоченных средах, квантовых жидкостях и кристаллах, кинетика фазовых переходов первого и второго рода. В каждом из этих разделов или областей физики для описания кинетических явлений используются свои специфические физические модели и математические
методы и поэтому нельзя указать единую универсальную модель и всеобщий метод.
Круг вопросов, обычно находящихся в центре внимания физической
кинетики, можно разделить на несколько групп. К первой группе можно отнести задачи с небольшим отклонением системы от равновесия в
результате малого внешнего воздействия. В этом случае линейная реак

Глава 1. Краткие сведения

ция системы, пропорциональная величине воздействия, характеризуется обобщенной восприимчивостью или функцией линейного отклика, которые в зависимости от области физики могут также называться
кинетическими коэффициентами. Типичные примеры — это появление электрического тока под воздействием электрического поля, возникновение потока тепла при наличии разности температур, порождение диффузионного потока при градиенте концентрации, появление поляризуемости (или намагниченности) во внешнем электрическом (магнитном) поле. Соответствующие отклики представляют собой коэффициенты электропроводности, теплопроводности, диффузии, диэлектрическую (или магнитную) восприимчивость. Ко второй группе примеров
можно отнести изучение коллективных возбуждений в физической системе, например, звуковых волн в конденсированной среде, плазменных
колебаний в плазме, спиновых волн в магнетиках. Другими примерами
исследований могут служить определение корреляционных функций,
времен релаксации в неравновесной среде, скорости фазовых превращений в зависимости от внешних условий.
Как правило, для статистического описания конденсированной среды
достаточно введения одночастичной функции распределения n(t, r, p),
зависящей от времени t и определенной в фазовом пространстве координат r и импульсов p. Если

dτ = dp dr

(2πℏ)d = ddp ddr

(2πℏ)d ,

где d — размерность обычного геометрического пространства, есть число возможных состояний в элементе фазового пространства dp dr, то
произведение
dN(t, r, p) = n(t, r, p) dτ

определяет среднее число частиц, находящихся в момент времени t в
заданных интервалах dp и dr, т. е. между p ÷ p + dp и r ÷ r + dr.
Если состояние частицы среды характеризуется не только ее координатой или импульсом, но и дополнительными степенями свободы,
например, частица обладает спином σ или имеет вращательный момент
(внутренний момент импульса l), то все эти дополнительные переменные включаются в совокупность переменных, от которых зависит одночастичная функция распределения n. Для электронов со спином 1/2
удобно представлять функцию распределения n(t, r, p, σ) = nσ(t, r, p) в
виде матрицы 2 × 2. Интеграл

n(t, r, p) dτp
или
Spσ

nσ(t, r, p) dτp,
где
dτp =
ddp

(2πℏ)d ,

1.1. Кинетическое уравнение Больцмана
9

представляет собой плотность пространственного распределения частиц
в момент времени t.
Кинетическое уравнение Больцмана

∂n
∂t + v · ∂n

∂r + F · ∂n

∂p = St[n]

описывает эволюцию одночастичной функции распределения частиц
n = n(t, r, p). Здесь
v = ∂ε

∂p
и
F = −∂ε

∂r ,

соответственно, скорость частицы и сила, действующая на частицу
с энергией ε(p, r) = ε(p) + U(r). Правая часть кинетического уравнения St[n]1) называется интегралом столкновений и определяет скорость изменения функции распределения. Случай St[n] = 0 называется
бесстолкновительным и кинетическое уравнение представляет собой
уравнение Лиувилля.
Кинетическое уравнение Больцмана применяется для описания кинетических явлений в газах, плазме, твердых телах, квантовых жидкостях и кристаллах и для вычисления в этих средах кинетических коэффициентов. Определение конкретного вида интеграла столкновения
в каждой из областей физики представляет отдельную задачу.
Кинетическое уравнение и вид интеграла столкновений не должны
противоречить законам сохранения сохранения массы, импульса и энергии. В дифференциальной форме закон сохранения некоторой физической величины должен иметь универсальный вид: производная от этой
сохраняющейся величины по времени должна равняться дивергенции
некоторого вектора. Соответственно, закон сохранения массы выражается с помощью уравнения непрерывности

∂ρ
∂t + div j = 0,

где введены плотность ρ и плотность потока массы (импульс единицы массы) j. Закон сохранения импульса дает уравнение

∂ji
∂t + ∂Πik

∂xk = 0,

где Πik — тензор плотности потока импульса. Закон сохранения
энергии имеет вид
∂E
∂t + div Q = 0,

где E — энергия единицы объема и Q — плотность потока энергии.

1) Сокращение от немецкого Stoßzahlansatz.

Глава 1. Краткие сведения

Интеграл столкновений должен удовлетворять следующим соотношениям
St[n] dτp = 0,
p St[n] dτp = 0,
ε St[n] dτp = 0,

чтобы обеспечить выполнение законов сохранения массы, импульса и
энергии.
Одним из простейших приближений интеграла столкновений при
рассмотрении малых возмущений физической системы внешним воздействием является приближение времени релаксации или τ-приближение. Приближение основано на том, что для состояния полного термодинамического равновесия, которому отвечает равновесная функция
распределения n0, интеграл столкновений обязан тождественно зануляться, т. е. St[n0] = 0. При слабом отклонении δn = n − n0 функции
распределения n от равновесной n0 можно разложить интеграл столкновений в линейном порядке по отклонению

St[n] = −n − n0

τ
и
1
τ = −
δ

δn St[n]
n=n0
,

где τ — время релаксации. В общем случае время релаксации зависит
от импульса (энергии) частицы: τ = τ(p) и определяется конкретным
взаимодействием и рассеянием частиц в системе.
В качестве другого приближения укажем на приближение локального равновесия, которое подразумевает свое термодинамическое равновесие в каждом малом объеме среды в отдельности, так что состояние среды в целом можно охарактеризовать температурой T = T(r, t),
химическим потенциалом µ = µ(r, t) и (или) другими термодинамическими переменными, зависящими от пространственной координаты r и
времени t. Локально-равновесная функция распределения совпадает с
термодинамически равновесной функцией распределения n0(εp; T, µ) и
является неявной функцией термодинамических параметров T = T(r, t)
и µ = µ(r, t). Приближение локально-равновесной функции распределения не позволяет учесть диссипативные, необратимые процессы в
среде.

1.2.
ОБОБЩЕННАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ.
ЛИНЕЙНЫЙ ОТКЛИК

Линейный отклик на внешнее малое воздействие U=−qF(t),
где величина q является некоторой обобщенной координатой, а F(t) —
возмущающей силой, зависящей от времени t, можно представить с

1.2. Обобщенная восприимчивость. Линейный отклик
11

помощью функции линейного отклика или обобщенной восприимчивости α(t) как

q(t) =

t−∞
α(t − t′)F(t′) dt′ =

∞0
α(t′)F(t − t′) dt′,

где α(t) зависит от свойств возмущаемой физической системы. В силу
принципа причинности значение термодинамической величины q(t)
может зависеть от значений силы F только лишь в предшествующие
моменты времени t′ ⩽ t, а не от последующих t′ > t моментов времени.
Введением функции запаздывающего отклика или запаздывающей
восприимчивости
αR(t) = α(t)ϑ(t),

где ϑ(t) — функция Хевисайда, удобно распространить интегрирование
на всю область изменения времени от −∞ до +∞

q(t) =

+∞
−∞
αR(t − t′)F(t′) dt′

и воспользоваться свойством свертки для соотношения между фурьекомпонентами:

q(ω) = αR(ω)F(ω),
где
αR(ω) =

∞−∞
αR(t)eiωt dt =

∞0
α(t)eiωt dt.

Аналогично вводится и опережающий отклик αA согласно αA(t) =
= α(t)ϑ(−t).
Отметим ряд свойств запаздывающего отклика αR(ω). Вообще говоря, αR(ω) = α′
R(ω) + iα′′
R(ω) — комплексная функция с четной действительной частью и нечетной мнимой частью в зависимости от частоты ω:

α′
R(−ω) = α′
R(ω)
и
α′′
R(−ω) = −α′′
R(ω).

Как функция комплексной переменной ω = ω′ + iω′′, запаздывающий
отклик αR аналитичен в верхней полуплоскости Π+(ω′′ > 0), так как
интеграл

αR =

∞0
α(t)eiω′te−ω′′t dt,

если α(t) не нарастает при t → ∞, абсолютно сходится во всей области
значений ω′′ > 0. Опережающий отклик αA(ω), наоборот, аналитичен в
нижней полуплоскости Π−(ω′′ < 0).

.

Глава 1. Краткие сведения

На положительной части мнимой полуоси ω′′ > 0 запаздывающий
отклик αR вещественнен, т. е. α∗(iω′′) = α(iω′′). Аналогичное свойство
вещественности имеет и опережающий отклик αA, но на отрицательной
части мнимой полуоси ω′′ < 0.
В области больших |ω| → ∞ частот можно ожидать, что величина
линейного отклика стремиться к нулю αR → 0, поскольку физическая
система, возмущаемая силой на частотах гораздо б´ольших максимальной резонансной частоты в системе, не успевает реагировать на знакопеременные осцилляции внешнего возмущения. Это физическое соображение, дополненное свойством аналитичности запаздывающего отклика αR(ω) в верхней полуплоскости Π+, позволяет сформулировать
дисперсионные соотношения Крамерса-Кронига:

αR(ω) = − i

π P

∞−∞

αR(ω′)
ω′ − ω dω′ = − i

π

∞−∞

αR(ω′) − αR(ω)

ω′ − ω
dω′,

где символ P обозначает интеграл в смысле главного значения. Разделяя это соотношение на действительную и мнимую части, имеем две
формулы

α′
R(ω) = 1

π P

∞−∞

α′′
R(ω′)

ω′ − ω dω′ = 1

π

∞−∞

α′′
R(ω′) − α′′
R(ω)

ω′ − ω
dω′,

α′′
R(ω) = − 1

π P

∞−∞

α′
R(ω′)

ω′ − ωdω′ = − 1

π

∞−∞

α′
R(ω′) − α′
R(ω)

ω′ − ω
dω′.

Действительная α′
R и мнимая α′′
R части линейного отклика не являются
независимыми и полная функция αR может быть восстановлена, если
известна мнимая или действительная часть в отдельности.

1.3.
ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА

Для изучения флуктуаций и корреляций (взаимосвязи)
между случайными переменными q(t), заданными в разные моменты
времени, рассматривают корреляционные функции или корреляторы.
Пусть обобщенная координата q(t) представляет некоторую случайную
величину. Корреляционная функция (коррелятор) n-го порядка вводится согласно

Kn(t1, t2, . . . , tn) = ⟨q(t1)q(t2) . . . q(tn)⟩,