О РЕШЕНИЯХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА КОНЕЧНЫХ ИНТЕРВАЛАХ


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.929.2



© Д. Н. Спичкин

О РЕШЕНИЯХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА КОНЕЧНЫХ ИНТЕРВАЛАХ

Приведены решения линейного m-разностного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, заданного на конечном интервале.

Ключевые слова: функции Виленкина-Крестенсона, m-разностные уравнения.


   Пусть x = (xi,..., xₙ), p = (pi,... ,pₙ) — п-разрядные m-ичные представления неотрицательных целых чисел. Под операцией x Q p понимаем m
поразрядную разность по модулю т. Решениями m-разностного уравнения второго порядка

       y(x Q 2) + ki y (x Q 1) + k2y (x) = 0, x E [0, mⁿ) П No (1)
          mm


являются функции Виленкина-Крестенсона (ВКФ) [1]:



Pal (p, x) = exp

n
pn+'pu+1 -j xj
j=1

(2)



где x — аргумент, p — некоторый параметр, причем обе величины заданы п-разрядным m-ичным представлением. Известно [1], что при решении таких уравнений часть разрядов параметра p фиксируется, а часть остается произвольной.


  Теорема 1. Пусть k уравнении (1) коэффициенты ki, i = 1, 2 — по-k²
стоянные и вещественные и пусть k₂ 6 -¹-. Тогда только в трех случаях
существует решение вида, (2):
   а) при k ₁ = 0, k₂ = — 1 существует 2 линейно независимых решения m
ppu p ₁ =0 и ли p ₁ = —;
   б)    при k ₁ = — 2, k₂ = 1 существует только одно значение параметра p ₁ = 0, дающее решение уравнения (1);
   в)    при k ₁ =2, k₂ = 1 существует только одно значение параметра p ₁ = —, дающее решение уравнения (1).