Методы математической физики в примерах и задачах. В 2 т. Т. II

Допущено Учебно-методическим объединением вузов 
направления подготовки 140300 «Ядерные физика и технологии» 
в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся по направлению 
«Ядерные физика и технологии»

МОСКВА 
ФИЗМАТЛИТ ®

2015

УДК 517.958(075)
ББК 22.161.1я7
Г 71

Го р ю н о в А. Ф. Методы математической физики в примерах
и задачах. В 2 т. Т. II.
— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015. — 772 с. —
ISBN 978-5-9221-1650-3.

Учебное пособие ориентировано на специальности «Прикладная
математика и информатика», «Физика», «Механика», «Физика атомного ядра и частиц» и др. Пособие представляет собой сборник задач
и примеров по уравнениям математической физики. Темы первого тома:
построение математических моделей различных физических процессов,
решение задач методом Фурье и методом интегральных преобразований, интегральные уравнения. При решении задач используется аппарат обобщенных функций.
Пособие адресовано студентам, изучающим математическую и теоретическую физику; некоторые разделы могут быть полезны аспирантам, инженерно-техническим и научным работникам, интересующимся
данной областью знаний.

Допущено Учебно-методическим объединением вузов направления подготовки 140300 «Ядерные физика и технологии» в качестве
учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Ядерные физика и технологии».

Р е ц е н з е н т:
д.ф.-м.н., проф. Д. Б. Белостоцкий, Московский государственный
строительный университет (МГСУ)

ISBN 978-5-9221-1650-3 (Т. II)
ISBN 978-5-9221-1642-8

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2015

c⃝ А. Ф. Горюнов, 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ко второму тому . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
5
Обозначения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
7

Г л а в а 5.
Метод потенциалов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
9
Литература к главе 5. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
15
5.1. Вычисление потенциалов. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
15
5.2. Решение задач методом потенциалов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
59
5.3. Ответы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
84

Г л а в а 6.
Метод функции Грина . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 146
Литература к главе 6. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 147
6.1. Задачи для волнового уравнения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 147
6.2. Задачи для уравнения теплопроводности . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 159
6.3. Задачи для уравнений Пуассона и Гельмгольца . .. .. .. .. .. .. .. .. . 181
6.4. Функция Грина одномерной краевой задачи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 202
6.5. Ответы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 217

Г л а в а 7.
Метод конформных отображений. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 255
Литература к главе 7. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 256
7.1. Комплексный потенциал; решение задачи Дирихле с кусочно-постоянными граничными условиями . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 257
7.2. Комплексный потенциал точечного источника . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 282
7.3. Комплексный потенциал точечного вихря. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 343
7.4. Ответы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 359

Г л а в а 8.
Метод характеристик . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 404
Литература к главе 8. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 405

Оглавление

8.1. Линейные гиперболические уравнения с частными производными второго порядка . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 405
8.2. Квазилинейные уравнения с частными производными . .. .. .. . 460
8.3. Гиперболические системы квазилинейных уравнений . .. .. .. .. . 470
8.4. Ответы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 489

Г л а в а 9.
Методы решения нелинейных уравнений. .. .. .. .. .. .. . 537
Литература к главе 9. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 538
9.1. Метод обратной задачи рассеяния . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 538
9.2. Метод преобразований Бэклунда. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 564
9.3. Метод Хироты . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 571
9.4. Другие методы построения точных решений . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 580
9.5. Ответы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 604

Г л а в а 10. Обобщенные функции. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 654
10.1. Интеграл Лебега . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 655
10.2. Обобщенные функции в Rn . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 691
10.3. Обобщенные функции в области
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 715
10.4. Ответы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 729

Основные формулы. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 749
Литература . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 765

Предисловие ко второму тому

Второй том учебного пособия конструктивно устроен так же,
как и предыдущий, является его непосредственным продолжением и содержит шесть глав.
Пятая глава знакомит с методом потенциалов. С физической
точки зрения имеются в виду потенциалы электростатических
(гравитационных) полей пространственно ограниченных систем
зарядов. Задачи этой главы разбиты на две части. Сначала проводится вычисление и изучение свойств потенциалов различных
систем зарядов (объемные потенциалы, потенциалы простого
и двойного слоя), затем потенциалы применяются для решения
краевых задач. Суть метода потенциалов заключается в сведении
краевых задач к интегральному уравнению. В главе используются системы криволинейных ортогональных координат. Вычисление плотности заряда на проводниках сводится посредством
применения потенциалов к решению интегральных уравнений.
На задачах шестой главы демонстрируется метод функции
Грина. Здесь собраны задачи для уравнений гиперболического,
параболического, эллиптического типов, а также одномерные
краевые задачи. Идея применения этого метода заключается в замене задачи для дифференциального уравнения с источниками
задачей для того же уравнения, но с одним точечным (по координате и времени) источником. В силу линейности суперпозиция
действий точечных источников определяет решение исходной
задачи.
Эффективным способом изучения плоских стационарных полей является метод конформных отображений. Он применим
к задачам электро- и магнитостатики, гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости, теплопроводности, фильтрации
и др. Метод основан на построении аналитической функции —
комплексного потенциала соответствующего векторного поля.
Упражнения на эту тему помещены в седьмой главе.
Для решения задач восьмой главы применяется метод характеристик. В сферу его применимости входят задачи Коши
и Гурса для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа, задачи

Предисловие ко второму тому

для гиперболических систем линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений. На ряде задач демонстрируется метод
Римана. Предлагаются задачи газо- и гидродинамики, в которых
исследуются ударные волны.
В последние десятилетия происходит интенсивное развитие
теории нелинейных дифференциальных уравнений с частными
производными. Практический интерес представляют собой частные решения ряда уравнений, называемые солитонами. В девятой главе рассмотрены методы построения решения задачи Коши, а также солитонных решений нелинейных дифференциальных уравнений. Приведены некоторые методы построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
При решении многих задач используется аппарат обобщенных функций, которым отведена десятая глава. Этот раздел
математики не является частью математической физики, поэтому данную главу следует считать дополнением, сохраняющим (в какой-то мере) автономность пособия. Являясь дополнительной, глава не носит, тем не менее, справочного характера:
основные свойства обобщенных функций излагаются в форме
примеров и задач. Для чтения этой главы желательно владеть
элементами функционального анализа. В крайнем случае можно ограничиться лишь знакомством с δ-функцией (именно она,
главным образом, используется при решении задач), основываясь
на ее физическом определении.
Значительная часть задач данного сборника доступна студентам, имеющим физико-математическую подготовку по учебным
программам вузов РФ. Для решения ряда задач требуется более высокий уровень знаний физики и математики: здесь автор
руководствовался программой подготовки специалистов, которую
реализует НИЯУ МИФИ.
Пособие адресовано студентам, изучающим математическую
физику, а также инженерам, желающим повысить квалификацию
в этой области науки; некоторые главы могут быть полезны
аспирантам.

Обозначения

B(x, r) — шар, радиус которого r, центр — в точке x ∈ Rn
Br = B(0, r)
el = l/l
C — множество комплексных чисел

Ei(x) =
x−x

eξ

ξ dξ

erf(x) — интеграл вероятности
Erf(x) = 1 − erf(x)
F(α, β, γ, z) — гипергеометрическая функция
Hn(x) — полином Чебышева–Эрмита
H(1)
ν (z) — функция Ганкеля 1-го рода порядка ν
H(2)
ν (z) — функция Ганкеля 2-го рода порядка ν
Iν(z) — модифицированная функция Бесселя 1-рода порядка ν
Jν(z) — функция Бесселя 1-рода порядка ν
Kν(z) — модифицированная функция Бесселя 2-рода порядка ν (функция Макдональда)
Lα
n(x) — полином Чебышева–Лагерра
N0 — множество целых неотрицательных чисел
N — множество натуральных чисел
Pn(x) — полином Лежандра
P m
n (x) — присоединенная функция Лежандра
P (α,β)
n
(x) — полином Якоби
Qn(x) — функция Лежандра 2-го ранга
Rn — n-мерное эвклидово пространство
R = R1

S(x, r) = ∂B(x, r)
Sr = S(0, r)
|Sr| — площадь сферы Sr
x = (x1, x2, ... , xn) — точка пространства Rn

Yν(z) — функция Бесселя 2-рода порядка ν (функция Неймана)
Y m
n (θ, ϕ) — фундаментальная сферическая функция
Z — множество целых чисел
B(z, ζ) — бета-функция Эйлера
Γ(z) — гамма-функция Эйлера
γ(z, a) — неполная гамма-функция

Обозначения

η(x) =
0,
x < 0,
1,
0 < x
δ(x) — дельта-функция Дирака

δmn =
1,
m = n,
0,
m ̸= n,
m, n ∈ N

Φ(α, γ, z) — вырожденная гипергеометрическая функция
Ω — область в Rn

Ω — замыкание Ω
∂Ω = Ω/Ω
A/B — дополнение множества B до множества A
Aτ — транспонированная матрица A
[a] — целая часть вещественного числа a
(a, b) = {x: a < x < b, ∈ R)
[a, b] = {x: a ⩽ x ⩽ b, ∈ R)
mn, где m < n, — множество целых чисел {m, m + 1, m + 2, ... , n}
ϕk(x)
E
=⇒
k→∞ ϕ(x) — равномерная сходимость на множестве E
Σa — макроскопическое сечение поглощения нейтронов
Σf — макроскопическое сечение деления нейтронов
Σs — макроскопическое сечение рассеяния нейтронов

Г л а в а 5

МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ

Объемным потенциалом в пространстве R3 называется интеграл
u(M) =
Ω

ρ(P)
rMP dr

по области Ω, в котором ρ(P) — плотность объемного потенциала — заданная функция точки P, rMP — расстояние между
точками M и P. Потенциалами простого и двойного слоя в R3
называются, соответственно, интегралы

v(M) =
S

σ(P)
rMP ds,
w(M) =
S

ν(P) cos ϕP M

r2
MP
ds.

Здесь S — двусторонняя кусочно-гладкая поверхность, σ(P) —
плотность потенциала простого слоя, ν(P) (плотность потенциала двойного слоя) — функции, определенные на S, ϕPM —
угол между внешней нормалью к S в точке P и вектором rPM
с началом в точке P.
Поверхность S ⊂ Rn принадлежит классу Cm, m ∈ N, если
у каждой точки M0(x10, x20, ... , xn0) ∈ S существует окрестность BM0, в которой S определяется уравнением FM0(x) = 0;
при этом FM0(x0) = 0, ∇FM0(x0) ̸= 0, функция FM0(x) непрерывна вместе с частными производными до порядка m включительно. При условии ∇FM0(x0) ̸= 0 уравнение FM0(x) = 0 определяет
однозначную функцию одной из переменных xk в зависимости
от n − 1 остальных переменных. Например, если ∂FM0

∂xn

x=x0̸= 0,

то существует однозначная функция xn = f(x1, x2, ... , xn−1), которая при указанных условиях принадлежит классу Cm(BM0).
Поверхность S ⊂ Rn называется кусочно-гладкой, если она является объединением конечного числа поверхностей класса C1.
Поверхностью Ляпунова называется ограниченная замкнутая
поверхность S, удовлетворяющая условиям:

Гл. 5. Метод потенциалов

1) в каждой точке M ∈ S существует касательная плоскость;
2) существует такое число d > 0, что для любой точки M ∈ S
пересечение S ∩ B(M, d) — связное множество и любая
прямая, параллельная nM, пересекает его не более, чем
в одной точке;
3) нормаль к S как функция точки M ∈ S непрерывна по Гельдеру, т. е. существуют числа A и λ ∈ (0; 1] такие, что для
любых точек M, P ∈ S выполняется неравенство |nM −
− nP | ⩽ rλ
MP . (см. задачи 5.27, 5.28).
Введенные выше потенциалы представляют собой несобственные интегралы, зависящие от параметра. При некоторых ограничениях на области интегрирования и плотности ρ(M), σ(M), ν(M)
потенциалы обладают следующими свойствами.
Свойства объемного потенциала, плотность ρ(M) которого
есть ограниченная интегрируемая функция в конечной области Ω, равная нулю вне Ω, будут следующими.
1. u(M) ∈ C1, т. е. объемный потенциал непрерывно дифференцируемая функция в R3.
2. Вне Ω функция u(M) ∈ C∞ и удовлетворяет уравнению
Лапласа Δu = 0.
3. Если точка O фиксирована, то

u(M) =
1

rMO

Ω

ρ(P) dr + O
1

r2
MO

,
M → ∞.
(5.1)

4. Если ρ(M) ∈ C1(Ω), то u(M) имеет в области Ω непрерывные вторые производные и удовлетворяет уравнению
Пуассона Δu = −4π ρ(M), M ∈ Ω.
Свойства потенциала простого слоя, распределенного на поверхности S Ляпунова с плотностью σ(M), где σ(M) — ограниченная интегрируемая функция, будут такими.
1. v(M) ∈ C, т. е. потенциал простого слоя непрерывная
функция всюду в R3.
2. Вне поверхности S функция v(M) ∈ C∞ и удовлетворяет
уравнению Лапласа Δv = 0.
3. Если точка O фиксирована, то

v(M) =
1

rMO

S

σ(P) dS + O
1

r2
MO

, M → ∞.
(5.2)

4. Пусть σ(M) ∈ C(S). Какую бы точку M ∈ S ни взять,
внешняя нормаль к S в которой nM, существует интеграл

Гл. 5. Метод потенциалов
11

от производной подынтегральной функции в направлении nM
∂v(M)

∂n

0 =
S

σ(P) cos ϕMP

r2
MP
ds,
M ∈ S,

где ϕMP — угол между нормалью nM и вектором rMP с началом в точке M (рис. 5.1, a). Этот интеграл называется прямым
значением нормальной производной потенциала простого слоя
на поверхности S и является непрерывной функцией на S. Пусть
далее точки M′ и M′′ принадлежат прямой, содержащей нормаль nM; при этом отрезок M′M ∈ Ω, а отрезок MM′′ ∈ R3 \ Ω
(рис. 5.1, б). Существуют предельные значения нормальных про
Рис. 5.1

изводных на S извне и изнутри
∂v(M)

∂n

+=
lim
M′→M
M′∈Ω

∂v(M ′)

∂n
,
∂v(M)

∂n

−=
lim
M′′→M
M′′∈R3\Ω

∂v(M ′′)

∂n
,

которые определяются формулами
∂v(M)

∂n

+ =
S

σ(P) cos ϕMP

r2
MP
ds − 2πσ(M),
M ∈ S,
(5.3)

∂v(M)

∂n

− =
S

σ(P) cos ϕMP

r2
MP
ds + 2πσ(M),
M ∈ S.
(5.4)

Указанные свойства потенциала простого слоя сохраняются для
поверхности S, являющейся частью поверхности Ляпунова.
Свойства потенциала двойного слоя, распределенного на поверхности S Ляпунова с плотностью ν(M), где ν(M) — ограниченная интегрируемая функция, будут следующими.
1. w(M) определен всюду, т. е. несобственный интеграл сходится в любой точке пространства R3.
2. Вне поверхности S функция w(M) ∈ C∞ и удовлетворяет
уравнению Лапласа Δv = 0.

Гл. 5. Метод потенциалов

3. Если точка O фиксирована, то

w(M) = O
1

r2
MO

,
M → ∞.
(5.5)

4. Если ν(M) ∈ C(S), то интеграл
S

ν(P) cos ϕP M

r2
MP
ds,
M ∈ S,

называемый прямым значением потенциала двойного слоя на
поверхности S, является непрерывной функцией на S. При этом:
какова бы ни была точка M ∈ S, существуют предельные значения
w+ =
lim
M′′→M
M′′∈R3\Ω
w(M′′),
w−(M) =
lim
M′→M
M′∈Ω
w(M′),

связанные с прямым значением потенциала на S формулами

w+(M) =
S

ν(P) cos ϕP M

r2
MP
ds + 2πν(M),
M ∈ S,
(5.6)

w−(M) =
S

ν(P) cos ϕP M

r2
MP
ds − 2πν(M),
M ∈ S.
(5.7)

Физический смысл потенциалов: u(M) представляет собой
электростатический потенциал зарядов, распределенных по области Ω с плотностью ρ(P); v(M) — потенциал зарядов, распределенных на поверхности S с плотностью σ(P); w(M) является
потенциалом поля диполей, распределенных на поверхности S
и направленных по нормали к поверхности, ν(P) — плотность
дипольного момента (кулоновский потенциал). Интегралы u(M)
и v(M) можно также трактовать как потенциалы поля тяготения
масс, распределенных в пространстве с заданной плотностью
(ньютонов потенциал).
Аналогично определяются потенциалы, называемые логарифмическими, в пространстве R2. Логарифмическим потенциалом
площади называется интеграл

u(M) =
Ω

ρ(P) ln
1

rMP
dr