Цифровая обработка сигналов

ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ИСПОЛНЕНИЯ НАКАЗАНИЙ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ФСИН РОССИИ

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ

Учебное пособие

Рекомендовано УМО по образованию в области инфокоммуникационных 

технологий и систем связи в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки

11.05.04 – Инфокоммуникационные технологии и системы специальной связи

(квалификация «инженер»)

Воронеж 

2016

УДК 621.396 
ББК 32.884 
     Ц75 
 
Утверждено методическим советом Воронежского института ФСИН России от 
20 октября 2015 г., протокол № 2 
 
Р е ц е н з е н т ы: 
декан факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского 
государственного 
университета 
доктор 
технических 
наук, 
профессор 
А.И. Шашкин; 
начальник кафедры инфокоммуникационных систем и технологий Воронежского 
института 
МВД 
России 
доктор 
технических 
наук, 
профессор  
О.И. Бокова  
 
Цифровая обработка сигналов : учебное пособие / [С. В. Ролдугин, 
А. В. Паринов, А. Н. Голубинский, А. В. Душкин] ; Воронежский институт 
ФСИН России. – Воронеж : Издательско-полиграфический центр «Научная 
книга», 2016. – 144 с. 
ISBN 978-5-4446-0908-8 
Данное издание представляет собой учебное пособие по цифровой обработке сигналов, которое основывается на курсе лекций, читаемом курсантам 
Воронежского института ФСИН России по специальности «Инфокоммуникационные технологии и системы специальной связи». В нем изложены способы 
описания дискретных и цифровых сигналов и систем во временной, z- и частотной областях, включая дискретное и быстрое преобразования Фурье, а также основные методы и особенности синтеза цифровых линейных фильтров. 
Рассматривается влияние на работу цифровых устройств эффектов квантования 
и конечной разрядности блоков цифровых систем. Отдельные главы посвящены введению в теорию линейного предсказания и применению вейвлет-анализа 
в цифровой обработке сигналов. 
Учебное пособие предназначено для курсантов, обучающихся по 
направлению подготовки 11.05.04 – Инфокоммуникационные технологии и 
системы специальной связи. 
УДК 621.396 
ББК 32.884 
Публикуется в авторской редакции. 
ISBN 978-5-4446-0908-8 
© 
Оформление. 
Издательскополиграфический 
центр 
«Научная 
книга», 2016 
© Составление. Ролдугин С.В., Паринов А.В., Голубинский А.Н., Душкин 
А.В., 2016 
© ФКОУ ВО Воронежский 
институт ФСИН России, 2016 

Ц75 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение...............................................................................................................5
1
Введение в цифровую обработку сигналов................................................7

1.1 Обобщенное описание сигналов. Обобщенная схема цифровой 

обработки сигналов.................................................................................7

1.2 Дискретное представление сигналов. Теорема Котельникова.........10
1.3 Представление непрерывных сигналов в цифровой форме .............16
1.4 Цифровые коды .....................................................................................21

2
Математический аппарат описания сигналов и линейных систем........23

2.1 Преобразование Лапласа и Фурье.......................................................23
2.2 Ряд Фурье...............................................................................................24
2.3 Z-преобразование и его свойства ........................................................25

3
Математическое описание линейных дискретных систем .....................28

3.1 Понятие о линейных дискретных системах .......................................28
3.2 Описание линейных дискретных систем во временной области.....29
3.3 Свойства линейных дискретных систем.............................................32
3.4 Описание линейных дискретных систем в z-области .......................34
3.5 Описание линейных дискретных систем в частотной области........36
3.6 Структурные схемы линейных дискретных систем..........................39

4
Математическое описание дискретных сигналов....................................44

4.1 Описание дискретных сигналов в частотной области. 

Связь между спектрами аналогового и дискретного сигналов ........44

4.2 Преобразование спектров дискретных сигналов...............................47
4.3 Дискретное преобразование Фурье.....................................................51
4.4 Быстрое преобразование Фурье...........................................................54
4.5 Представление сигналов разрывными функциями. 

Функции Радемахера, Уолша, Хаара ..................................................58

5
Цифровое кодирование сигналов ..............................................................64

5.1 Реализация аналогово-цифрового и 

цифро-аналогового преобразования сигналов...................................64

5.2 Импульсно-кодовая модуляция (ИКМ), дифференциальная ИКМ 

(ДИКМ), дельта-модуляция (ДМ), адаптивные ДИКМ и ДМ..........68

6
Квантование в цифровых системах...........................................................75

6.1 Представление и кодирование чисел ..................................................75
6.2 Квантование чисел и сигналов.............................................................79
6.3 Модели процесса квантования. 

Предположения о свойствах ошибок квантования............................82

6.4 Эффекты квантования входного сигнала. 

Оценки ошибок квантования ...............................................................83

6.5 Эффекты квантования выходного сигнала.........................................85
6.6 Динамический диапазон цифрового фильтра ....................................86

7
Цифровые фильтры.....................................................................................90

7.1 Цифровая фильтрация сигналов..........................................................90
7.2 Реализация фильтрации на основе свертки. 

Трансверсальные фильтры...................................................................93

7.3 Рекурсивная фильтрация сигналов......................................................96
7.4 Устойчивость цифровых фильтров...................................................100
7.5 Синтез цифровых фильтров с заданными характеристиками........102
7.6 Метод инвариантной импульсной характеристики.........................104
7.7 Методы расчетов, основанные на численном решении 

дифференциального уравнения .........................................................106

7.8 Метод билинейного преобразования ................................................109
7.9 Расчет цифровых фильтров с конечной 

импульсной характеристикой при использовании окон. 
Явление Гиббса ...................................................................................113

8
Адаптивная фильтрация ...........................................................................120

8.1 Постановка задачи линейного предсказания ...................................120
8.2 Определение коэффициентов линейного предсказания .................122

9
Многоскоростные системы цифровой обработки сигналов.................125

9.1 Однократные системы интерполяции с 

целочисленным коэффициентом.......................................................125

9.2 Многократные системы интерполяции.............................................128
9.3 Однократные системы децимации с 

целочисленным коэффициентом.......................................................129

9.4 Многократные системы децимации..................................................132

10 Применение вейвлет-анализа в цифровой обработке сигналов...........134

10.1 Основы дискретного вейвлет-анализа ..............................................134
10.2 Фильтровая реализация вейвлет-преобразования ...........................137
10.3 Дискретные вейвлет-преобразования ...............................................139

Заключение……………………………………………………………………142
Список литературы..........................................................................................142

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время цифровая техника занимает довольно большое место в 

повседневной жизни. Это во многом связано со стремительным ростом производительности современной вычислительной техники, которая, в свою очередь, 
позволяет широко использовать сложные, ресурсоемкие методы обработки сигналов для значительного набора задач.

Обработка сигналов имеет дело с представлением и преобразованием 

сигналов и информации, которую они несут. В коммуникационных системах 
сигнал перед передачей нужно подвергать предварительной обработке, например модуляции, обеспечивая выполнение определенных требований к передающемуся сигналу, или сжатию для более быстрой передачи по каналу. Быстрое 
развитие цифровых компьютеров и микропроцессоров вместе с важными теоретическими достижениями типа быстрого преобразования Фурье привело к 
существенному изменению в цифровых технологиях – возникновению направления «Цифровая обработка сигналов» (ЦОС). Основное отличие ЦОС от классической теории состоит в том, что сигнал в ЦОС – это числовая последовательность. Дискретная по времени природа технологии ЦОС присуща и другим 
технологиям, таким как устройства на поверхностных акустических волнах 
(ПАВ), приборы с зарядовой связью (ПЗС), приборы с переносом заряда и технологии переключаемых конденсаторов. Сигналы в ЦОС представляются последовательностями чисел конечной точности (имеется в виду, что значения 
элементов последовательностей лежат в дискретной области), а обработка осуществляется с помощью операций над числами.

Существует много примеров, когда обрабатываемые сигналы действи
тельно являются последовательностями. При этом, даже для обработки непрерывных сигналов большинство современных приложений используют дискретные технологии. В последнем случае непрерывные сигналы преобразуются в 
последовательности отсчетов, т. е. дискретный сигнал. После дискретной обработки ее результат вновь конвертируется в непрерывный сигнал. Для таких систем предпочтительны операции в режиме реального времени, т. е. такие операции, при которых отсчеты реакции системы вычисляются с той же частотой, 
что и отсчеты дискретизации непрерывного сигнала.

Дискретная обработка непрерывных сигналов в режиме реального време
ни – типичная ситуация в системах связи, радарах и сонарах (гидролокаторах), 
аудио- и видеосистемах, кодировании и усилении, биомедицине – вот некоторые из многочисленных областей применения. Проигрыватель компакт-дисков 
(CD-плейер) – несколько иной пример, где обработанный входной сигнал хранится на компакт-диске, а выходной сигнал выдается в реальном времени в тот 
момент, когда это необходимо. Как записывающая, так и воспроизводящая система компакт-дисков основывается на многих результатах теории обработки 
сигналов, которая обсуждается в данной книге.

Таким образом, изучение вопросов, связанных с цифровой обработкой 

сигналов, несомненно, актуально для современного технического специалиста.

Учебное пособие содержит 10 глав. В состав каждой главы входит блок 

вопросов для самоконтроля.

В основу учебного пособия положены материалы широко известных 

учебников и учебных пособий для студентов вузов, а также монографий известных специалистов в области цифровой обработки сигналов и радиотехники.

Материал данного учебного пособия предполагает знакомство курсантов 

и студентов с основами теории электрических цепей и вычислительной техники. В учебном пособии используется доступный современному инженеру математический аппарат по высшей математике, теории вероятности и математической статистике.

1 ВВЕДЕНИЕ В ЦИФРОВУЮ ОБРАБОТКУ СИГНАЛОВ

1.1 Обобщенное описание сигналов. Обобщенная схема цифровой

обработки сигналов

В последние годы из-за бурного развития микроэлектроники, микропро
цессорной техники (увеличение быстродействия, разрядности, и т. д.) все 
большее применение находят дискретные системы передачи информации и 
управления. Использование этих систем обусловлено тем, что цифровые 
устройства позволяют реализовать практически любые сложные алгоритмы обработки сигналов, в том числе такие, которые трудно, а зачастую невозможно 
реализовать с помощью аналоговых схем. Причем цифровые системы передачи 
обеспечивают высокую гарантированную точность обработки сигналов и по 
сравнению с аналоговыми системами имеют:

1) высокую помехоустойчивость;
2) стабильность параметров каналов;
3) эффективность использования пропускной способности при передаче 

дискретных сигналов;

4) высокие технико-экономические показатели системы передачи.
Кроме того, ввиду простоты перестройки цифровых устройств на их базе 

можно строить адаптивные системы, например, приспосабливающиеся к виду 
входного сигнала.

Дадим расшифровку того, что на сегодняшний момент в радиотехнике 

понимается под термином цифровая обработка сигналов (ЦОС).

ЦОС – это область науки и техники, в которой изучаются общие для раз
личных технических приложений принципы, методы и алгоритмы обработки 
сигналов аппаратными (специализированные цифровые процессоры, интегральные микросхемы и т. д.) или программными (с помощью цифровой вычислительной техники) средствами [1–17].

Необходимо также пояснить, что мы будем понимать под сигналом и 

определить основные виды сигналов, используемых в радиотехнике.

Сигналом 
)
(t
s
является физический процесс, отображающий сообщение, 

т. е. информацию, выраженную в определенной форме. Любой сигнал является 
функцией времени. В зависимости от области определения и области возможных значений этой функции различают следующие виды сигналов:

1) непрерывные по величине и времени, такие сигналы называются ана
логовыми (рис. 1.1);

2) непрерывные по величине и дискретные по времени. Эти сигналы 

называются дискретными и задаются в определенные дискретные моменты 
времени, причем промежуток времени между двумя соседними отсчетами 
называют шагом дискретизации 
t

(или просто  ). Обычно его выбирают ис
ходя из допустимой погрешности при восстановлении аналогового сигнала по 
конечному числу его дискретных значений (рис. 1.2);

3) дискретные по величине и непрерывные по времени, называемые 

квантованными по уровню (рис. 1.3). Их можно получить из аналоговых, применяя к ним операцию квантования по уровню. При этом расстояние между 
двумя соседними разрешенными уровнями называют шагом квантования 
s
 .

Его обычно выбирают исходя из требований к точности восстановления аналогового сигнала из квантованного;

4) дискретные по величине и времени (рис. 1.4). Такие сигналы можно 

получить из аналоговых, осуществляя операции дискретизации по времени и 
квантования по уровню, кроме того, их легко представить в цифровой форме, т. 
е. в виде чисел с конечным числом разрядов. По этой причине такие сигналы 
называют цифровыми.

Рис. 1.1. График зависимости аналогового сигнала от времени

Рис. 1.2. График зависимости дискретного сигнала от времени

Рис. 1.3. График зависимости квантованного по уровню сигнала от времени

Рис. 1.4. График зависимости дискретизированного по времени и квантованного по уровню 

(цифрового) сигнала от времени

Обобщенная схема ЦОС отображает последовательность процедур, кото
рые необходимы для осуществления преобразования одного аналогового сигнала  t
x
в другой аналоговый сигнал  t
y
по заданному алгоритму аппаратны
ми или программными средствами.

В ЦОС можно выделить три основных этапа:

формирование цифрового сигнала 
 
i
Ц t
x
из исходного аналогового 

сигнала  t
x
;


преобразование цифрового сигнала 
 
i
Ц t
x
в цифровой сигнал 
 
i
Ц t
y
в 

соответствии с определенным алгоритмом;


формирование результирующего аналогового сигнала  t
y
из цифро
вого сигнала 
 
i
Ц t
y
.

В обобщенной схеме ЦОС этим этапам соответствуют три функциональ
ных устройства [12-14]:


кодер;


устройство ЦОС;


декодер.

В качестве примера рассмотрим структуру типичной цифровой системы

приема-передачи информации (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Структурная схема типичной цифровой системы приема-передачи информации

Кодер сигнала имеет вид, представленный на рисунке 1.6:

Рис. 1.6. Структурная схема кодера сигнала

Дискретизатор выполняет преобразование аналогового сигнала 
)
(t
x
в 

систему отсчетов 
}
{ i

в базисе
)}
(
{
t
i

.

Квантователь выполняет квантование уровня отсчетов 
}
{
i

.

Цифровой модулятор – это устройство, использующее избыточность сиг
нала 
)
(t
x
для оптимального преобразования в импульсно-кодовую модуляцию 

(ИКМ), дифференциальную импульсно-кодовую модуляцию (ДИКМ) и др.

Цифровой кодер каждому уровню сигнала ставит в соответствие опреде
ленный цифровой код.

Блок предискажений устраняет избыточность сигнала с целью более 

удобной передачи сигнала в канале, примером может служить преобразование 
сигнала в скремблере, перемежение кодовой последовательности.

Кодер канала вносит дополнительную информацию для повышения по
мехоустойчивости передаваемого сигнала (проверочные коды, корректирующие коды и др.) и служебную информацию (синхросигналы, информацию о 
квантователе, дискретизаторе и т. д.).

Модулятор выполняет наложение низкочастотного передаваемого сигна
ла на несущую (высокочастотные сигналы, оптические волны и т. д.).

1.2 Дискретное представление сигналов. Теорема Котельникова

Под дискретным понимается представление непрерывного (аналогового) 

сигнала 
)
(t
x
, заданного на интервале 
]
;0
[ T
совокупностью координат 

1
1
0
,
,
,

N
c
c
c

. В самом общем случае процессы представления и восстановления 

описываются выражениями



)
(
,
,
,
1
1
0
t
x
c
c
c
N
A



,
(1.1)





1
1
0
,
,
,
)
(
~




N
c
c
c
t
x

A
,
(1.2)

где A – оператор дискретного представления; A – оператор восстановления.

Операторы A и A могут быть как линейными, так и нелинейными. На 

практике обычно используют линейные операторы, более простые в реализации. При этом операции представления и восстановления описываются выражениями




T

i
i
dt
t
t
x
c

0

)
(
)
( 
,   
1
;0


N
i
,
(1.3)









1

0

)
(
)
(
~

N

i

i
i
t
c
t
x

,
(1.4)

где 
)
(t
i

и 
)
(t
i

– весовые и базисные (координатные) функции.

В зависимости от системы используемых весовых функций 
)
(t
i

, 

1
;0


N
i
, различают дискретное временное
представление, дискретное 

обобщенное представление и дискретное разностное представление.

При дискретном временном представлении используется система весо
вых функций

)
(
)
(
i
i
t
t
t

 

,   
1
;0


N
i
,
(1.5)

где 
)
(
it
t 

– это дельта-функция. При этом из (1.3) получаем

)
( i
i
t
x
c 
,
(1.6)

т. е. координаты 
ic совпадают с мгновенными значениями (отсчетами) непре
рывной функции 
)
(t
x
в дискретные моменты времени it .

Представление называется регулярным, если шаг дискретизации

1






i
i
t
t
t

является постоянным. В противном случае оно называется адаптивным.

Основными вопросами при представлении сообщений регулярными от
счетами являются: выбор частоты дискретизации 

 /
1
дf
и базисных функций

)
(t
i

. При этом важно найти такую минимально возможную 
дf , при которой 

еще имеется принципиальная возможность восстановления из дискретного сигнала аналогового.

Для модели сигналов с ограниченным спектром решение указанных задач 

содержится в теореме Котельникова.

Теорема Котельникова гласит, что любую непрерывную функцию со 

спектром, ограниченным полосой частот от 0 до 
max
f
, можно определить по
следовательностью его мгновенных значений, взятых через интервалы

)
2
/(
1
max
f


,
(1.7)

здесь обозначено 
в
max
f
f

– максимальная или верхняя частота в спектре сиг
нала.

Восстановление осуществляется по формуле

















i
i
t
f

i
t
f
i
x
t
x
)
(
2

)
(
2
sin
)
(
)
(

max

max




.
(1.8)

Это выражение носит название ряда Котельникова
i
i
x
t
x
i
x



)
(
)
(
. При этом 

частота дискретизации 
дf будет определятся выражением

max
д
2 f
f 
.
(1.9)

Согласно теореме Котельникова, верхняя частота 
вf
аналогового сигнала 

не должна превышать половины частоты дискретизации 
дf
этого сигнала. Сле
довательно, дискретные сигналы целесообразно рассматривать в области 


2
,0
дf
, которая называется основной полосой частот или основным диапазо
ном частот.

В выражении (1.8) базисными являются функции:




)
(
2

)
(
2
sin
)
(

max

max







i
t
f

i
t
f
t
i




.

Причем 
)
(t
i

образуют ортогональную на бесконечном интервале систему 

функций. Следует отметить, что любую функцию 
)
(t
i

можно получить на вы
ходе идеального фильтра нижних частот, если подать на его вход сигнал 

)
(

i
t

. Т. е. восстановление непрерывного сигнала осуществляется подачей 

на вход идеального фильтра нижних частот с частотой среза 
max
f
последова
тельности 
)
(

i
t

, 
,...
1,0,1
...,

i
, с последующим умножением на коэффици
енты 
)
( 
i
x
. Однако ни сигнал в виде дельта-функции, ни идеальный НЧ 

фильтр физически не реализуемы. Поэтому на практике вместо дельта-функций 
используют короткие импульсы, а вместо идеального фильтра нижних частот –
обычный ФНЧ, что приводит к погрешности восстановления.

Теорема Котельникова дает предельные соотношения для идеализиро
ванных условий, среди которых можно отметить ограниченность спектра по частоте и бесконечное время наблюдения. Все реальные сигналы конечны по 
времени и имеют неограниченный по частоте спектр, что тоже приводит к погрешности восстановления. Тем не менее, теорема Котельникова имеет большое практическое значение. Спектр сигнала так или иначе ограничивается. 
Например, при передаче непрерывного сигнала его спектр 
)
( f
S
целесообразно 

ограничить частотой 
max
f
, при которой

)
(
)
(
f
N
f
S

,

где 
)
( f
N
– спектр мощности шума на входе канала, причем 
дf
выбирают та
ким образом:

max
д
2
f
f


,
(1.10)

где 
5,2
25
,1



– некоторый коэффициент (выбираемый из практических 

условий).

Ограничение спектра сигнала частотой 
max
f
с помощью фильтра приво
дит к ошибке дискретизации, приведенный средний квадрат которой определяется из соотношения









0

2
)
(
)
(

max

df
f
S
df
f
S

f

f

,
(1.11)

т. е. равен отношению мощности отброшенной части спектра к средней мощности исходного сигнала. При отсутствии предварительной фильтрации ошибка 
дискретизации возрастает.

Пусть 
)
(
x
S
– спектральная плотность сигнала 
)
(t
x
. Тогда спектральная 

плотность дискретизированного сигнала






t

i
i
t
t
t
t
x
t
x
t
x

0

д
d
)
(
)
(
)
(
)
(


имеет вид


















i

x
x

i
S
S



2
1
)
(
д
,
(1.12)

т. е. она представляет собой с точностью до несущественного множителя 

/
1

сумму бесконечного числа «копий» спектра исходного сигнала (рис. 1.7). Эти 
«копии» 
располагаются 
на 
оси 
частот 
через 
равные 
промежутки 

д
д
2
/
2






f
.