Дифференциальные уравнения. Практикум

УДК 517.9(075.9) 

ББК 22.161.6я73 

Д50 

А в т о р ы:  Л.А. Альсевич, С.А. Мазаник, Г.А. Расолько, Л.П. Черенкова  

Р е ц е н з е н т ы: кафедра дифференциальных уравнений и теории функций Гомельского государственного уни
верситета (заведующий кафедрой доктор физико-математических наук, доцент А.П. Старовойтов); заведующий кафедрой высшей математики Белорусского государственного экономического университета доктор физико-математических 
наук, профессор М.П. Дымков

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее части не может быть осуществ
лено без разрешения издательства. 

ISBN 978-985-06-2111-5 
© Издательство «Вышэйшая школа», 2012

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ 

Пособие подготовлено в соответствии с программой курса дифференци
альных уравнений для студентов, специализирующихся по прикладной математике. Оно будет полезно также студентам математических, физических, экономических факультетов университетов и технических вузов. Построено пособие так, чтобы выработать у учащихся практические навыки 
решения и исследования дифференциальных уравнений и систем, описывающих эволюционные процессы в различных областях естествознания. 

Расположение материала, операторный подход к изложению теории 

линейных стационарных дифференциальных уравнений и стационарных 
линейных векторных уравнений, методика изучения элементарных уравнений как уравнений, приводимых к уравнениям в полных дифференциалах, 
отличают данное пособие от традиционных. Изучение линейных уравнений 
со стационарным оператором позволяет уже в начале курса рассматривать 
приложения дифференциальных уравнений к теории колебаний, которая 
в свою очередь знакомит студентов с качественной теорией дифференциальных уравнений, развивает у них исследовательские навыки. В пособии 
представлены задания для контрольных и лабораторных работ, а также варианты тестовых заданий по отдельным темам курса. 

Наряду с широко известными методами интегрирования линейных ста
ционарных систем дифференциальных уравнений (методы Коши, Лагранжа, Д’Аламбера, экспонентное представление решения) предлагается операторный метод сведения системы к системе независимых уравнений и ме- 
тод построения экспоненты матрицы, не требующий знания жордановой 
формы матрицы. 

Пособие составлено на основании опыта проведения практических 

и лабораторных занятий по курсу дифференциальных уравнений на факультете прикладной математики и информатики Белорусского государственного университета. По структуре и методике изложения материала оно связано с книгами Ю.С. Богданова, Ю.Б. Сыроида «Дифференциальные уравнения» (Минск: Вышэйшая школа, 1983) и Ю.С. Богданова, С.А. Мазаника, 
Ю.Б. Сыроида «Курс дифференциальных уравнений» (Мiнск: Унiверсiтэцкае, 1996). Настоящее издание является продолжением наших книг «Практикум по дифференциальным уравнениям» (Минск: Вышэйшая школа, 1990; 
Минск: БГУ, 2000), поэтому мы сохранили нумерацию задач, а для новых 
задач используется двойная нумерация. Наряду с задачами, составленными 
авторами, в практикуме приведены стандартные задачи из известных сборников задач по дифференциальным уравнениям. 

В практикум включен ряд примеров решения задач с использованием 

пакета компьютерной математики MathCad. Это дополнение вызвано тем, 
что рассматриваемые методы интегрирования и их применение основаны 
на четких и понятных алгоритмах, однако практическое их использование 
часто требует от студентов выполнения большого объема вычислений 
и аналитических преобразований. Широкие возможности, которыми обладают в этом плане современные системы компьютерной математики, позволяют в определенной мере решить эту проблему. Применение пакетов 

компьютерной математики в процессе обучения не является самоцелью 
и никоим образом не может полностью заменить традиционные методы 
обучения. Тем не менее использование таких пакетов на практических занятиях по дифференциальным уравнениям позволяет не только находить 
аналитические или численные решения дифференциальных уравнений, но 
и осуществить визуализацию полученных результатов, что облегчает восприятие студентами материала, дает возможность на занятиях рассмотреть 
гораздо больше примеров, больше времени уделить качественному анализу 
получаемых результатов. Отметим, что в силу специфики пакета MathCad 
многие символьные вычисления занимают в строке документа несколько 
рядом расположенных страниц и при их внедрении в книгу некоторые части вычислений не видны. Однако при работе на компьютере по приведенному в тексте листингу информация восстанавливается в полном объеме. 

Авторы выражают глубокую признательность член-корреспонденту На- 

циональной академии наук Беларуси профессору Ф.М. Кирилловой, профессорам А.Ф. Андрееву, М.П. Дымкову, Г.А. Медведеву, В.И. Мироненко 
и доценту Н.Т. Стельмашуку за рецензии, советы и замечания, способствовавшие улучшению наших книг. 

Все отзывы и пожелания просим присылать по адресу: 220050, Минск, 

проспект Ф. Скорины, 4, кафедра высшей математики, факультет прикладной 
математики и информатики, Белорусский государственный университет. 

Авторы 

ÂÂÅÄÅÍÈÅ 

I. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß ÒÅÎÐÈÈ ÎÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÕ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ 

1. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå. Ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ. Ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ 

Дифференциальное уравнение для определения функции 
( )
=
x
x t  имеет вид 

2
( , ,
,
,
,
)
0,
=
…
n
F t x Dx D x
D x
 
(1.1) 

где 
−
F
заданная функция своих аргументов; 
−
D
оператор дифференцирования по t, т.е. оператор, 

действующий по следующим правилам: 

1

0
1

1
,   
,   
(
)
,   
.

k
k

k
k

k
k

dx
d
d x
d
x
D x
x
Dx
D
x
D D x
k
dt
dt
dt
dt

+

+

+

⎛
⎞

=
=
=
=
=
∈
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

(1.2) 

Искомая функция 
( )
=
x
x t  зависит от одного аргумента t  и считается заданной на связном 

множестве (промежутке). Рассматриваемое уравнение называют обыкновенным. Обыкновенное 
дифференциальное уравнение может быть записано также с помощью дифференциалов искомой 
функции и независимой переменной 

2
( , ,
,
,
,
)
0,
=
…
n
H t x dx d x
d x
 
(1.3) 

где 
−
H
заданная функция своих аргументов. 

Порядком уравнения называют порядок старшей из производных или старшего из дифферен
циалов искомой функции, входящих в уравнение. 

Решением уравнения называют функцию 
( ),
=
x
x t
 которая задана на промежутке 
,
,
=
⊂ I
a b
 име
ет все производные до порядка n  включительно и обращает на промежутке I  уравнение в тождество  

2
( , ( ),
( ),
( ),
,
( ))
0   
n
F t x t
Dx t
D x t
D x t
t
I
≡
∀ ∈
…
 
(1.4) 

(здесь под | ,
|
a b  понимается один из промежутков: [ , ],
a b
[ , ),
a b
( , ],
a b
( , ),
a b
−∞ ≤
<
≤ +∞
a
b
). 

Задача 1.1. Определить, какие из приведенных функций x являются на соответствующем множестве I  реше
ниями уравнения 
2  
 4  
 1/ cos2 :
+
=
D x
x
t

а) 
1/ 4cos2 lncos2
/ 2sin2 ,
(
/ 4,
/ 4);
x
t
t
t
t
I
=
+
= −π
π

б) 
1/ 4cos2 ln | cos2 |
/ 2sin2 ,
( / 4, 3
/ 4);
x
t
t
t
t
I
=
+
= π
π

в) 
1/ 4cos2 ln cos2
/ 2sin2 ,
(0,
/ 2);
=
+
=
π
x
t
t
t
t
I

г) 
1/ 4cos2 lncos2
/ 2sin2 ,
(
/ 4,
/ 4)
(7 / 4, 9 / 4);
=
+
= −π
π
π
π
∪
x
t
t
t
t
I

д) 
cos2
sin2 ,
(7 / 4, 9 / 4).
=
+
=
π
π
x
t
t
I

Р е ш е н и е. а) Функция 
( )
1/ cos2
f t
t
=
 определена и непрерывна на заданном интервале 
(
/ 4,
/ 4).
I = −π
π

Непосредственной подстановкой  

1/ 4cos2 lncos2
/ 2sin2 ,
=
+
x
t
t
t
t
cos2
1/ 2sin2 lncos2 ,
=
−
Dx
t
t
t
t

2
cos2 lncos2
2 sin
1/ cos2
= −
−
+
D x
t
t
t
t
t

в данное уравнение убеждаемся, что оно обращается в тождество на 
(
/ 4,
/ 4)
I = −π
π
. Следовательно, заданная 

функция x  является решением уравнения. 

б) Поскольку cos2t  на интервале 
( / 4, 3
/ 4)
I = π
π
 отрицателен и | cos2 |
cos2 ,
= −
t
t  то функцию x  запишем 

в виде 
1/ 4cos2 ln( cos2 )
/ 2sin2 .
x
t
t
t
t
=
−
+
 Функция 1/ cos2t  определена и непрерывна на ,I  функция x  дважды 

дифференцируема на I . Непосредственной подстановкой 

1/ 4cos2 ln( cos2 )
/ 2sin2 ,
=
−
+
x
t
t
t
t
1/ 2sin2 ln( cos2 )
cos2 ,
= −
−
+
Dx
t
t
t
t

2
cos2 ln( cos2 )
2 sin
1/ cos2
= −
−
−
+
D x
t
t
t
t
t

в данное уравнение убеждаемся, что оно обращается в тождество на 
( / 4, 3
/ 4)
I = π
π
. Следовательно, функция x

является решением уравнения. 

в) Считать функцию x решением заданного уравнения на промежутке 
(0,
/ 2)
=
π
I
 нельзя, так как она не диф
ференцируема на I  и правая часть уравнения 
( )
1/ cos2
f t
t
=
 разрывна на .I

г) Согласно определению решения дифференциального уравнения, функция, заданная на множестве 
(
/ 4,
/ 4)
(7 / 4, 9 / 4),
= −π
π
π
π
∪
I
 не является решением, так как в данном случае множество I  не является проме
жутком, т.е. не является связным. 

д) Функция 
( )
1/ cos2
f t
t
=
 определена и непрерывна на заданном интервале 
(7 / 4, 9 / 4).
=
π
π
I
 Подставив 

в исходное уравнение  

2
cos2
sin2 ,   
2sin2
2cos2 ,   
4cos2
4sin2 ,
x
t
t
Dx
t
t
D x
t
t
=
+
= −
+
= −
−

будем иметь 0
1/ cos2  .
=
t  Это означает, что функция x не является решением данного уравнения. 

Определить, какие из приведенных функций являются решениями указанного уравнения на за
данном множестве: 

1.
/
+
=
x t
x
t Dx t e
: 

а) 
lnln ,   
(0,+ );
= −
=
∞
x
t
t
I
 
в) 
lnln ,   
[1,+ );
= −
=
∞
x
t
t
I

б) 
lnln ,   
(1,+ );
= −
=
∞
x
t
t
I
 
г) 
ln ,   
(0,+ ).
=
=
∞
x
t
I

2.
2
2
:
−
+
=

te
D x
Dx
x
t

а) 
ln ,   
(0,
);
=
=
+∞
t
x
e
t
I
 
в) 
ln ,   
(
,0)
(0,
);
=
= −∞
+∞
∪
t
x
t e
t
I

б) 
ln ,   
(0,
);
=
=
+∞
t
x
t e
t
I
 
г) 
( ln | |
),   
(
,0).
=
+
= −∞
t
x
e t
t
t
I

3. (
)
2
1
4
4
0:
′′
′
+
+
−
=
t
x
tx
x

а) 
2 ,   
( 2, 1)
(1,2);
t
x
t
e
I
−
= +
= −
−
∪
 
в) 
2

1
2
,   
, 
t
x
C t
C e
I
−
=
+
= б) 
2 ,   
;
t
x
e
I
=
= 1
2
,
−
C C
постоянные; 

 
г) 
,   
.
x
t
I
=
= 4.
3
1
:
2

′ =
+
x
t
x

а) 
3/2,   
[0,+ );
=
=
∞
x
t
I
 
в) 
3/2
1
,   
[0,+ );
= +
=
∞
x
t
I

б) 
3/2 ,   
(
,0);
=
= −∞
x
t
I
 
г) 
3/2,   
[0,+ ).
= −
=
∞
x
t
I

5.
2
arctg
arctg
cos
+
+
=
t
D x
Dx
x
t
t
: 

а) 
sin ,   
[0,
/ 2);
=
=
π
x
t
I
 
в) 
sin ,   
[0, + );
=
=
∞
x
t
t
I

б) 
sin ,   
[0,
/ 2);
=
=
π
x
t
t
I
 
г) 
sin ,   
[0,
/ 2).
=
=
π
x
t
I

6.
2
2
2
2cosln
sinln :
+
+
=
+
t D x
t D x
x
t
t

а) 
sinln
cos( 2 ln ),   
(
, 0);
=
+
= −∞
x
t
t
I

б) 
1/ 2cosln
sinln ,   
(0, + );
=
+
=
∞
x
t
t
I

в) 
1/ 2cosln
sinln
cos( 2 ln ),   
(0, + );
=
+
+
=
∞
x
t
t
t
I

г) 
1/ 2cosln
sinln
2sin( 2 ln ),   
(0, + ).
=
+
+
=
∞
x
t
t
t
I

7.
3
2
sin
cos
:
+
=
D x
Dx
t
t

а) 
1/ cos
cos lncos
(
tg )sin ,   
(
/ 2,
/ 2);
=
+
+
−
= −π
π
x
t
t
t
t
t
t
I

б) 
1
cos
sin ,   
(
/ 2,
/ 2);
= +
+
= −π
π
x
t
t
I

в) 
1
cos lncos
(
tg )sin
,
cos
=
+
−
+
x
t
t
t
t
t
t
(
/ 2,
/ 2)
(3
/ 2, 5
/ 2).
= −π
π
π
π
∪
I

Показать, что функции 
( ),
=
x
x t
 зависящие от произвольных постоянных 
1
2
3
4
,
,
,
∈C C
C
C
, 

являются решениями соответствующих уравнений. Указать максимальный промежуток существования решения: 

8.
(
)
2
2
2

1
,
.
=
=
C t
x
C e
xD x
Dx

9.
2

1
2
cos3
sin3 ,
9
0.
=
+
+
=
x
C
t
C
t
D x
x

10.
2

1
2
cos3
sin3
,
9
.
9
=
+
+
+
=
t
x
C
t
C
t
D x
x
t

11.
3
2
3

1
2
cos3
sin3
,
9
18
.
=
+
+
+
=
t
t
x
C
t
C
t
e
D x
x
e

12.
1
2,
2
0.
′′
′
=
+
+
=
x
C t
C
tx
x

13.
(
)
2
2

1
1 ,
.
=
+
=
+
x
C t
C
x
tDx
Dx

14.
1
1
sin
,
sin
.
=
+
=
+
x
C t
C
x
tDx
Dx

15.
1
1
ln
,
ln
.
′
′
=
+
=
+
x
C t
C
x
tx
x

16.
2

1
2
ch
sh ,
0.
=
+
−
=
x
C
t
C
t
D x
x

17.

2

2
2
2
2

1
1
2,
(
) .
2
=
+
+
=
+
t
x
C
C t
C
Dx
t D x
D x

18.
4

1
2
3
4
cos
sin ,
0.
−
=
+
+
+
−
=
t
t
x
С e
C e
C
t
C
t
D x
x

19. Доказать, что многочлены Чебышева первого рода 

( )
(
)
1
cos
arccos
2
,   
,
m

m
T
t
m
t
m
−
=
∈удовлетворяют уравнениям 
2
2
2
(1
)
0,   
.
−
−
+
=
∈t
D x
tDx
m x
m

Показать, что функции 
( ),
=
x
x t
 заданные неявно, являются решениями соответствующих 

уравнений: 

20.
(
)
(
)
2
arctg
,
1.
=
+
+
+
=
x
x
t
C
x
t
Dx

21.
(
)
2
2
3
2
,
3
0.
=
+
−
=
t
x
x
D xD x
D x

22.
(
)
( )

2
2
2

0

ln
0,
1
ln
2
.
τ
′′
′
− −
τ =
+
+
=
∫

t
t
x
x
t
e d
x
x x
x
t xe

23.
(
)
2
2
3
9
4
0,
0,
.
−
=
−
=
∈x
at
D x
at
a

24.
2
2
2
2
2
(
)(
1)
0,
(
)
(
)
0.
−
−
+
=
−
+
+
=
x
t x
t
tx D x
t
x
Dx
tx

25. (
)
( )

2
2
2

2

3
2
1 (
1)
0,
0.
′
′
+
−
=
+
+
=
x
x
tx
t x
x
x
t
t

26.
3
2
3
3
7
6
0,
(
)
7
6
0.
−
+
=
−
+
=
x
t x
t
D x
Dx

27.
2
2
2
ln
,
0, (2
)
(
)
0.
+
+
−
=
>
−
+
+ +
=
t
t
x
x
C
x
t x
x
x
t
x D x
x

28.
(
)
2
4
2 2
2
2
4
,
0,
.
=
−
=
∈x
a t
x
Dx
a
a

29.
(
)
2
2
2
2,
1
,
.
+
=
=
−
+
∈t
x
a
x
tDx
a
Dx
a

Показать, что функции 
( ),
=
x
x t
 заданные параметрически, являются решениями соответст
вующих уравнений: 

30.

2

3

ln
3 ,
2
4
3 ,   
0,
4
4

τ
⎧ =
+
⎪⎪
τ
⎨
τ
⎪ =
+
τ >
⎪
τ
⎩

t

x

2
2
2
(
)
2
3
0.
−
+
=
D x
D x D x

31.

2

1
1 ,

3

2
,   
0,
3

⎧ =
+
⎪⎪⎨
⎪ =
−
>
⎪⎩

t

p
p

x
p
p
p

( )

2
1
0.
′
′
+
− =
t x
x x

32.

(
)

2

1
ln ,

1
2ln
,   
0,

−

−

⎧ = τ
τ
⎪⎨

= τ
+
τ
τ >
⎪⎩

t

x
(
)
2
2
1
0.
−
− =
x Dx
t Dx

33.
(
)

(
)
2

2 1
,

2
1
,   
,

−

−

⎧ =
−
+
⎪⎨

=
−
+
+
∈
⎪⎩
p

p

t
p
e

x
p
e
p
p

2
(1
)
(
) .
=
+
+
x
D x t
D x

34.

(
)
2

cos ,

1
sin 2
4,   
,

−ϕ

− ϕ

⎧ =
ϕ
⎪⎨

=
+
ϕ
ϕ∈
⎪⎩
t
e

x
e

2
4
(
) .
=
+
x
D x
t

35.

(
)

(
)

2
2

1
,

1
2
2
4,   
,

−ϕ

− ϕ

⎧ =
+ ϕ
⎪⎨ =
+ ϕ + ϕ
ϕ∈
⎪⎩
t
e

x
e
( )

2
2
4
.
′
=
+
x
x
t

36.

(
)

2 cos ,

2
sin 2
/ 4,   
,

−ϕ

−ϕ

⎧ =
ϕ
⎪⎨

=
+
ϕ
ϕ∈
⎪⎩
t
e

x
e

2
2
2
(
) .
=
+
+
x
t
t D x
D x

37.

3
2

4
3

,   
,
4
2

3
,
16
3

⎧

=
−
∈
⎪⎪⎨
⎪ =
−
⎪⎩

p
p
t
p

p
p
x

3
2

2

2

(
)
1 (
)
.
12
2
4
(
)

= −
+
+
+ +
D x
t
t
x
D x
D x
t

D x

37.1. 

2
1
,

1
0
1,

⎧ =
− τ
⎪⎨

=
< τ <
⎪
τ
⎩

t

x
,

2
2
5
2
.
−
=
D x
t x Dx
x

37.2. 

sin ,

1
,   
,
cos
2
2

=
τ
⎧⎪
π
π
⎨ =
−
< τ <
⎪
τ
⎩

t

x

2
2
5
2
.
−
=
D x
t x Dx
x

37.3. 

2

2

sh
,

1
,   
,

ch

⎧ =
τ
⎪⎨ =
τ∈
⎪
τ
⎩

t

x

2
2
0.
+
=
D x
x Dx

Каждое дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, семейство решений, задаваемое фор
мулой, содержащей произвольные постоянные. 

Рассмотрим обратную задачу: построить дифференциальное уравнение по известному реше
нию 
1
( ,
,
,
),
=
…
n
x
x t C
C
 заданному соотношением 
1
( , ,
,
,
)
0.
Φ
=
…
n
t x C
C

Дифференциальное уравнение, связывающее t  и ( ),
x t
 получается путем исключения постоян
ных 
1,
,
…
n
C
C  из системы  

(
)

(
)

(
)

1

1

1

, ,
,...,
0,

, ,
,...,
0,

, ,
,...,
0.

⎧Φ
=

⎪ Φ
=
⎪
⎨
⎪
⎪
Φ
=
⎩

………………………

n

n

n

n

t x C
C

D
t x C
C

D
t x C
C

 
(1.5) 

Построить дифференциальные уравнения наименьших порядков, решением которых являются 

заданные функции: 

38.
1
.
= +
x
t
C
39. 
1
2
sin .
−
=
+
+
t
t
x
C e
C e
t

40.
2
2
2 .
+
−
=
t
Ct x
x
t
41. 
cos ,
sin .
=
=
x
C
t
y
C
t

42.
2/3
2/3
2/3.
+
=
x
t
C
43. 
2
1
.
=
+
+
x
Ct
C
C

44.
1
.

⎛
⎞

=
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∫

te
x
t
dt
t
45. 
2
sin
5 .
=
+
∫

t
x
t
dt
t
t

46.

2

sin .
ln

⎛
⎞
τ
=
τ +
+
⎜
⎟
⎜
⎟
τ
⎝
⎠
∫

t

x
t
d
C
t
47. 
2
2
1

2
1
0.
2
−
−
−
=
C
x
C
C t
t

48.
3

1
2
3
3
(
)
.
=
+
+
+
x
t
t
C
C
49. 
3/2

1
2
3
3
4(
)
.
=
+
+
+
x
t
C
C t
C

50.
1
2
ln
0.
+ +
+
=
x
x
t
C x
C
51. 
(
)
2

1
1
2
2
1.
=
+
+
C x
C t
C

52. Составить дифференциальное уравнение семейства парабол, оси симметрии которых парал
лельны оси ординат, а вершины расположены на оси абсцисс. 

53. Составить дифференциальное уравнение семейства парабол, вершины которых совпадают 

с началом координат, а осью симметрии является ось абсцисс. 

54. Составить дифференциальное уравнение однопараметрического семейства окружностей 

единичного радиуса, центры которых лежат на прямой 
1.
=
y

55. Составить дифференциальное уравнение семейства эллипсов, центры которых совпадают 

с началом координат, а оси симметрии – с осями координат. 

II. ÏÐÎÑÒÅÉØÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß 

2. Ïðîñòåéøèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Îáùåå è ÷àñòíîå ðåøåíèÿ.  

Íà÷àëüíàÿ è ãðàíè÷íàÿ çàäà÷è. Ôóíêöèÿ Ãðèíà 

Простейшим дифференциальным уравнением порядка n  является уравнение  

( ),
,
=
∈
n
D x
f t
t
I  
(2.1) 

где функция 
( )
f t  непрерывна на промежутке .I

Формула, определяющая совокупность решений рассматриваемого уравнения и содержащая n

произвольных постоянных, задает его общее решение. 

Общее решение простейшего уравнения задается формулой 

(
)

1
1
1

2
1

0

( )

−
τ
τ
−

=

⎛
⎞

=
+
τ
τ
τ
τ
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

∑
∫ ∫
∫
…
…

n
t
n
k

k
n
n

k
s
s
s

x t
C t
f
d
d
d
 
(2.2) 

или формулой  

( )
(
)

(
)

1
1

0

( )
,   
,   
0,
1.
1 !

−
−

=

− τ
=
+
τ
τ ∀ ∈
∈
=
−
−
∑
∫
n
t
n
k

k
k

k
s

t
x t
C t
f
d
s
I
C
k
n
n
 
(2.3) 

Решение, получающееся из общего при конкретных значениях постоянных 
, 
0,
1,
=
−
k
C
k
n
 на
зывают частным решением. Для выделения частного решения из общего используют начальные, 
граничные и другие дополнительные условия. Условия, относящиеся к одному значению аргумента, называют начальными, а относящиеся к различным значениям аргумента – граничными. 

Начальная задача (задача Коши) для простейшего уравнения порядка n имеет вид 

( ),
,
,
0,
1.
=
=
∈
= ξ
=
−
n
k

t s
k
D x
f t
t
I
D x
k
n
 
(2.4) 

Решение начальной задачи для простейшего уравнения определяется по формуле 

( )
(
)
(
)

(
)
( )

1
1

0
!
1 !

−
−

=

−
− τ
=
ξ
+
τ
τ
−
∑
∫

k
n
t
n

k

k
s

t
s
t
x t
f
d
k
n
. 
(2.5) 

Найти общие решения уравнений на заданном промежутке: 
56.
sin ,   
.
=
∈Dx
t
t
I
57.
,   
.
=
= n
D x
t
I

58.
3
3,   
(0, + ).
−
=
=
∞
D x
t
I
59.
2
cos
,   
.
′ =
= x
t
I

60.
tg ,   
(
/ 2,
/ 2).
=
= −π
π
Dx
t
I
61.
2
3/2
(1
)
,   
( 1,1).
−
=
−
= −
Dx
t
I

62.
3
sin
,   
.
′ =
= x
t
I
63.
cos ,   
.
=
= t
Dx
e
t
I

64.
2
cos2 ,   
.
=
= D x
t
I
65.
(sin )
,   
(0, + ).
′′
=
∞
x =
t / t
I

66.
2
,   
(0, + ).
=
=
∞
t
D x
e t
I