ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.929

° А. С. Ларионов




                ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
                ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
                УРАВНЕНИЙ¹




Приводятся достаточные условия существования положительных решений для некоторых классов дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Условия получены на основе редукции задачи Коши для данного дифференциального уравнения к уравнению с монотонным оператором.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом, монотонный оператор, положительное решение.


   Теоремы о дифференциальном и интегральном неравенствах играют важную роль при построении оценок решений уравнений [1, 2]. Утверждения о неравенствах доказываются на основе редукции исходного уравнения к эквивалентному в определенном смысле уравнению x = Ax с монотонным оператором A. Редукция к уравнению x = Ax проводится по схемам, предложенным Н.В. Азбелевым.
   Обозначим Lₚ [0,b], 1 6 p < ж — банахово пространство функций z : [0 ,b] ^ R¹, суммируемых на [0, b] со степенью p; L^ [0 ,b] — банахово пространство функций z : [0 ,b] ^ R¹, измеримых и ограниченных в существенном. Рассмотрим задачу Коши
                 m 1
  ⁽Lx⁾⁽t) = x⁽ t) - X bi ⁽t)x g. (t) = f ⁽t,xh i ⁽t), ...,xhₘ ₂ ⁽t)), t E [⁰ ,b ], (1)
                 i =1


x(0) = a, x(0) = в, а, в E R⁺,

(2)

где




у (¹ ’={y!r ⁽t⁾],

r (t) E [0 ,b], r (t) / [0, b]

в предположениях: функция f : [0, b] x Rm² ^ R¹ удовлетворяет условиям Каратеодори; функции bi : [0, b] ^ R¹ измеримы и ограничены в существенном; функции   gi, hj  : [0, b] ^ R¹ измеримы, gi(t) 6 t, hj(t) 6 t
почти всюду на [0, b], i = 1,..., m 1, j = 1,..., m2.

   Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 06-01-00744-а).