ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ДЛЯ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.929


© Е. В. Кукушкина




                ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
                ДЛЯ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
                ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ¹





Рассматривается линейная стационарная система функционально-разностных уравнений. В качестве аппроксимирующих конечномерных операторов рассматриваются отрезки представления Шмидта. Предлагается конструктивная процедура построения приближенных характеристических определителей.

Ключевые слова: линейные системы функционально-разностных уравнений, характеристические определители, конечномерные аппроксимации.


   Рассматривается линейная стационарная система функционально-разностных уравнений


               x (t)= f dy(d) x (t + d), t E R⁺ = (0, + ж), - —r


(1)

где x : [—r, + ж) ^ Rⁿ, матричная функция у имеет ограниченную вариацию на [—г, 0] , у (0) = у (—0) = 0.
   В функциональном пространстве состояний


   C = C ([—г, 0] , Rⁿ) = {x : x E C ([—r, 0] , Rⁿ) ,x(0) = J dy (d) x (d)}

система (1) порождает сильно непрерывную полугруппу с инфинитезимальным оператором А [1]. Пусть А о — регулярное значение последнего оператора, a R₀ = R(А₀,А) — значение его резольвенты. Оператор R₀ допускает непрерывное расширение на пространство L₂ ([—r, 0] , Cⁿ) и является вполне непрерывным.
   Оператор R₀ аппроксимируем, он допускает представление Шмидта

                               +Ж
R0 = ^Sk (-,<Pk) rk, k =1

где ^k, k > 1 — ортонормированная система собственных элементов оператора H, Sk, к > 1 — сингулярные числа оператора R₀, R₀ = UH —


   ¹Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 06-01-00399).