РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ


              ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА


2008. Вып.2

УДК 517.911


° Д.А. Короткий




                РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ





Рассматривается задача нахождения оптимального управления для системы с запаздыванием. С помощью принципа максимума задача сводится к системе опережающе-запаздывающего типа. В некоторых случаях оптимальное управление может быть выражено через решение этой системы и эффективно вычислено.

Ключевые слова: система с запаздыванием, управление, принцип максимума, сопряженная система, система опережающе-запаздывающего типа.

   Рассматривается следующая задача оптимального управления. Пусть задана управляемая система с запаздыванием


x(t) = f (t, x(t) ,x(t — t) ,u(t)), t E [tо ,d], x E Rⁿ


с некоторой заданной функцией f и заданной предысторией x (1₀ + s) = <р (tо + s), s E [—t, 0]. Множество допустимых управлений U состоит из функций, значения которых принадлежат некоторому множеству P С Rт. Требуется минимизировать интегральный функционал качества

J (u )= I F (t,x (t) ,u (t)) dt ^ min: u E U.
                      Jt 0

   Для поставленной задачи справедливо необходимое условие оптимальности в форме принципа максимума [1]: если u⁰( •) — оптимальное управление, x⁰(•) — оптимальная траектория, то

H(t, x⁰(t),x⁰(t — t),u⁰(t), ф(t)) = max H(t, x⁰(t), x⁰(t — t),v, ф(t)), v e p
H(t, x, y, u, ф) = фТf (t, x, y, u) — F(t, x, u),
ф(t) = G (t, ф(t),ф(t + t)), t E [10 ,d], ф(t) = 0, t > d,
       G = —фТ(t) fₓ(t, x⁰(t), x⁰(t — t), u⁰(t)) + Fx(t, x⁰(t), u⁰(t)) —
—фТ(t + t) fy(t + t, x⁰(t + t), x⁰(t), u⁰(t + t)).


   Объединив сопряженную систему с исходной, получим систему с опережением и запаздыванием. В некоторых случаях оптимальное управление можно выразить через решение этой системы. Приближенное решение системы [2, 3] даст некоторое приближение к оптимальному управлению.