Москва
ИНФРА-М
2016

МАТЕМАТИКА

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Министерство образования и науки
Российской Федерации
Казанский государственный технологический университет

Ю.М. ДАНИЛОВ, Л.Н. ЖУРБЕНКО, Г.А. НИКОНОВА, 
Н.В. НИКОНОВА, С.Н. НУРИЕВА

Под редакцией
Л.Н. Журбенко, Г.А. Никоновой

Допущено
Министерством образования и науки Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обучающихся
по техническим специальностям

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
     
М 34

М 34

©  Коллектив авторов, 2006

Подписано в печать 19.11.2015. 
Формат 60×90/16. Бумага офсетная. Печать цифровая.
Гарнитура Newton. Усл. печ. л. 31,0. Уч.-изд. л. 30,91.
Доп. тираж 300 экз. Заказ № 00000
ТК 73850-539549-260106

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru                 http://www.infra-m.ru

Математика: Учеб. пособие / Ю.М. Данилов, Л.Н. Журбенко, 
Г.А. Никонова, Н.В. Никонова, С.Н. Нуриева; Под. ред. Л.Н. Жур-
бенко, Г.А. Никоновой. – М.: ИНФРА-М, 2016. – 496 с. – (Высшее 
образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-010118-7 (print)
ISBN 978-5-16-102130-9 (online)

Учебное пособие для студентов технических высших учебных за-
ведений, обучающихся по программе бакалавров в соответствии с 
государственными образовательными стандартами высшего профес-
сионального образования.

 
УДК 51(075.8)
 
ББК 22.1я73

Р е ц е н з е н т ы:
др физ.мат. наук, проф., заведующий  кафедрой общей
математики КГУ  Н.Г. Гурьянов;
др физ.мат. наук, проф. кафедры высшей 
математики КГАСА  Б.А. Кац;
заслуженный работник высшего образования РФ, 
др физ.мат. наук, проф., заведующий кафедрой специальной 
математики КГТУ  К.Г. Гараев

ISBN 978-5-16-010118-7 (print)
ISBN 978-5-16-102130-9 (online)

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Оригинал-макет подготовлен в НИЦ ИНФРА-М

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

ПРЕДИСЛОВИЕ

В учебном пособии представлен материал, позволяющий сту-
денту получить тот объем знаний, который соответствует тре-
бованиям Государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования для бакалавров технического на-
правления.
Основной принцип, который использован авторами при напи-
сании учебного пособия, можно сформулировать так: учебное
пособие должно выступать в роли «организатора» систематичес-
кой познавательной деятельности  студента, «компаса в море»
учебной информации, накопленной человечеством.
При отборе материала для включения в учебное пособие авто-
ры придерживались условия минимальности объема при достаточ-
ности информации, содержащейся в нем. Весь материал разбит на
четыре части, 13 глав. Первые две части изучаются в течение пер-
вого года, третья и четвертая части — в течение второго года обу-
чения в вузе. Материал рассчитан на объем 250–300 аудиторных
часов. Авторы придерживаются принципов модульной технологии
обучения, главы являются теоретической частью обучающих мо-
дулей, а их разделы — подмодулями (законченными по своему со-
держанию информационными дозами). Каждый подмодуль снаб-
жен помещенным в его начале опорным конспектом, который от-
ражает в сжатой форме основной смысл подмодуля и содержит
необходимые сведения для практического применения материа-
ла подмодуля. Опорные конспекты позволяют получить целост-
ное представление о содержании всего модуля, если читатель воз-
вращается к ним после изучения соответствующего подмодуля и
затем всего модуля. Применение опорных конспектов позволило
также, по мнению авторов, более компактно и удобно для запо-
минания преподнести материал подмодулей. Предусмотрено рас-

ширение объема подмодулей за счет отсылок к доступным биб-
лиографическим источникам.
Основу учебного пособия составляет математический анализ
(главы 2—4, 6, 8, 10) и его прикладные вопросы (главы 7, 9, 11).
Первая глава посвящена линейной алгебре и аналитической гео-
метрии и может излагаться в первом семестре параллельно диф-
ференциальному исчислению. Понятия комплексных чисел,
функций комплексных переменных даются в главе 5 второй час-
ти перед изложением интегрального исчисления. Теория вероят-
ностей и математическая статистика содержатся в главе 12 четвер-
той части.
Авторы при изложении материала придерживались дидактичес-
кого принципа «от простого к сложному». Так, в подмодуле 2 изу-
чение векторов начинается с пространств R2, R3, с которыми сту-
денты знакомились в школе, а затем переходит к пространству Rn.
Понятия прямой и плоскости (подмодуль 3) также переносятся на
пространство Rn. Следует отметить, что аналитическая геометрия
дается как приложение векторной алгебры, и прямая на плоскости,
в основном, — как частный случай прямой и плоскости в простран-
стве. Это позволило объединить данные подмодули в один модуль.
Изложение дифференциального исчисления (главы 3, 4), интег-
рального исчисления (главы 6, 8, 9) и дифференциальных уравне-
ний (главы 7, 11) построено на переходе от одной переменной к
нескольким переменным. В теории вероятностей (глава 12) рассмат-
риваются сначала одномерные, а затем многомерные случайные
величины. В главе 6 после изучения интеграла Римана приводятся
его обобщения — интегралы Римана–Стилтьеса и Лебега.
Авторы стремились вводить математические понятия не фор-
мально, а предварительно рассматривая приводящие к ним физи-
ческие и геометрические задачи или давая приложения введенных
понятий. Рассматривается применение математических методов в
математическом моделировании.
Пособие содержит необходимое количество задач и упражне-
ний, позволяющих читателю получить навыки правильного ис-
пользования изученного материала и иллюстрирующих связь ма-
тематики с другими дисциплинами.
В подборе материала главы 12 принимал участие доцент
Н.К. Нуриев, в подготовке учебного пособия к изданию — доцент
О.М. Дегтярева. Авторы выражают им свою глубокую благодар-
ность.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Ы
—
равносильность (эквивалентность)
Щ
—
и (конъюнкция)
Ъ
—
или (дизъюнкция)
"
—
любой
$
—
существует
$!
—
существует и единственно
$
—
не существует
Ю
—
следует
:
—
такое что
®
—
стремится выполнять равенство
--
—
параллельны и одинаково направлены
-Ї
—
параллельны и противоположно направлены
^
—
перпендикулярность
D, det —
определитель
Ґ
—
бесконечность, бесконечное множество
N, Z, Q, R, C — множества натуральных, целых, рациональных,
действительных, комплексных чисел соответственно
Rn
—
n-мерное векторное пространство с положительными
значениями элементов
R+
—
множество неотрицательных действительных чисел
є
—
тождественно
~
—
эквивалентно
М
—
включает
Н
—
включает или равно
О
—
принадлежит
П
—
не принадлежит
Ж
—
пустое множество
И
—
объединение множеств
З
—
пересечение множеств
\
—
разность множеств
—
отображение множеств, соответствие
—
взаимно-однозначное соответствие

®
g
g
«
g
g

О: ...
—
определение
Т: ...n —
теорема
Л: ...u —
лемма
q
—
начало доказательства
x
—
конец доказательства
—
начало решения
—
конец решения
т.
—
точка
гмт
—
геометрическое место точек
10
—
свойство 1
[ ]
—
целая часть числа
{ }
—
дробная часть числа, элементы множества
неопределенность
—
все значения от 1 до n
б.м.
—
бесконечно малая функция
б.б.
—
бесконечно большая функция
э.
—
экстремум
a = о(b)—
б.м. более высокого порядка малости по сравнению с b
D( f )
—
область определения функции
E( f )
—
область допустимых значений функции

Ud(a)
—
дельта-окрестность т. а, 
d
d
a = 
a \ a
U ( ) 
U ( ) { }

C[X]
—
класс функций, непрерывных на множестве Х

C[a,b]
—
класс функций, непрерывных на отрезке 
%
a b
[ , ]

М
—
наибольшее значение функции на множестве
m
—
наименьшее значение функции на множестве
f°j
—
суперпозиция функций f и j
т.р.
—
точка разрыва
т.п.
—
точка перегиба

Z
—
возрастает

]
—
убывает
З
—
выпуклый вверх (выпуклый)
И
—
выпуклый вниз (вогнутый)
l
—
диаметр ограниченной фигуры (тела)
Re
—
действительная часть числа
S
—
 сумма
!
—
факториал
grad U
—
градиент скалярного поля U
div ra
—
дивергенция векторного поля ra

n
1,

$

Излагаются основные вопросы теории определителей, мат-
риц, систем линейных уравнений, векторной алгебры, линейных
операторов, квадратичных форм. Включены основные сведения
о прямой и плоскости, кривых и поверхностях II порядка. Из-
лагается дифференциальное исчисление функций одной и не-
скольких переменных.

Глава 1

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Опорный конспект № 1

1.1. Определители, их свойства

11
12

21
22

a
a
A
a
a
= ж
ц
з
ч
и
ш  — квадратная матрица II порядка

11
12
11 22
21 12
21
22
det
a
a
A
a a
a a
a
a
D є
=
=
-
 — определитель II порядка

11
12
13
22
23
21
23
21
22
21
22
23
11
12
13
32
33
31
33
31
32
31
32
33

a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

D =
=
-
+
 —

определитель III порядка

Часть 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ
АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ

Свойства:
10.
Транспонирование
20.
Разложение по "  ряду: det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ai3Ai3,

Aij = (-1)i + j Mij — алгебраическое дополнение;
Mij — минор элемента aij
30.
Перестановка двух строк (столбцов) Ю смена знака D
40.
Условия равенства D = 0
50.
Вынесение общего множителя ряда за знак D
60.
Прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца),
умноженной на число k № 0, не меняет D

1.2. Системы линейных уравнений. Методы Гаусса
и Крамера

1
, 
1,

n

ij
j
i
j
a x
b
i
m

=
=
=
е

совместная
несовместная

определенная
неопределенная
($! решение)
(Ґ много решений)

Метод Гаусса — последовательное исключение неизвестных
Расширенная матрица

(
) =

ж
ц
з
ч
з
ч
з
ч
з
ч
з
ч
и
ш

11
12
1
1

21
22
2
2

1
2

...

...

...
...
...
...
...

...

n

n

m
m
mn
m

a
a
a
b

a
a
a
b
A B

a
a
a
b

|

~ матрице ступенчатого вида,

число ее ненулевых строк = rаng(AЅB).

Формулы Крамера:   m = n,

D
D є
=
№
=
=
D

11
12
1

21
22
2

1
2

...

...
det 
0,
,
1,
...
...
...
...

...

n

j
n
j

n
n
nn

a
a
a

a
a
a
A
x
j
n

a
a
a

Dj получается из D заменой j-го столбца столбцом свободных
членов.

1.3. Действия над матрицами. Матричный способ решения
СЛАУ

(
),
(
),
1,
,
1, ,
ij
ij
ij
ij
A
a
B
b
i
m
j
n
A
B
a
b
=
=
=
=
=
Ы
=

Сложение матриц:  С = А + В = (аij + bij)
Умножение матрицы на число m:  В = mА = (m аij)
Умножение матриц:  А — размерности m ґ p, В — размернос-
ти p ґ n

1 1
2 2
(
...
),
i
j
i
j
ip pj
C
A B
a b
a b
a b
=
Ч
=
+
+
+

1,
,
1, ,
(
)
i
m
j
n
AB
BA
=
=
№

=
=
Ю
=
=
ж
ц
з
ч
з
ч
з
ч
и
ш

100...0

 = 010...0 ,
(
), ,
1,

000...1

ij
E
A
a
i j
n
AE
EA
A

1
1
1,
— обратная к
(
),
,
ij
A
j
n
AA
E
A
a
i
-
-
=
Ы
=
=

Т:   
1
1,
(
),
,
,
det
0
ij
j
n
A
a
i
A
A-
=
=
№
Ы $

- =

ж
ц
з
ч
з
ч
з
ч
з
ч
з
ч
и
ш

11
21
1

12
22
2
1

1
2

...

...
1
;
...
...
...
...
det

...

n

n

n
n
nn

A
A
A

A
A
A
A
A

A
A
A

Aij — алгебраическое дополнение аij n

Матричная форма записи СЛАУ:

,
(
),
,
1, ,
ij
AX
B
A
a
i j
n
=
=
=

-
=
=
№
Ю
=
1
(
),
(
) — матрицы-столбцы,
det
0
ij
j
Х
x
B
b
A
X
A
B

1.1. Определители, их свойства

О: Квадратной матрицей n-го порядка называется таблица чи-
сел

11
12
1

21
22
2

1
2

...

...

...
...
...
...

...

.

n

n

n
n
nn

a
a
a

a
a
a
A

a
a
a

ж
ц
з
ч
з
ч
= з
ч
з
ч
з
ч
и
ш

Числа (аij), 
1,
, j
n
i
=
 — элементы матрицы; i — номер стро-

ки; j — номер столбца.
Определителем (детерминантом) II порядка, соответствую-
щим квадратной матрице II порядка, называется число,
обозначаемое символом

11
12

21
22
det
a
a
A
a
a
D є
=

и вычисляемое по правилу  D = a11 a22 - a21 a12.
Определителем III порядка, соответствующим квадратной
матрице III порядка, называется число, вычисляемое по
правилу

11
12
13

21
22
23

31
32
33

a
a
a
a
a
a

a
a
a

D =
=

= 
22
23
21
23
21
22
11
12
13
32
33
31
33
31
32
.
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
-
+
(1.1)

Примеры:

1)  

2
1
2 5
( 1) 3
13.
3
5

-
=
Ч
- -
Ч
=