Математические методы в психологии

Федеральная служба исполнения наказаний 
Вологодский институт права и экономики 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Д. В. Сергеева, Е. Е. Филипова, И. Н. Слободская 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ПСИХОЛОГИИ 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Вологда 
2016 

УДК 159.9.075:519 
ББК 22.1 
       С32 
 
Рецензенты: 
В. В. Мухин – проф. каф. мат. и программного обеспечения ЭВМ  
Череповецкого гос. ун-та; д-р физ.-мат. наук; 
С. А. Прокопьева – ст. преподаватель каф. общ. психологии  
ВИПЭ ФСИН России, канд. псих. наук 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  Сергеева, Д. В. 
С32         Математические методы в психологии : учебное пособие / Сергеева Д. В., 
Филипова Е. Е., Слободская И. Н. ; Федер. служба исполнения наказаний, Вологод. ин-т права и экономики. – Вологда : ВИПЭ ФСИН России, 2016. – 83 с. ; ил. 
ISBN 978-5-94991-364-2 
 
 Учебное пособие содержит основной теоретический материал по дисциплине «Математические методы в психологии» для специальности «Психология 
служебной деятельности» в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом высшего образования.  
 Предназначено для курсантов и слушателей, обучающихся по специальности «Психология служебной деятельности», направлению «Психология» и слушателей факультета повышения квалификации, обучающихся по дополнительной профессиональной образовательной программе профессиональной переподготовки, практических психологов уголовно-исполнительной системы.  
 
УДК 159.9.075:519 
ББК 22.1 
 
 
 
 
 
 
             
ISBN 978-5-94991-364-2                       © ФКОУ ВО «Вологодский институт права и экономики 
                                                                    Федеральной службы исполнения наказаний», 2016 
                                                      © Сергеева Д. В., Филипова Е. Е., Слободская И. Н., текст, 2016 

СОДЕРЖАНИЕ 
 

ВВЕДЕНИЕ .....................................................................................................................................................4 

РАЗДЕЛ 1. Введение. Измерение в психологии.   
Основы математической статистики............................................................................................................5 
1.1. Применение математических методов в психологии.....................................................................5 
1.2. Измерительные шкалы .....................................................................................................................6 
1.3. Выборочный метод............................................................................................................................9 

РАЗДЕЛ 2. Случайные величины.  Распределения случайных величин................................................15 
2.1. Понятие дискретной случайной величины, закон распределения  
дискретной случайной величины ..........................................................................................................15 
2.2. Числовые характеристики дискретной случайной величины ......................................................15 
2.3. Основные законы распределений  дискретных случайных величин ..........................................16 
2.4. Понятие непрерывной случайной величины,  
интегральная функция распределения случайной величины ............................................................17 
2.5. Дифференциальная функция распределения   
непрерывной случайной величины.......................................................................................................18 
2.6. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.....................................................19 
2.7. Основные распределения непрерывных случайных величин.....................................................19 

РАЗДЕЛ 3. Статистика оценки  параметров распределения ...................................................................23 
3.1. Группировка данных. Вариационный ряд......................................................................................23 
3.2. Расчет выборочных числовых характеристик...............................................................................27 
3.3. Оценки параметров генеральной совокупности ...........................................................................28 

РАЗДЕЛ 4. Статистическая проверка  статистических гипотез.  
Исследование статистических зависимостей ...........................................................................................32 
4.1. Статистическая гипотеза и суть ее проверки................................................................................32 
4.2. Статистический критерий ...............................................................................................................33 

4.3. Критерий согласия 
2
χ  Пирсона .....................................................................................................33 

РАЗДЕЛ 5. Корреляционный анализ. Ранговая корреляция....................................................................37 
5.1. Понятие корреляционной зависимости. Виды связи....................................................................37 
5.2. Коэффициент корреляции ..............................................................................................................38 

РАЗДЕЛ 6. Регрессионный анализ.............................................................................................................46 
6.1. Регрессионные модели как инструмент анализа  
и прогнозирования психологических явлений......................................................................................46 
6.2. Парная линейная регрессия...........................................................................................................46 

РАЗДЕЛ 7. Дисперсионный анализ ............................................................................................................54 
7.1. Понятие и основная идея дисперсионного анализа.....................................................................54 
7.2. Случай одинакового числа испытаний в группах..........................................................................56 
7.3. Случай разного числа испытаний в группах..................................................................................58 

РАЗДЕЛ 8. Факторный анализ ....................................................................................................................64 
8.1. Понятие, цели и методы факторного анализа..............................................................................64 
8.2. Методика факторного анализа.......................................................................................................66 

РАЗДЕЛ 9. Кластерный анализ...................................................................................................................73 
9.1. Понятие и основная идея кластерного анализа ...........................................................................73 
9.2. Меры сходства.................................................................................................................................74 
9.3. Методы кластерного анализа.........................................................................................................75 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ..............................................................................................................................................82 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ............................................................................................83 

ВВЕДЕНИЕ 

Учебное пособие по дисциплине «Математические методы в психологии» подготовлено в соответствии с требованиями федерального государственного образовательного стандарта для специальности 37.05.02 – «Психология служебной деятельности» и направления 37.03.01 − «Психология».  
Цель данного пособия – помощь приобрести курсантам и слушателям 
теоретических знаний, необходимых для осуществления своей служебной 
деятельности на высоком профессиональном уровне. 
Учебное пособие предназначено для формирования у обучающихся 
знания математико-статистических методов и процедур, используемых для 
анализа и обработки результатов психологических исследований, умения 
получать, обрабатывать и интерпретировать данные исследований с помощью математико-статистического аппарата, владения навыками использования математико-статистических методов при обработке и анализе результатов психологических исследований.  
Данное пособие содержит основные теоретические сведения и примеры по следующим разделам: измерение в психологии, основы математической статистики; случайные величины, распределения случайных величин; 
статистика оценки параметров распределения; статистическая проверка 
статистических гипотез, исследование статистических зависимостей; корреляционный анализ, ранговая корреляция; регрессионный анализ; дисперсионный анализ; факторный анализ; кластерный анализ.  
Ознакомившись с данным учебным пособием, курсант (слушатель) 
будет иметь необходимый запас знаний для работы на практических занятиях и решения практических задач психолога по анализу и обработке статистической информации. Отметим, что в данном пособии рассматривается весьма ограниченное количество математических методов в психологии, 
но достаточно подробно, и к каждому методу имеется четкий алгоритм 
реализации. 
Курс «Математические методы в психологии» вместе с курсами «Математика» и «Информатика и информационные технологии в психологии» 
является основой изучения специальных курсов, таких как «Экспериментальная психология», «Психодиагностика» и «Общий психологический 
практикум». 

РАЗДЕЛ 1. Введение. Измерение в психологии.  
Основы математической статистики 

1.1. Применение математических методов в психологии 

Точной даты начала пути математизации, пожалуй, не знает ни одна 
наука. Однако для психологии в качестве условной даты можно принять  
18 апреля 1822 г. Именно тогда в Королевском немецком научном обществе Иоганн Фридрих Гербарт прочел доклад «О возможности и необходимости применять в психологии математику», в котором выразил свое мнение о связи психологии и математики: «Всякая теория, которая желает 
быть согласованной с опытом, прежде всего должна быть продолжена до 
тех пор, пока не примет количественных определений, которые являются в 
опыте или лежат в его основании. Не достигнув этого пункта, она висит в 
воздухе, подвергаясь всякому ветру сомнений и будучи неспособной вступить в связь с другими уже окрепшими воззрениями». 
Значение математических методов можно понять, сопоставляя обыденное и научное познание. Научное познание добавляет к инструменту 
обыденного познания – здравому смыслу – ряд дополнительных процедур, 
обеспечивая не только убедительность, но и объективность получаемых 
знаний. Научное познание обязательно предполагает применение математических методов, которые можно представить в виде трех классов моделей: измерения, описания и статистические выводы.  
Применение математических методов в психологии можно условно 
классифицировать по решаемым задачам: обработка результатов тестирования; задачи разработки и научного обоснования новых тестов, новых методик психодиагностики, в том числе и компьютерных; научноисследовательская деятельность. 
Многие свойства человека измеряются в психологии и медицине традиционными методами (сравнение с эталоном). Это касается и тех методик 
изучения психических свойств, которые используют измерение времени. 
Значительное число психодиагностических методик используют измерения совсем другого рода, такие, для которых нет и не может быть эталона. 
Данные измерения следуют схеме: разработка нового теста, в процессе которой появляется шкала измерения (как правило, отображение качественного признака, свойства в числовое множество), на большом массиве реципиентов определяется значение числа этой шкалы, отвечающего некоторому уровню качественного признака, которое признается за норму. Затем 
изучаются иные свойства реципиентов, отклоняющихся по тестовому при

знаку от принятой нормы, и делается попытка интерпретации этих отклонений в содержательной (в смысле психологии) форме. Этап разработки 
часто занимает несколько десятилетий (например, опросник «Шестнадцать 
личностных факторов»). На этапе разработки широко используются методы математической статистики. 

1.2. Измерительные шкалы 

Любой вид измерения предполагает наличие единиц измерения. Еди
ница измерения это та «измерительная палочка», как говорил С. Стивенc, 
которая является условным эталоном для осуществления тех или иных измерительных процедур. В естественных науках и технике существуют 
стандартные единицы измерения, например градус, метр, ампер и т.д. 

Психологические переменные за единичными исключениями не име
ют собственных измерительных единиц. Поэтому в большинстве случаев 
значение психологического признака определяется при помощи специальных измерительных шкал. 

Согласно С. Стивенсу (1951), существует четыре типа измерительных 

шкал (или способов измерения): 

1) номинативная, номинальная или шкала наименований; 
2) порядковая, ординарная или ранговая шкала; 
3) интервальная или шкала равных интервалов; 
4) шкала равных отношений или шкала отношений. 
Все находящиеся в одной строчке наименования являются синонимами. 
Процесс присвоения количественных (числовых) значений имеющей
ся у исследователя информации называется кодированием. Иными словами, кодирование – это такая операция, с помощью которой экспериментальным данным придается форма числового сообщения (кода). 

Применение процедуры измерения возможно только четырьмя выше
перечисленными способами. Причем каждая измерительная шкала имеет 
собственную, отличную от других форму числового представления или 
кода. Поэтому закодированные признаки изучаемого явления, измеренные 
по одной из названных шкал, фиксируются в строго определенной числовой системе, определяемой особенностями используемой шкалы. 

Измерения, осуществляемые с помощью двух первых шкал, считают
ся качественными, а осуществляемые с помощью двух последних шкал – 
количественными. 

1. Номинативная, номинальная или шкала наименований. 
Это шкала, классифицирующая по названию (от лат. nomen – имя, на
звание). Измерение в номинативной шкале состоит в присваивании како

му-либо свойству или признаку определенного обозначения или символа 
(численного буквенного и т.п.). По сути, процедура измерения сводится к 
классификации свойств, группировке объектов, объединению их в классы, 
группы при условии, что объекты, принадлежащие к одному классу, идентичны (или аналогичны) друг другу в отношении какого-либо признака 
или свойства, тогда как объекты, различающиеся по этому признаку, попадают в разные классы. 

Иными словами, при измерениях по этой шкале осуществляется клас
сификация или распределение объектов (например, особенностей личности) на непересекающиеся классы, группы. Таких непересекающихся классов может быть несколько.  

Примеры номинативных признаков: 
– простейшая номинативная шкала соответствует признаку (свойст
ву), для которого можно определить только его наличие – есть или нет. Такая шкала называется дихотомической, допускает кодирование двумя символами или цифрами (например, голосование: «за» – 1, «против» – 0). Признак, измеренный в дихотомической шкале, называется альтернативным;  

– «тип темперамента» (сангвиник – 1, холерик – 2, флегматик – 3, ме
ланхолик – 4); 

– «пол» (мужской – 1 и женский – 0); 
– «национальность» (русский – 1, белорус – 2 и т.д.). 
Номинативная шкала определяет, что разные свойства или признаки 

качественно отличаются друг от друга, но не подразумевает каких-либо 
количественных операций с ними. Так, о признаках, измеренных по этой 
шкале, нельзя сказать, что какой-то из них больше, а какой-то меньше, какой-то лучше, а какой-то хуже. Можно лишь утверждать, что признаки, 
попавшие в разные группы (классы), различны. Последнее и характеризует 
данную шкалу как качественную. С точки зрения применимости математических операций возможен подсчет количеств в группах в целых числах 
или в долях от общего числа, выраженных в числах или процентах. Ни о 
каких вычислениях средних не может быть и речи. 

2. Порядковая, ординарная или ранговая шкала. 
Измерение по этой шкале расчленяет всю совокупность измеренных 

признаков на такие множества, которые связаны между собой отношениями типа «больше – меньше», «выше – ниже», «сильнее – слабее» и т.п. Если в предыдущей шкале было не существенно, в каком порядке располагаются измеренные признаки, то в порядковой шкале все признаки располагаются по рангу – от самого большего (высокого, сильного, умного и 
т.п.) до самого маленького (низкого, слабого, глупого и т.п.) или наоборот. 

Примеры порядковой шкалы: 

– «школьные оценки» (от 5 до 2 баллов); 
– «реакция» (положительная, нейтральная, отрицательная); 
– «годность к службе» (годен, годен с незначительными ограничения
ми, годен с ограничениями, не годен); 

– «судейство в некоторых видах спорта» (бегун А – ранг 1 (самый бы
стрый), бегун В – ранг 2, бегун С – ранг 3, бегун D – ранг 4). 

В порядковой (ранговой) шкале должно быть не менее трех классов 

(групп). Мы не знаем истинного расстояния между классами, знаем лишь, 
что они образуют последовательность. От классов всегда можно перейти к 
числам (например, 1 – низший класс, 2 – средний класс, 3 – высший класс). 

При кодировании порядковых переменных им можно приписывать 

любые цифры (коды), но в этих кодах (цифрах) обязательно должен сохраняться порядок, иначе говоря, каждая последующая цифра должна быть 
больше (или меньше) предыдущей. 

Как и в номинальной шкале, возможен подсчет количеств в группах в 

целых числах или в долях от общего числа, выраженных в числах или процентах. И снова нельзя вычислить средние значения. Установление порядка позволяет применять для таких измерений ранжирование и все методы 
вычислений с применением рангов.  

3. Интервальная или шкала равных интервалов. 
Это шкала, классифицирующая по принципу «больше на определен
ное количество единиц – меньше на определенное количество единиц». 
Каждое из возможных значений признака отстоит от другого на равном 
расстоянии. 

В шкале интервалов, или интервальной шкале, каждое из возможных 

значений измеренных величин отстоит от ближайшего на равном расстоянии. Главное понятие этой шкалы – интервал, который можно определить 
как долю или часть измеряемого свойства между двумя соседними позициями на шкале. Размер интервала – величина фиксированная и постоянная на всех участках шкалы. Для измерения посредством шкалы интервалов устанавливаются специальные единицы измерения. При работе с этой 
шкалой измеряемому свойству или предмету присваивается число, равное 
количеству единиц измерения, эквивалентное количеству имеющегося 
свойства. 

Важной особенностью шкалы интервалов является то, что у нее нет 

естественной точки отсчета (нуль условен и не указывает на отсутствие 
измеряемого свойства). Эта шкала имеет количественную меру, то есть определенные количественные пределы существования в данном качестве. 

Примеры интервальных шкал: 
– «шкала IQ»; 

– «шкала температур по Цельсию». 
Только измерение по строго стандартизированной тестовой методике 

при условии того, что распределение значений в репрезентативной выборке достаточно близко к нормальному, может считаться измерением в интервальной шкале.  

Принципиально важным является и то, что к экспериментальным дан
ным, полученным в этой шкале, применимо достаточно большое число 
статистических методов. 

4. Шкала равных отношений или шкала отношений. 
Это шкала, классифицирующая объекты или субъекты пропорцио
нально степени выраженности измеряемого свойства. 

Особенностью этой шкалы является наличие твердо фиксированного 

нуля, который означает полное отсутствие какого-либо свойства или признака. Шакала отношений является наиболее информативной, допускающей любые математические операции и использование разнообразных статистических методов. 

Шкала отношений по сути очень близка интервальной, поскольку ес
ли строго фиксировать начало отсчета, то любая интервальная шкала превращается в шкалу отношений. 

Примеры шкалы отношений: 
– «шкала расстояний»; 
– «шкала роста»; 
– «шкала времени выполнения задачи»; 
– «шкала температур по Кельвину»; 
– «шкалы порогов абсолютной чувствительности». 
Именно в шкале отношений производятся точные и сверхточные из
мерения в таких науках, как физика, химия, микробиология и др. Измерение по шкале отношений производятся и в близких к психологии науках, 
таких как психофизика, психофизиология, психогенетика. 

1.3. Выборочный метод 

Для того чтобы получить наиболее полную информацию об изучаемом явлении, необходимо анализировать результаты не отдельных наблюдений, а их множества. Результаты отдельных наблюдений могут оказаться 
случайными, неполно выражать сущность изучаемого явления. Очевидно, 
что наблюдаемые объекты обладают множеством признаков, однако, поставив своей задачей изучение лишь одного признака, мы тем самым полагаем, что в отношении остальных объекты равноправны, то есть множество объектов однородно. 

Некоторое множество относительно однородных объектов, объединяемых по тому или иному признаку для совместного изучения, называется статистической совокупностью, а отдельные объекты статистической 
совокупности – членами совокупности.  
Первичным результатом статистического исследования является простой статистический ряд. Он представляет собой перечень членов совокупности и соответствующих им значений признака.  
Вся подлежащая изучению совокупность однородных объектов называется генеральной совокупностью. Множество объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью или выборкой. Число объектов в генеральной совокупности или в 
выборке называют их объемами (N – объем генеральной совокупности, n – 
объем выборки). 
Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно 
судить об интересующем нас признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы свойства объектов выборки правильно отражали свойства 
объектов генеральной совокупности и структуру генеральной совокупности, то есть выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Другими словами, выборка должна быть репрезентативной (представительной). Репрезентативность выборки достигается, если ее производят случайным образом (то есть все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку). 
В достижении репрезентативности выборки заключается суть выборочного метода. 
 
Одна из основных задач психологического статистического исследования – сделать вывод об интересующем признаке генеральной совокупности по 
данным выборки. 

 
Это приводит нас к пониманию того обстоятельства, что одним из основных методов психологического статистического исследования является 
выборочный метод. 
Выборочный метод – это статистический метод исследования общих 
свойств генеральной совокупности каких-либо объектов на основе изучения свойств лишь части этих объектов, взятых в выборку. 
 

Схема 1. Классификации выборочного наблюдения 

 

По способу отбора 

Собственно 
случайная 
 
Случайный 
выбор 
элементов 
без 
разделения на 
части 
или 
группы 

Механическая 
 
Отбор элементов 
через определенный интервал 
 
 

Типическая 
 
Отбор элементов из типических групп, на 
которые по некоторому признаку разбивается 
генеральная 
совокупность 

Серийная 
 
Генеральную совокупность разбивают на некоторое 
количество непересекающихся серий 
и по схеме случайной выборки контролируют 
все 
элементы 
только 
отобранных серий 

Повторный отбор 
Данный вид отбора предполагает, что каждый элемент, 
случайно отобранный в выборку 
и 
обследованный, 
возвращается в общую совокупность и может быть 
повторно отобран 

По методу отбора 

Бесповторный отбор 
Данный вид отбора предполагает, что отобранный элемент 
не возвращается в общую совокупность