Математические методы в психологии

МатеМатические 
Методы  
в психологии

Учебное пособие

А.и. новиков
н.в. новиковА

Рекомендовано
федеральным государственным бюджетным образовательным учреждением  
высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский 
государственный университет» в качестве учебного пособия  
по дисциплине «Математические методы в психологии»  
для студентов высших учебных заведений, обучающихся  
по направлению подготовки 37.03.01 (030300.62) «Психология»

Москва 
ИНФРА-М 
2015

Н73

ISBN 978-5-16-009891-3 (print) 
ISBN 978-5-16-101461-5 (online)
© Новиков А.И., Новикова Н.В., 2015

Р е ц е н з е н т ы:
Е.А. Певцова — д-р пед. наук, проректор по научной работе Российского университета 
кооперации;
М.И. Кондрашкина — канд. биол. наук, доцент МГУ

УДК 159.9(075.8) 
ББК 88я73 
 
Н73

Новиков А.И., Новикова Н.В.
Математические методы в психологии: Учеб. пособие. — М.: 
ИНФРА-М, 2015. — 256 с. + Доп. материалы [Электронный ресурс; 
Режим доступа http://www.znanium.com]. — (Высшее образование: 
Бакалавриат). — www.dx.doi.org /10.12737/11159.

ISBN 978-5-16-009891-3 (print) 
ISBN 978-5-16-101461-5 (online)

Рассмотрены необходимые математические методы и подходы для 
изучения и практического применения в психологии. Приведены типичные 
примеры, а также задания, позволяющие освоить простейшие вычислительные процедуры статистической обработки данных.
Параллельно с ручной обработкой данных представлена обработка с 
использованием MS Excel и SPSS.
Для студентов вузов, обучающихся по направлению подготовки 37.03.01 
(030300.62) «Психология», а также может быть полезно аспирантам и 
специалистам, ориентированным на прикладные задачи в психологии.

ББК 88я73

Материалы, отмеченные знаком 
, доступны в электроннобиблиотечной системе znanium  (www.znanium.com)

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

ВВедение

Учебное пособие «Математические методы в психологии» соот
ветствует Федеральным государственным общеобразовательным 
стандартам по направлению подготовки 030300.62 «Психология» 
(квалификация «бакалавр»), предназначено для самостоятельной 
работы студентов и аспирантов, ориентированных на прикладные 
задачи психологии.

Применение математических методов в психологии позволяет 

устанавливать количественные связи между психологическими характеристиками и формировать психологические законы, получать 
новые знания о психологических процессах и более глубоко проникать в их суть.

Обработка данных с использованием популярного в психологии 

статистического пакета SPSS позволит студентам соотносить задачи, 
сформулированные психологами, со статистическими процедурами 
и на достаточно глубоком уровне освоить компьютерный анализ данных.

Основные категории и понятия в психологии

Математические методы в психологии — это раздел теоретической 

психологии, использующий для построения теорий и моделей математический аппарат.

Объект математической психологии — естественные системы, 

обладающие психическими свойствами, содержательные психологические теории и математические модели таких систем.

Предмет — разработка и применение формального аппарата для 

адекватного моделирования систем, обладающих психическими 
свойствами.

Метод — математическое моделирование.
В основе предмета «Математические методы в психологии» лежит 

математическая статистика — наука о случайных явлениях, включающая описание случайных явлений, проверку гипотез, изучение 
причинных зависимостей.

Признак — характерное свойство изучаемого явления, отличаю
щее его от других явлений. Например, признаками являются тип 
человеческой анатомии, темперамент, диагноз психических заболеваний, время решения задач, число допущенных ошибок, уровень 
тревожности, показатель интеллектуальной лабильности, показатель 

социометрического статуса и др. Признаки — это измеряемые психологические явления.

Переменная — это то, что можно измерять, контролировать или, 

чем можно манипулировать в исследованиях. Иными словами, переменная — это то, что варьируется, изменяется, а не является постоянным. Понятия признака и переменной используют как взаимозаменяемые.

Показатель (уровень или наблюдаемое значение) — это количе
ственная характеристика измеряемого психологического явления. 
Например, показатель вербального интеллекта. Понятие показатель 
указывает на то, что признак может быть измерен количественно, 
так как применимы определения высокий или низкий, например, высокий уровень интеллекта, низкие показатели тревожности и др.

Психологические переменные — случайные величины, поскольку 

заранее неизвестно, какие именно значения они примут.

По форме выражения признаки бывают:

• качественные, не имеющие числового выражения (профессия, 

пол);

• количественные, если их значения выражаются числовыми зна
чениями (возраст, стаж работы);

• порядковые, занимающие промежуточные положения (со
стояние больного). Их значения упорядочены, но не могут быть 
с уверенностью измерены и сопоставлены количественно.
Количественные признаки подразделяют на:

• дискретные, принимающие отдельные, изолированные друг от 

друга значения (число членов семьи);

• непрерывные, принимающие любые действительные значения 

(возраст).
Качественные признаки могут быть только дискретными.
Признаки — случайные величины и обозначаются прописными 

буквами латинского алфавита, например, Х. Значение признака отдельной i-й единицы явления называют индивидуальным значением и 
обозначают строчной буквой хi (число).

Вариация — это различия в значениях признака отдельных единиц 

совокупности. Вариация возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совместным влиянием 
разнообразных факторов (условий), по-разному сочетающихся в 
каждом отдельном случае. Например, успеваемость отдельного студента зависит от затрат времени на подготовку к занятиям, способностей к обучению, возраста и т.п. Наличие вариации является основной предпосылкой статистического исследования.

Статистическая совокупность — множество единиц изучаемого 

явления, объединенных в соответствии с задачей исследования относительно некоторого признака, характеризующего это явление. 

Например, по признаку «диагноз психических заболеваний» можно 
образовать совокупность людей с психическими отклонениями.

В статистике выделяют генеральную и выборочную совокупности.
Генеральная совокупность — вся подлежащая изучению совокуп
ность по интересующему признаку.

Выборочная совокупность (выборка) — это множество наблюдений, 

составляющих лишь часть генеральной совокупности. Свойства генеральной совокупности неизвестны и вывод об их значении основывается на данных выборочной совокупности. Для того, чтобы по 
выборке можно было адекватно судить о генеральной совокупности, 
она должна быть репрезентативной (представительной).

Репрезентативность выборки — это способность выборки пред
ставлять изучаемые явления достаточно полно, с точки зрения их 
изменчивости в генеральной совокупности. Репрезентативность выборки обеспечивает объем выборки, однородность и случайность 
отбора ее элементов.

Ошибка выборки (ошибка репрезентативности) — это разница 

между значением показателя, полученного по выборке, и генеральным показателем.

Две выборки называют зависимыми (связными), если каждому зна
чению одной выборки закономерным и однозначным способом поставлено в соответствие ровно одно значение другой выборки. Чаще 
всего зависимые выборки возникают, когда измерение проводится 
для двух моментов времени. К зависимым выборкам относят результаты одной и той же группы испытуемых до и после воздействия 
фактора.

Если закономерное и однозначное соответствие между выбор
ками невозможно, то выборки называют независимыми (несвязными). 
Такие выборки получаются в эксперименте независимо друг от друга, 
содержат разные наблюдения, например, относящие к различным 
респондентам. К независимым выборкам относятся результаты исследования различных групп испытуемых.

Наиболее часто в психологии выборочные данные представляют 

в виде статистического ряда. Обозначим признак совокупности через 
Х (случайная величина), а его индивидуальные значения для отдельных единиц совокупности через х1, х2,…, xn. Представление Х: х1, 
х2,…, xn образует несгруппированные данные (первичные результаты 
измерения). Если признак Х — количественный, то х1, х2,…, xn — 
числа. Например, пусть получены следующие количественные данные:

5
7
3
9
9
5
7
5
9
5

7
10
4
7
5
7
5
7
5
4

Проведем группировку первичных результатов измерения. Груп
пировка состоит в объединении данных с одинаковыми или близкими значениями признака в группы (классы) и подсчете частоты
каждого класса. Для осуществления группировки упорядочим несгруппированные данные, т.е. расположим их в возрастающем порядке. В результате получим ранжированный ряд данных: 3, 4, 4, 5, 5, 
5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 9, 9, 9, 10.

Некоторые данные принимают одни и те же значения, причем 

одни значения встречаются чаще, другие реже.

Вариантами называют различные значения признака, встреча
ющиеся в совокупности, т.е. варианты: 3, 4, 5, 7, 9, 10. Подсчитаем 
частоту каждого варианта в совокупности.

Частотой f варианта называют число повторений отдельного ва
рианта в совокупности. Общая сумма частот равна объему выборки, 
т.е. S fi = n. Частоты можно выражать и в процентах:

f
f
n
i

i
=
⋅100.

Результаты группировки представляют в виде табл. В.1 (сгруппи
рованные данные).

Та б л и ц а  В . 1

Вариант
x1
х2
…
xn
Итого

Частота
f1
f2
…
fn
∑ fi = n

Для рассматриваемого примера получили табл. В.2.

Та б л и ц а  В . 2

Варианты
3
4
5
7
9
10
Итого

Частота
1
2
7
6
3
1
∑ fi = 20

Совокупность полученных частот образует распределение при
знака по частотам. Множество пар чисел (x1, f1), (x2, f2),…, (xn, fn) 
называют рядом распределения.

Ряд называют атрибутивным, если признак Х качественный, и 

вариационным, если признак Х количественный. В вариационных 
рядах варианты располагают в возрастающем порядке. Вариационные, в свою очередь, в зависимости от характера вариации признака 
делятся на дискретные (прерывные) и интервальные (непрерывные) 
ряды распределения.

На основе метода представления исходных данных рассчитывают 

статистические показатели. Математическая обработка подразумевает оперирование показателями переменных, полученных в психо

логических исследованиях. Значения признака определяют при помощи специальных шкал измерения.

Шкалирование (измерение) — это приписывание чисел объектам 

или их свойствам по определенным правилам. Операция шкалирования — это замена наблюдаемых психических явлений числами, 
которые отражают определенные свойства явлений.

Объекты наблюдений могут находиться в определенных отноше
ниях относительно некоторого признака (эквивалентности, порядка, 
сравнение разностей и сравнение отношений). В зависимости от 
вида отношений в психологических исследованиях выделяют следующие типы измерительных шкал: номинальная, порядковая, шкала 
интервалов и шкала отношений. Соответственно имеются четыре 
типа переменных.

Шкала наименований (номинальная шкала) строится на един
ственном отношении — отношении эквивалентности (равенства) по 
некоторому признаку. При измерении в этой шкале осуществляют 
классификацию или распределение множества объектов на непересекающие классы эквивалентности (классы объектов). При построении шкалы наименований главным служат качественные различия, 
а количественные не учитывают. Шкалу наименований используют 
только для качественной классификации.

Простейшая шкала наименований — дихотомическая шкала, со
стоящая из двух классов, построена по логическому принципу 
А/не–А, т.е. наличия или отсутствия определенного признака. Признак, который измеряют в дихотомической шкале, называется альтернативным и может принимать всего два значения. Например, 
признак «цвет глаз» имеет два значения: светлый и темный. По 
этому признаку всех людей делят на два класса: светлоглазые и темноглазые. При этом множество оттенков глаз во внимание не принимают.

Шкала наименований может содержать три и более класса, на
пример: холерик — сангвиник — флегматик — меланхолик. Классы 
объектов можно пронумеровать и исп ользовать такие номера как 
числа. Например, светлоглазых людей обозначить нулями, а темноглазых — единицами.

Числа, используемые в качестве обозначений, не отражают коли
чественных различий выраженности изучаемого явления. С этими 
числами нельзя производить никаких арифметических действий. 
Единственной количественной оценкой качественных данных является частота встречаемости разных наименований (число объектов, 
попавших в каждый класс), которую затем анализируют с помощью 
математических методов.

Оценка статистической связи между группами признаков (клас
сами) возможна с помощью анализа корреляции, а существенность 

различия между частотами устанавливают с помощью критерия хиквадрата. Возможно определение моды распределения.

Шкала порядка (порядковая шкала) строится на основании сразу 

двух отношений — эквивалентности и порядка. Отношение порядка 
«больше — меньше» позволяет упорядочить классы объектов относительно некоторого признака.

Шкала
порядка

Шкала

наименований

Упорядоченность




 = 




 + класса объектов





.

Однако не позволяет определить насколько больше или на
сколько меньше данного качества содержится в переменной.

В порядковых измерениях классам объектов так приписывают 

наименования (числа), чтобы они отражали степень выраженности 
признака. Например, признак «курение»: 1 — некурящий; 2 — изредка курящий; 3 — сильно курящий; 4 — очень сильно курящий. 
Переменная «Курение», в итоге, сортирована в порядке значимости 
снизу вверх.

Однако эмпирическая значимость этих переменных не зависит от 

разницы между соседними численными значениями, так как не 
определено расстояние между классами объектов. Числа, приписываемые классам объектов, отражают количество свойств, присущих 
им, но не определяют величину различия (расстояние). Например, 
школьные отметки от 1 до 5. Различие между оценками «отлично» и 
«хорошо» указывает на то, что уровень знания отличника выше хорошиста, однако, насколько или во сколько раз они отличаются сказать нельзя.

В порядковых измерениях не определены операции сложения и 

вычитания, но допускаются операции равенства — неравенства и 
сравнение по интенсивности. В порядковых шкалах допустимы любые преобразования, не изменяющие последовательности элементов 
(возведение в степень, извлечение корня и логарифмирование).

В шкале порядка классы объектов, как и в случае шкал наимено
ваний, являются дискретными. В качестве меры положения классов 
объектов для преобразования шкал порядка, кроме моды, можно 
использовать еще медиану, полуквартильное отклонение, а в качестве меры тесноты взаимосвязи — коэффициенты ранговой корреляции и сопряженности.

Для сравнения различных выборок переменных, относящихся к 

порядковой шкале, можно применять непараметрические критерии, 
формулы которых оперируют рангами.

Шкала интервалов (интервальная шкала) основывается на отно
шениях эквивалентности, порядка и сравнения разностей. Эта шкала 
классифицирует объекты по принципу «больше — меньше» на опре

деленное число единиц. Каждое из возможных значений признака 
отстоит от другого на равном расстоянии. Для этой переменной не 
только ее абсолютные значения отражают порядковые отношения 
между объектами, но и разница между двумя численными значениями (расстояние) имеет эмпирическую значимость:

Шкала

интервалов

Шкала

порядка

Расстояние между
кл





 = 




 +
ассами объектов





.

Однако эмпирическая значимость этих переменных не зависит от 

отношения между соседними числовыми значениями из-за отсутствия абсолютно нулевой точки. Нулевая точка в шкале интервалов 
произвольна и не указывает на отсутствие свойства.

Интервальными измерениями являются количественные данные 

(масса, размер, температура, результаты тестирования, коэффициент 
интеллекта IQ). Допустимы все арифметические операции, а также 
линейные преобразования, при которых сохраняются последовательность классов объектов и значения относительных расстояний между 
ними.

Данные, полученные в интервальной шкале, можно обрабатывать 

любыми статистическими методами. Например, среднее значение 
является полноценным статистическим показателем для характеристики таких переменных.

Шкала отношений (равных отношений) основывается на отноше
ниях эквивалентности, порядка и сравнении разностей, попарных 
отношений. Шкала отношений классифицирует объекты пропорционально степени выраженности признака. Шкала отношений обладает всеми свойствами шкалы интервалов, а также определена 
нулевая точка, которая указывает на полное отсутствие измеряемого 
свойства:

Шкала

отношений

Шкала

интервалов

Нулевая
точка





 = 




 + 




.

Для переменных в шкале отношений эмпирическую значимость 

имеет отношение между соседними числовыми значениями. Например: возраст, масса, рост, число реакций, показатели силы и выносливости. Температура по Кельвину образует шкалу отношений, и 
можно не только утверждать, что температура 200 градусов выше 
100 градусов, но и что она вдвое выше. Интервальные шкалы (например, шкала Цельсия) не обладают данным свойством шкалы отношений.

Таким образом, существует четыре вида статистических шкал, 

которые позволяют сравнивать численные значения:

Статистическая шкала
Эмпирическая значимость

Номинальная
. . . . . 

Порядковая
. . . . .

Интервальная
. . . . .

Шкала отношений
. . . . .

Нет
Порядок чисел
Разность чисел
Отношение чисел

На практике, в том числе в SPSS, различие между переменными, 

относящимися к интервальной шкале и шкале отношений обычно 
несущественно, т.е. в дальнейшем практически всегда речь будет 
идти о переменных, относящихся к интервальной шкале.