Основы эконометрики

Санкт-Петербургский государственный университет 

Высшая школа менеджмента 
 
 
 
 
 
И. В. Березинец 
 
 
 
ОСНОВЫ ЭКОНОМЕТРИКИ 
 
 
 
Учебное пособие 
 
 
4-е издание, исправленное и дополненное 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Санкт-Петербург 

Издательство «Высшая школа менеджмента» 

2011 
 

ББК 65 в6  
УДК 330.43(075.8) 
 
Рецензенты: 
 
Н. А. Зенкевич, к. ф.-м. н., доцент (С.-Петерб. гос. ун-т), 
Т. С. Моисеенко, к. ф.-м. н., доцент (С.-Петерб. гос. инж.-эк. ун-т). 
 
Печатается по решению учебно-методической комиссии  
Высшей школы менеджмента СПбГУ 
 
 
 
Березинец И. В. 
Основы эконометрики. Учеб. пособие / И. В. Березинец; Высшая школа 
менеджмента СПбГУ. — 4-е изд., испр. и доп. — СПб.: Изд-во «Высшая школа 
менеджмента», 2011. — 192 с. 
 
ISBN 978-5-9924-0071-7 
 
 
Учебное пособие является вводным курсом по эконометрике, предназначенным для студентов школ бизнеса (менеджмент), изучающих дисциплину 
«Основы эконометрики». В пособии рассмотрены модели парной и многофакторной линейной и нелинейной регрессии, модели бинарного выбора. Изложены 
методы точечного и интервального оценивания неизвестных параметров регрессионной модели, а также алгоритмы проверки адекватности указанных моделей 
эмпирическим данным. Изучены рыночная модель, модель Фама и Френча и 
другие эконометрические модели для оценивания доходности ценных бумаг. 
В учебное пособие помещены результаты применения эконометрических 
моделей, полученные преподавателями кафедры финансов и учета при проведении исследований в области корпоративных финансов и корпоративного управления. Теоретический материал сопровождается примерами, решение которых 
проводится как аналитически, так и с использованием пакета MS EXCEL и статистического пакета Stata. 
 
 
 
 
 
 
 
 
© И. В. Березинец, 2010 
© Высшая школа менеджмента СПбГУ, 2010 
 

ISBN 978-5-9924-0071-7 

Б48 

 
 
 
 
 
СОДЕРЖАНИЕ 

Предисловие .................................................................................................................5 

Введение .......................................................................................................................7 

Тема 1. Элементы математической статистики .................................................9 

1.1. Выборочный метод математической статистики..............................11 

1.2. Точечное и интервальное оценивание  
параметров распределения.................................................................24 

1.3. Проверка статистических гипотез ......................................................28 

Тема 2. Однофакторные регрессионные модели ..............................................31 

2.1. Модель парной линейной регрессии ..................................................31 

2.2. Оценивание параметров функции парной линейной  регрессии........36 

2.3. Связь оценок параметров функции парной линейной   
регрессии с выборочными числовыми характеристиками ..............40 

2.4. Коэффициент детерминации...............................................................43 

2.5. Анализ адекватности регрессионной модели   
эмпирическим данным ........................................................................50 

2.6. Анализ оценок параметров функции парной линейной   
регрессии ..............................................................................................66 

2.7. Интервальное оценивание параметров функции  
парной линейной регрессии................................................................70 

2.8. Использование функции регрессии для прогнозирования...............76 

2.9. Однофакторные модели формирования доходности   
ценных бумаг .......................................................................................78 

Тема 3. Многофакторные регрессионные модели ............................................83 

3.1. Модель линейной многофакторной регрессии..................................83 

3.2. Интервальные оценки параметров функции линейной  
многофакторной регрессии.................................................................89 

 

 

3.3. Множественный коэффициент детерминации ..................................92 

3.4. Проверка гипотез о значимости многофакторной   
регрессионной модели.........................................................................94 

3.5. Частные коэффициенты корреляции..................................................99 

3.6. Проблема мультиколлинеарности ....................................................103 

3.7. Многофакторные модели формирования доходности   
ценных бумаг .....................................................................................108 

3.8. Многофакторные линейные модели  
с фиктивными  переменными...........................................................113 

Тема 4. Нелинейные регрессионные модели ...................................................123 

4.1. Линеаризация функций......................................................................123 

4.2. Особенности выбора функций регрессий ........................................130 

4.3. Обобщенная модель нелинейной однофакторной регрессии ........133 

4.4. Обобщенные нелинейные модели  
многофакторной  регрессии..............................................................137 

4.5. Производственные функции .............................................................139 

4.6. Модели с номинальной или порядковой зависимой   
переменной.........................................................................................142 

Тема 5. Условия Гаусса — Маркова и свойства оценок параметров  
функции регрессии ................................................................................151 

5.1. Проблема гетероскедастичности ......................................................151 

5.2. Автокорреляция ошибок....................................................................160 

5.3. Модели линейной регрессии со случайными факторами...............166 

Приложение 1. Матричное исчисление .................................................................172 

Приложение 2. Элементы теории вероятностей ...................................................178 

Приложение 3. Статистические таблицы ..............................................................182 

Литература................................................................................................................189 
 
 

 
 
 
 
 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Представленное учебное пособие явилось результатом систематизации 
чтения лекций и проведения практических занятий по дисциплине Основы эконометрики, а также обобщения опыта использования эконометрических методов 
и моделей в исследованиях, связанных с корпоративным управлением и корпоративными финансами в российских компаниях.  
В основе успешного восприятия курса эконометрики и ее последующего 
использования лежат три составляющие: владение инструментами теории вероятностей и математической статистики, наличие знаний по основам экономической теории, знание социально-экономической статистики. Поэтому первая глава пособия посвящена обсуждению основных понятий математической статистики: статистических рядов, выборочных числовых характеристик, точечных и 
интервальных оценок параметров, а также проверке статистических гипотез.  
Во второй главе подробно рассматривается модель парной (однофакторной) линейной регрессии. Производится поиск оценок неизвестных параметров 
линейной регрессии методом наименьших квадратов. Строятся интервальные 
оценки для неизвестных коэффициентов функции регрессии и для неизвестной 
дисперсии случайной составляющей регрессионной модели. При помощи статистической проверки гипотез проводится анализ адекватности модели линейной 
регрессии эмпирическим данным. Изучается возможность прогнозирования при 
помощи функции регрессии значений объясненной переменной. Рассматриваются однофакторные модели формирования дохода ценных бумаг, и демонстрируется возможность применения рыночной модели для задачи оценивания ожидаемой доходности и риска доходности портфеля ценных бумаг. 
В третьей главе изучаются модели многофакторной линейной регрессии. 
Вводится понятие множественного коэффициента детерминации и с его помощью строится статистика Фишера для проведения анализа адекватности выбранной модели и оценки ее значимости. Изучается проблема мультиколлинеарности, возникающая при работе с моделью линейной многофакторной регрессии, и 
рассматриваются критерии обнаружения мультиколлинеарности. На примерах 
эмпирических закономерностей на рынке акций и облигаций обосновывается 
необходимость введения регрессионных моделей с переменной структурой. Рассматриваются особенности работы с моделями, содержащими фиктивные переменные. Подробно прослеживается история создания и развития многофакторной модели BARRA для оценки доходности акций в США, а также рассматриваются многофакторные модели оценки доходности акций и облигаций Е. Фама 
и К. Френча и их модификации. 
Четвертая глава посвящена методам оценки параметров нелинейных 
функций регрессии. В этой главе рассматривается метод линеаризации для све

И. В. Березинец. Основы эконометрики 

 

6 

дения исходной нелинейной функции регрессии к линейной. Обсуждается проблема выбора нелинейной функции для описания зависимости между двумя показателями, разбирается алгоритм тестирования правильности выбора функции. 
Рассматриваются обобщенные модели нелинейных однофакторных и многофакторных регрессий. Изучаются методы оценивания параметров производственной 
функции Кобба–Дугласа. 
Пятая глава посвящена обсуждению вопросов, связанных с нарушениями 
условий Гаусса–Маркова. В ней рассмотрены проблемы гетероскедастичности и 
автокорреляции. Подробно разобраны наиболее используемые тесты для обнаружения явлений гетероскедастичности и автокорреляции. Изучена модель линейной регрессии, в которой объясняющая переменная носит случайный характер. 
Представленный в книге теоретический материал иллюстрируется примерами, решенными аналитически и с использованием пакета MS EXCEL и эконометрического пакета Stata. 
В приложениях приведен аппарат матричной алгебры и теории вероятностей, а также представлены необходимые статистические таблицы. В приложении 1 изложены основы матричного исчисления. В приложении 2 приведены основные законы распределений дискретных и непрерывных случайных величин, 
определены основные числовые характеристики и перечислены их свойства. 
В заключение, выражаю глубочайшую признательность рецензентам пособия: доценту, к.ф.-м.н. Т. С. Моисеенко и доценту, к.ф.-м.н., Н. А. Зенкевичу, 
которые взяли на себя труд ознакомиться с рукописью и высказать ряд весьма 
конструктивных замечаний и пожеланий.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
ВВЕДЕНИЕ 
 
Эконометрика является одним из самых востребованных инструментов 
для изучения и анализа реальных явлений в экономике, менеджменте, финансах. 
При помощи эконометрических моделей происходит как тестирование уже известных теоретических моделей в экономике, финансах, менеджменте, так и 
создание новых моделей в указанных областях науки. Обе указанные задачи могут быть отнесены к основным задачам, которые решаются при помощи эконометрики. 
Основным инструментом в эконометрике являются вероятностностатистические модели, построенные исходя из тех предпосылок, которые лежат 
в основе уже известных теорий, или на основе которых затем разрабатываются и 
тестируются новые теории. Эти модели оцениваются на основе эмпирических 
данных. Сами эмпирические данные получают в результате измерений (наблюдений) интересующих нас социально-экономических показателей. Вероятностно-статистическое моделирование является математическим моделированием. 
Рассмотрим основные этапы вероятностно-статистического моделирования, связанного с построением эконометрической модели. 
 
1. Постановка задачи 
На этом этапе исследователь определяет цель моделирования и совокупность показателей (экономических, финансовых), взаимосвязь между которыми 
его интересуют. При построении модели этим показателям ставят в соответствие 
переменные, подразделяющиеся на независимые (объясняющие) переменные, 
которые можно измерять (наблюдать, регистрировать) и прогнозировать, и зависимые (объясняемые) переменные.  
 
2. Априорный анализ 
Этот этап состоит в анализе содержательной сущности моделируемого явления. Именно на этом этапе исследователь формализует имеющуюся априорную информацию о рассматриваемом явлении и формулирует ряд гипотез и исходных допущений проводимого им исследования. 
 
3. Информационно-статистический этап 
На этом этапе происходит сбор необходимой статистической информации. 
Исследователь всегда должен четко понимать, с каким типом данных ему придется работать при построении эконометрической модели, так как зачастую 
именно тип данных диктует тип используемых затем переменных, и выбор модели конкретного вида.  

И. В. Березинец. Основы эконометрики 

 

8 

4. Этап спецификации модели 
Этот этап заключается в непосредственном выборе общего вида функциональной зависимости между зависимой (объясняемой) и независимой (объясняющей) переменной. Иными словами, на этом шаге исследователь определяет 
вид, структуру модели. Исходя из двух основных задач эконометрики, можно 
указать две ситуации, с которыми сталкиваются при выборе вида функциональной зависимости. В первом случае, когда происходит тестирование справедливости уже известных теорий и разработанных в них моделей, вид уравнения известен. Во втором случае, когда разрабатывается новая теория, аргументированный выбор модели, позволяющей стать доказательством идеи, заложенной в новой теории, это самостоятельная и достаточно непростая задача эконометрики. 
Уравнение эконометрической модели включает в себя наряду с известными величинами, коэффициенты (параметры модели), числовые значения которых неизвестны. Именно эти коэффициенты (параметры) подлежат в дальнейшем статистической оценке. 
 
5. Идентификация модели 
На этом этапе исследователь занимается изучением вопроса о том, возможно ли оценить неизвестные параметры модели по тем эмпирическим данным, которые имеются в его распоряжении. Если ответ положительный, то 
можно переходить к решению задачи идентификации модели, то есть, оценить 
неизвестные параметры по имеющимся исходным статистическим данным. Если 
ответ отрицательный, то необходимо вернуться к этапу 4 и произвести корректировку в спецификации модели. 
 
6. Верификация модели 
Этот этап включает в себя анализ точности модели, ее адекватности эмпирическим данным. На этом шаге проводят различные статистические тесты для 
того, чтобы провести проверку значимости модели и сопоставить те выводы, 
которые мы можем сделать, используя оцененную модель, с реально наблюдаемыми явлениями. 
 
7. Интерпретация полученных результатов 
На этом заключительном этапе исследователь переводит полученные при 
эконометрическом моделировании результаты на содержательный язык, а затем 
делает выводы по принятию или отклонению тех предположений о сущности 
изучаемого им явления, которые он выдвигал на втором этапе.  
 
 
 

 

 
 
 
 
 
ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 
 
 
Построение эконометрических моделей основано на эмпирических данных. При эконометрическом моделировании выделяют три основных формата 
представления данных: 

Временные ряды (time-series data) 
Данные, полученные в результате наблюдения за определенным показателем 
(или одновременно за несколькими) на фиксированном промежутке времени: 
Например, темп роста выручки компании, цена на нефть, ВВП страны, и т.д. 
Ниже приведен пример данных такого типа, которые были использованы в исследования по применимости модели остаточной чистой прибыли для российских компаний [5]. В таблицах указана следующая информация: рыночная цена 

акций
i,
tP τ
+
 i-ой компании в момент (t + τ); балансовая стоимость собственного 

капитала 
i,
tE
1
−
 i-ой компании в расчете на одну акцию в момент  (t – 1); перпе
туитет остаточной чистой прибыли
*
i,t
RE
 периода (t – 1, t) i-ой компании в рас
чете на одну акцию. 
 

Год 
Тиккер 
РТС 
i,
tP τ
+
 
i,
tE
1
−
 
*
i,t
RE
 

2002 
AFLT 
0.355 
0.077 
0.059 

2003 
AFLT 
0.347 
0.150 
0.156 

2004 
AFLT 
0.931 
0.225 
0.242 

 
Пространственные данные (cross-sectional data) 
Данные, которые получены в результате наблюдения определенных показателей для выборки единиц совокупности (индивидов, домохозяйств, компаний, отраслей, городов, стран и т.д.) в фиксированный момент времени. Пример данных такого типа представлен ниже. 
 

Год 
Тиккер 
РТС 
i,
tP τ
+
 
i,
tE
1
−
 
*
i,t
RE
 

2002 
AFLT 
0.355 
0.077 
0.059 

2002 
AVAZ 
34.368 
31.156 
–21.298 

2002 
BANE 
3.198 
5.569 
2.494 

И. В. Березинец. Основы эконометрики 

 

10 

Панельные данные (panel or longitudinal data) 
Данные, сочетающие в себе пространственную и временную сущность одновременно. 
Тиккер  
РТС 
Год 
i,
tP τ
+
 
i,
tE
1
−
 
*
i,t
RE
 

AFLT 
2002 
0.355 
0.077 
0.059 
 
2003 
0.347 
0.150 
0.156 
 
2004 
0.931 
0.225 
0.242 
AVAZ 
2002 
34.368 
31.156 
-21.298 
 
2003 
22.508 
31.992 
-29.256 
 
2004 
29.150 
11.637 
10.688 
BANE 
2002 
3.198 
5.569 
2.494 
 
2003 
2.953 
7.489 
-3.868 
 
2004 
4.901 
7.902 
-3.326 
 
Когда говорят об эмпирических данных, то обычно рассматривают две категории данных: качественные и количественные. При эконометрическом моделировании тип данных диктует переход к переменным в определенной метрике. 
Именно эти переменные используются затем в эконометрическом моделировании 
при построении эконометрических моделей. Переменные классифицируются следующим образом: номинальные, порядковые, метрические (количественные). 
Эта классификация основана на той шкале, в которой производят измерения.  
 

Номинальная шкала 
Эмпирическая информация, которой располагает исследователь (данные), 
может содержать в себя результаты опросов, наблюдения за макро и микро экономическими показателями, финансовую информацию. Каждой «единице» такой информации, если она носит качественный характер, затем ставится в соответствие некоторое число, которое в этом случае, по своей сути является просто 
«именем» соответствующей «единицы» информации. Существенным фактом 
при измерении в номинальной шкале является тот факт, что разным «единицам» 
данных следует приписывать разные числа, для того, чтобы была возможность 
различать эти данные. В том случае, если среди значений переменной, измеренной в номинальной шкале, будут встречаться равные числа, это будет означать, 
что исходная информация, которая была «именована» при помощи этих чисел, 
была совершенно одинаковой. При помощи перехода в номинальную шкалу 
мы получаем возможность только отличать один объект от другого. Для 
переменных, измеренных в номинальной шкале, не правомерны никакие 
арифметические операции.  
 
Порядковая (ординальная, ранговая) шкала 
Эта шкала используется для отображения эмпирических данных, когда исследователю необходимо указать и отличие «единиц» информации, и разницу в 
предпочтениях. Иными словами, переход в эту шкалу дает возможность отразить отношение порядка в выделенных категориях, указать порядок тех или 

Тема 1. Элементы математической статистики 

 

11

иных предпочтений. При помощи таких переменных описывают «тенденции» в 
изменении каких либо качественных данных. Для порядковых переменных 
также нельзя ввести никакие арифметические операции. То есть, даже задавая определенное ранжирование нельзя говорить, на сколько больше (или меньше) одно значение переменной, чем другое.  
С измерениями переменных в номинальной и порядковой шкале сталкиваются чаще всего в маркетинге, социологии, психологии, так как именно в этих 
областях эконометрическое моделирование основано на результатах опросов и 
анкетирования. 
 
Метрическая шкала 
Это традиционная, привычная для нас шкала, в которой проводится большинство измерений. Для переменных, измеренных в метрической шкале, правомерно использование всех арифметических операций. 
В первой главе рассматривается та часть вероятностно-статистического 
моделирования, с которой исследователь сталкивается на третьем, информационно-статистическом этапе. Методы статистической обработки данных, рассмотренные в этой главе, применяются к переменным, измеренным в метрической шкале. 
 
 

1.1. Выборочный метод математической статистики 

 
Экономические и финансовые показатели подвергаются воздействию различных случайных факторов и поэтому сами приобретают случайный характер. 
Следовательно, такие показатели, как ВВП какой либо страны, величина выручки отдельно взятой компании, цена акции произвольно взятой компании, обменный курс валют, цена опциона, в каждый фиксированный момент времени можно считать случайными величинами. Как известно из теории вероятностей, помимо законов распределения при изучении случайных величин, важными характеристиками являются так называемые числовые характеристики.  
Основными числовыми характеристиками случайных величин являются 
математическое ожидание E[ξ] и дисперсия V[ξ] (см. Приложение 2). Эти понятия являются модельными понятиями (для их вычисления необходимо знание 
закона распределения случайных величин в виде таблицы или плотности распределения). На практике, вместо указанных числовых характеристик, используют их эмпирические аналоги (оценки) выборочное математическое ожидание 
(sample mean) и выборочную дисперсию (sample variance). 
Как их вычисляют? Это зависит от вида статистической информации, которой мы располагаем. Например, если количественное изменение экономического показателя представлено в виде конечного набора значений: 
 

 х1, х2, …, хn,, 
 

И. В. Березинец. Основы эконометрики 

 

12 

называемого выборкой, то выборочное математическое ожидание (среднее) и 
выборочную дисперсию вычисляют по формулам: 

 
∑
=
=

n

i
ix
n
x

1

1
 ,  
 
 
 
 
(1.1.1) 

 
(
)
∑
=
−
−
=

n

i
i
х
x
x
n
S

1

2
2
1
1
 .  
 
 
(1.1.2) 

 
В том случае, если в выборке есть повторяющиеся значения xi*, то формулы 
(1.1.1) и (1.1.2) трансформируются в формулы (1.1.3) и (1.1.4)  

 
∑
=
⋅
=

q

i
i
*
i
k
x
n
x

1

1
 ,  
 
 
 
(1.1.3) 

(
)
∑
=
⋅
−
−
=

q

i
i
i
k
x
x
n
S

1

2
*
2
1
1
 .  
 
 
(1.1.4) 

 
где кi — это частота, с которой в выборке встречаются значение xi*, а q — число 
различных xi* в выборке. 
Статистическую информацию большого объема часто представляют в виде следующих таблиц: 
 

                                 
iJ  
1J   
     
2
J        …           
rJ  

                                
*
ip~     
*
1
~p       
*
2
~p        …             
*
~

rp   
    , 

 

n
l
p
i
i =
*
~
 , 
1
~

1

* =
∑
=

r

i

ip
 . 

Здесь 
iJ - это промежутки вида:  

 
[
]
(
]
1
2
1
1
+
=
=
i
i
i
x~
;
x~
J
,
x~
;
x~
J
, 
r
i
,2
=
 ; 

 

(
)
max
r
min
i
x
x
,
i
x
x~
=
⋅
−
+
=
+1
1 δ
 ; 

 

(
) r
x
x
/
min
max −
=
δ
; 

а 
*
ip~  — это относительная частота попадания выборочного значения xi, в интер
вал 
iJ . Выборочные числовые характеристики в этом случае вычисляют по 

формулам: