МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА





О.И. АЛЁХОВА Н.В. МАКАРОВА Е.В. ЛЕДОВСКАЯ


    методические указания для студентов дневных отделений технических специальностей


ⁿJn

а

Москва 2001

cS

МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ





О.И. АЛЁХОВА Н.В. МАКАРОВА Е.В. ЛВДОВСКАЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА «ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ» для студентов дневных отделений технических специальностей.


Москва 2001

Утверждены на заседании кафедры высшей математики МГАВТ Протокол № 3 от 29 ноября 2000 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ........................................4
Задание № 1........................................5
Задание № 2........................................7
Задание №3....................................... 11
Задание № 4............._.........................13
Задание № 5.......................................16
Задание № 6........................... -..........19
Задание № 7.....................................  21
Задание № 8.......................................33
Литература........................................42

                ПРЕДИСЛОВИЕ

     Методические указания предназначены для организации самостоятельной работы студентов технических специальностей МГАВТ.
     Здесь рассмотрены упражнения по вычислению определителей, действиям с матрицами, решению систем линейных уравнении, задачи разложения произвольного вектора по векторам базиса, задачи нахождения собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.                             *
     Цель данных методических указаний - помочь студентам научиться с наименьшей затратой времени самостоятельно решать задачи по этим разделам курса высшей математики.
     В методических указаниях приводятся подробные решения типовых задач. Весь учебный материал разбит на отдельные практические задания. В процессе решения поставленных задач, возникает необходимость в рассмотрении основных сведений из теории, которые даны в виде формул, теорем и определений.
     Студенты, пользующиеся этими методическими указаниями, прежде чем решить какое-нибудь из практических заданий, должны выучить относящийся к нему теоретический материал, разобрать решённые задачи с выполнением всех действий на бумаге и только после этого приступать к задачам, предложенным для самостоятельного решения.
     В методических указаниях рассмотрены 10 типовых заданий.
1-8 задания составлены О.И. Алёховой и Е.В. Ледовской по разделам:
Определители второго, трегьего и четвёртого порядков.
Действия с матрицами
Решение матричных уравнений.
Решения систем линейных уравнений.
9  задание составлено Н.В. Макаровой, здесь рассмотрена задача о разложении вектора по базису
10  задание составлено О.И. Алёховой, здесь рассмотрены задачи нахождения собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.
     Методические указания ие могут заменить курса лекций и должны стимулировать у студента желание ознакомиться с математической литературой по рассмотренным разделам курса высшей математики.

Задание № 1.

3 -1 1


          Дан определитель третьего порядка

2
1

2 3
4 1

1)Вычислить определитель, используя определение.
2)  Найти минор Л-/32 .
3)  Найти алгебраическое дополнение Аь
4)  Вычислить определитель, разложив его по элементам третьей строки.
5)  Вычислить определитель, разложив его по элементам второго столбца.
Прежде чем приступить к выполнению заданий, вспомним основные определения и свойства определителей второго и третьего порядков.
Определение 1.1. Определителем второго порядка называется число,
,                          л -К¹ и’⁷!
обозначаемое символом      Д -        1          и определяемое
!"11 а22\

равенством
                    1"11 "121
"12'"21
                    |"21 "22|
Числа "и, "12, "21, "22 называются элементами определителя. Причём, первый индекс указывает помер строки, где стоит элемент, а второй индекс - номер столбца.
Определение 1.2. Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом


и определяемое равенством




   А - "П"!г2<ЪЗ ⁺ "12"23"31 ⁺ "13"21"32 - "13"22"31 “ "12"21"33 ~ "11"23"32 ■

Правило треугольников позволяет легко записать формулу и вычислить определитель.

Решение задания 1.1.


3 -1
2 2
1 4

1

3 = 3-2-1 + (-1)-3-1 +1-2-4—1-2-1—(-1)-2-1 3-3-4 =


= 6 —3 + 8-2 +2-36 = -25.


Длневыполнения заданий 2) и 3) следует вспомнить понятие ^инора и алгебраического дополнения элемента определителя.
Определение 1.3. Минором элемента ciₗ} определителя Д называется определитель второго порядка, который может быть получен из элементов определителя Д, если вычеркнуть строку с номером i и столбец с номером /.
Минор элемента Gy обозначается Му
                           1С?2| «231
                                     “ «21 * «33 ~ а13 * «31
«31 «331
Решение задания 1.2.

Теорема 1.1. Алгебраическое дополнение элемента определителя А вычисляется по формуле Ау - (-1) J • MJ} .
Например,
Ах 1 - (“D¹H • Мх 1 - (+1) • Мх 1 = +]" ²³ = «22 ' «33 ~ «23 ‘ «32
|«32 «33|
Решение задания 1.3.
A, =(-l)M-W₂₁ =(-!)> Ч = -Н j = -(( 1)1-1-4) ₌ |°32 «Зз| I ⁴ Ч

  -(-1-4) = 5
Решение задания 1.4.
Теорема 1.2. Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Например, определитель можно разложить по элементам первой строки

Д — ах j ■ А{ j + <з₁₂ • Л₁₂ + п₁₃ • А₁₃ _
Вычислим определитель, разложив его по элементам третьей строки.
А - «31 * Ai ⁺ «32 ‘ A-yi + «зз ■ Л₃з -
     ( 1)³⁺¹ -М₃₁ + а,₂ (-1)’-² Му,+ «₃₃ (-1)³*³ -м₃₃=




                -IV ЬЧ И




-1 -1(-1-3-1-2)-4 (3-3-1 -2) + (3-2- (-1)-2) =
=(-3-2)-4-(9-2) + (6 + 2) =-5-4-7+8 = -5-28+8 =-25 .
Решение задания 1.5.
Вычислим определитель, разложив его по элементам второго столбца. А - «12 * Aj₂ + «22 ' А₂2 + «32 ■ А? ⁼
=«₁₂ -(-1),⁺² -М₁₂ +ои (-1)²⁺²М₂₂ +о₃₂ -(-1)’⁺²М₃₂=
         I² 3|        13 11       |3 11
            J⁺²'⁽⁺¹⁾ |» г⁴⁽⁻¹⁾> г
=(2-1-3-1) + 2-(31 -11)-4(9-2) =
-(2-3) + 2(3-1)- 4-7 =-1 + 2-2-28 = -1 + 4-28 = -25
Ответ задания 1.1., 1.4., 1.5. Д = -25 вычислили, используя определение и методы разложения по элементам третьей строки и по элементам второю столбца.
Ответ задания 1.2. М^₂=1.
Ответ задания 1.3. /₂i~S -


Задание № 2.
Вычислить определитель четвертого порядка
12     3  5
14     3  8
2 8    7 20
                       1 4    О' 71
1)используя метод разложения определителя по элементам второго столбца;
2) используя метод приведения определителя к треугольному виду.
Решение задания 2.1.
Теорема 2.1. Определитель четвёртого порядка равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Например, определитель можно разложить по элементам второго столбца.

«11   «12    «13   «141

«21 а22
а3\ «32

«24

«34

“ «12 ’ Аг ⁺ а22 ' А22 ⁺ «32 ' А32 ⁺ «42 ’ Аг -

А1 0
0
0

Ьп Аг
0 0

Аз Аз Аз о

Ад Ад Ад
^44

[(формула 1) или|

А.
А1 Ai Ai

о Аг Аг Аг

0 о Аз Аз

о о о Ад

I (формула 2)

|«41   «42 «43 «441

Свойство 1. Если элементы какой-нибудь строки определителя

Алгебраические дополнения вычисляются по формуле
Ау ■ Му .

имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя

Например,

где MₜJ- — минор элемента а,}.

Например, Аг — ( I)¹*² -М₁₂~

‘21

«31

⁽41

«23   «21

«33   «34

«43   «44


Аналогичным способом могут быть вычислены и другие алгебраические дополнения.
Вычислим определитель, разложив по элементам второго столбца.

=-2 (49 + 60+ 0-56-42-0) +4 (49 + 60+ 0-35-42~ 0) 8-(21 + 24 + 0-15-21-0)+4 (60 + 48 + 35-30-60-56)~ =-2-11 + 4-32-8-9 + 4-(-3) = -22+128-72-12 = 22 .
Решение задания 2.2.

Определение 2.1.

Элементы cij 1,(^22^33^44 называются

расположенными по главной диагонали определителя.
Определение 2.2. Определитель называется приведенным к треугольному виду, если под (илн над) главной диагональю все его элементы равны нулю, то есть

«И
1-а₂ «31 «41

Свойство 2.

«12      «13      «ы

' «22   * «23    * «24

«32      «33      «34

«42     «43       «44


«11    «12   «13  «14

«21    «22   «23  «24

«31    «32   «33  «34

«41    «42   «43  «44


Перестановка двух столбцов или двух строк

определителя равносильна умножению его на ( - I)
Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковые строки, то он

равен нулю
Свойство 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на число X равносильно умножению определителя на число X.
Свойство 5. Если элементы некоторого столбца или строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
Свойство 6. Если элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
Свойство 7. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя не измеиизся.
При решении задания 2.2. воспользуемся свойствами определителя
      Дадим следующие обозначения строк определителя. Первую строку определителя будем называть eₕ вторую - 62, и так далее.
      Преобразование вида    **”А "А       означает, что ко всем
>лементам второй строки прибавлены элементы первой строки, умноженные на X}, при этом полученные результаты записаны на место второй строки. Множитель Xi подбирают таким образом, чтобы первый элемент второй строки стал равным нулю. Подберём Х2 и Хз так, чтобы первые элементы третьей и четвертой строк определителя стали равными нулю.

ч    Первую строку определителя оставим без изменения
^2 (“О *         ^2 - формула преобразования второй строки .
е3 + (“2) • £?j • > е₃ - формула преобразования третьей строки . е4 + (—1) • е* —> C-j - формула преобразования четвертой строк . Второй шаг преобразований.

Первую и вторую строки определителя оставим без изменения. ^3 + (—2) - £?2   ^3 - формула преобразования третьей строки .
е4 4- (”1) • ^2     “ формула преобразования четвертой строки .
Третий таг преобразований.

Первую, вторую и третью строки определителя оставим без изменения. е₄ + 3 ■ -—> е₄ формула преобразования четвертой
строки. Определитель приведён к треугольному виду.
Теорема 2.2. Если определитель приведён к треугольному виду, то он равен произведению элементов, расположенных на его главной диагонали

Л = *1Г^22-^з-^44 = 1-2-1-11 = 22
Результаты вычислений, проведенных в решениях заданий 2.1. и 2.2. должны совпадать.
Otbci задания 2. Л =- 22 .

Задание № 3.
Найти матрицу W = АТ • В — 2-С  , если

заданы матрицы:
' 3 1 2'
fl 0 2 П fO 3 5) Л -12 0
        Л -           I В -- L С =
           Ц 3 4 2/ И 1 3J 2 4 3
J ³ 1,
Определение 3.1. Матрицей А порядка m х п называется таблица чисел, содержащая m строк и п столбцов. Общий элемент матрицы имеет вид ач . Каждый элемент матрицы имеет два индекса. Первый индекс соответствует номеру строки, а второй - номеру столбца.

              (£7ii ^12       ^14 1
имеет 2 строки и 4 столбца.
                а21 а22 а23 aU J
Порядок матрицы обозначим 2x4        . Элемент а₂з расположен на
пересечении второй строки и третьего столбца.
Определение 3.2, Две матрицы А и В называются равными, если.

1)  обе матрицы имеют порядок m х п ;
2)  для всех элементов матриц справедливо равенство a ᵢ} Ь ч.
Равные матрицы обозначаются А“В .
Определение 3.2. Транспонированной матрицей Л⁷ называется такая матрица Р , элементы которой получены из элементов матрицы А, если её строки и столбцы поменять местами.
                                   ди °21>

Например,

°22
°23

                                             <а14 й24 J

Определение 3.3. Суммой двух матриц А и В одного порядка называется матрица С , каждый элемент которой вычисляется по формуле С ц — (Jy + by
Сумма матриц обозначается О=А+В -
Определение 3.4. Произведением матрицы А на число Л называется матрица F, каждый элемент которой вычисляется по формуле f,J = A-aiJ
Произведение матрицы на число обозначается F — Л • А

Определение 3.5. Произведением матрицы А порядка WJXK и матрицы В порядка ПУ-к называется матрица D порядка тУ к . каждый элемент которой вычисляется но формуле

          к=п
     dy ~        ‘  ~а^ ’^lj ⁺аг2' ^2 j  ⁺ ат ' ^nj
          k~i

Произведение двух матриц обозначается D — А - В
ч                 Решение задания 3.
Будем выполнять преобразования по действиям.
                                                 '1 Г

т ⁰³
1)  Гранспонируем элементы матрицы А. Р - А ~

                                                 J ²>

2)   Найдем произведение матриц. А ■ В ~ Р- В = D

Матрица А¹ = Р имеет порядок 4x2
Матрица В имеет порядок 2x3 .
Матрица D будет иметь порядок 4x3

, так как

=1-0 + 1-4 = 4 dₗ₂ = 1-3 + 11 = 4 ^в = 1-54-1-3 = 8

    d₂I =0-0 + 3-4 = 12 ^₂₂=0-3 + 3.1 = 3 d₂₃ = 0-5 + 3-3 = 9 d₃ₗ = 2-0 + 4-4 = 16 d₃₂ =23 + 4-1 = 10 d₃₃ =2-5 + 4-3 = 22

      = l-0 + 2-4 = 8 =1-3 + 21 = 5 <Z₄₃ =1-5+2-3 = 11
3) Умножим матрицу С на число -2.
                 '3   1 2W-6   -2 -4Л
                 -1   2 0    2 -4   0
         -2-С = -2-     =
                  243       -4 -8  -6
                 J    3 1J (-2 -6 -2,

       W = Ar -В-2-С = Р~В-2-С-

А 4 12 3 16 10 ,8 5

8А Г-6 -2

2 -4

nJ V“² ~⁶

- 4Л 0
-6
-2у

-2 2   4'
14 -1 9
12   2 16
ₖ6 -1 9ⱼ
2 2      4 Л


      Ответ задания 3. W = Ат -В-2-С -


-1 9
2 16

6 -1 9 J
Задание № 4.
                                   '1 О 2Л
Задана матрица А= 3 1 1 .
                                   2 ¹ L

1) Доказать, что для этой матрицы существует обратная матрица 2) Вычислить обратную матрицу.

3) Сделать проверку
Определение 4.1. Матрица называется квадратной, если число ее


строк равно числу ее столбцов.


Например, А = п₂₁

квадратная матрица третьего

                     .«31   а32    «33,

порядка.
Определение 4.2. Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, называется определителем матрицы.
|«П    «12 «13
△⁼ |«21 «22 «23 |«31 «32 «33
Определение 4.2. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю.
     Квадратная матрица называется вырожденной, если ее

определитель равен нулю.
Определение 4.3. Единичной матрицей третьего порядка называется Г1 о оЛ

матрица вида Е= 0 1 0

0 0 1

15

Определение 4.4. Матрица А ¹ называется обратной для матрицы Л, если выполняется равенство А • А ¹ = А} • А — Е .
Теорема 4.1. Невырожденная матрица третьего порядка имеет единственную обратную матрицу, которая вычисляется по формуле .

А ,=-
А



            ч.


Аг

Ai Ai

Аз Аз.

Ац , где А определитель матрицы,

а А ц - алгебраические дополнения элементов Решение задания 4.1.
Составим и вычислим определитель матрицы А.

О

2|

Д =

3
2

=1+6+0-4-0-1=2*0

По определению 4.2. матрица А является невырожденной, поэтому она по теореме 4.1 имеет единственную обратную матрицу.
Решение задания 4.2.

1) Вычислим алгебраические матрицы.

дополнения элементов определителя

2) Ац-4-i

=1-1=0

= 0-2 = -2

-(0-2) = 2

Aj2- I



1 = -(3-2) = -1 -А.

‘22 —

!2

+ 1-4=-3 А₃

= 5

А.

3
2

= 3-2 = 1 ,/₂₃=-

= -* ; А

3) По формуле теоремы 4.1. обратная матрица примет вид:

0

А~¹ = -
2

2
-3

-2

0

V

Решение задания 4.3.
     Сделаем проверку правильности проведённых вычислений. Для этого воспользуемся определением обратной матрицы, то есть проверим справедливость равенства А • А - Е

Найдём произведение матриц

d₁₂ =0-0 + 2-1+(-2)1 = 0+2-2 = 0, d{₃ = 0-2+2-1+(-2)-1 = 0+2-2 = 0; А1=(-1)’1+(-3)-3+5-2=0;
</₂₂=(-1)0 + (-3)1+5-1=0-3 + 5 = 2; d,₃=(-l)-2 + (-3) 1 + 5-1 =-2-3 + 5 = 0;
d₃ₗ = 1-1+ (-1)-3+ 02=1-3 + 2 = 0 ;

d₃₂ = 1-0 + (-1)-1 + 1-1 = 0-1 + 1 = 0 ;

А₃=Ь2 + (-1)-1 + 11 = 2-1 + 1 = 2.

Вычисления выполнены без арифметических ошибок.
Отвез задания 4.1. Для матрицы А существует единственная обрагная матрица.
Ответ задания 4.2.

2,5
0.5,

- обратная матрица.

17

Задание № 5.
Решить магричные уравнения

       р  х   <10 1      ° 51
(5 1)         •Л =           
       I2 1,  (2 2 3     1 1)
          < 1 0 -5'          
(5.2.) X- 2   2 -5 =(2 5 1). 
ч         0   1 3 >          

Определение 5.1. Уравнения А ■ X — В или X ♦ А — В называются матричными уравнениями, если Л, В и X являются

матрицами.
Теорема 5.1. Если матрица А является невырожденной, то уравнение А • X = В можно решить по формуле X ~ А -В ₇ где А'¹ - обратная матрица.
Теорема 5.2. Если матрица А является невырожденной, то уравнение Х-А-В можно решить по формуле Х — В-А , где AJ -обратная матрица.
Решение задания 5.1.
3  2А    f 1  0  1 О   5Л
-А =
2  1J    ^2   2  3 1   1J

3  2)    п О     0  1 0  5)
В=                 , тогда уравнение
2  1)        (2  2  3  1 1J
(5.1.) примет вид А ■ X = В
Для того, чтобы доказать, что квадратная матрица А является невырожденной, нужно показать, что ее главный определитель не

1) Пусть задано уравнение

Обозначим А =

равен нулю.
                     |3 2|
Д-1     1 = 34-2-2 = -1*0 .

Для невырожденной квадратной матрицы существует единственная обратная матрица.
Ai 4zi
A-i ₌ А А
2)  Найдем обратную матрицу по формуле      /1₁₂       •

Вычислим алгебраические дополнения

       Л„ = (-1),⁺¹-Мп =1, Z,₂ =(-1)¹⁺²-Ма = -2

А1 =(-1)²нМ₂₁ = -2, А₂₁               =3
                                  (—1 2 А
                                   2  3/
3)  Решение уравнения А ■ X = В найдем по формуле




              ( 3    4  5   2 -ЗА
                   -6 -7 -3 7J
4)  Проверим правильность проведенных вычислений. Для лого подставим найденную матрицу X в уравнение (5.1.).
Левая часть уравнения
         р    2W 3    4    5   2  “3W1 0     1 О  5А
       '(2   1J\—4   -6 -7   -3  7J^2 2     3 1  1J
„                      А 0 1 О 5W1 О 1 0 5)
Правая часть уравнения /э =          s
(2 2 3 1 1J 1^2 2 3 1 1J
Вычисления сделаны без арифметических ошибок.
Ответ задания 5.1. Матричное уравнение А-Х—В имеет

решение

f 3 4   5 2 -ЗА
Н-4 -6-7-3 7) '

Решение задания 5.2.

о
2

2
О

1) Рассмотрим уравнение

Обозначим     А =

-5
5
3

                              -5
     -5 =(2 5 1)
3



О
2

2
О

В -(2 5 1), тогда матричное



уравнение (5.2.) примет вид X • А — В

18

     Для того, чтобы доказать, что квадратная матрица А является невырожденной, нужно показать, что ее главный определитель не равен нулю.

1 0 -5

Найти ранг матрицы

Д=2 2 -5
   О 1  3

= 6-10 + 5 = 1*0

Задание № 6.
' 1
2
В, если “ _ j

< ⁵

3 2    5 Г
10    3 2
2 2 2 -1
10 6  18 5>

Для невырожденной квадратной матрицы существует единственная обратная матрица,                                г

Определение 6.1. Матрица называется прямоугольной, если число её

2)


А~¹

Найдем обратную матрицу по формуле
Ai _Ai_ АР д д д
Az Az Az д д д'
Аз Аз Аз

V д д д J

Ai = (-l),⁺¹-Л/ц = 11, Ai=(-1)²⁺¹A/₂₁=.5, Ai=(-i)³⁺l -л/₃₁=ю,

Вычислим алгебраические дополнения

Az - (⁻¹)lF² -Л^12 = -6, Az =(-1)²⁺² -АЛз =3, Az'=H)³⁺² л/₃₂=-5.

4з=(-1)’⁺³-М₁₃=2 Аз ⁼ (“0²⁺³ "Л^23
Аз=(-1)³⁺³-Л/₃₃=2

Получим обратную матрицу А ¹ =

И
-6
2

-5 1(Р
3 -5
-1   2
у

3) Решение уравнения X ■ А ~ В T1 -5
Л' = ВА,=>Х' = (2 5 1)- -6 3

I ² -¹

найдем по формуле 10'
-5 =>Х = (-6 4 -3)
2 >

Ответ задания 5,2, решение

Матричное уравнение  X • А — В   имеет

У = (-6 4 -3).

строк не равно числу её столбцов.


                                  Ь„ в= ²¹

Пусть задана прямоугольная матрица

^*12
Ь22

^яА

порядка т*п.
Определение 6.2. Определитель к-ro порядка , составленный из элементов матрицы В, расположенный на пересечении произвольно выделенных к строк и к столбцов, называется минором к-го порядка матрицы В.
     Рассмотрим всевозможные миноры матрицы В, отличные от нуля.
Определение 6.3. Рангом матрицы В называется число г равное наибольшему порядку минора этой матрицы, отличного от нуля.
То есть ранг матрицы В будет равен г, если найдётся хотя бы один минор порядка г, отличный от нуля, а все миноры более высокого порядка будут равны нулю.
Ранг матрицы В обозначается через г (В) .
Если все элементы матрицы равны нулю, то н ранг этой матрицы равен нулю.
Определение 6.4. Матрицы А и В называются эквивалентными, если г(А)=г(В).
Эквивалентность матриц А и В обозначается через А~В.
Определение 6.5. Элементарными преобразованиями называются следующие преобразования:
1) замена строк столбцами, а столбцов соответствующими строками;
2) перестановка строк или столбцов матрицы;
3) вычёркивание строки, все элементы которой равны нулю;