Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Типовой расчет № 3. Определители. Матрицы. Системы линейных уравнений. Элементы линейной алгебры

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 615049.01.99
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
ГРНТИ:
Типовой расчет № 3. Определители. Матрицы. Системы линейных уравнений. Элементы линейной алгебры : для студентов дневных отделений технических специальностей / О. И. Алехова, Н. В. Макарова, М. И. Скорнева, Е. В. Ледовская. - Москва : МГАВТ, 2001. - 34 с. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/401013 (дата обращения: 28.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.

МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
ВОДНОГО ТРАНСПОРТА_________

О.И. АЛЁХОВА М.И. СКОРНЕВА Н.В. МАКАРОВА Е.В. ДЕДОВСКАЯ

методические указания для студентов дневных отделений технических специальностей




I

Москва 2001

МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

Кафедра высшей математики




О.И. АЛЁ.ХОВА Н.В. МАКАРОВА М.И. СКОРНЕВА Е.В. ДЕДОВСКАЯ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Определители. Матрицы. Системы линейных уравнений. Элементы линейной алгебры» для студентов дневных отделений технических специальностей.

—I

Москва 2001

Утвержден на заседании кафедры высшей матемашки МГАВТ Протокол № 3 от 29 ноября 2000 г.





                ОГЛАВЛЕНИЕ




ПРЕДИСЛОВИЕ...............................4
ВАРИАНТ №1 ...............................5
ВАРИАНТ № 2...............................7
ВАРИАНТ № 3...............................9
ВАРИАНТ №4............................... Н
ВАРИАНТ №5...............................13
ВАРИАНТ №6.............................  15
ВАРИАНТ №7.................................17
ВАРИАНТ №8...............................1£
ВАРИАНТ № 9..............................21
ВАРИАНТ № 10.............................25
ВАРИАНТ №11..............................2S
ВАРИАНТ № 12.............................27
ВАРИАНТ №13............................ .2$
ВАРИАНТ № 14.............................31
ВАРИАНТ № 15.............................Зз
ВАРИАНТ № 16.............................35
ВАРИАНТ № 17............................ 37
ВАРИАНТ №18..........._....................39
ВАРИАНТ № 19.............................41
ВАРИАНТ № 20..........................   43
ВАРИАНТ№21 ............................. 45
ВАРИАНТ № 22..........................  „..47
ВАРИАНТ №23..............................49
ВАРИАНТ №24............................  51
ВАРИАНТ № 25.............................53
ВАРИАНТ №26..._..........................55
ВАРИАНТ №27..............................57
ВАРИАНТ № 28.............................59
ВАРИАНТ № 29.............................61
ВАРИАНТ №30............................ .63
ЛИТЕРАТУРА...............................65

ПРЕДИСЛОВИЕ

     Типовой расчет «Определители. Матрицы. Системы линейных уравнений. Линейные векторные пространства» составлен для студентов технических специальностей МГАВТ.
     Здесь рассмотрены упражнения по вычислению определителей, действиям с матрицами, решению систем линейных уравнений, задачи разложения произвольного вектора по векторам базиса, задачи нахождения собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.
     Типовой расчёт содержит 30 вариантов по 10 типовых заданий в каждом.
1-8 задания составлены по разделам.
Определители второго, третьего и четвёртою порядков.
Действия с матрицами.
Решение магричных уравнений.
Решения систем линейных уравнений.
9 задание содержит задачу о разложении вектора по базису.
10 задание рассматривает задачи нахождения собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.

     Студент должен выполнить контрольные задания по варианту, номер которого совпадает с его номером в списке учебной группы.

     При выполнении н оформлении типового расчёта необходимо соблюдать следующие требования:
1. В начале работы должна быть ясно написаны тема типового расчёта, номер варианта, номер учебной группы, фамилия студента, его инициалы и дата выполнения работы.
2. Контрольная работа выполняется в тетради, а не на листах, обязательно чернилами ( не красными ), с полями для замечаний преподавателя.
3. Решение задач типового расчёта располагаются в порядке номеров, указанных в контрольной работе. Перед решением задачи должно быть записано полностью ее условие.
4. Решения задач и объяснения к ним должны быть подробными и аккуратными, без сокращения слов; чертежи можно выполнить от руки.


ВАРИАНТ № 1.

Задание 1.1.
Вычислить определитель третьего порядка
1) по определению;
2) разложив его по элементам третьей строки.

2 4 3
1 5 1
2 4 1

3) Найти минор ^23 и алгебраическое дополнение ^21 
Задание 1.2.
Вычислить определитель четвертого порядка 1) разложив его по элементам первого столбца;
2) используя метод приведения определителя к треугольному виду.

Задание 1.3.
     10-2
     1 1 1
.   4 0   2
А      0 1 -J
     1 1 1
    -3 0  1
Задание 1.4.

Найти матрицу (А + В)т -С 1 -1 1Л Г-1021
-1-11      010 -1
1  1 3 в₌ -4 0 -2 1
1-21’        2110
2  0 1     112  1
1 -4 0J 3 0    1  1

2 13 1
0 12 1
1-10 1
12 11

, если
1
1 О
1 -3
2    1 ’
О 0
⁴ °,

Доказать, что для матрицы существует обратная матрица.
Вычислить обратную матрицу.

Задание 1.5. Найти решение матричного уравнения

Задание 1.6.

И Л ⁴ ² -³
-2/   1-3 -1  1

Найти ранг матрицы

1       2

-2 3
В = 3   4

2 I

В , если
3 4Ч
1 2
5 I
0 3

(0—1-2 6J

АХ=В
1
О

2
-1
1

1
0
0
-2
1
-2

,если

Задание 1.7. Доказать, что система линейных уравнений

*1   + х2    + х3   + х4 =4     
*1   + 2 -х2 + 2-х3 + 2-х4 = 7  
2-Х] + *2    + х3   + 4 ■ х4 =11
3-Х] -2-х2    + *3  + х4 = 0    

                ВАРИАНТА» 2.




Задание 2.1.
Вычислить определитель третьего порядка
I) по определению;
2) разложив его по элементам второй строки.

3 1 4
2 6 1
3 5 1

   s совместна и имеет единственное решение.
     Найти это решение по формулам Крамера и методом Гаусса. Задание 1.8. Доказать, что система линейных уравнений

5-Х] -3-х2   + 2-х3 + 4-х4  = 3
4-Х] 2 • х>2 + 3-х3 + 7-х4  = 1
8-Х] -6-х2          -5х4    = 9
7-Х] -3-х2   + 7-х3 + 17-х4 = 0

совместна и неопределенна. Указать число базисных и свободных неизвестных. Выразить базисные неизвестные через свободные. Найти частные решения системы в случае, когда свободные неизвестные равны нулю.
Задание 1.9.              Даны четыре вектора
    а(4, 5, 2), 6(3, 0, 1), ё(-1, 4, 2), d(5, 7, 8).

Показать, что векторы             С образуют базис, и разложить
вектор d по векторам базиса.
Задание 1.10.
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей
( 0 1 о А

Л= -3 4 О
   <“² ¹ ²,

3) Найти минор

М₃₁ и алгебраическое дополнение

Задание 2.2.
Вычислить определитель четвертого порядка I) разложив его по элементам второго столбца;
2) используя метод приведения определителя к треугольному виду.

Задание 2.3. Hair


р -I 0 2 л= 0 1-11.
(1 -1 ² ¹

А„

2
2
1
1

1
1
3
3

5
2
2
4

4
1
1
1

матрицу М) +-®

   1 0 0 1 1
   0-110   1
1 0 0 1-1
0-101   1

С ,если

Доказать, что для матрицы существует обратная    - 3     1

матрица.
Вычислить обратную матрицу.

Задание 2.5. Найти решение матрвчнот о уравнения
I 1U -5 I

Задание 2.6.

А =

⁴ -ч
-з 1 г

10

11
-11

-2
3

Найти ранг матрицы В . если ( 2 5 3          9 —4 8)

(5
ХА=В

-2 2 .если

ВАРИАНТ № 3.





Задание 2.7. Доказать, что система линейных уравнений

3-Х1  4 Х2   + 2-х3   + х4   = 3
2-Х) -1 2-х2 + *3     + х4   = 5
X,   + 4-х2  + х3     + 3-х4 = 9
Г2*1 + 3-х2  --- 2-х3 + 2-х4 = 9

задание j.i.
Вычислить определитель третьего порядка
1) по определению;
2) разложив его по элементам первой строки.

2 4 1
3 4 2
3 2 5

     совместна и имеет единственное решение.
   ⁴ Найти это решение по формулам Крамера и методом Гаусса. Задание 2.8.    Доказать, что система линейных уравнений

3-xt + 2-х2 + 5-х3 + 4-х4 = 3  
2-Х) + 3-х2 + 6-х3 + 8-х4 = 5  
X]   -6-х2  -9-х3  -20-х4 = -11
4-Х] + х2   + 4-х3 + 3-х4 = 2  

3) Найти минор и алгебраическое дополнение -^23.
Задание 3.2.                                 3 2      14
Вычислить определитель четвертого порядка
1) разложив его по элементам третьего        2 1—2 1
столбца;                                     - i      34
2) используя метод приведения определителя
к треугольному виду.                         1 ]      2   1

Задание 3.3. Найти матрицу

(^ + В-С)Г ,если

4

2

-п

2

— 4

совместна и неопределенна. Указать число базисных и свободных неизвестных. Выразить базисные неизвестные через свободные. Найти частные решения системы в случае, когда свободные неизвестные равны единице.

А =

0

5

Задание 2.9.

Даны четыре вектора

а(2, 1, 0), Z>(4, 3, -3), с(-6, 5, 7), с/(34, 5, -26)

Показать, что векторы &■>    &■> С образуют базис, и разложить

вектор d по векторам базиса.
Задание 2.10.
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей f 1 -3 3^

Л = -2 -6 13
-1 -4   8

1

1

В =

-2

1

С =

1

-2

1

7

8

5

1

5

1

0)

Задание 3.4.

матрицы существует

Доказать, что для обратная матрица. Вычислить обратную

матрицу.

А =

2
4

2
4

“³1
1 1,

Задание 3.5. Найти решение матричного уравнения





                АХ=В





.если

л=

5

2

Задание 3.6.

-3

I ’

В =

13 21

5 8

_|4 -3 -26

Найти ранг матрицы

в=

1
3
5

4
2
6

-2
0

Б
4
2
10

-5 -1 -’0. , если

3
5

О

1

1^-8 10      7 -2 -8 -3J

ВАРИАНТ № 4 .





Задание 3.7. Доказать, что система линейных уравнений

2-а. + х2   + 2-а3  + а4  = 2
4-А, + а2   + 6а3  3-2-а4 = 5
 -ъ  + 2-а2 + 3-а3 +3-а4  = 2
2 А] - *2           + а4  = 4

Задание 4.1.
Вычислить определитель третьего порядка
1) по определению;
2) разложив его по элементам первого столбца.

|б

2

2

4

1

7|

4

     совместна и имеет единственное решение.
     Найти это решение по формулам Крамера и методом ГАусса. Задание 3.8.   Доказать, что система линейных уравнений
           Х1   ⁺ Х2       ⁺хз            -3-х₅    =0
         х₂ - х₃                  + 2-х₄ - х₅ =0
        4-х,    ь4-х₂     -2-х₃    + 6-х₄ +3-х₅    =0
       -7-Х]   -2*х₂      +4-х₃    -2-х₄  + 4-х₅   =0
совместна и неопределенна. Указать число базисных и свободных неизвестных. Выразить базисные неизвестные через свободные . Найти частные решения системы в случае, когда свободные неизвестные равны нулю.
Задание 3.9.              Даны четыре вектора
а(3, -5, 2), 6(4, 5, 1), с(-3, 0, -4), d(-4, 5, -16)

3) Найти минор М-22 и алгебраическое дополнение
Задание 4.2.                                    L

Вычислить определитель четвертого порядка
I) разложив его по элементам четвертого столбца;
2) используя метод приведения определителя треугольному виду.

Задание 4.3. Г»

А =

3

4

4

1

1

^32 ■

2
1
2
2

3

-2

3

3
1

1

3
1

3

Найти м атрицу ^ - (В) + С

I

3

в =

7 3

1

4'

,если
<2

41

2

1

6 1

1

3

5

3

Показать, что векторы ^2? С образуют базис, и разложи! ь вектор d по векторам базиса.
Задание 3.10.

Задание 4.4.
Доказать, что для матрицы существует обратная матрица.
Вычислить обратную матрицу.
Задание 4.5.
Найти решение матричного уравнения

ХА=В .если Л_

Г-3

4=1

2

4

-3

1

7
5



Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей
( 4 -5 71

2 -3'
I -2

В =

— 2

-2 3

1
4 '
4
3
2
-5

2

4= 1 —4 9

— 4  0 5

Задание 4.6. Найти ранг матрицы

2

В =

2
2
3

1
4
3
3
-2

2
3

В
о'

, если

3

13

Задание 4.7. Доказать, что система линейных уравнений

 *1         + Ч         4 Х3        + Х4      = -3
 *1         + Ч         + х3        + Х4      = -1
            + 4-х2      + 3-л3      + х4      = -5
 2-Х]       + 2-х2      + х3        + Х4      = -2
ч совместна и имеет единственное решение.         

     Найти это решение по формулам Крамера и методом Гаусса Задание 4.8.     Доказать, что система линейных уравнений

2-х, - х2  + 3-х3 + 4-х4  = 5 
4-Х] -2-х2 + 5-х3 + 6-х4  = 7 
6-Х] -3-х2 + 7-х3 + 8-х4     9
8-Х] -4-х2 + 9-х3 1-10-х4 = 11

совместна и неопределенна. Указать число базисных и свободных неизвестных. Выразить базисные неизвестные через свободные. Найти частные решения системы в случае, когда свободные неизвестные равны единице.
Задание 4.9.               Даны четыре вектора


            а(1, 0, 5), 1(3, 2, 7), с(5, 0, 9), rf(-4, 2, -12)


Показать, что векторы                образуют базис, и разложить
вектор d по векторам базиса.
Задание 4.10.
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

ВАРИАНТ № 5.
Задание 5.1.
Вычислить определитель третьего порядка
1) по определению;
2) разложив его по элементам второго столбца



            5 4  6
            1 3 -4
            2 3-1



3) Найти минор Л/21 и алгебраическое дополнение 4и .

Задание 5.2.
Вычислить определитель четвертого порядка 1) разложив его по элементам первой строки, 2) используя метод приведения определителя к треугольному виду.
Задание 5.3. Найти матрицу (А + В)-(C) .если

11-21
10 2 1
3 0 13
2 1 1-1

'2 0 12)
С= 0 I 1 1
12 12)

Задание 5.4.
Доказать, что доя матрицы существует обратная матрица.

Вычислить обратную матрицу.

4
2
4

3

   5 6   3 
А= -1 0   1
   1 2 -1  

— 2
-6

2

15

Задание 5.5. Найти решение матричного уравнения АХ—В ,если

Задание 5.6. Найти ранг матрицы В . если

                      I   1  3  J 2  О'
                      ²    ³  ¹ ² ¹  ¹
                      5    7  5 5 4    2J) -1 5 0 3 -J, Задание 5.7. Доказать, что система линейных уравнений (





                ВАРИАНТ №6




Задание 6.1.
Вычислить определитель третьего порядка
1) по определению;
2) разложив его по элементам третьего столбца.

-8 4  3
-1 3 -2
5 2-3

3) Найти мяиор А'4? и алгебраическое дополнение 4?
5- х( + 4 • х2 + х3 + 2-х4 = 17
Х1    -|2-х2        + х4   = 8 
2-Ч   + х2 --- 2-х3 + х4   = 10
4-х,  + 2-х2 4-3-х3 + х4   = 5 

Задание 6.2.
Вычислить определитель четвертого порядка
1) разложив его по элементам второй строки;
2) используя метод приведения

определителя к треугольному виду. Задание 6.3.

      совместна и имеет единственное решение.
      Найти это решение по формулам Крамера и методом Гаусса Задание 5.8.    Доказать, что система линейных уравнений
       г

4-х, + 3-х2  + 2-х3 + 3-х4 + б-х5   = 5
3-х, + 2 -х2  + х3  + 2-х4 + 4-х5   = 4
ч    + 2-х2  + 3-х3 + 2-х4 + 4-х5   = 0
2-х, + 3-х2  + 7-х3 + *4   -г 2-х-, = 1

совместна и неопределенна. Указать число базисных и свободных неизвестных. Выразить базисные неизвестные через свободные. Найти частные решения системы в случае, когда свободные неизвестные равны нулю.
Задание 5.9.              Даны четыре вектора
    ё(-2, 3, 5), ё(1, -3, 4), ё(7, 8, -I). J(l, 20, 1)
Показать, что векторы           С образуют базис, и разложись
вектор d ц© векторам базиса
Задание 5.10.
Наши собственные значения и собственные
векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

X -5 2'
А= 5 -7 3

Найти матрицу
'1 1 2
А = 1 0 1
J 1 0

(Л)⁷ в+с
1 О Го
2 0, В = 1
1 2J ь

2 13-2
13 1  1
-12 3 2
12 1-1

,если
-1 1
0 1
1 2

-Г]

2 ,
0?

I о
J ²

1 О'
1 о
0 2
I 1
1 о

Задание 6.4.
Доказать, что для матрицы существует обратная матрица.
Вычислить обратную матрицу.

(2 4 -2А

Л= 3 -5 -1

I⁴ -¹ ²)

f 1 3 1        3 о'

2
2

2 11 3  1

1^-6 0 -8 11 -8J

17

Задание 6.7. Доказать, что система линейных уравнений
             Xj + 2-х₂ + Зх₃                    + х₄ =-1
             X, + 2-х₂    н х₃    + х₄    =3
           х, +2-х₂ + 4-х₃ + 2-х₄ = -2 ~Х] + 2-х₂ + х₃       + 2-х₄   =0





                ВАРИАНТ № 7.




Задание 7.1.
Вычислить определитель третьего порядка
I) по определению;
2) разложив его по элементам первой строки

2 I -4
3 5   3
1 2   4

   ч совместна и имеет единственное решение.
      Найти это решение по формулам Крамера и методом Гйусса Задание 6.8. Доказать, что система линейных уравнений

3) Найти минор Задание 7.2.

Л^21 и алгебраическое дополнение
11

2   1

2-х, + 3-х2    + х3   + 2-х4 = 3
4-*! + 6х2   + 3-х3   + 4-х4 = 5
6-Х] + 9-х2  + 5-л3   + 6-х4 = 7
8-Х) + 12-х2 + 7 - х3 + 8-х4 = 9

Вычислить определитель четвертого порядка 1) разложив его по элементам третьей строки; 2) используя метод приведения определителя к треугольному виду.

Задание 7.3.

2 1  2
1 1 -2
2 1  2

-3
-2
0
1

совместна и неопределенна. Указать число базисных и свободных неизвестных. Выразить базисные неизвестные через свободные. Найти частные решения системы в случае, когда свободные неизвестные равны единице.
Задание 6.9.              Даны четыре вектора

Найти матрицу Л Н (В) 'О Го 1 Г|

а(-2, 3, 5), *(1, -3, 4),

с(7, 8, -1), с/(1, 20, 1).

1 о
I , В= о 1
4)      0 2
J *

I

<7

Показать, что векторы

С образуют базис, и разложить

вектор Ci по векторам базиса.
Задание 6.10.
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей
Г 2 -1       21

Задание 7.4.
Доказать, что для матрицы существует образ ная матрица.
Вычислить обратную матрицу.

,если
'о Г
1 1
2 0
0 1
1
2
Л = 1
I³

3
-2
7

Г
1 1

Задание 7.5-Найти решение матричного уравнения АХ В,

если

2

я=1

  5 -3   3
~1   0 -2

Задание 7.6.

4
-2

3
-2



4 3
-9 1

-4

3

5

9 8 -10
( 2

з 1

Найта ранг матрицы В , если

4 З'
2 I
0 I
0 0

V 1 -1 Ю 5J

19

Задание 7.7. Доказать, что система линейных уравнений
-2-х,   + 3-х₂  -2-х₃   р2-х₄   =10
X]    +4-х₂  + х₃    + 3-х₄  =6
2-Х|    +2-х₂  + х₃    + х₄    =3
          3-х,     + х₂  +2х₃    + х₄    = —1

     совместна и имеет единственное решение.
     Найти это решение по формулам Крамера и методом Гаусса.

Задание 7.8. Доказать, что система линейных уравнений (

2-х,  + х2        - х4  + *5   = 1
Ч     - *2  + *3  + Х4  -2-х5  = 0
3-х, + 3-х2 -3-х3 -3-х4 + 4-х5 = 2
4-х, + 5-х2 -5-х3 -5-х4 + 7 х5 = 3

совместна и неопределенна. Указать число базисных и свободных неизвестных. Выразить базисные неизвестные через свободные. Найти частные решения системы в случае, когда свободные неизвестные рввны нулю.
Задание 7.9.             Даны четыре вектора
   а(1, 3, 5), Б(0, 2, 0), с(5, 7, 9), J(0, 4, 16) .

Показать, что векторы      61 >
вектор d по векторам базиса.
Задание 7.10.
Найти собственные значения и

с образуют базис, и разложить

собственные векторы линейного

преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

7

А =

10
12

0
-19
24

0
10
13

ВАРИАНТ №8.
Задание 8.1.
Вычислить определитель третьего порядка 1) по определению;
2) разложив его по элементам второй строки.

5 2 1
-7 5 2
4 1 2

3) Найти минор        и алгебраическое дополнение ^32.

Задание 8.2.
Вычислить определитель четвертого порядка
1) разложив его по элементам четвертой строки;
2) используя метод приведения определителя к треугольному виду.

Задание 8.3. Найти матрицу А + В- (С)т
1  0 A (1 1 2'
   . О 1-10 D 10           1
   А=           , В =
10    10      0 1-1
,1 -1 0 1J     и 1 о,

2
1
2
1

1 г
4 2
3 2
1 2

.если

( 1

1°

I
2
1
1

Задание 8.4.
Доказать, что для матрицы существует обратная матрица.
Вычислить обратную матрицу.

Задание 8.5.

Найти решение матричного уравнения ХА-В. если

Задание 8.6. Найти ранг матрицы В , если
I  3 О      1  3  р
2  4    1   0   3 2
-4 -6 -3 2 -3 -4
, 1  5-1     3   6 1,

-1
1
4
1