Линейная алгебра. Аналитическая геометрия
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
Новосибирский государственный технический университет
Год издания: 2014
Кол-во страниц: 180
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-7782-2409-4
Артикул: 632069.01.99
Доступ онлайн
В корзину
В пособии подобраны задачи по курсу линейной алгебры и аналитической геометрии, читаемому на I курсе всех факультетов НГТУ. Теоретический материал пособия и приведенные решения типовых задач способствуют лучшему усвоению материала, самостоятельной работе и приобретению навыков решения задач, необходимых для успешной подготовки к экзамену. Авторы не претендуют на абсолютно корректное изложение теоретического материала, упростив его для улучшения понимания.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 00.03.06: Математика
- ВО - Специалитет
- 00.05.06: Математика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ______________________________________________________________________ А. М. ИВЛЕВА, П. И. ПРИЛУЦКАЯ, И. Д. ЧЕРНЫХ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Издание четвертое, исправленное и дополненное НОВОСИБИРСК 2014
УДК 512.64+512.12(075.8) И 255 Рецензенты: доцент А.П. Ковалевский, доцент Э.Б. Шварц Работа подготовлена на кафедре алгебры и математической логики НГТУ для студентов I курса всех факультетов и форм обучения Ивлева А.М. И 255 Линейная алгебра. Аналитическая геометрия : учеб. пособие / А.М. Ивлева, П.И. Прилуцкая, И.Д. Черных. – 4-е изд-е, испр. и доп. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2014. – 180 с. ISBN 978-5-7782-2409-4 В пособии подобраны задачи по курсу линейной алгебры и анали тической геометрии, читаемому на I курсе всех факультетов НГТУ. Теоретический материал пособия и приведенные решения типовых задач способствуют лучшему усвоению материала, самостоятельной работе и приобретению навыков решения задач, необходимых для успешной подготовки к экзамену. Авторы не претендуют на абсолютно корректное изложение теоретического материала, упростив его для улучшения понимания. УДК 512.64+512.12(075.8) ISBN 978-5-7782-2409-4 © Ивлева А. М., Прилуцкая П. И., Черных И.Д., 1996, 2000, 2006, 2014 © Новосибирский государственный технический университет, 1996, 2000, 2006, 2014
Ïðåäèñëîâèå ê ÷åòâåðòîìó èçäàíèþ Íåîáõîäèìîñòü íîâîãî èçäàíèÿ âûçâàíà ïðåæäå âñåãî òåì, ÷òî çàäà÷íèêîâ â áèáëèîòåêå ñòàëî íåäîñòàòî÷íî. Êðîìå òîãî, â ïðîöåññ ðàáîòû ñ êíèãîé âñåãäà âûÿâëÿþòñÿ âñå-òàêè äîïóùåííûå îïå÷àòêè è, ãëàâíîå, êàêèå-òî, ïî ìíåíèþ àâòîðîâ, òðåáóþùèå èñïðàâëåíèÿ íåäîðàáîòêè. Ïîýòîìó íîâîå èçäàíèå íå åñòü êîïèÿ ïðåäûäóøåãî. Íóìåðàöèÿ è ÷èñëî ãëàâ è ðàçäåëîâ ñîõðàíèëèñü, íî íåêîòîðûå ðàçäåëû ïåðåðàáîòàíû, äîïîëíåíû è ïîïîëíåíû íîâûìè çàäà÷àìè. Çà èñêëþ÷åíèåì ðàçäåëà 1.2, íîâûå çàäà÷è äîáàâëåíû ïîñëå óæå èìåâøèõñÿ, ÷òîáû ïî âîçìîæíîñòè ñîõðàíèòü íóìåðàöèþ çàäà÷ è ïðååìñòâåííîñòü èçäàíèé. Îñíîâíûå èçìåíåíèÿ êîñíóëèñü ñëåäóþùèõ ðàçäåëîâ.  ðàçäåëå 1.2 (êîìëåêñíûå ÷èñëà) ðàñøèðåíî òåîðåòè÷åñêîå îïèñàíèå è äîáàâëåíû íîâûå çàäà÷è. Ñóùåñòâåííî ïåðåðàáîòàí ðàçäåë 5.2: ïîÿâèëèñü óäîáíûå ñâîäíûå òàáëèöû ñ ðàçëè÷íûìè óðàâíåíèÿìè ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé, äîáàâëåíî çíà÷èòåëüíîå ÷èñëî íîâûõ çàäà÷. Äîïîëíåí ðàçäåë 7.4 î æîðäàíîâûõ ôîðìàõ. Âñå çàìå÷åííûå îïå÷àòêè èñïðàâëåíû, íî áîðüáà ñ íèìè ïðîäîëæàåòñÿ, è àâòîðû ïî-ïðåæíåìó áóäóò ïðèçíàòåëüíû âñåì âíèìàòåëüíûì ÷èòàòåëÿì, êîòîðûå èõ çàìåòÿò è äîâåäóò äî ñâåäåíèÿ àâòîðîâ. Àâòîðû, 2013 3
Ïðåäèñëîâèå ê òðåòüåìó èçäàíèþ Èçíà÷àëüíî ýòî ïîñîáèå çàäóìûâàëîñü êàê ñáîðíèê çàäà÷ ïî îñíîâàì ëèíåéíîé àëãåáðû è àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè, çíàêîìñòâî ñ êîòîðûìè äîëæåí (ïî çàìûñëó àâòîðîâ) ïîääåðæèâàòü ëþáîé óâàæàþùèé ñåáÿ ñòóäåíò ÍÃÒÓ. Ïî ìåðå ñîçäàíèÿ ñáîðíèêà âîçíèêëà âåñüìà ïðîäóêòèâíàÿ èäåÿ â íà÷àëå êàæäîãî ðàçäåëà ïîìåñòèòü ìèíèìóì òåîðåòè÷åñêèõ ñâåäåíèé, à òàêæå ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷. Îïÿòü-òàêè ïî çàìûñëó àâòîðîâ, ýòî äîëæíî ñïîñîáñòâîâàòü âûðàáîòêå ñòóäåíòàìè íàâûêîâ, íåîáõîäèìûõ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ è ïî âîçìîæíîñòè óñïåøíîé ñäà÷è ýêçàìåíà.  ðåçóëüòàòå âíåäðåíèÿ ýòîé èäåè è åå ðàçâèòèÿ (â ñòîðîíó óâåëè÷åíèÿ óïîìÿíóòîãî âûøå ìèíèìóìà) îáúåì êíèãè âûðîñ áîëåå ÷åì âäâîå, ÷òî, â ÷àñòíîñòè, ïîçâîëèëî èìåíîâàòü åå óæå íå ïðîñòî ñáîðíèêîì çàäà÷, à ó÷åáíûì ïîñîáèåì. Ñòðóêòóðà ýòîãî ïîñîáèÿ è ñâÿçè ìåæäó ðàçäåëàìè èçîáðàæåíû íà ñëåäóþùåé ñõåìå.  ãëàâå 1 ââîäÿòñÿ íåêîòîðûå áàçîâûå ïîíÿòèÿ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè (ìíîæåñòâà, ÷èñëîâûå ïîëÿ, ìíîãî÷ëåíû), áåç êîòî Ãëàâà 1 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ # " ! ? HHHHHHHH j # " ! Ãëàâà 2 Ìàòðèöû è îïðåäåëèòåëè ? Ðàçäåë 1.3 Ìíîãî÷ëåíû # " ! Ãëàâà 6 Îáùàÿ òåîðèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ' & $ % 9 XXXXXXXXX z 1 Ãëàâà 3 Ïðîñòðàíñòâî ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ ' & $ % ? ? Ãëàâà 7 Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà # " ! ? Ãëàâà 8 Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà ' & $ % ? Ãëàâà 4 Ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ ' & $ % ? Ãëàâà 5 Ëèíåéíûå ãåîìåòðè÷åñêèå îáúåêòû ' & $ % * Ãëàâà 9 Êðèâûå è ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà ' & $ % 4
ðûõ äàëüíåéøåå ïëàâàíèå â ìîðÿõ ëèíåéíîé àëãåáðû ÿâëÿåòñÿ åñëè íå ñîâñåì íåâîçìîæíûì, òî óæ íàâåðíÿêà ÷ðåçâû÷àéíî çàòðóäíèòåëüíûì. Êîíå÷íî, ýòè ðàçäåëû ïðåäñòàâëÿþò èçâåñòíûé èíòåðåñ è ñàìè ïî ñåáå â ÷èñòîì âèäå. Ê ñîæàëåíèþ, ìû íå èìååì âîçìîæíîñòè ðàññìîòðåòü èõ ïîäðîáíåå, ïîýòîìó ãëàâà 1 ñîäåðæèò ëèøü ñîâåðøåííî íåîáõîäèìûå îñíîâû îñíîâ.  ãëàâå 2 ÷èòàòåëü çíàêîìèòñÿ ñ ïîíÿòèÿìè ìàòðèöû è îïðåäåëèòåëÿ, à òàêæå ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûå òàêæå ÿâëÿþòñÿ áàçîâûìè è íåîáõîäèìûìè. Ýòè ïîíÿòèÿ ïî ñóòè ñâîåé íå ñëîæíû, õîòÿ îáû÷íî ïðè èõ èçó÷åíèè âîçíèêàþò îïðåäåëåííûå çàòðóäíåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ íåêîòîðîé íåîáû÷íîñòüþ è íåïðèâû÷íîñòüþ ìàòåðèàëà. Ïîâåðüòå, ýòà íåîáû÷íîñòü âïîëíå îïðàâäàííà, ÷òî ñòàíåò ïîíÿòíî ïðè äàëüíåéøåì èçó÷åíèè ëèíåéíîé àëãåáðû è ìíîãèõ äðóãèõ íàóê.  ãëàâàõ 34 ñîäåðæàòñÿ âàæíûå ñâåäåíèÿ èç æèçíè ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ, â ãëàâå 5 îïèñûâàþòñÿ êðèâûå è ïîâåðõíîñòè ïåðâîãî ïîðÿäêà, ò. å. ïðÿìûå è ïëîñêîñòè. Ãëàâà 6 çàâåðøàåò îçíàêîìëåíèå ÷èòàòåëÿ ñ ñèñòåìàìè ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Çàìåòèì, ÷òî åå ìîæíî ÷èòàòü íåïîñðåäñòâåííî ïîñëå âòîðîé. Ïîñëåäíèå ãëàâû 79 íà÷èíàþò çíàêîìñòâî ÷èòàòåëÿ ñ òåì, ÷òî íà ñàìîì äåëå è íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé àëãåáðîé. Ýòî ïîíÿòèÿ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà, ëèíåéíîãî è åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà, êâàäðàòè÷íîé ôîðìû, à òàêæå íåêîòîðûå èõ ïðèëîæåíèÿ. Ê ýòèì ãëàâàì ðåêîìåíäóåòñÿ ïðèñòóïàòü òîëüêî ïîñëå îñâîåíèÿ ìàòåðèàëà ïðåäûäóùèõ ãëàâ. Êàæäàÿ ãëàâà ñîäåðæèò ïðèìåðû ðåøåíèÿ òèïîâûõ çàäà÷; ðåøåíèÿ çàêàí÷èâàþòñÿ êâàäðàòèêîì ( ) â êîíöå. Íîâûå òåðìèíû, îïðåäåëÿåìûå â òåêñòå, âûäåëÿþòñÿ êóðñèâîì. Çíà÷îê .=, âñòðå÷àþùèéñÿ â òåêñòå, ñëåäóåò ÷èòàòü ðàâíî ïî îïðåäåëåíèþ èëè ïîëîæèì ïî îïðåäåëåíèþ. Ðàâåíñòâà èëè óñëîâèÿ, îáúåäèíåííûå ôèãóðíîé ñêîáêîé, ñ÷èòàþòñÿ âûïîëíåííûìè îäíîâðåìåííî, òîãäà êàê åñëè îíè îáúåäèíåíû êâàäðàòíîé ñêîáêîé, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíî èç íèõ. Æèðíûì øðèôòîì â òåêñòå âûäåëÿþòñÿ êëþ÷åâûå ñëîâà, íà êîòîðûå ñëåäóåò îáðàòèòü îñîáîå âíèìàíèå. Êðîìå òîãî, äëÿ îáëåã÷åíèÿ óñâîåíèÿ ìàòåðèàëà òåêñò ñíàáæåí ìíîãî÷èñëåííûìè ñíîñêàìè. Ïîìèìî òðàäèöèîííûõ ñíîñîê1, ñîäåðæàùèõ íåêîòîðûå çàìå÷àíèÿ ê òåêñòó, ÷èòàòåëü âñòðåòèò åùå ñíîñêè äðóãîãî òèïà. Îíè êàê íåëüçÿ áîëåå ñåðüåçíû è ñîäåðæàò ñëîæíûå ïðèìåðû, çàìå÷àíèÿ è óãëóáëåííûå ðàçúÿñíåíèÿ, êîòîðûå ìîæíî ïðîïóñòèòü ïðè ïåðâîì (à èíîãäà è ïðè âòîðîì) ÷òåíèè. Òàêèå ñíîñêè âûäåëÿþòñÿ æèðíûì øðèôòîì2 . Çàäà÷è ïîâûøåííîé ñëîæíîñòè ïîìå÷àþòñÿ çâåçäî÷êîé. 1Ïîñòàðàéòåñü íå ïóòàòü íîìåð ñíîñêè ñ âåðõíèì èíäåêñîì. 2Íå ðàññòðàèâàéòåñü, åñëè âàì íå âñå ïîíÿòíî â ñíîñêå òàêîãî âèäà.
Îñòàëîñü òîëüêî ïîæåëàòü óñïåõîâ â èçó÷åíèè ýòîé ñåðüåçíîé íàóêè, ÷òî ìû è äåëàåì. Íàäååìñÿ, ÷òî ýòî ïîñîáèå äåéñòâèòåëüíî ïîìîæåò âàì â äîñòèæåíèè ýòîé öåëè. Óäà÷è! Àâòîðû, 2006
Ãëàâà 1 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ 1.1. Ìíîæåñòâà Ìíîæåñòâîì ìû áóäåì íàçûâàòü ëþáóþ ñîâîêóïíîñòü ïðîèçâîëüíûõ îáúåêòîâ. Îáúåêòû, âõîäÿùèå â ìíîæåñòâî, íàçûâàþòñÿ åãî ýëåìåíòàìè. Çàïèñü a ∈ A (a ̸∈ A) îçíà÷àåò: ýëåìåíò a ïðèíàäëåæèò (íå ïðèíàäëåæèò) ìíîæåñòâó A. Ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå íè îäíîãî ýëåìåíòà, íàçûâàåòñÿ ïóñòûì è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì ∅. Ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå âñå ýëåìåíòû ðàññìàòðèâàåìûõ â äàííîì êîíòåêñòå ìíîæåñòâ, íàçûâàåòñÿ óíèâåðñàëüíûì1 è îáîçíà÷àåòñÿ U. Îáîçíà÷åíèÿ ìíîæåñòâ: A = {x1, . . . , xn} ìíîæåñòâî A ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ x1, . . . , xn; A = {x ∈ M|α(x)} ìíîæåñòâî A ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ x ìíîæåñòâà M, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì α(x). Ïðèìåð 1. A = {x|x = 2n, n ∈ Z} ìíîæåñòâî ÷åòíûõ ÷èñåë. Êâàíòîðû âñåîáùíîñòè è ñóùåñòâîâàíèÿ ×àñòî ìàòåìàòè÷åñêèå óòâåðæäåíèÿ áûâàåò óäîáíî çàïèñûâàòü ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíûõ çíà÷êîâ êâàíòîðîâ. Êâàíòîð âñåîáùíîñòè âûãëÿäèò òàê: ∀ è ÷èòàåòñÿ äëÿ ëþáîãî. Êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ (∃) ÷èòàåòñÿ ñóùåñòâóåò. Åñëè â öåïî÷êå êâàíòîðîâ âñòðå÷àåòñÿ ñèìâîë |, åãî ñëåäóåò ÷èòàòü òàêîé(-àÿ,-îå), ÷òî. Êâàíòîðû èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ∀x ∈ M α(x) : äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x èç ìíîæåñòâà M ñïðàâåäëèâî ñâîéñòâî α(x). ∃x ∈ M β(x) : ñóùåñòâóåò ýëåìåíò x èç ìíîæåñòâà M, äëÿ êîòîðîãî âåðíî ñâîéñòâî β(x). ∃!x ∈ M β(x) : ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ýëåìåíò x èç ìíîæåñòâà M, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâî β(x). 1Ìîæíî áûëî áû, êîíå÷íî, îïðåäåëèòü U êàê ìíîæåñòâî ÂÑÅÕ ýëåìåíòîâ, íî òàêîå îïðåäåëåíèå ñ òî÷êè çðåíèÿ àêñèîìàòè÷åñêîé òåîðèè ìíîæåñòâ íåêîððåêòíî, ïîñêîëüêó ïðèâîäèò ê çíàìåíèòîìó ïàðàäîêñó Á. Ðàññåëà. 7
Ïðèìåð 2. Âûðàæåíèå ∃M > 0|∀x ∈ D f(x) < M ÷èòàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ñóùåñòâóåò ÷èñëî M > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ìíîæåñòâà D âûïîëíÿåòñÿ f(x) < M. Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà B, åñëè ∀x ∈ A x ∈ B . Îáîçíà÷åíèå: A ⊆ B. Ìíîæåñòâà A è B íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè2 , åñëè A ⊆ B è B ⊆ A. Îáîçíà÷åíèå: A = B. Åñëè A ⊆ B è A ̸= B, ïèøåì A ⊂ B. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè Îáúåäèíåíèåì (ñóììîé) ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå êàê ýëåìåíòû A, òàê è ýëåìåíòû B: A ∪ B = {x|x ∈ A èëè x ∈ B}. Ïåðåñå÷åíèåì (ïðîèçâåäåíèåì) ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå òîëüêî ýëåìåíòû, ïðèíàäëåæàùèå A è B îäíîâðåìåííî: A ∩ B = {x|x ∈ A è x ∈ B}. Ðàçíîñòüþ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå ýëåìåíòû A è íå ñîäåðæàùåå ýëåìåíòû B: A \ B = {x|x ∈ A è x /∈ B}. Äîïîëíåíèåì ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå âñå ýëåìåíòû óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà U, êðîìå ýëåìåíòîâ A: A = U \ A = {x|x /∈ A}. Äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð: A × B = {⟨x, y⟩|x ∈ A è y ∈ B}. Çäåñü è â äàëüíåéøåì ñ ïîìîùüþ òðåóãîëüíûõ ñêîáîê ìû áóäåì îáîçíà÷àòü êàê ðàç óïîðÿäî÷åííûå íàáîðû. 2Ðàçóìååòñÿ, åñëè A è B êîíå÷íûå ìíîæåñòâà, òî èõ ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî îíè ñîäåðæàò îäíè è òå æå ýëåìåíòû. Õîòÿ ýòî æå âåðíî è äëÿ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ, äëÿ ïîñëåäíèõ ïîýëåìåíòíîå ñðàâíåíèå íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Ïðèâåäåííîå îïðåäåëåíèå êîððåêòíî äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ. 8
Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå A×A îáîçíà÷àþò òàêæå A2, A×A×A = A3 è ò. ä.3 Äèàãðàììû ÝéëåðàÂåííà Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè óäîáíî äëÿ íàãëÿäíîñòè äåìîíñòðèðîâàòü íà òàê íàçûâàåìûõ äèàãðàììàõ ÝéëåðàÂåííà. Íà íèõ óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî U àññîöèèðóåòñÿ ñ ìíîæåñòâîì òî÷åê êâàäðàòà, à ðàññìàòðèâàåìûå ìíîæåñòâà ñ åãî ïîäìíîæåñòâàìè, òðàäèöèîííî èçîáðàæàåìûìè â âèäå êðóãîâ. U A U A U A U A "! # B "! # B "! # B A ∪ B A ∩ B A \ B A ×èñëîâûå ìíîæåñòâà N = {0, 1, 2, . . . , n, . . .} ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. ∀x, y ∈ N x + y ∈ N, x · y ∈ N (ãîâîðÿò, ÷òî N çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ). Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë. ∀x, y ∈ Z x + y ∈ Z, x − y ∈ Z, x · y ∈ Z , ò. å. Z çàìêíóòî óæå îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ. Q = {x|x = p q, p, q ∈ Z, q ̸= 0} ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. ℑ ìíîæåñòâî èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ýëåìåíòû êîòîðîãî ïðåäñòàâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íûìè íåïåðèîäè÷åñêèìè äåñÿòè÷íûìè äðîáÿìè. R = Q ∪ ℑ ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ (èëè äåéñòâèòåëüíûõ) ÷èñåë. Åñëè P ëþáîå ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî, òî P+ îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî âñåõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë èç P, à P∗ ìíîæåñòâî âñåõ íåíóëåâûõ ÷èñåë èç P: P+ = {x ∈ P|x ≥ 0}, P∗ = P \ {0}. Âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå âëîæåíèÿ: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. 3Íà ñàìîì äåëå, åñëè ïîäõîäèòü ôîðìàëüíî, äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå íå ÿâëÿåòñÿ àññîöèàòèâíûì, ò. å. A × (B × C) ̸= (A × B) × C. Íî äàâàéòå ñ÷èòàòü, ÷òî A×B ×C ýòî ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ òðîåê, A×B ×C ×D ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ÷åòâåðîê è ò. ä. Ýòî äàñò íàì çàêîííîå îñíîâàíèå ïèñàòü An ∀n ≥ 2. 9
Ïðèìåð 3. Äîêàçàòü òîæäåñòâî A ∩ B = A ∪ B. Ðåøåíèå à) Äîêàæåì, ÷òî åñëè x ∈ A ∩ B, òî x ∈ A ∪ B. x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ U è x ̸∈ A ∩ B ⇒ x ̸∈ A èëè x ̸∈ B ⇒ x ∈ A èëè x ∈ B ⇒ x ∈ A ∪ B, òàêèì îáðàçîì, A ∩ B ⊆ A ∪ B. á) Äîêàæåì, ÷òî åñëè x ∈ A ∪ B, òî x ∈ A ∩ B. x ∈ A ∪ B ⇒ x ̸∈ A èëè x ̸∈ B ⇒ x ̸∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∩ B, òàêèì îáðàçîì, A ∪ B ⊆ A ∩ B è, ñëåäîâàòåëüíî, A ∩ B = A ∪ B, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. 1.1. Çàäà÷è 1. Ïåðå÷èñëèòå ýëåìåíòû ìíîæåñòâ: à) A = {x ∈ N|x2 − 3x − 4 ≤ 0}; á) B = x ∈ Z 1 4 ≤ 2x < 5 ; â) A ∪ B; ã) A ∩ B; ä) A \ B; å) B \ A. 2. Äàíû ìíîæåñòâà: A = (−1, 2]; B = [1, 4). Íàéäèòå ìíîæåñòâà: à) A ∪ B; á) A ∩ B; â) A \ B; ã) B \ A. 3. Èçîáðàçèòå íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ìíîæåñòâà: à) {(x, y)|x2 − y2 > 0; x, y ∈ R}; á) {(x, y)|y2 ≥ 2x + 1, x, y ∈ R}. 4. Ïåðå÷èñëèòå ýëåìåíòû äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæåñòâ A è B, åñëè A = {1, 2, 4}, B = {a, b}. 5. Äàíû ìíîæåñòâà: A = {x ∈ Z|x2 − 2x − 15 ≤ 0}, B = {2x|x ∈ Z}, C = {2x + 1|x ∈ Z}. Ïåðå÷èñëèòå ýëåìåíòû ìíîæåñòâ A, A ∩ B, A ∩ C, A \ B, A \ C, B ∪ C, B ∩ C. 6. Äîêàæèòå ñëåäóþùèå òîæäåñòâà, èñïîëüçóÿ òîëüêî îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè: à) A \ B = A ∩ B; á) B ∩ (A \ B) = ∅; â) B ∪ (A \ B) = A ∪ B; ã) A ∪ A = U; ä) A ∩ A = ∅. Ïðîèëëþñòðèðóéòå èõ ñ ïîìîùüþ äèàãðàìì ÝéëåðàÂåííà4 . 7. Ïåðå÷èñëèòå âñå ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà A: à) A = {{1, 2}, {3}, 1}; á) A = {{1}, {2}, 1, 2}. 4Çàìåòèì, ÷òî ñàìó èëëþñòðàöèþ ñ ïîìîùüþ äèàãðàìì ÝéëåðàÂåííà íèêàê íåëüçÿ ñ÷èòàòü äîêàçàòåëüñòâîì, îíà ñëóæèò òîëüêî äëÿ íàãëÿäíîñòè. 10
Доступ онлайн
В корзину