Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 632069.01.99
Доступ онлайн
90 ₽
В корзину
В пособии подобраны задачи по курсу линейной алгебры и аналитической геометрии, читаемому на I курсе всех факультетов НГТУ. Теоретический материал пособия и приведенные решения типовых задач способствуют лучшему усвоению материала, самостоятельной работе и приобретению навыков решения задач, необходимых для успешной подготовки к экзамену. Авторы не претендуют на абсолютно корректное изложение теоретического материала, упростив его для улучшения понимания.
Ивлева, А. М. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия / А. М. Ивлева, П. И. Прилуцкая, И. Д. Черных. - Новосибирск : НГТУ, 2014. - 180 с. - ISBN 978-5-7782-2409-4. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/548302 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
______________________________________________________________________

А. М. ИВЛЕВА, П. И. ПРИЛУЦКАЯ, И. Д. ЧЕРНЫХ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Утверждено Редакционно-издательским советом 

университета в качестве учебного пособия

Издание четвертое, исправленное и дополненное

НОВОСИБИРСК

2014

УДК 512.64+512.12(075.8)

И 255

Рецензенты: 

доцент А.П. Ковалевский,

доцент Э.Б. Шварц

Работа подготовлена на кафедре алгебры и математической логики 

НГТУ для студентов I курса всех факультетов и форм обучения

Ивлева А.М.

И 255
Линейная алгебра. Аналитическая геометрия : учеб. пособие / 

А.М. Ивлева, П.И. Прилуцкая, И.Д. Черных. – 4-е изд-е, испр. и
доп. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2014. – 180 с.

ISBN 978-5-7782-2409-4

В пособии подобраны задачи по курсу линейной алгебры и анали
тической геометрии, читаемому на I курсе всех факультетов НГТУ. Теоретический материал пособия и приведенные решения типовых задач 
способствуют лучшему усвоению материала, самостоятельной работе и 
приобретению навыков решения задач, необходимых для успешной подготовки к экзамену. Авторы не претендуют на абсолютно корректное изложение теоретического материала, упростив его для улучшения понимания.

УДК 512.64+512.12(075.8)

ISBN 978-5-7782-2409-4
© Ивлева А. М., Прилуцкая П. И., 
Черных И.Д., 1996, 2000, 2006, 2014
© Новосибирский государственный 

технический  университет, 1996, 2000, 2006, 2014

Ïðåäèñëîâèå ê ÷åòâåðòîìó èçäàíèþ

Íåîáõîäèìîñòü íîâîãî èçäàíèÿ âûçâàíà ïðåæäå âñåãî òåì, ÷òî çàäà÷íèêîâ â áèáëèîòåêå ñòàëî íåäîñòàòî÷íî. Êðîìå òîãî, â ïðîöåññ ðàáîòû
ñ êíèãîé âñåãäà âûÿâëÿþòñÿ âñå-òàêè äîïóùåííûå îïå÷àòêè è, ãëàâíîå,
êàêèå-òî, ïî ìíåíèþ àâòîðîâ, òðåáóþùèå èñïðàâëåíèÿ íåäîðàáîòêè. Ïîýòîìó íîâîå èçäàíèå íå åñòü êîïèÿ ïðåäûäóøåãî. Íóìåðàöèÿ è ÷èñëî
ãëàâ è ðàçäåëîâ ñîõðàíèëèñü, íî íåêîòîðûå ðàçäåëû ïåðåðàáîòàíû, äîïîëíåíû è ïîïîëíåíû íîâûìè çàäà÷àìè. Çà èñêëþ÷åíèåì ðàçäåëà 1.2,
íîâûå çàäà÷è äîáàâëåíû ïîñëå óæå èìåâøèõñÿ, ÷òîáû ïî âîçìîæíîñòè
ñîõðàíèòü íóìåðàöèþ çàäà÷ è ïðååìñòâåííîñòü èçäàíèé.
Îñíîâíûå èçìåíåíèÿ êîñíóëèñü ñëåäóþùèõ ðàçäåëîâ. Â ðàçäåëå 1.2
(êîìëåêñíûå ÷èñëà) ðàñøèðåíî òåîðåòè÷åñêîå îïèñàíèå è äîáàâëåíû íîâûå çàäà÷è. Ñóùåñòâåííî ïåðåðàáîòàí ðàçäåë 5.2: ïîÿâèëèñü óäîáíûå
ñâîäíûå òàáëèöû ñ ðàçëè÷íûìè óðàâíåíèÿìè ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé, äîáàâëåíî çíà÷èòåëüíîå ÷èñëî íîâûõ çàäà÷. Äîïîëíåí ðàçäåë 7.4 î æîðäàíîâûõ ôîðìàõ.
Âñå çàìå÷åííûå îïå÷àòêè èñïðàâëåíû, íî áîðüáà ñ íèìè ïðîäîëæàåòñÿ, è àâòîðû ïî-ïðåæíåìó áóäóò ïðèçíàòåëüíû âñåì âíèìàòåëüíûì
÷èòàòåëÿì, êîòîðûå èõ çàìåòÿò è äîâåäóò äî ñâåäåíèÿ àâòîðîâ.

Àâòîðû, 2013

3

Ïðåäèñëîâèå ê òðåòüåìó èçäàíèþ

Èçíà÷àëüíî ýòî ïîñîáèå çàäóìûâàëîñü êàê ñáîðíèê çàäà÷ ïî îñíîâàì
ëèíåéíîé àëãåáðû è àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè, çíàêîìñòâî ñ êîòîðûìè
äîëæåí (ïî çàìûñëó àâòîðîâ) ïîääåðæèâàòü ëþáîé óâàæàþùèé ñåáÿ ñòóäåíò ÍÃÒÓ. Ïî ìåðå ñîçäàíèÿ ñáîðíèêà âîçíèêëà âåñüìà ïðîäóêòèâíàÿ
èäåÿ  â íà÷àëå êàæäîãî ðàçäåëà ïîìåñòèòü ìèíèìóì òåîðåòè÷åñêèõ
ñâåäåíèé, à òàêæå ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷. Îïÿòü-òàêè ïî çàìûñëó àâòîðîâ, ýòî äîëæíî ñïîñîáñòâîâàòü âûðàáîòêå ñòóäåíòàìè íàâûêîâ, íåîáõîäèìûõ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ è ïî âîçìîæíîñòè óñïåøíîé ñäà÷è ýêçàìåíà.
 ðåçóëüòàòå âíåäðåíèÿ ýòîé èäåè è åå ðàçâèòèÿ (â ñòîðîíó óâåëè÷åíèÿ
óïîìÿíóòîãî âûøå ìèíèìóìà) îáúåì êíèãè âûðîñ áîëåå ÷åì âäâîå, ÷òî,
â ÷àñòíîñòè, ïîçâîëèëî èìåíîâàòü åå óæå íå ïðîñòî ñáîðíèêîì çàäà÷, à
ó÷åáíûì ïîñîáèåì.
Ñòðóêòóðà ýòîãî ïîñîáèÿ è ñâÿçè ìåæäó ðàçäåëàìè èçîáðàæåíû íà
ñëåäóþùåé ñõåìå.  ãëàâå 1 ââîäÿòñÿ íåêîòîðûå áàçîâûå ïîíÿòèÿ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè (ìíîæåñòâà, ÷èñëîâûå ïîëÿ, ìíîãî÷ëåíû), áåç êîòî
Ãëàâà 1
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

#

"

 

!

?

HHHHHHHH
j
#

"

 

!

Ãëàâà 2
Ìàòðèöû è îïðåäåëèòåëè

?

Ðàçäåë 1.3
Ìíîãî÷ëåíû

#

"

 

!



Ãëàâà 6
Îáùàÿ òåîðèÿ ñèñòåì
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

'

&

$

%










9

XXXXXXXXX
z



1

Ãëàâà 3
Ïðîñòðàíñòâî
ãåîìåòðè÷åñêèõ
âåêòîðîâ

'

&

$

%

?

?
Ãëàâà 7
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà

#

"

 

!

?

Ãëàâà 8
Åâêëèäîâû
ïðîñòðàíñòâà

'

&

$

%

?

Ãëàâà 4
Ïðîèçâåäåíèÿ
âåêòîðîâ

'

&

$

%

?
Ãëàâà 5
Ëèíåéíûå
ãåîìåòðè÷åñêèå îáúåêòû

'

&

$

%

*


Ãëàâà 9
Êðèâûå è ïîâåðõíîñòè
âòîðîãî ïîðÿäêà

'

&

$

%

4

ðûõ äàëüíåéøåå ïëàâàíèå â ìîðÿõ ëèíåéíîé àëãåáðû ÿâëÿåòñÿ åñëè íå
ñîâñåì íåâîçìîæíûì, òî óæ íàâåðíÿêà ÷ðåçâû÷àéíî çàòðóäíèòåëüíûì.
Êîíå÷íî, ýòè ðàçäåëû ïðåäñòàâëÿþò èçâåñòíûé èíòåðåñ è ñàìè ïî ñåáå
â ÷èñòîì âèäå. Ê ñîæàëåíèþ, ìû íå èìååì âîçìîæíîñòè ðàññìîòðåòü èõ
ïîäðîáíåå, ïîýòîìó ãëàâà 1 ñîäåðæèò ëèøü ñîâåðøåííî íåîáõîäèìûå îñíîâû îñíîâ.  ãëàâå 2 ÷èòàòåëü çíàêîìèòñÿ ñ ïîíÿòèÿìè ìàòðèöû è îïðåäåëèòåëÿ, à òàêæå ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûå òàêæå ÿâëÿþòñÿ
áàçîâûìè è íåîáõîäèìûìè. Ýòè ïîíÿòèÿ ïî ñóòè ñâîåé íå ñëîæíû, õîòÿ
îáû÷íî ïðè èõ èçó÷åíèè âîçíèêàþò îïðåäåëåííûå çàòðóäíåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ íåêîòîðîé íåîáû÷íîñòüþ è íåïðèâû÷íîñòüþ ìàòåðèàëà. Ïîâåðüòå,
ýòà íåîáû÷íîñòü âïîëíå îïðàâäàííà, ÷òî ñòàíåò ïîíÿòíî ïðè äàëüíåéøåì èçó÷åíèè ëèíåéíîé àëãåáðû è ìíîãèõ äðóãèõ íàóê.  ãëàâàõ 34
ñîäåðæàòñÿ âàæíûå ñâåäåíèÿ èç æèçíè ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ, â ãëàâå 5 îïèñûâàþòñÿ êðèâûå è ïîâåðõíîñòè ïåðâîãî ïîðÿäêà, ò. å. ïðÿìûå
è ïëîñêîñòè. Ãëàâà 6 çàâåðøàåò îçíàêîìëåíèå ÷èòàòåëÿ ñ ñèñòåìàìè ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Çàìåòèì, ÷òî åå ìîæíî ÷èòàòü íåïîñðåäñòâåííî ïîñëå
âòîðîé. Ïîñëåäíèå ãëàâû 79 íà÷èíàþò çíàêîìñòâî ÷èòàòåëÿ ñ òåì, ÷òî
íà ñàìîì äåëå è íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé àëãåáðîé. Ýòî ïîíÿòèÿ ëèíåéíîãî
îïåðàòîðà, ëèíåéíîãî è åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà, êâàäðàòè÷íîé ôîðìû,
à òàêæå íåêîòîðûå èõ ïðèëîæåíèÿ. Ê ýòèì ãëàâàì ðåêîìåíäóåòñÿ ïðèñòóïàòü òîëüêî ïîñëå îñâîåíèÿ ìàòåðèàëà ïðåäûäóùèõ ãëàâ.
Êàæäàÿ ãëàâà ñîäåðæèò ïðèìåðû ðåøåíèÿ òèïîâûõ çàäà÷; ðåøåíèÿ
çàêàí÷èâàþòñÿ êâàäðàòèêîì (
) â êîíöå. Íîâûå òåðìèíû, îïðåäåëÿåìûå â òåêñòå, âûäåëÿþòñÿ êóðñèâîì. Çíà÷îê .=, âñòðå÷àþùèéñÿ â òåêñòå,
ñëåäóåò ÷èòàòü ðàâíî ïî îïðåäåëåíèþ èëè ïîëîæèì ïî îïðåäåëåíèþ.
Ðàâåíñòâà èëè óñëîâèÿ, îáúåäèíåííûå ôèãóðíîé ñêîáêîé, ñ÷èòàþòñÿ âûïîëíåííûìè îäíîâðåìåííî, òîãäà êàê åñëè îíè îáúåäèíåíû êâàäðàòíîé
ñêîáêîé, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíî
èç íèõ. Æèðíûì øðèôòîì â òåêñòå âûäåëÿþòñÿ êëþ÷åâûå ñëîâà, íà
êîòîðûå ñëåäóåò îáðàòèòü îñîáîå âíèìàíèå. Êðîìå òîãî, äëÿ îáëåã÷åíèÿ
óñâîåíèÿ ìàòåðèàëà òåêñò ñíàáæåí ìíîãî÷èñëåííûìè ñíîñêàìè. Ïîìèìî
òðàäèöèîííûõ ñíîñîê1, ñîäåðæàùèõ íåêîòîðûå çàìå÷àíèÿ ê òåêñòó, ÷èòàòåëü âñòðåòèò åùå ñíîñêè äðóãîãî òèïà. Îíè êàê íåëüçÿ áîëåå ñåðüåçíû
è ñîäåðæàò ñëîæíûå ïðèìåðû, çàìå÷àíèÿ è óãëóáëåííûå ðàçúÿñíåíèÿ,
êîòîðûå ìîæíî ïðîïóñòèòü ïðè ïåðâîì (à èíîãäà è ïðè âòîðîì) ÷òåíèè.
Òàêèå ñíîñêè âûäåëÿþòñÿ æèðíûì øðèôòîì2 . Çàäà÷è ïîâûøåííîé
ñëîæíîñòè ïîìå÷àþòñÿ çâåçäî÷êîé.

1Ïîñòàðàéòåñü íå ïóòàòü íîìåð ñíîñêè ñ âåðõíèì èíäåêñîì.
2Íå ðàññòðàèâàéòåñü, åñëè âàì íå âñå ïîíÿòíî â ñíîñêå òàêîãî âèäà.

Îñòàëîñü òîëüêî ïîæåëàòü óñïåõîâ â èçó÷åíèè ýòîé ñåðüåçíîé íàóêè,
÷òî ìû è äåëàåì. Íàäååìñÿ, ÷òî ýòî ïîñîáèå äåéñòâèòåëüíî ïîìîæåò âàì
â äîñòèæåíèè ýòîé öåëè. Óäà÷è!

Àâòîðû, 2006

Ãëàâà 1

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

1.1.
Ìíîæåñòâà

Ìíîæåñòâîì ìû áóäåì íàçûâàòü ëþáóþ ñîâîêóïíîñòü ïðîèçâîëüíûõ
îáúåêòîâ. Îáúåêòû, âõîäÿùèå â ìíîæåñòâî, íàçûâàþòñÿ åãî ýëåìåíòàìè. Çàïèñü a ∈ A (a ̸∈ A) îçíà÷àåò: ýëåìåíò a ïðèíàäëåæèò (íå ïðèíàäëåæèò) ìíîæåñòâó A.
Ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå íè îäíîãî ýëåìåíòà, íàçûâàåòñÿ ïóñòûì
è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì ∅.
Ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå âñå ýëåìåíòû ðàññìàòðèâàåìûõ â äàííîì êîíòåêñòå ìíîæåñòâ, íàçûâàåòñÿ óíèâåðñàëüíûì1 è îáîçíà÷àåòñÿ U.
Îáîçíà÷åíèÿ ìíîæåñòâ: A = {x1, . . . , xn}  ìíîæåñòâî A ñîñòîèò èç
ýëåìåíòîâ x1, . . . , xn; A = {x ∈ M|α(x)}  ìíîæåñòâî A ñîñòîèò èç
ýëåìåíòîâ x ìíîæåñòâà M, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì α(x).
Ïðèìåð 1. A = {x|x = 2n, n ∈ Z}  ìíîæåñòâî ÷åòíûõ ÷èñåë.

Êâàíòîðû âñåîáùíîñòè è ñóùåñòâîâàíèÿ

×àñòî ìàòåìàòè÷åñêèå óòâåðæäåíèÿ áûâàåò óäîáíî çàïèñûâàòü ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíûõ çíà÷êîâ  êâàíòîðîâ. Êâàíòîð âñåîáùíîñòè âûãëÿäèò òàê: ∀ è ÷èòàåòñÿ äëÿ ëþáîãî. Êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ (∃) ÷èòàåòñÿ ñóùåñòâóåò. Åñëè â öåïî÷êå êâàíòîðîâ âñòðå÷àåòñÿ ñèìâîë |, åãî
ñëåäóåò ÷èòàòü òàêîé(-àÿ,-îå), ÷òî.
Êâàíòîðû èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
∀x ∈ M

α(x)

: äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x èç ìíîæåñòâà M ñïðàâåäëèâî
ñâîéñòâî α(x).

∃x ∈ M

β(x)

: ñóùåñòâóåò ýëåìåíò x èç ìíîæåñòâà M, äëÿ êîòîðîãî âåðíî ñâîéñòâî β(x).

∃!x ∈ M

β(x)

: ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ýëåìåíò x èç ìíîæåñòâà
M, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâî β(x).

1Ìîæíî áûëî áû, êîíå÷íî, îïðåäåëèòü U êàê ìíîæåñòâî ÂÑÅÕ ýëåìåíòîâ,
íî òàêîå îïðåäåëåíèå ñ òî÷êè çðåíèÿ àêñèîìàòè÷åñêîé òåîðèè ìíîæåñòâ íåêîððåêòíî, ïîñêîëüêó ïðèâîäèò ê çíàìåíèòîìó ïàðàäîêñó Á. Ðàññåëà.

7

Ïðèìåð 2. Âûðàæåíèå ∃M > 0|∀x ∈ D

f(x) < M

÷èòàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ñóùåñòâóåò ÷èñëî M > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî
ýëåìåíòà x ìíîæåñòâà D âûïîëíÿåòñÿ f(x) < M.

Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà B, åñëè
∀x ∈ A

x ∈ B

. Îáîçíà÷åíèå: A ⊆ B.

Ìíîæåñòâà A è B íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè2 , åñëè A ⊆ B è B ⊆ A.
Îáîçíà÷åíèå: A = B.
Åñëè A ⊆ B è A ̸= B, ïèøåì A ⊂ B.

Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè

Îáúåäèíåíèåì (ñóììîé) ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå êàê ýëåìåíòû A, òàê è ýëåìåíòû B:

A ∪ B = {x|x ∈ A èëè x ∈ B}.

Ïåðåñå÷åíèåì (ïðîèçâåäåíèåì) ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå òîëüêî ýëåìåíòû, ïðèíàäëåæàùèå A è B îäíîâðåìåííî:

A ∩ B = {x|x ∈ A è x ∈ B}.

Ðàçíîñòüþ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå ýëåìåíòû A è íå ñîäåðæàùåå ýëåìåíòû B:

A \ B = {x|x ∈ A è x /∈ B}.

Äîïîëíåíèåì ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå âñå
ýëåìåíòû óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà U, êðîìå ýëåìåíòîâ A:

A = U \ A = {x|x /∈ A}.

Äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå
ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð:

A × B = {⟨x, y⟩|x ∈ A è y ∈ B}.

Çäåñü è â äàëüíåéøåì ñ ïîìîùüþ òðåóãîëüíûõ ñêîáîê ìû áóäåì îáîçíà÷àòü êàê ðàç óïîðÿäî÷åííûå íàáîðû.

2Ðàçóìååòñÿ, åñëè A è B  êîíå÷íûå ìíîæåñòâà, òî èõ ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî
îíè ñîäåðæàò îäíè è òå æå ýëåìåíòû. Õîòÿ ýòî æå âåðíî è äëÿ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ, äëÿ ïîñëåäíèõ ïîýëåìåíòíîå ñðàâíåíèå íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì.
Ïðèâåäåííîå îïðåäåëåíèå êîððåêòíî äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ.

8

Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå A×A îáîçíà÷àþò òàêæå A2, A×A×A = A3

è ò. ä.3

Äèàãðàììû ÝéëåðàÂåííà

Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè óäîáíî äëÿ íàãëÿäíîñòè äåìîíñòðèðîâàòü
íà òàê íàçûâàåìûõ äèàãðàììàõ ÝéëåðàÂåííà. Íà íèõ óíèâåðñàëüíîå
ìíîæåñòâî U àññîöèèðóåòñÿ ñ ìíîæåñòâîì òî÷åê êâàäðàòà, à ðàññìàòðèâàåìûå ìíîæåñòâà  ñ åãî ïîäìíîæåñòâàìè, òðàäèöèîííî èçîáðàæàåìûìè â âèäå êðóãîâ.




U

A



U

A



U

A



U

A

"!

# 
B

"!

# 
B

"!

# 
B

A ∪ B
A ∩ B
A \ B
A

×èñëîâûå ìíîæåñòâà

N = {0, 1, 2, . . . , n, . . .}  ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
∀x, y ∈ N

x + y ∈ N, x · y ∈ N

(ãîâîðÿò, ÷òî N çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî
îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ).
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}  ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë.
∀x, y ∈ Z

x + y ∈ Z, x − y ∈ Z, x · y ∈ Z

, ò. å. Z çàìêíóòî óæå
îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ.
Q = {x|x = p

q, p, q ∈ Z, q ̸= 0}  ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.

ℑ  ìíîæåñòâî èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ýëåìåíòû êîòîðîãî ïðåäñòàâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íûìè íåïåðèîäè÷åñêèìè äåñÿòè÷íûìè äðîáÿìè.
R = Q ∪ ℑ  ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ (èëè äåéñòâèòåëüíûõ) ÷èñåë.
Åñëè P  ëþáîå ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî, òî P+ îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî
âñåõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë èç P, à P∗  ìíîæåñòâî âñåõ íåíóëåâûõ
÷èñåë èç P:
P+ = {x ∈ P|x ≥ 0}, P∗ = P \ {0}.

Âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå âëîæåíèÿ:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

3Íà ñàìîì äåëå, åñëè ïîäõîäèòü ôîðìàëüíî, äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå íå ÿâëÿåòñÿ àññîöèàòèâíûì, ò. å. A × (B × C) ̸= (A × B) × C. Íî äàâàéòå ñ÷èòàòü, ÷òî
A×B ×C  ýòî ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ òðîåê, A×B ×C ×D  ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ÷åòâåðîê è ò. ä. Ýòî äàñò íàì çàêîííîå îñíîâàíèå ïèñàòü An ∀n ≥ 2.

9

Ïðèìåð 3. Äîêàçàòü òîæäåñòâî A ∩ B = A ∪ B.
Ðåøåíèå
à) Äîêàæåì, ÷òî åñëè x ∈ A ∩ B, òî x ∈ A ∪ B.
x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ U è x ̸∈ A ∩ B ⇒ x ̸∈ A èëè x ̸∈ B ⇒
x ∈ A èëè x ∈ B ⇒ x ∈ A ∪ B,
òàêèì îáðàçîì, A ∩ B ⊆ A ∪ B.
á) Äîêàæåì, ÷òî åñëè x ∈ A ∪ B, òî x ∈ A ∩ B.
x ∈ A ∪ B ⇒ x ̸∈ A èëè x ̸∈ B ⇒ x ̸∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∩ B,
òàêèì îáðàçîì, A ∪ B ⊆ A ∩ B è, ñëåäîâàòåëüíî, A ∩ B = A ∪ B, ÷òî è
òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

1.1. Çàäà÷è
1. Ïåðå÷èñëèòå ýëåìåíòû ìíîæåñòâ:
à) A = {x ∈ N|x2 − 3x − 4 ≤ 0};

á) B =

x ∈ Z

1
4 ≤ 2x < 5

;

â) A ∪ B; ã) A ∩ B; ä) A \ B; å) B \ A.
2. Äàíû ìíîæåñòâà: A = (−1, 2]; B = [1, 4). Íàéäèòå ìíîæåñòâà:
à) A ∪ B; á) A ∩ B; â) A \ B; ã) B \ A.
3. Èçîáðàçèòå íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ìíîæåñòâà:
à) {(x, y)|x2 − y2 > 0; x, y ∈ R};
á) {(x, y)|y2 ≥ 2x + 1, x, y ∈ R}.
4. Ïåðå÷èñëèòå ýëåìåíòû äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæåñòâ A è B,
åñëè A = {1, 2, 4}, B = {a, b}.
5. Äàíû ìíîæåñòâà: A = {x ∈ Z|x2 − 2x − 15 ≤ 0}, B = {2x|x ∈ Z},
C = {2x + 1|x ∈ Z}. Ïåðå÷èñëèòå ýëåìåíòû ìíîæåñòâ A, A ∩ B, A ∩ C,
A \ B, A \ C, B ∪ C, B ∩ C.
6. Äîêàæèòå ñëåäóþùèå òîæäåñòâà, èñïîëüçóÿ òîëüêî îïðåäåëåíèÿ
îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè:
à) A \ B = A ∩ B;
á) B ∩ (A \ B) = ∅;
â) B ∪ (A \ B) = A ∪ B;
ã) A ∪ A = U;
ä) A ∩ A = ∅.
Ïðîèëëþñòðèðóéòå èõ ñ ïîìîùüþ äèàãðàìì ÝéëåðàÂåííà4 .
7. Ïåðå÷èñëèòå âñå ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà A:
à) A = {{1, 2}, {3}, 1};
á) A = {{1}, {2}, 1, 2}.

4Çàìåòèì, ÷òî ñàìó èëëþñòðàöèþ ñ ïîìîùüþ äèàãðàìì ÝéëåðàÂåííà íèêàê
íåëüçÿ ñ÷èòàòü äîêàçàòåëüñòâîì, îíà ñëóæèò òîëüêî äëÿ íàãëÿäíîñòè.

10

Доступ онлайн
90 ₽
В корзину