Об управлении спектром и стабилизации билинейных систем


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.977.1 + 517.926

© В. А. Зайцев


            ОБ УПРАВЛЕНИИ СПЕКТРОМ
            И СТАБИЛИЗАЦИИ БИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ¹


Получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи управления спектром в билинейной системе.
Ключевые слова: управление спектром, стабилизация, билинейная система.

   Рассмотрим линейную стационарную управляемую систему
         x = Aоx + Bu, y = C*x, (x,u,y) G Rⁿ x Rm x Rk.   (1)
Пусть управление в системе (1) строится в виде линейной неполной обратной связи u = Uy. Соответствующая замкнутая система будет иметь вид
                  x = (Aо + BUC*)x,  x G Rⁿ.              (2)
Наряду с системой (2), рассмотрим билинейную управляемую систему
             X = (A₀ + и 1A1 + ... + uᵣAᵣ)x, x G Rⁿ.      (3)
Всякую систему вида (2) можно записать в виде (3), если положить r := mk, A i := b i c *, ..., Ak := b 1 c*ₖ, Ak+1 := b 2 cj, ...,A 2 к := b 2 c*ₖ, ..., A—+1 := bmc 1, ■ ■ ■ A Ar : — bmck, u : — ⁽u 11, . . . ,u 1 k, u21, . . . , u2k, . . . , um 1, • • • , umk), ГДв U=.<*          .
   Исследуется задача управления спектром матрицы системы (3) или, по-другому, задача размещения собственных значений (pole assignment problem). Будем говорить, что задача управления спектром в системе (3) разрешима, если для произвольного многочлена p(X) = Xⁿ + Y 1 Xⁿ⁻¹ + ... + Yn, Yi G R найдется постоя иное управление u = (u 1 ,...,uᵣ) G Rr такое, что характеристический многочлен х (A₀ + u 1 A 1 + ... + uᵣ Aᵣ; X) матрицы A о + u 1 A 1 + ... + uᵣ Aᵣ совпа дает c p (X). Будем предполагать, что коэффициенты систем (2) и (3) имеют следующий вид:

      a11    a12   0     . .       0 
      "'2i   ao22    a23 . .       0 
A0 = an-1,1 an-1,2         . ao i    
     an 1    an 2          n---- 1 ,n
                           ao        
                           . . nn    

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 06-01-00258).