«Арифметика» Н. В. Бугаева

МАТЕМАТИКА 
в школе
9/2009
Министерство 
образования и науки 
Российской Федерации 
ООО «Школьная Пресса» 
Издается с мая 1934 г. 
Периодичность -  10 номеров в год
В НОМЕРЕ:

___________________________  ОТКРЫТЫЙ УРОК ________

3 
Дёмина Т.Ю.
Исследование функции на монотонность. Экстремумы функции

____________________________  КОНСУЛЬТАЦИЯ _______________________________

12 
Мищенко Т.М.
Тематические тесты для 7 классов, работающих по учебнику «Геометрия 7-9» 
Л.С.Атанасяна и др.

_______________________  МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР __________________________

19 
Багишова О.А.
Изучение основ статистики на лингвистических примерах

23 
Варанов М.А., Горобец Б.С.
Взаимосвязан ли рост супругов? Как прогнозировать рост детей по росту их родителей?

27 
Альшевская М.Н.
Статистические исследования на уроках математики в 5-6 классах

30 
Тимофеева И.Л., Сергеева И.Е.
Кванторные обороты и обороты с кванторным смыслом в обучении математике

ТОЧКА ЗРЕНИЯ

37 
Рыжик В.И.
Эксперты против?

ПРОБЛЕМЫ И СУЖДЕНИЯ

45 
Адамович М.А., Бодряков В.Ю., Лемеш А.А., Фомина Н.Г.
Проблема преемственности школьной и высшей математики при изучении темы 
«Предел последовательности»

51 
Феоктистов И.Е. 
Делимость чисел

«АРИФМЕТИКА» Н.В.БУГАЕВА

Ю.М.Колягин (Москва),

О.А.Саввина (Елец),

А.А.Малютин (Елец)

Николай Васильевич Бугаев (1837-1903) был личностью многогранной и разносторонне 
одаренной. Получив прекрасное математическое образование в Московском университете, 
он не ограничился ролью ученого-исследователя и педагога высшей школы. С высоты 
своих знаний и опыта Николай Васильевич видел многое, в том числе чему и как учить
не только студентов, но и гимназистов. Не 
автором школьных учебников.

Новый учебник: 
у истоков замысла
Среди книг, написанных Н.В.Бугаевым 
для школы, наибольшую популярность 
имели руководства и задачники по арифметике1, впервые изданные в середине 
1870-х гг. Сейчас трудно точно восстановить причины, побудившие автора, к 
тому времени состоявшегося ученого и 
авторитетного профессора, взяться за составление учебника арифметики, но некоторые предположения все же можно 
высказать.
С одной стороны, этому способствовал 
ряд внешних факторов. Во-первых, в официальных (министерских) кругах признавался недостаток добротной учебной 
литературы по математике2. Во-вторых, в 
начале 1870-х гг. были проведены первые 
письменные экзамены на аттестат зрело
1 Перу Н.В.Бугаева принадлежат также учебные 
руководства по геометрии и алгебре для средней 
школы.

избежал он и притягательной идеи -  стать

сти, на которых у гимназистов обнаружилось слабое знание именно арифметики. 
Тогда же вышли министерские программы для гимназий и прогимназий, в которых предусматривалось повторение курса 
арифметики в VII классе. Все это так или 
иначе способствовало оживлению интереса к созданию новых учебников по предмету.
С 
другой 
стороны, 
существовали 
субъективные причины. Уже к началу 
1870-х гг. вопросы преподавания математики были близки Н.В.Бугаеву. Он был 
хорошо осведомлен о проблемах с преподаванием арифметики в гимназиях: 
слышал о них, как говорится, из первых 
уст от своего коллеги и члена попечительского совета Московского учебного окру2 Так, из 44 сочинений по математике, присланных на конкурс в Ученый комитет Министерства народного просвещения в 1864 и 1865 гг., 
П.Л.Чебышёв, выступивший тогда экспертом, не 
нашел ни одного вполне удовлетворяющим условиям конкурса [9].

га А.Ю.Давидова3, проявлявшего особую 
обеспокоенность в связи с преподаванием этого предмета в гимназиях. Нельзя 
не отметить и тот факт, что Н.В.Бугаев 
имел опыт частного преподавания математики детям и успешную практику 
чтения лекций юношам. Но главное -  к 
этому времени он серьезно размышлял 
над философскими проблемами преподавания математики. Все это косвенно объясняет стремление Николая Васильевича 
создать собственные учебные руководства 
для школы.
В учебных программах для мужских 
гимназий и прогимназий 1890 г. учебники арифметики Н.В.Бугаева упоминаются 
неоднократно4. Однако они не сразу получили зеленую улицу в среднюю школу. Первое издание руководства вышло в 
свет в 1874 г. Оно было обстоятельно рассмотрено на заседании Ученого комитета 
Министерства народного просвещения 
15 июня 1874 г., но одобрено в качестве 
учебного пособия лишь «по исправлении 
оного автором, а также по дополнении 
листка опечаток в 1875 г. вместе с задачником» [6, 7].

3 В 1863—1873 гг. — декан физико-математического 
факультета Московского университета. Будучи 
членом попечительского совета, принимал деятельное участие в улучшении преподавания математики в средних и начальных учебных заведениях. Являлся автором учебников математики 
для гимназий.

4 «Задачник к арифметике целых чисел» был рекомендован для приготовительного класса, «Руководство к арифметике. Арифметика целых 
чисел» и «Руководство к арифметике. Арифметика дробных чисел» — для I класса, а также для
II и III классов [8].
В то время в приготовительный класс принимались дети 8-10 лет, знающие и умеющие считать 
до 1000, производить сложение и вычитание над 
этими числами. В I класс гимназии и прогимназии принимались дети не моложе 10 лет, от них 
требовалось знание четырех арифметических 
действий над целыми числами.

Руководство и задачник: 
вместе или порознь?

Рассмотрим сначала некоторые внешние особенности учебных книг по арифметике Н.В.Бугаева. Во-первых, следуя традиции, Николай Васильевич назвал свои 
учебники «Руководствами» (так именовали 
собственные книги Ф.И.Буссе, С.Е.Гурьев,
В.А.Золотов), в то время как другие авторы предпочитали называть свои учебники 
«Курсами» или просто «Арифметикой». Во- 
вторых, само издание по сути было представлено четырьмя книгами:
«Руководство к арифметике целых чисел», 
«Руководство к арифметике дробных чисел», 
«Задачник к арифметике целых чисел»,
«Задачник к арифметике дробных чисел».
Издание учебника в виде двух самостоятельных книг не было типичным 
для того времени, хотя подобный опыт в 
России имелся. Далеко не каждый автор 
брался тогда и за составление комплекта «учебник -  задачник». Н.В.Бугаев нашел целесообразным выпустить учебник 
и задачник отдельными изданиями. Он 
отмечал:
«Задачи, разбитые по учебнику, разрывают цельность и последовательность 
изложения. Они подают учащемуся повод 
смешивать главное с второстепенным, сущность научного содержания с его применениями.
Кроме того, самые задачники должны 
различаться, смотря по тому, будут ли 
они иметь в виду одиночное обучение или 
обучение в классе. Число задач находится 
в неразрывной связи с числом учащихся. 
В учебнике трудно принять во внимание 
эту связь. Учебник и задачник в отдельности лучше достигают целей преподавания» [2].
Теперь дадим краткое описание руководств (по изданиям 1870-1890-х гг.). В 
целом они соответствовали действовавшей программе как по содержанию, так 
и в последовательности изложения.
В арифметике целых чисел дается систематическое изложение вопросов: нумерация; основные арифметические действия; проверка четырех арифметических 
действий; изменения суммы, разности, произведения и частного; сложные арифметические действия (действия со скобками); 
именованные числа и действия над ними; 
приложение арифметических действий 
к решению задач; краткие исторические 
сведения о нумерации; счисление при различных основаниях.
В арифметике дробных чисел излагаются такие вопросы: основные свойства дробей; делители, признаки делимости; общий 
наибольший делитель и наименьшее кратное число; сокращение дробей; приведение 
дробей к одному знаменателю; основные 
действия с обыкновенными и десятичными 
дробями; периодические и непрерывные 
дроби; дробные именованные числа; отношения (арифметическое и геометрическое 
отношения); пропорции; тройное правило, 
правило товарищества, правило смешения, 
цепное правило и др.
Программный материал в обоих руководствах представлен практически полностью (отсутствуют только сведения о русских счетах). Вместе с тем ряд вопросов, 
выходящих за рамки программы (краткие исторические сведения о нумерации; 
письменное счисление при различных 
основаниях; признаки делимости на 7,
11 
и 13; некоторые приложения алгебры к арифметике и др.), был включен 
в специально предусмотренный раздел 
«Прибавления».

Об особенностях 
изложения теории
Перейдем к содержательной характеристике учебников [3, 4]. В предисловии

к первой части автор так объяснил предназначение книги:
«Мы имели в виду дать отчетливое, ясное, систематическое изложение арифметических истин. Мы желали дать учащемуся итог, к которому окончательно должны 
сводиться его арифметические познания, 
каким бы путем, какими бы приемами они 
не приобретались им в классе» [4].
Тем самым Н.В.Бугаев подчеркнул, что 
учебник должен быть кратким и ясным, 
содержать только главное и не быть перегруженным методическими замечаниями.
Арифметика целых чисел начинается с 
рассмотрения основных понятий. Определив понятия количества, величины, меры, единицы, числа, целого числа, дробного числа, именованного и отвлеченного 
чисел, автор, наконец, дает и определение 
арифметики:
«Арифметика есть наука, в которой излагаются правила составления, изображения чисел словами и знаками и основные 
действия с числами» [4].
Н.В.Бугаев предлагает два определения целого числа -  как совокупности единиц и как результата счета.

«Целое число.  Целое число есть одна или несколько единиц, взятых вместе, 
или, как обыкновенно выражаются, есть 
одна единица или совокупность нескольких единиц...
Определить, сколько раз какой-нибудь 
предмет повторяется в данной совокупности однородных предметов, -  значит 
считать предметы. Считая предметы, мы 
всегда выражаем результат счета числом 
целым.
Целое число есть результат счета» [4].

Н.В.Бугаев делает определенный шаг 
вперед, разъясняя уже в арифметике 
дробных чисел понятие множества натуральных чисел, при этом он употребляет

термин «ряд натуральных чисел». Заметим, что в учебнике А.П.Киселёва, изданном гораздо позднее, натуральные числа 
продолжают именоваться целыми, хотя 
на самом деле рассматриваются только 
целые неотрицательные числа.
В изложении материала Н.В.Бугаев 
пытается следовать определенной им же 
самим последовательности -  «теория, механизм вычисления и приложения теории 
к решению практических задач» и даже 
включает в эту схему этап мотивации. 
Так, объясняя понятие дроби, автор сначала демонстрирует необходимость его 
введения для проведения измерения, а 
затем приводит определение:
«Дробь, или дробное число, есть одна 
или несколько равных частей единицы. 
Дробь есть результат измерения какой- 
нибудь величины частями однородной с 
нею единицы» [3].
Далее он иллюстрирует понятие дроби с помощью рисунка, дает определение 
числителю и знаменателю и только после 
этого говорит о счислении (записи) дроби. 
В этом принципиальное отличие учебника 
Н.В.Бугаева от учебника А.П.Киселёва, в 
котором сначала дается обозначение дроби, а потом вводятся понятия «числитель» 
и «знаменатель» [5]. Подход Бугаева выглядит предпочтительнее.
Определив таким образом дробь, разъяснив ее письменную символическую запись и устное словесное прочтение, автор 
предлагает посмотреть на дробь иначе -  
как на результат деления:

«Дробь есть частное, происходящее от 
разделения числителя на знаменатель» [3]. 
Этим он предваряет знакомство учащихся с правильными и неправильными 
дробями (в следующем пункте учебника), 
что, с методической точки зрения, выглядит очень ценно. Сначала автор вводит 
понятие неравенства и только после этого

дает примеры записи правильной и неправильной дробей в сравнении с единицей.
Удачно и обстоятельно Н.В.Бугаев объясняет, как сравнить дроби, указывая, в 
частности, на два способа сравнения дробей с разными числителями и знаменателями: путем приведения их к одному 
числителю или к одному знаменателю. 
«При сравнении дробей встречаются три 
случая: дроби могут иметь одинаковые знаменатели, одинаковые числители, разные 
числители и знаменатели.
a) Все дроби с одинаковыми знаменателями имеют части одинаковой величины. 
Из них, очевидно, та дробь больше, в которой частей больше, след.
Если дроби имеют одинаковые знаменатели, та дробь больше, у которой числитель 
больше.
Располагая по их величине дроби

7 
1
9
 
6
— , — , — , — , 
мы должны, начиная с 
13 
13 
13 
13
большей, написать их в порядке:

JL JL A  JL
1 3 ’  1 3 ’  1 3 ’ 1 3 '

b) Все дроби с одинаковыми числителями имеют одно и то же число частей. Эти 
части тем крупнее, чем знаменатель меньше, след.
Если дроби имеют одинаковые числители, та дробь больше, у которой знаменатель меньше.
Располагая по их величине дроби

8 
8 
8 
8 
8
—, —, —, —, —, 
мы должны, начиная с 
5 
9 
3 
6 
4
большей, написать их в порядке:

8 
8 
8 
8 
8 

3 ’ 4 '  5 ' 6 ’  9

c) В случае, если дроби имеют разные 
числители и знаменатели, то их приводят к одному знаменателю или к одному 
числителю и потом уже делают заключение об их величине» [3].

Последнее утверждение (под литерой 
с) получает развитие в книге не сразу, а 
через несколько параграфов. Так, пояснив ряд необходимых понятий и правил 
(изменение и сохранение величины дробей; нахождение части от числа и числа 
по данной его части; понятия простых и 
составных чисел; признаки делимости на
2, 4, 8, 9, 3, 5, 10, 6; понятия общего наибольшего делителя и наименьшего 
кратного числа, сократимой дроби) и подготовив тем самым «почву» для изложения нового материала, автор вновь возвращается к проблеме сравнения дробей, 
для решения которой необходимо уметь 
приводить дроби к «одному» знаменателю 
или к «одному» числителю.
Наконец, Н.В.Бугаев не оставляет без 
внимания сведения из истории математики. Иногда небольшие исторические 
замечания вкрапливаются в текст прямо 
по ходу объяснения нового материала, 
например обзорно рассматривается происхождение знаков +, -, х, =, >, . (в 
дореволюционных учебниках точкой часто обозначали операцию умножения). 
Отдельным вопросам посвящены подробные исторические экскурсы. Так, истории 
нумерации отведен целый параграф.

О системе вопросов 
и типах задач
Важной методической особенностью 
учебников Н.В.Бугаева является наличие (в конце обоих руководств) системы 
вопросов, составленных к каждому разделу5. Она детально продумана и представляет собой своеобразную последовательную проверку-повторение теоретиче
5 Например, только к первому разделу «Основные 
свойства дробей» учебника [3], занимающему в 
книге менее 5 страниц, автор предложил целых 
17 вопросов! При этом ни одно из новых понятий 
и утверждений не осталось без внимания.

ского материала в полном объеме. Автор 
проделал колоссальную и кропотливую 
методическую работу: всего к арифметике целых чисел он составил 311 вопросов, 
а к арифметике дробных чисел -  294. В 
качестве примера приведем систему вопросов к разделу «Общий наибольший 
делитель и наименьшее кратное число» 
из руководства [3].
79. Что называется общим делителем 
нескольких чисел? (§ 22.)
80. Что называется общим наибольшим 
делителем нескольких чисел?
81. Сколько способов находить общий 
наибольший делитель нескольких чисел6?
82. Как найти общий наибольший делитель способом разложения на первоначальные множители? (Первое правило.)
83. Как найти общий наибольший делитель двух чисел способом последовательного деления? (Второе п ра вил о. )
84. Как найти общий наибольший делитель трех чисел?
85. Какие числа называются взаимно 
простыми?
86. Что называется числом, кратным 
нескольким числам? (§ 24.)
87. Что называется наименьшим кратным числом нескольких чисел?
88. Как составить наименьшее кратное 
нескольких данных чисел? (Правило.)
89. Чему равно наименьшее кратное 
взаимно простых чисел?
90. Что называется дополнительным делителем числа до кратного? (§ 25.)
91. Как найти дополнительный делитель до кратного числа?
Как было сказано ранее, к каждой из 
частей «Руководства» Н.В.Бугаев написал

6 Стиль речи, характерный для учебников XIX века, отличается от современного. Например, сегодня вопрос 79 мы начали бы словами «Какое 
число называется...», а вопрос 81 словами «Какие 
способы нахождения...».

задачник, полностью согласованный с соответствующим руководством. Задачам
Н.В.Бугаев отводил двоякую роль: 1) развитие навыка вычислений; 2) разъяснение смысла и значения арифметических 
действий через их применения. Двоякая 
роль определила два типа задач.
К первому типу можно отнести задачи, в формулировках которых используется только понятийный ряд арифметики. 
Ко второму -  сюжетные задачи. При их 
составлении автор выбирал данные, выражавшие какие-нибудь действительные 
отношения. Он отмечал:
«Этим путем мы имели в виду возвысить интерес задач, сделать их решение 
полезным и со стороны их внутреннего содержания» [1].
Материал для своих задач Н.В.Бугаев 
черпал не столько из повседневной жизни, сколько из истории, географии, астрономии, статистики. Героями задач часто 
выступают реальные личности (исторические персоналии, современники автора), а 
«сюжеты» задач разворачиваются в конкретных городах, губерниях, странах. Вот 
несколько примеров из [1].

Задача 73. (Сложение.) а) В 1320 году 
немецкий монах Бартольд Шварц изобрел 
порох. Через 26 лет в битве при Кресси употребляли огнестрельное оружие. Спустя 14 
лет после этого сражения построен первый пороховой завод в Любеке. Еще спустя 270 лет 
изобретен кремневой ружейный замок. Через 
203 года после этого фабрикант Дрейзе изобрел игольчатое ружье, а через 37 лет введены митральезы. Определить, когда изобретен 
кремневой замок и введены митральезы?

Задача 111. (Вычитание.) В 1299 году 
флорентинец Армати изобрел очки, а в 1609 
году изобретен телескоп. Через сколько лет 
сделано второе изобретение после первого?

Задача 402. (Четыре д е й с т в и я  с ц е лыми и м е н о в а н н ы м и  числами.) Когда

в Париже полдень, в Петербурге 2 ч. 20 мин. 
56 сек.; когда в Петербурге полдень, в Москве
12 ч. 29 мин. 4 сек. Который час в Москве, 
если в Париже 2 ч. 17 мин. 18 сек.?
Задача 471. ( П р и л о ж е н и е  а р и ф м е т и ч е с к и х  д е й с т в и й  к р е ш е н и ю  з а дач.) Первое кругосветное путешествие сделал Магеллан. Он выехал 20 сентября 1519 
года и возвратился 16 сентября 1522 года. Во 
сколько времени он сделал кругосветное путешествие?
Не менее интересны и поучительны задачи первого типа. Приведем некоторые 
из них.
Задача 59. (Пре д в а р и т е л ь н ы е  п о н я тия об а р и ф м е т и ч е с к и х  действиях.) 
Выразить письменно сложение и вычитание 
двух чисел 9 и 3.
Задача 60. ( П р е д в а р и т е л ь н ы е  п о н я тия об а р и ф м е т и ч е с к и х  действиях.) 
Выразить словесно сложение и вычитание 
двух чисел 9 и 3.
Задача 65. (Сложение.)

132 + 47 + 239 + 638 + 4 = ?
128 + 87 + 428 + 317 + 228 = ?

Задача 210. ( И з м е н е н и е  с у м м ы  и 
раз ност и. ) Что произойдет с суммой, если 
одно слагаемое увеличим на 7, а другое на 
3 единицы?
Задача 223. ( И з м е н е н и е  с у м м ы  и 
р а зн ос т и. ) Что произойдет с разностью, если уменьшаемое увеличим 12, а вычитаемое 
уменьшим 11 единицами?
Задача 255. (Сложные а р и ф м е т и ч е ские дей ств ия , скобки.) Вычислить арифметическое выражение (27 + 38 -  14) х 12.
На примере данной подборки задач 
убеждаемся, что автору удалось выдержать принципы постепенности введения 
математических фактов и последовательного нарастания уровня сложности. Действительно, сначала тщательно прорабатываются «выговаривание» и математическая запись суммы, затем предлагаются

простейшие упражнения на вычисление 
суммы нескольких чисел. (Аналогично с 
разностью, произведением и частным.) 
После этого дается более сложное задание -  на выяснение того, как изменится 
результат действия (в данном случае сумма, разность) при изменении чисел, над 
которыми оно производится. Наконец, 
предлагается пример на вычисление значения числового выражения, содержащего скобки.

Уч ебн и к-дол гожител ь
Ясное и последовательное изложение 
теории, продуманная система упражнений и вопросов для проверки усвоения 
материала, интересные авторские задачи -  такой была (Арифметика» Н.В.Бугаева. И не удивительно, что его руководства 
к арифметике оказались достаточно «живучими»: книги многократно переиздавались и сохраняли свои позиции на Олимпе 
официально признанной учебной литературы почти четверть века.
Добавим, что они имели успех в условиях жесткой конкуренции: в один только 
«Каталог руководств и учебных пособий», 
отобранных Министерством народного 
просвещения для «употребления» в средней школе, входило около двух десятков 
учебников и задачников по арифметике 
разных авторов. Из министерских каталогов руководства Н.В.Бугаева были исключены только в 1899 г., фактически 
уступив место учебнику А.П.Киселёва.
Учебники арифметики Н.В.Бугаева 
были переведены на болгарский язык и в 
1889 г. вышли в Пловдиве, что является

еще одним подтверждением их популярности и успешности в дореволюционное время не только в России, но и за рубежом.

------------------------ Литература _ _ _ _ _ _ _

1. Бугаев Н.В. Задачник к арифметике целых чисел. Изд. 2. — М.: Типография 
А.И.Мамонтова и К0, 1876.
2. Бугаев Н.В. Начальная алгебра. Изд. 2. — 
М. — СПб.: Издание Н.И.Мамонтова, 1881.
3. Бугаев Н.В. Руководство к арифметике. 
Арифметика дробных чисел. Изд. 7. -  М.: Издание Н.И.Мамонтова, 1893.
4. Бугаев Н.В. Руководство к арифметике. 
Арифметика целых чисел. Изд. 10. -  М.: Издание Н. И. Мамонтова, 1898.
5. Киселёв А.П. Систематический курс 
арифметики. Репринтное издание к 150-летию со дня рождения А.П.Киселёва. — Орёл: 
Изд-во Орловского государственного университета, 2002.
6. ОРКиР НБ МГУ. Ф. 41. On. 1. Ед. хр. 205. 
Рецензия на учебник Бугаева «Руководство к 
арифметике в 2-х частях». Выписка из журнала Ученого комитета Министерства народного 
просвещения от 15 июля 1874 г.
7. ОРКиР НБ МГУ. Ф. 41. On. 1. Ед. хр. 
210. Выписка из журнала Ученого комитета 
Министерства народного просвещения о допущении учебника Н.В.Бугаева «Арифметика» в 
2-х частях.
8. Программы, учебные планы, утвержденные 20 июня 1890 г., мужских гимназий и 
прогимназий / Сост. П.Е.Горбунов. -  Изд. 3. — 
М., 1895.
9. Прудников В.Е. П.Л.Чебышёв -  ученый 
и педагог. -  М.: Просвещение, 1964.