Лев Семенович Понтрягин: история борца

МАТЕМАТИКА 
в школе m

НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ 
И МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

Образован Министерством 
просвещения РСФСР 

Издается с мая 1934 г. 

Выходит 10 раз в год
_____ МЕРЕ:

О НОВЫХ ПОСОБИЯХ РАССКАЗЫВАЮТ АВТОРЫ

3 
А. Г. Мордкович
Обновленное тематическое планирование курса алгебры и начал 
математического анализа в X -X I классах общеобразовательной школы

ЕДИНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН

9 
Л. 0 Денищева, Ю.А. Глазков, К.А. Краснянская
Характерные ошибки при разработке тестовых заданий

КОНСУЛЬТАЦИЯ

13 
В.А. Далингер
Учебно-исследовательские задания по теме «Дроби и действия над ними»

18 Г. В. Ястребова
Из опыта применения зачетной системы

МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР

22 
П.И. Совертков, В.И. Седакова
Обучение генерированию идей при решении геометрических задач 
исследовательского характера 

28 Г. И. Саранцев
Эвристики в школьном курсе геометрии 

35 Г. Б. Филипповский
Лемма о «дважды биссектрисе» треугольника 

39 Л.С. Сагателова
Применение свойств ортогональной проекции к решению задач 

43 Д.Л. Модель
Треугольник Паскаля и элементы комбинаторики в школьном курсе математики 

48 Г.Н. Попов
Треугольник Паскаля и N-я степень числа

ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ

51 
С. С. Минаева
Калькулятор на уроках тригонометрии

ПРОБЛЕМЫ И СУЖДЕНИЯ

58 
С. В. Буфеев
Могут ли оценки учеников служить показателем качества работы учителя?

ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ

О.А.Саввина (Елец),
ЛЕВ СЕМЕНОВИЧ ПОНТРЯГИН: ИСТОРИЯ БОРЦА 
Ю.М.Колягин (Москва)

2008 г. является юбилейным годом одного из 
выдающихся отечественных математиков XX в. — 
Льва Семеновича Понтрягина: 3 сентября (21 августа по старому стилю) исполняется 100 лет со 
дня его рождения, а 3 мая — 20 лет со дня смерти.
JI.С. Понтрягин родился в 1908 г. в Москве, в 
семье мелкого служащего. Его отец — Семен Акимович Понтрягин относил себя к толстовцам, поэтому сына, рожденного в год 80-летнего юбилея 
JI.H.Толстого, было решено назвать в честь великого русского писателя — Львом. Мировоззренческие взгляды отца не были переданы сыну. Жизненная позиция Л.С.Понтрягина находилась в 
противоречии с толстовским принципом: бескомпромиссную борьбу он считал единственным способом преодоления зла и несправедливости. Лев, 
по-видимому, унаследовал характер матери, который отнюдь не был «мягким». Мать отличали 
огромная сила воли и твердость в отношениях с 
людьми, в том числе и с сыном.
В 1916 г. Лева Понтрягин поступил в городское 
училище. Вспоминая о том времени, он пишет: 
«В городском училище нас обучали арифметике, 
чтению, письму. Арифметика давалась мне легко, 
а чтение и письмо — плохо. Можно сказать, что 
уже тогда проявились мои математические склонности» [7, с. 31]. Через год грянула революция, и 
мальчик продолжил свое обучение уже в единой 
трудовой школе.
Детство и школьные годы Левы, как и тысяч 
других детей, родившихся незадолго до революции, проходили в военное время и были далеко 
не безоблачными. Ему пришлось пережить и голод, и разлуку с родителями, и множество других 
невзгод, среди которых особенно трагичным стало событие, произошедшее с ним осенью 1921 г., 
когда в результате несчастного бытового случая 
он потерял зрение.
После лечения Лева попытался учиться в специализированной школе-интернате для слепых, 
но невысокий уровень преподавания не удовлетворил его и он решил вернуться в обычную шко
| лу. Однако первое время обучение давалось ему с 
I 
большим трудом, появились проблемы и с изуче- 
I нием любимой математики. Тем не менее слепой 
мальчик не только справился с бытовыми труд- 
I 
ностями и пробелами в учебе, но к окончанию 
j 
школы самостоятельно приобрел математические 
| знания, которые не только выходили за пределы 
i: 
школьной программы, но даже соответствовали 
объему технического вуза: он знал основы аналитической геометрии, дифференциального и инте- 
, 
трального исчислений и имел представление о 
I дифференциальных уравнениях.
В 1925 г. Л.С.Понтрягин поступил на физико- 
математический факультет Московского университета. Обучение в университете доставляло ему 
радость и вместе с тем определенные трудности: 
I записывать лекции студенту Понтрягину не пред- 
I ставлялось физически возможным, он их просто 
1 слушал с большим вниманием и запоминал.
Среди лекторов первокурснику особенно импонировали известные в то время математики, 
профессора С.С.Бюшгенс и И.И.Жегалкин. Он 
вспоминал: «Пожалуй самыми интересными для 
меня были лекции С.С.Бюшгенса по аналитической геометрии. Меня увлекала стройность вычислений. Были интересны также лекции по анализу 
И.И.Жегалкина. Лекции по высшей алгебре, ко- 
j торые читал Меньшов, были для меня скучны, он 
рассказывал слишком медленно, так что я примерно за полчаса мог предвидеть, что он скажет в даль- 
| нейшем, хотя вовсе не знал этого курса» [7, с. 43].
На старших курсах Л.С.Понтрягина увлекли 
5 тензорный анализ и риманова геометрия, а также 
курс интегральных уравнений, который читал про- 
| фессор Д.Ф.Егоров, оставивший весьма благопри- 
| ятные впечатления у Понтрягина как о лекторе. 
Но больше всего студента Понтрягина потрясли 
лекции по современной алгебре, которые ему посчастливилось слушать у известного немецкого 
математика Эмми Нетер, приехавшей тогда в Россию. По воспоминаниям Л.С.Понтрягина: «Лекции эти поражали своей отделанностью, ... но не

были засушенными и казались мне очень интересными. Лекции свои фрейлейн Нетер читала по- 
I 
немецки, но они были понятны ввиду необычай- 
I 
ной ясности изложения» [7, с. 51].
Среди университетских преподавателей, оказавших на Л.С.Понтрягина наиболее сильное влияние, он выделяет своего учителя П.С.Александ- 
рова, который вовлек его в научную деятельность 
в области топологии. Уже на втором курсе студент Л.С.Понтрягин под руководством П.С.Алек- 
сандрова выполнил две научные работы, одна из 
которых — «О теореме двойственности Александера» была опубликована в Германии в 1927 г. 
(на русском языке опубликована в книге: Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т.1. — М.: 
Наука, 1988).
Закончив в 1929 г. университет, Л.С.Понтрягин поступил в аспирантуру. Обучение в аспирантуре он совмещал с преподавательской деятельностью, читая совместно с профессором 
!
О.Ю.Шмидтом лекции по абстрактной алгебре и 
5 
теории групп. Подготовка и ожидание чтения 
первых лекций принесли немало волнений 
Л.С.Понтрягину, но, как только он начинал говорить, он увлекался, тревога и страх перед аудиторией исчезали. Двадцатидвухлетний незрячий аспирант доказал в первую очередь себе, и затем 
остальным, что он состоялся как преподаватель и 
лектор.
К началу 1930-х гг. научные работы Л.С.Понтрягина получили известность не только в России, 
но и в Германии и Франции. Его результатами в 
науке заинтересовался, например, известный аме- 
| 
риканский математик С.Лефшец. Поэтому не случайно, что Л.С.Понтрягин оказался в числе первых советских ученых, получивших докторскую 
; 
степень honoris causa (без защиты диссертации). 
! 
Это произошло в 1935 г.
Накануне Второй мировой войны, в 1939 г., 
Л.С.Понтрягин был избран членом-корреспон- 
дентом Академии наук СССР. В этом же году назначен заведующим отделом топологии в Математическом институте им. Стеклова АН СССР.
Первые годы войны, 1941-1943 гг., Л.С.Понтрягин провел в Казани, куда были эвакуированы 
Стекловский институт и ряд научных учреждений 
академии. В одном из интервью ученый признал- 
I 
ся, что эвакуация предоставила ему «отличные условия для занятий математикой», поскольку он 
не отвлекался на преподавание и не участвовал в 
различных заседаниях. Здесь, в Казани, в 1942 г. 
он выполнил две важные работы, имевшие прикладное значение. Именно во время Великой Отечественной войны ученый особенно остро почувствовал необходимость «использовать свои знания для решения важных практических задач».
К 1950-м гг. научные интересы Л.С.Понтрягина из области топологии окончательно сместились 
в другую область: теперь он занимался преимущественно прикладными аспектами математики.
В 1958 г. Л.С.Понтрягин был избран действительным членом АН СССР. В этом же 1958 г. состоялась его первая поездка за границу, в Британию, где в Эдинбурге проходил Международный 
конгресс, на котором Л.С.Понтрягин выступил с 
пленарным докладом. Этот доклад был посвящен 
теории оптимального управления и вызвал большой интерес у слушателей, о чем свидетельствует 
по крайней мере просьба со стороны математиков о скорейшем его опубликовании. И действительно, в 1961 г. вышла книга «Математическая 
теория оптимальных процессов», содержащая результаты, доложенные Л.С.Понтрягиным в Эдинбурге. Вскоре эта книга была переведена на английский язык и переиздана одновременно в США 
и Англии.
Именно с 1958 г. можно начать отсчет активной общественной деятельности Л.С.Понтрягина 
на мировой научной сцене. Начиная с 1960-х гг. 
его жизнь насыщена участием в международных 
конференциях, конгрессах и прочих научных мероприятиях, проходящих за пределами СССР. 
Так, в 1962 г. он выступал с докладом на Международном конгрессе математиков в Швеции, в 
1964 г. состоялся научный круиз Л.С.Понтрягина 
в США: сначала он читал лекции в университете 
в Провиденсе, а затем выступал с докладом в 
Принстонском университете. Позже он неоднократно выезжал с научной миссией в США, принимал участие во Всеболгарском конгрессе математиков, выступал с пленарным докладом на 
Международном конгрессе во Франции. Пик его 
общественной деятельности в масштабах мирового научного сообщества приходится на 1970-е гг. 
В 1970—1978 гг. Л.С.Понтрягин входил в Президиум International Mathematical Union (Международного математического союза), а в 1970— 
1974 гг. являлся вице-президентом International 
Mathematical Union (президентом был избран 
индийский математик К.Чандрасекхаран). Активное и инициативное участие Л.С.Понтрягина в 
IMU, по утверждению С.М.Никольского, «успешно повышало положение советской математики в 
мировой математической науке» [6, с. 5].

Жизнь J1.С. Понтрягина является примером 
жизни борца. Недюжинная инициатива и напористость — те качества, которые помогали ему 
иметь успех даже в тех делах, которые, казалось 
бы, были обречены на провал. Достаточно вспомнить, как в 1970-1980-х гг. JI.С.Понтрягин вместе с патриотически настроенными геологами боролся против абсурдной идеи поворота наших 
северных рек. В этом сражении ученые одержали 
победу, тем самым предотвратив возможную экологическую катастрофу.
J1.С.Понтрягин нередко был излишне резок в 
оценках, очевидно, не всегда был прав, несомненно, как и всякий живой человек, он не мог 
избежать ошибок, но при этом он оставался всегда честным с самим собой, искренне уверенным 
в правом деле. В статье «Этика и арифметика» 
он писал:
«Настоящий ученый должен не просто сам хорошо делать свое дело, он должен активно и настойчиво бороться с недобросовестностью или 
| 
бездарностью, в каком бы уголке научной деятельности они ни свили себе гнездо!..
Мало быть способным и даже очень способным ученым. Надо воспитывать себя в нравственном плане, уметь четко определять и регулировать свои побуждения, ограждая себя от тех, за * 
которые потом самому будет мучительно стыдно. 
Когда мы говорим о ком-нибудь из своих коллег: 
«Блестящий ученый и прекрасный человек», — не 
думаю, чтобы он вступил в жизнь уже в таком совершенном виде. Нет, он растил себя, он дисциплинировал не только свой мозг и свою волю, но и 
свои склонности, привычки, взаимоотношения с 
миром и людьми. Он боролся за себя -  нынешнего. Нужно бояться — да, именно бояться — малей- 
I 
шей фальши, грязи, халтуры, нужно тщательно 
ограждать себя от них, отбрасывать их прочь, как 
отбрасываем мы в ходе своих рассуждений неверные, уводящие в сторону мысли, нужно бороться 
за себя, если хочешь, чтобы твое имя, звание советского ученого осталось незапятнанным, достойным современников и потомков» [13, с. 20].
Другой важной чертой характера Л.С.Понтря- 
гина была высочайшая требовательность к себе и 
окружающим:
«Не всякую работу можно выполнить с блестящим результатом, или, как теперь говорят, «на 
Знак качества». Но всякую работу нужно делать, 
стремясь к этому Знаку! Не может ученый сказать 
себе: «А вот эту задачу я буду решать вполсилы, 
как получится!». Или: «Не все же добиваться верного результата, пускай разок решение будет приблизительным!» И точно так же не может, не должен он вполсилы, «приблизительно» участвовать 
во всяком другом деле, требующем его таланта и 
энергии».
И далее:
«... Но, воспитывая нашу молодежь, мы подчас 
забываем передать ей то главное, что уже поняли, 
глубоко прочувствовали сами: ты идешь в науку, 
ты чувствуешь призвание к ней — хорошо. У тебя 
есть данные для научной деятельности -  прекрас- 
| но. Но достаточно ли у тебя моральных сил, готов 
ли ты к науке в нравственном отношении? Знай: 
раз достигнув определенной высоты, ты уже будешь обязан никогда не опускаться ниже этого 
уровня, завоевав признание, не пользоваться им, 
как вечным чеком, а каждый раз заново подтверждать свое право на него. В нашей работе недопустимы инерция, холостой ход. Иначе человек становится глубоко несчастлив сам и причиняет огромный ущерб другим — тем, кто идет за ним, 
учится по его книгам, верит его авторитету».
К подготовке всех своих выступлений Л.С.Пон- 
трягин даже тогда, когда был уже известным ученым и имел огромный авторитет, продолжал подходить с особой тщательностью. Причем он скрупулезно готовил как содержание лекции или доклада, так и продумывал до мелочей организацию выступления. Отчасти это было обусловлено 
его недугом, поскольку часто ему требовался помощник, который делал записи математических 
формул на доске, но и не только этим.
По оценке С.М.Никольского, «Лев Семенович — 
крупная историческая личность. Его следует изучать всесторонне». Однако хорошо изучено и популяризуется только научно-математическое наследие Л.С.Понтрягина. В честь Л.С.Понтрягина 
ученые-математики проводят конференции (одна 
из них состоялась в 1998 г., проведение другой 
запланировано в Москве в 2008 г.) и организуют 
чтения («Понтрягинские чтения», г. Воронеж). К 
сожалению, при этом просветительская деятельность, его вклад в развитие отечественного математического образования остается обычно вне 
поля зрения. Поэтому остановимся на двух проявлениях деятельности Л.С.Понтрягина в области отечественного школьного математического образования: его участии в контрреформах рубежа 1970—1980-х гг. и создании им популярной литературы по высшей математике для школьников.
Прежде всего сделаем общее замечание о том, 
что взгляды Л.С.Понтрягина на школьную мате

матику всегда носили разумно консервативный характер.
В 1968 г. была опубликована новая программа 
по математике, которая предполагала построение 
школьного курса на теоретикомножественной основе, введение начал математического анализа, 
элементов теории вероятностей, векторного исчисления.
Эта программа радикально отличалась от всех ; 
предшествующих. Она содержала не только целый ряд абсолютно новых для учителей вопросов, но и весьма непривычные для них трактовки 
общеизвестных математических понятий, равно 
как и необычную терминологию и символику.
Л.С.Понтрягин считал внедрение теории множеств в школьную практику нецелесообразным, а 
главное слишком поспешным, и он оказался прав: 
неудача этой реформы состояла не в самой идее 
обновления школьного курса математики, а в op- 
1 
ганизации проведения идеи в жизнь. Ни учитель- 
| 
ство, ни институты усовершенствования учителей, 
I 
ни пединституты, ни органы образования на местах не были готовы к столь резкому изменению 
j 
содержания и методов обучения математике в | 
школе. Переподготовка учителей проходила по 
принципу «испорченного телефона»: учителя ма- 
J 
тематики получали методическую информацию из 
вторых или даже третьих рук. Учебники, напи- 
| 
санные по этой программе, были столь несовершенны и трудны для понимания, что приходилось сначала разъяснять учителям последовательно (т.е. шаг за шагом) содержание учебников, а 
уже потом говорить о методике изложения тех или 
иных тем.
В декабре 1978 г. на Общем собрании Отделения математики АН СССР было обсуждено положение дел со школьной математикой. По материалам этого собрания была опубликована статья 
академиков А.Н.Тихонова, Л.С.Понтрягина и
B.C.Владимирова «О школьном математическом 
j 
образовании» (Математика в школе. 1979. № 3.
C. 12—14). Была создана комиссия ОМ АН СССР | 
по новой реформе школьного математического | 
образования (противники правильно называли ее 
«Назад к Киселеву») в составе академиков А.Н.Ти- 
хонова, И.М .Виноградова, А.В.Погорелова, 
Л.С.Понтрягина. А в 1980 г. в партийном журнале 
| 
«Коммунист» (№ 14) Л.С.Понтрягин опублико- 
j 
вал статью, не оставившую камня на камне от уже 
| 
недавней реформы. «Что же это? — писал 
Л.С.Понтрягин, -  насмешка? Или неосознанная 
нелепость? Нет, замена в учебниках многих срав- 
I

нительно простых, наглядных формулировок на 
громоздкие, нарочито усложненные, оказывается, вызвана стремлением... усовершенствовать (!) 
преподавание математики... На мой взгляд, в подобное состояние пришла вся система школьного 
математического образования» [7, с. 270].
Тем не менее реформа 60-х гг. узаконила присутствие элементов математического анализа в 
школьном курсе математики, что способствовало 
оживлению различного рода популярных книг и 
учебников по высшей математике для школьников. Как раз в это время (1977 г.) вышла книга 
Л.С.Понтрягина по высшей математике, которая, 
однако, не соответствовала его представлениям о 
подобной литературе. Причину проявления интереса к написанию собственных книг по высшей 
математике для школьников ученый объяснял так: 
«В связи со своей издательской деятельностью я 
вместе с группой математиков подверг резкой 
критике одну очень плохую книжку по математике, предназначенную для начинающих. ...Занимаясь этой критикой, я вспомнил о том, какого рода 
источниками пользовался сам, будучи школьником, при изучении математики. И пришел к намерению написать несколько сравнительно элементарных книг по основным разделам высшей 
математики» [7, с. 13].
Это была книга «Метод координат» [8], которой Л.С.Понтрягин решил открыть серию под 
общим названием «Знакомство с высшей математикой». Особенностью изложения материала этой 
книги явилось то, что традиционные вопросы аналитической геометрии (прямоугольные и поляр- 
| ные координаты, геометрические и аналитические определения эллипса, гиперболы и параболы 
и пр.) были дополнены сведениями из теории 
функции комплексной переменной. В предисловии Л.С.Понтрягин так объяснял необходимость 
сделанных дополнений: «Ввиду исключительно 
большого значения комплексных чисел в современной математике, я в самом начале книги уделяю им большое внимание: дается геометрическое изображение комплексных чисел при помощи прямоугольных декартовых координат, а затем геометрически изучаются комплексные многочлены от комплексного переменного и дается 
геометрическая идея доказательства основной теоремы высшей алгебры о том, что каждый многочлен степени п имеет ровно п корней» [8, с. 4-5].
В 1980 г. вышла вторая книга «Анализ бесконечно малых» [9]. Специфика изложения материала заключалась в необычной последовательное

ти его построения (сначала теория рядов, а затем 
дифференциальное и интегральное исчисления, а 
не наоборот), в фузионизме рассмотрения фактов математического анализа для действительного и комплексного случаев, случая функции одного и нескольких переменных. Представительство комплексного анализа было здесь более значимо по сравнению с первой книгой серии. Более 
того, по мнению А.Н.Колмогорова, эта книга являлась «первой попыткой изложения начал комплексного анализа, ориентированного на интересующихся математикой учащихся средних школ» 
[2, с. 73].
Третья книга «Алгебра» [10] этой серии вышла 
через семь лет, в 1987 г. Любопытным представляется тот факт, что первоначально задумывалось 
другое ее название — «Многомерная евклидова 
геометрия и теория определителей». По поводу 
манеры изложения материала можно отметить 
следующее. Во-первых, теория почти в каждом параграфе рассматривается для общего случая (например, сразу же рассматривается «-мерный вектор и л-мерное векторное пространство). Частных случаев приводится немного: вычисление 
определителя второго порядка, вывод правила 
Крамера для случая системы двух линейных уравнений. Во-вторых, все записи и обозначения (матрицы, определителя и пр.) сделаны в компактной форме.
И наконец, через год после выхода «Алгебры», 
в 1988 г., была опубликована последняя (из этой 
серии), четвертая, книга «Дифференциальные 
уравнения и их приложения» [11].
В каждой книге серии Л.С.Понтрягин в качестве главной задачи ставил необходимость выдержать предельно минимальный объем. Первая 
и вторая книги серии, очевидно, были написаны 
под влиянием идей, высказанных Л.КЛахтиным 
в статье «Высшая математика» Энциклопедии 
Гранат [4], которая произвела сильное впечатление на Л.С.Понтрягина еще в школьные годы и 
оказала большое воздействие на формирование 
его школьных математических познаний. Так, в 
книгах Л.С.Понтрягина и статье Л.К.Лахтина 
много общего: попытка игнорировать теорию 
пределов, включение исторических экскурсов, 
повышенный интерес к теории функции комплексной переменной. В данных публикациях 
Л.К.Лахтина и Л. С.Понтрягина имеет место 
единство подходов к введению и определению 
основных понятий аналитической геометрии и 
математического анализа.

Таким образом, серия книг Л.С.Понтрягина 
| 
«Знакомство с высшей математикой» отличалась 
оригинальностью, наличием исторических экскурсов и интересных методических находок (например, слияние фактов для случая функции действительной и комплексной переменной позволило автору установить разложения в ряд Макло- 
; рена тригонометрических функций без использования производной). В то же время надо признать, 
что серия предназначалась для старших, увлеченных математикой школьников, о чем свидетельствует и признание самого автора, который пре- 
| дупреждал, что эти книги не являются «легким 
I чтением» и требуют «значительной математичес- 
1 кой культуры». В 2004 г. серия была переиздана, 
} что в определенной степени свидетельствует о 
востребованности книг в настоящее время.
Во время работы над серией «Знакомство с высшей математикой» Л.С.Понтрягин подготовил 
еще одну брошюру «Математический анализ для 
школьников» [12], содержащую в сжатом виде 
сведения об основных понятиях математического 
анализа. Первое издание книги вышло в 1980 г., 
второе, переработанное, — в 1983 г., третье, стереотипное, — в 1988 г.
В целом созданная Л.С.Понтрягиным популярная литература по математике для школьников является оригинальным явлением в отечественной 
методической науке, и эти его труды заслуживают более пристального внимания со стороны ме- 
I тодистов-математиков.
3 мая 1988 г. Л.С.Понтрягин умер. Отметим, что 
1 
суровость характера и исключительная одарен- 
I ность Л.С.Понтрягина не в последнюю очередь 
I 
определили его судьбу и исключительные дости- 
j жения в математике, позволив занять ему достой- 
| ное место в талантливой когорте поистине выда- 
; 
ющихся ученых XX столетия. Признание заслуг 
Л.С.Понтрягина неоспоримо. Он имел большое 
I 
число наград, утративших сегодня, к сожалению, 
{ 
ту ценность, которую они имели в советское время. Л.С.Понтрягин — Герой Социалистического 
труда, лауреат Ленинской премии (1962), Государ- 
j 
ственных премий СССР (1941, 1975), премии им. 
i 
Н.ИЛобачевского. Помимо того, Л.С.Понтрягин 
I являлся почетным членом Международной ака- 
j демии астронавтики, АН ВНР и других академий
I и научных сообществ.
Л.С.Понтрягин прожил сложную жизнь. Не- 
; 
просто подчас складывались его взаимоотношения по работе с коллегами, руководством, непростыми были и семейные отношения. Но несмотря на все трудности, связанные с его физическим 
недугом и неординарным характером, в конце 
концов следует признать, что этого удивительного человека отличали неравнодушие и горение, 
честность и принципиальность, открытость и бесхитростность. Это была яркая, сильная личность, 
прошедшая путь настоящего бойца в науке и 
жизни.

-------------------- Л и т е р а т у р а ......,........,.......,

1. Гордон Е.И. Адресат Л.С.Понтрягина — И.И.Гордон / /  Историко-математические исследования. Вторая серия. Выпуск 9(44). — М.: Янус-К, 2005.
2. Колмогоров Л.Н. Рецензия на книгу Л.С.Понтрягина «Анализ бесконечно малых» / /  Математика в 
школе. — 1981. — № 5.
3. Колягин Ю.М., Саввина О.А., Тарасова О. В. Русская школа и математическое образование: наша гордость и наша боль. Ч. III. Вторая половина XX века и 
начало XXI века. 3 изд. — Орел: ООО Полиграфическая фирма «Картуш», 2007.
4. Лахтин Л.К. Высшая математика / /  Энциклопедия Гранат. Т. 12. Лахтин Л. Высшая математика //

Энциклопедический словарь. — М.: Товарищество братьев А. и И. Гранат, 1912. Т. 12.
5. Лев Семенович Понтрягин. Материалы к библиографии ученых СССР. — М.: Наука, 1983.
6. Никольский С.М. Памяти Льва Семеновича Пон- 
трягина / /  Математическое образование. № 2 (5), апрель-июнь. -  1998.
7. Понтрягин Л.С. Жизнеописание Льва Семеновича 
Понтрягина, математика, составленное им самим. Рождения 1908, г. Москва. Изд. 2. -  М.: КомКнига, 2006.
8. Понтрягин Л.С. Знакомство с высшей математикой: Метод координат. — М.: Наука, 1977.
9. Понтрягин Л.С. Знакомство с высшей математикой: Анализ бесконечно малых. — М.: Наука, 1980.
10. Понтрягин Л.С. Знакомство с высшей математикой: Алгебра. — М.: Наука, 1987.
11. Понтрягин Л.С. Знакомство с высшей математикой: Дифференциальные уравнения и их приложения. -  
М.: Наука, 1988.
12. Понтрягин Л.С. Математический анализ для 
школьников. 2 изд. — М.: Наука, 1983.
13. Понтрягин Л.С. Этика и арифметика / /  Математическое образование. № 2 (5), апрель—июнь. — 1998.