Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственных систем

Булинский А.В.

Шашкин А.П.

Предельные теоремы
для ассоциированных

случайных полей

и родственных

систем

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 519
ББК 22.171
Б 90

Б ул и н с к и й А. В., Ш а ш к и н А. П. Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственных систем. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2008.
—
480
с.
—
(Теория
вероятностей
и
математическая
статистика).
—
ISBN 978-5-9221-0969-7.

Монография посвящена исследованию асимптотических свойств широкого класса
стохастических моделей, возникающих в математической статистике, теории перколяции, статистической физике и теории надежности. В книге содержится множество
разнообразных примеров упомянутых моделей, описываемых с помощью марковских
процессов, случайных мер, устойчивых законов, ферромагнетиков Изинга, процессов с локальным взаимодействием, случайных графов. Устанавливаются основные
предельные теоремы теории вероятностей, а также даются их различные применения. Монография представляет собой первое замкнутое и детальное изложение
материала, накопленного в изучаемой области за весь период развития вплоть до
настоящего времени. Часть текста основана на лекциях, читавшихся авторами в МГУ
им. М. В. Ломоносова.
Для научных работников, профессорско-преподавательского состава, аспирантов,
студентов старших курсов математических специальностей университетов.
Ил. 32. Библиогр. 450 назв.

ISBN 978-5-9221-0969-7

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2008

c⃝ А. В. Булинский, А. П. Шашкин, 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Г л а в а 1. Случайные элементы и ковариационные неравенства. .. . . . . . .
9
§ 1. Основные определения и простые примеры . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
§ 2. Классы ассоциированных и родственных систем . .. . . . . . . . .. . . . . . . .
27
§ 3. Случайные меры . .. . . . .. . .. . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
§ 4. Ассоциированность и вероятностные меры на решетках . .. . . . . . . . .. . .
77
§ 5. Некоторые обобщения ассоциированности . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102

Г л а в а 2. Моментные и максимальные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
§ 1. Lp-оценки для частных сумм. .. .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
125
§ 2. Супермодулярные функции и их применение . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . .
153
§ 3. Неравенства розенталевского типа. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
§ 4. Оценки для функции распределения частного максимума . .. . . . . . .. .. .
181

Г л а в а 3. Центральная предельная теорема. . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . .
191
§ 1. Достаточные условия ЦПТ . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
191
§ 2. Гипотеза Ньюмена. .. . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
221
§ 3. Точность оценки гауссовской аппроксимации . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
240

Г л а в а 4.
Сходимость с вероятностью единица . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
255
§ 1. Усиленный закон больших чисел . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . .
255
§ 2. Скорость сходимости в ЗБЧ . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .
259
§ 3. Гауссовская аппроксимация с вероятностью единица . .. . . . . . . . . . . . .
274

Г л а в а 5. Принципы инвариантности . . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
280
§ 1. Слабый принцип инвариантности. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
280
§ 2. Сильный принцип инвариантности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
293

Г л а в а 6. Закон повторного логарифма . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
320
§ 1. Классический ЗПЛ . .. . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
320
§ 2. Функциональный ЗПЛ . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . .
335
§ 3. Логарифмический закон . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. .
348

Оглавление

Г л а в а 7.
Статистические приложения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
356
§ 1. Случайные нормировки . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
356
§ 2. Ядерные оценки плотности . .. . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
376
§ 3. Эмпирические процессы . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .
386

Г л а в а 8. Интегральные функционалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
392
§ 1. Стационарные ассоциированные меры . .. . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .
392
§ 2. Дифференциальные уравнения в частных производных
со случайными
начальными данными . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . .
405
§ 3. Асимптотическое поведение преобразованных решений уравнения Бюргерса. .. . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .
414

Пр и л оже н и е. .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . .. .
424
§ 1. Лемма Х¨ефдинга и ее обобщение . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
424
§ 2. Марковские процессы . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
425
§ 3. Пуассоновский поток. .. .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
429
§ 4. Остовные деревья и электрические сети. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
432
§ 5. Теорема Морица . .. . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
435
§ 6. Гауссовская аппроксимация . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .
439

Список литературы . .. . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
455
Указатель обозначений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
472
Предметный указатель . .. . . . . .. . .. . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
474

ПРЕДИСЛОВИЕ

Понятие независимости случайных величин — одно из важнейших в
теории вероятностей. Можно сказать, что многочисленные глубокие и красивые результаты, установленные для систем независимых случайных величин,
составляют ядро современной теории вероятностей. Однако еще в XIX, а затем в XX веке появились интересные стохастические модели, использующие
зависимые величины. Такие модели возникли в физике, химии, биологии,
экономике, технических науках. В связи с этим, а также вследствие внутреннего развития математических идей, началось становление общей теории
случайных процессов и полей.
Известны такие важные классы случайных процессов и полей, как гауссовские, марковские, мартингалы, системы с перемешиванием разных видов
и другие. Для каждого из них разработаны свои методы изучения.
В 1960-е годы появился новый класс положительно (а позднее и отрицательно) зависимых случайных систем, введенный в основополагающих
работах Харриса, Лемана, Изери, Прошана, Уолкапа, Фортуина, Кастелейна,
Жинибра, Алама, Саксена и Йоаг-Дева. Интерес к этому классу связан с его
широкими приложениями в математической статистике, теории надежности,
теории перколяции, статистической физике. Самое главное понятие здесь —
ассоциированность системы случайных величин, частным случаем которого
оказывается независимость.
Начиная с выдающейся статьи Ньюмена (1980), все последующие годы
продолжается активная работа по доказательству классических предельных
теорем теории вероятностей для ассоциированных систем и их модификаций.
Установлены законы больших чисел (ЗБЧ), центральная предельная теорема
(ЦПТ), законы повторного логарифма (ЗПЛ), принципы инвариантности и
другие предельные закономерности. Удобство работы с положительно и отрицательно ассоциированными случайными величинами заключается в простоте условий, при которых доказывается большинство предельных теорем.
Именно, обычно предполагается, что у случайных величин существует абсолютный момент порядка s (как правило, s ∈ (2, 3]), и налагаются ограничения
на поведение ковариационной функции, например, для стационарных полей –
на скорость ее убывания при росте аргументов.
Задача данной книги — послужить введением в эту обширную область
исследований, излагающим основные результаты и методы, накопленные за
весь период исследований вплоть до наших дней. Дается много примеров
разного уровня сложности. Авторы стремились привести детальные доказательства со всеми вспомогательными фактами, по возможности упрощая
рассматриваемые работы. В библиографии содержится 450 ссылок, при этом
список не претендует на полноту. Слово “родственные” в названии книги
имеет смысл “родственные ассоциированным случайным полям”, поскольку
исходное понятие ассоциированности допускает различные обобщения, и
некоторым из них мы уделяем значительное внимание. В каждой главе даются
ссылки для дальнейшего чтения, так как объем книги не позволяет включить
ряд интересных теорем.

Предисловие

Полученные
результаты
применяются
в
главе
7
при
построении
приближенных
доверительных
интервалов
для
неизвестного
среднего
стационарного поля, а также при анализе ядерных оценок плотностей.
Глава
8
демонстрирует использование развитых
методов
при
изучении
асимптотического
поведения
преобразованных
решений
многомерного
уравнения Бюргерса со случайными начальными данными.
В книге имеется приложение, состоящее из шести разделов, где выводится
равенство Хошневисана–Льюиса, которое обобщает классическую формулу
Х¨ефдинга, даются простейшие сведения по марковским процессам и пуассоновским потокам, предназначенные для построения примеров зависимых
случайных полей (и процессов), излагаются вспомогательные факты из теории графов, доказывается неравенство Морица и приводятся элементы теории
сильного приближения (реконструкции) случайных векторов.
Главы делятся на параграфы и пункты (подпараграфы). В каждом параграфе теоремы, леммы, следствия, определения, примеры и замечания
нумеруются последовательно. Ссылки на выключные формулы имеют вид
(Параграф.Формула), если указанная формула находится в текущей главе,
и (Глава.Параграф.Формула) в других случаях. Так же даются ссылки на
теоремы и леммы. Например, теорема 1.3.2 — это теорема 2 в § 3 главы 1. При
ссылках на приложение вместо номера главы мы пишем букву П, например,
(П.Параграф.Формула). Знак □ отмечает конец доказательства.
Книга адресована математикам, ведущим исследования в области современной теории вероятностей и ее применений. Кроме того, она может быть
полезной профессорско-преподавательскому составу университетов для чтения специальных курсов и проведения специальных семинаров. Ряд разделов
излагался авторами в лекциях, читавшихся ими на механико-математическом
факультете МГУ.
Авторы выражают глубокую признательность своим друзьям и коллегам, с
которыми они обсуждали вопросы теории предельного поведения случайных
процессов и полей, особенно профессорам В.И.Богач¨eву, А.А.Боровкову,
Р.Брэдли, М.-К.Виано, Ю.А.Давыдову, Ж.Дедекеру, М.Деккингу, П.Дукану,
Ж.Жакоду, В.М.Золотареву, И.А.Ибрагимову, М.Иосифеску, М.Кину, Ф.Комецу, В.Ю.Корол¨eву, В.С.Королюку, С.Б.Куксину, И.А.Курковой, Н.Н.Леоненко,
М.А.Лифшицу,
С.Луиши,
П.Матуле,
П.Младеновичу,
И.С.Молчанову, С.А.Молчанову, Я.Ю.Никитину, О.Пенроузу, В.В.Петрову, В.И.Питербаргу, Ю.В.Прохорову, Дж.Руссасу, Г.Самородницкому, М.Соренсену,
Й.Стоянову, Ш.Сюкэ, К.М.Ханину, А.Ю.Хренникову, М.Ч¨ерг¨е, А.Н.Ширяеву, А.Якубовскому.
Работа поддержана грантами РФФИ 08-01-07108-д и 07-01-00373-a.

А.В.Булинский, А.П.Шашкин

Кафедра теории вероятностей
механико-математического факультета
Московского государственного университета
им. М.В.Ломоносова

Нашим родителям

Г л а в а 1

СЛУЧАЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И КОВАРИАЦИОННЫЕ
НЕРАВЕНСТВА

В этой главе рассматриваются основные идеи и результаты, относящиеся
к свойствам положительной и отрицательной зависимостей и их обобщениям.
Также даются разнообразные примеры, иллюстрирующие полезность вводимых понятий. Из результатов следует отметить теорему Питта — критерий
ассоциированности гауссовской системы, и теорему Ли, Рачева и Самородницкого, которая устанавливает необходимые и достаточные условия ассоциированности устойчивого случайного вектора в терминах его спектральной
меры. Среди примеров особое внимание уделяется марковским процессам и
случайным мерам, в частности, решениям стохастических дифференциальных
уравнений, полям дробового шума и кластерным мерам. Так, доказывается
теорема Б¨ертона–Уэймира–Эванса об ассоциированности безгранично делимой случайной меры, заданной на польском пространстве. Отдельно рассмотрены векторнозначные случайные поля и случайные элементы со значениями
в частично упорядоченных пространствах. Подробно изучаются знаменитые
ФКЖ-неравенства Фортуина, Кастелейна и Жинибра, а также общие теоремы
Холли и Престона. Они играют большую роль в теории перколяции и статистической физике, из моделей которой мы коснемся ферромагнетиков Изинга
и систем с локальным взаимодействием. Отрицательная ассоциированность
встречается не только при исследовании таких известных распределений, как
полиномиальное, и распределений, связанных с порядковыми статистиками,
но и в моделях пространственных электрических сетей. В завершение этой
самой крупной главы мы обсуждаем некоторые обобщения введенных понятий, основанные на подходе, развитом в последнее десятилетие. Этот подход
использует описание структуры зависимости случайного поля с помощью
верхних оценок ковариаций определенных “пробных функций”, берущихся от
наборов изучаемых величин.

§ 1. Основные определения и простые примеры

В данном разделе мы вводим основные определения и исследуем простейшие свойства зависимых случайных систем, которые будут использоваться
далее. Здесь мы обращаемся к анализу независимых, положительно или отрицательно зависимых систем, мартингалов и демимартингалов. Кроме того,
рассмотрен целый ряд несложных примеров.
1◦. Ассоциированность. Положительная и отрицательная ассоциированность. Условия зависимости, которые мы будем обсуждать далее, полезно сравнить с классическим понятием независимости действительнозначных

Гл. 1. Ковариационные неравенства

случайных величин X и Y , определенных на вероятностном пространстве
(Ω, F, P). Такие X и Y называются независимыми, если

P(X ∈ B, Y ∈ C) = P(X ∈ B)P(Y ∈ C)
(1.1)

для любых борелевских множеств B, C ⊂ R. Напомним, что борелевские
множества в R — это элементы борелевской σ-алгебры B(R); для топологического (в частности, метрического) пространства S борелевская σ-алгебра
B(S) определяется как наименьшая σ-алгебра, содержащая все открытые
множества. Отображение f : S → V , где S и V — топологические пространства, называется борелевским, если f−1(B) := {x ∈ S : f(x) ∈ B} ∈ B(S) для
каждого B ∈ B(V ). Стандартное упражнение на использование ступенчатых
функций показывает, что (1.1) равносильно выполнению соотношения

Ef(X)g(Y ) = Ef(X)Eg(Y )
(1.2)

для любых ограниченных борелевских функций f, g : R → R. Как обычно,
символ E обозначает математическое ожидание относительно вероятностной
меры P. Вместо (1.2) можно написать

cov(f(X), g(Y )) = 0,

где ковариация cov(W, Z) := EWZ − EWEZ для таких действительнозначных случайных величин W и Z, что W, Z и WZ интегрируемы по мере P.
Как известно, если X и Y независимы и интегрируемы, то cov(X, Y ) =
= 0. Более того, для любых (возможно, неограниченных) борелевских функций f, g : R → R случайные величины f(X) и g(Y ) тоже независимы и
cov(f(X), g(Y )) = 0, если E|f(X)| < ∞ и E|g(Y )| < ∞. Также легко привести
пример зависимых (не удовлетворяющих (1.1)) случайных величин X и Y ,
для которых cov(X, Y ) = 0. Например, можно взять Y = X2, где P(X = −1)
= P(X = 0) = P(X = 1) = 1/3.
Во всевозможных приложениях возникает необходимость рассматривать
функционал cov(f(X), g(Y )) для определенных классов пробных функций f
и g, предполагая, что его значения принадлежат заданному подмножеству в
R, необязательно состоящему из одной точки 0 (например, [0, +∞)). Можно
использовать и случайные векторы X, Y со значениями соответственно в Rn и
Rm, а также борелевские функции f : Rn → R, g : Rm → R. Эти естественные
идеи можно развить в нескольких направлениях.
После сделанных предварительных замечаний мы введем важные определения, которые помогут построить интересные стохастические модели.
Пусть M(n) — класс действительнозначных ограниченных покоординатно
неубывающих борелевских функций на Rn, где n ∈ N. Для конечного множества U его мощность обозначим |U|, иногда будет использоваться и обозначение ♯U.
Рассмотрим семейство X = {Xt, t ∈ T} действительнозначных
случайных величин Xt, заданных на вероятностном пространстве (Ω, F, P).
Для I ⊂ T положим XI = {Xt, t ∈ I}.
Приводимые ниже три определения введены в классических работах
Харриса, Лемана, Изери, Прошана, Уолкапа, Йоаг-Дева, Ньюмена, Алама,
Саксена, Б¨ертона, Домбровского и Делинга.