Сопротивление материалов. Краткий теоретический курс


Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ




В.Г. АТАПИН




                СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ




        КРАТКИЙ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС

Утверждено
Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия







НОВОСИБИРСК
2011

УДК 620.1(075.8) А92




       Рецензенты: профессор, доктор техн, наук В.П. Гилета профессор, доктор техн. наук Г. А. Куриленко





Работа подготовлена на кафедре теоретической механики и сопротивления материалов для студентов механико-технологического факультета всех форм обучения





     Атапин В.Г.
А 92 Сопротивление материалов. Краткий теоретический курс :

      учеб. пособие / В.Г. Атапин. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2011. -204 с.
         ISBN 978-5-7782-1593-1


          В пособии изложен теоретический курс сопротивления материалов, предназначенный для быстрой и эффективной подготовки студентов к сдаче экзамена и зачета, защите расчетно-графических заданий, тестированию, контрольным работам.


УДК 620.1(075.8)




ISBN 978-5-7782-1593-1

                    ©Атапин ВТ., 2011
© Новосибирский государственный

технический университет, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ


ВВЕДЕНИЕ.................................................
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ......................................
  1.1. Задачи, термины...................................
  1.2. Модели прочностной надежности.....................
  1.3. Виды деформации стержня...........................
  1.4. Внутренние силы. Метод сечений....................
  1.5. Напряжения........................................
  1.6. Деформации и перемещения..........................
  1.7. Закон Гука........................................
  1.8. Принципы сопротивления материалов.................
  1.9. Методы расчета элементов конструкций..............
2. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ..........................
  2.1. Нормальная сила. Напряжение.......................
  2.2. Деформации и перемещения..........................
  2.3. Испытание материалов на растяжение и сжатие.......
  2.4. Расчеты на прочность..............................
  2.5. Растяжение стержня с учетом собственного веса.....
  2.6. Статически неопределимые задачи...................
  2.7. Учет влияния температуры..........................
  2.8. Стержневые системы................................
3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ. МОДЕЛИ РАЗРУШЕНИЯ........................
  3.1. Напряженное состояние в точке.....................
  3.2. Напряжения в площадке общего положения............
  3.3. Главные площадки. Главные напряжения..............
  3.4. Плоское напряженное состояние.....................

6

7
7
9
15
16
19
20
23
23
24

26
26
29
32
36
41
42
45
46

48
48
50
51

54

3

  3.5. Исследование напряженного состояния с помощью кругов Мора.
  3.6. Деформированное состояние.........................
  3.7. Модели упругости..................................
  3.8. Потенциальная энергия деформации..................
  3.9. Модели статического разрушения....................
4. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ.....................................
  4.1. Чистый сдвиг......................................
  4.2. Кручение стержня с круглым поперечным сечением....
  4.3. Кручение стержня с некруглым поперечным сечением..
  4.4. Статически неопределимые задачи...................
5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ........................................
  5.1. Геометрические характеристики сечений.............
  5.2. Статические моменты площади поперечного сечения...
  5.3. Моменты инерции площади поперечного сечения.......
6. ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ........................................
  6.1. Внутренние силовые факторы........................
  6.2. Напряжения в стержне при чистом изгибе............
  6.3. Напряжения в стержне при поперечном изгибе........
  6.4. Касательные напряжения при поперечном изгибе тонкостенных стержней...............................................
  6.5. Перемещения при изгибе............................
  6.6. Балки равного сопротивления.......................
7. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ........................
  7.1. Косой изгиб ......................................
  7.2. Внецентренное растяжение и сжатие.................
  7.3. Изгиб с кручением.................................
  7.4. Пространственные стержневые системы...............
8. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ. ОБЩИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ..........................
  8.1. Потенциальная энергия деформации стержня..........
  8.2. Теоремы взаимности работ и перемещений............

56
59
61
61
62
66
66
68
76
77

78
78
80
81

85
85
89
98

103
108
111
114
114
118
121
123

127
127

131

4

  8.3. Интеграл Максвелла-Мора.........................
  8.4. Способ Верещагина...............................
9. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ.....................................
  9.1. Связи. Степень статической неопределимости......
  9.2. Метод сил.......................................
  9.3. Определение перемещений в статически неопределимых системах
10. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ.......................
  10.1. Понятие об устойчивости........................
  10.2. Задача Эйлера..................................
  10.3. Потеря устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропорциональности...................................
  10.4. Расчеты на устойчивость........................
11. ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ...............
  11.1. Основные определения...........................
  11.2. Кривая усталости. Предел выносливости..........
  11.3. Диаграмма предельных амплитуд..................
  11.4. Факторы, влияющие на предел выносливости.......
  11.5. Модели усталостного разрушения.................
12. ДИНАМИКА...........................................
  12.1. Динамические нагрузки..........................
  12.2. Расчет движущихся с ускорением систем..........
  12.3. Удар...........................................
  12.4. Колебания упругих систем.......................
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК...............................

132
134

141
141
146
153
154
154
155

160
161
165
165
169
171
174
178
183
183
184
187
192
203

ВВЕДЕНИЕ

   Изучение сопротивления материалов студентами сопровождается различными контрольными мероприятиями - защита расчетнопроектировочных заданий, тестирование, контрольные работы, сдача экзаменов и зачетов и др. В ходе этих мероприятий от студента требуются как практические навыки решения задач, так и теоретические знания.
   Настоящее учебное пособие содержит краткие теоретические сведения, позволяющие быстро и эффективно подготовиться к перечисленным выше контрольным мероприятиям. В каждом разделе даются базовые знания по теории, формулы без выводов с необходимыми пояснениями и рекомендациями для их практического применения, решения коротких задач.
   По тексту введены специальные элементы с целью концентрации внимания на наиболее значимых положениях сопротивления материалов.
   ■    Важные моменты. Этот элемент содержит обзор или краткое изложение наиболее важных положений главы, которые должны быть реализованы при решении практических задач.
   ■    Процедура для анализа. Этот элемент рекомендует студенту единую методику применения конкретной рассмотренной теории (метода) для решения задач.
   ■    Словарь терминов. Этот элемент содержит терминологию, принятую в сопротивлении материалов.

6

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1.1. Задачи, термины

■ Задачи дисциплины “Сопротивление материалов”:
   • овладение теоретическими основами и практическими методами расчетов на прочность, жесткость и устойчивость элементов и деталей, входящих в состав конструкций (сооружений, машин);
   • ознакомление с современными подходами к расчету сложных конструкций.
   Основным содержанием сопротивления материалов является разработка моделей прочностной надежности элементов и деталей, входящих в состав конструкций (сооружений, машин). С помощью таких моделей назначаются первоначальные размеры элементов и деталей, выбирается материал для их изготовления, оценивается их сопротивление внешним воздействиям.

        Словарь терминов
Конструкцию считают прочной, если в ней под воздействием внешних сил не возникает разрушения, не происходит разделения единого целого на части (рис. 1.1,а).
   Если изменения формы и размеров конструкции при дей
         ствии на нее внешних сил невелики и не мешают ее эксплуатации, то считается, что такая конструкция обладает необходимой жесткостью (рис. 1.1,6).
            Нагруженная конструкция находится в устойчивом состоянии, если, будучи отклоненной из этого состояния какими-либо причинами, не учитываемыми в расчете, она возвращается в первоначальное состояние по устранении указанных причин. В противном случае состояние загруженной конструкции неустойчивое (рис. 1.1, в).


7

a
Исчерпание прочности

б Недостаточная жёсткость

Рис. 1.1

в
Потеря устойчивости

           Прочностной надежностью называется отсутствие отказов, связанных с разрушением или недопустимыми деформациями элементов и деталей, входящих в состав конструкций.


       Примечание
   Согласно ГОСТ 27.002-89 надежность есть свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, хранения и

         транспортирования.
            Объект - предмет, подлежащий исследованию. Объектом могут быть система и части системы, изделие и группа изделий, технические сооружения, оснащенные разнообразными техническими средствами и укомплектованные обслуживающим персоналом.
            Надежность характеризуется рядом состояний и событий, в частности:

           •     работоспособность - состояние объекта, при котором значения всех параметров, характеризующих способность выполнять заданные функции, соответствуют требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации;
           •     отказ - событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния объекта.


8

1.2. Модели прочностной надежности

   Модель - совокупность представлений, зависимостей, условий, ограничений, описывающих процесс, явление. Наиболее часто используются математические модели, отображающие реальный процесс, явление с помощью установления зависимостей между параметрами в виде различного рода уравнений.

Критерии прочностной надежности
   ■     Основной количественной характеристикой надежности является вероятность безотказной работы Р(t) - вероятность того, что в заданном интервале времени t = Т отказ объекта не возникнет. Значение Р(t) находится в пределах 0 < Р(t) < 1. Нахождение вероятности безотказной работы на стадии проектирования объекта представляет очень сложную задачу.
   ■     В настоящее время основным методом оценки прочностной надежности элементов и деталей, входящих в состав конструкций, является определение коэффициента запаса или просто запаса.
   Пусть q - параметр работоспособности элемента конструкции (например, действующее усилие, напряжение и др.). Коэффициентом запаса п называется отношение
п =     ,
q max
где qₙₚед - предельное (критическое) значение параметра, нарушающее работоспособность элемента конструкции; qₘₐₓ - наибольшее (максимальное) значение параметра в рабочих условиях.
   ■    Условие прочностной надежности записывается в виде п > [п],
где [п] - допускаемый коэффициент запаса.
   Значение допускаемого коэффициента запаса [п] зависит от стабильности условий нагружения, уровня технологии, методов определения коэффициента запаса и ряда других факторов. Допускаемые значения коэффициента запаса назначают с учетом инженерного опыта создания подобных конструкций.

9

Модели прочностной надежности. Для определения критериев прочностной надежности следует разработать или принять четыре вспомогательные модели - материала, формы, нагружения и разрушения (рис. 1.2).



  Модель прочностной ->■ надежности

Вероятность безотказной работы, коэффициент запаса





/Уг 1.2

■ Модель материала. В сопротивлении материалов используется модель сплошного тела - реальное твердое тело заменяется воображаемой модельной сплошной средой.


        Словарь терминов
Среда называется сплошной, если любой объем, выделенный из нее, содержит вещество, т.е. имеет массу. Другими словами, под сплошностью тела понимается заполненность материалом всего объема, ограниченного его поверхностью.
            Модель сплошного тела наделяется рядом свойств:
            •    однородность - если в окрестности любой точки тела, при изучении любого по величине элемента свойства тела

         оказываются одинаковыми, то оно считается однородным. Здесь речь идет об однородности в среднем, обнаруживаемой в том случае, когда объем рассматриваемого элемента тела намного превосходит объем структурных единиц, его составляющих. Так, бетонный куб с ребрами 20 см можно считать обладающим осредненными свойствами составляющих его частей; для стали - объем 1 мм³ и меньше;
            •    изотропность - одинаковость свойств материала во всех направлениях, проходящих через исследуемую точку тела; в противном случае - анизотропность;



10

           •    деформируемость (деформация) - изменение телом формы и размеров после приложения внешних нагрузок;
           •    упругость - свойство тела восстанавливать свою форму и размеры после снятия внешних нагрузок (например, прогиб доски или ветки дерева, прогиб моста, железнодорожного полотна);
           •    пластичность - свойство тела сохранять после прекращения действия нагрузки полностью или частично полученную при нагружении деформацию (например, изменения формы тел из глины под давлением, проволоки при большом изгибе).

   Обычно в сопротивлении материалов принимают, что изменение формы тела под действием внешних нагрузок невелико.

■ Модели формы. На практике применяют упрощенные геометрические модели формы элементов конструкции, которые могут быть отнесены к одной из трех групп.


        Словарь терминов
• Первую группу составляют элементы, у которых поперечные размеры малы по сравнению с длиной I. Такие элементы называются стержнями (рис. 1.3).
   Ось стержня - это линия, соединяющая центры тяжести его поперечных сечений. Плоская фигура, имеющая свой центр тяжести на оси и нормальная к ней, называется поперечным сечением стержня. В зависимости от формы оси различают прямые и криволинейные стержни. Их поперечные сечения могут быть постоянными по длине оси либо пере
        менными.

         • Ко второй группе относятся элементы, размеры которых в двух направлениях намного больше размера в третьем направлении. Геометрическое место точек, равноудаленных от наружных поверхностей таких элементов, называется срединной поверхностью. Если срединная поверхность плоская, элемент называют пластиной; если же криволинейная, то


11

         оболочкой (рис. 1.3). Наименьший размер h (толщина) из трех характерных размеров располагается в направлении нормали к срединной поверхности.


Пластина

Стержень         Оболочка Пластина с рёбрами

Рис. 1.3

        • Третью группу образуют элементы, у которых все три размера одного порядка. Такие элементы конструкции называют массивами (массивными телами).

   Реальные детали машин, элементы конструкций могут быть представлены сочетанием простых моделей формы. На рис. 1.3 показан пример сочетания моделей стержня и пластины (пластина с ребрами).
   —>В сопротивлении материалов основным расчетным объектом является стержень.

Модели нагружения. Внешние силы, действующие на тело (конструкцию), следует рассматривать как проявление взаимодействия его с окружающими телами или внешней средой. Внешние силы могут быть классифицированы по нескольким признакам.
■ По месту расположения точек приложения сил к телу (или способу приложения сил к телу)-.
   •    объемные или массовые силы непрерывно распределены по всему объему, занятому телом (силы веса, инерции); их интенсивность имеет размерность [Н/м³];
   •    поверхностные силы приложены к поверхности тела; интенсивность поверхностной силы имеет размерность [Н/м²].


12

   —> В тех случаях, когда площадка, на которой действует нагрузка, очень мала по сравнению с размерами тела, будем говорить о сосредоточенной силе как о равнодействующей сил, распределенных по указанной площадке (например, давление колеса на рельс). Размерность сосредоточенной силы [Н].
   —> Если два тела соприкасаются друг с другом по очень узкой площадке (например, соприкосновение двух цилиндрических тел при параллельном расположении осей цилиндров), то допустимо считать, что поверхностная нагрузка действует по линии или, как говорят, распределена вдоль линии. Такая нагрузка называется погонной. Интенсивность силы, распределенной по линии, имеет размерность [Н/м].
■ По учету величин внешних нагрузок и характеру их изменения по времени'.
   •     статическая нагрузка возрастает от нуля до своей номинальной величины с очень небольшой скоростью, так что возникающими при этом ускорениями можно пренебречь, и остается постоянной во всем процессе нагружения (например, нагружение крыши здания снегом, нагружение планера самолета в условиях установившегося горизонтального полета);
   •     переменное нагружение - это нагружение, изменяющееся во времени.
      Наиболее важный класс переменных нагружений - циклические нагружения'.
   •     если циклы образуются за счет запуска и остановки машины, то нагружение обычно не превышает 10⁴...10⁵ циклов, и такое нагружение называется малоцикловым;
   •     при нагружении, связанном с упругими колебаниями элементов конструкции, число циклов нагружения часто превышает 10⁵.. .10⁶ циклов, и такое нагружение называется многоцикловым.
   —     > Часто встречается динамическое ударное нагружение (соударения элементов конструкции, взрывное нагружение и т.п.). Ударное нагружение характеризуется очень высокой скоростью возрастания нагрузки, что влияет на характеристики деформирования материала.

Модели разрушения. После обоснованного выбора моделей материала, формы и нагружения переходят к непосредственной оценке надежности с помощью моделей разрушения.

13