НОРМА
ИНФРАМ

Москва, 2014

Научный совет по Программе фундаментальных исследований
Президиума Российской академии наук
«Экономика и социология науки и образования»
Институт социальнополитических исследований РАН
Высшая школа современных социальных наук МГУ
имени М. В. Ломоносова

Общество социальных наук

Г. В. Осипов, В. А. Лисичкин
Математические
методы
в современных
социальных науках

Учебное пособие

Под общей редакцией
академика РАН
В. А. С а д о в н и ч е г о

УДК 311
ББК 60в631
О74

Серия «Социальные науки и математика»

Работа выполнена в рамках Программы фундаментальных исследований
Президиума Российской академии наук
«Экономика и социология науки и образования»

Рецензенты:
В. Л. Макаров — академик РАН;
В. С. Степин — академик РАН.

Осипов Г. В.
О74
Математические методы в современных социальных нау
ках : учеб. пособие / Г. В. Осипов, В. А. Лисичкин ; под общ.
ред. В. А. Садовничего. — М. : Норма : ИНФРАМ, 2014. —
384 с. : ил. — (Социальные науки и математика).

ISBN 9785917684703 (Норма)
ISBN 9785160095981 (ИНФРАМ)

Рассмотрены проблемы выборки, группировки и классификации,
в том числе многомерной, вариации в изучении взаимосвязей соци
альных явлений. Особое место уделено факторному, латентному ана
лизу. Проанализированы вероятностные основы статистической тео
рии и ее применение в социальных науках. Предложены методы ана
лиза динамики социальных явлений и процессов. Завершается книга
рассмотрением методов изучения социальнопсихологической уста
новки и анализа дифференциальных моделей спроса.
Для студентов, магистрантов, бакалавров, аспирантов и преподава
телей высших учебных заведений.

УДК 311
ББК 60в631

© Осипов Г. В., Лисичкин В. А., 2014
ISBN 9785917684703 (Норма)
© Осипов Г. В., Садовничий В. А.,
ISBN 9785160095981 (ИНФРАМ)
© предисловие к серии, 2014

Сведения об ответственном редакторе и авторах:

Виктор Антонович Садовничий — математик, академик РАН. Рек
тор Московского государственного университета имени М. В. Ломо
носова. Президент Российского союза ректоров. Внес выдающийся
вклад в развитие математики и ее применение в естественных, техни
ческих, социальных и гуманитарных науках;

Геннадий Васильевич Осипов — социолог и философ, академик
РАН. Директор Института социальнополитических исследований
РАН, Президент Российской академии социальных наук, Председа
тель Общества социальных наук. Внес существенный вклад в возрож
дение и становление социологической науки в СССР — России, в
разработку и применение современных математических методов в со
циологии;

Владимир Александрович Лисичкин — экономист и политолог, про
фессор, доктор экономических наук, действительный член Россий
ской академии социальных наук, заведующий сектором оперативных
исследований Института социальнополитических исследований
РАН. Внес существенный вклад в развитие методов социальноэко
номического прогнозирования, математического моделирования со
циальных явлений и процессов.

Содержание

Г. В. Осипов, В. А. Садовничий. Предисловие к серии .............................9

Предисловие ..........................................................................................20

Глава 1. Социологическая наука и математика .....................................22
§ 1. Методологические проблемы применения
математических методов в социологии ................................22
§ 2. Выборка .................................................................................35
§ 3. Измерение .............................................................................37
§ 4. Анализ данных .......................................................................50
§ 5. Моделирование .....................................................................52

Глава 2. Проблемы выборки, первичной обработки
и группировки данных в социальных науках .................................58
§ 1. Наблюдение и выборка в социальных науках .....................58
§ 2.Выборочное наблюдение
социальноэкономических явлений ....................................67
§ 3. Простая случайная выборка .................................................73
§ 4. Систематическая и стратификационная выборки ..............80
§ 5. Серийная выборка .................................................................85
§ 6. Сущность, виды и принципы группировок
и классификаций ...................................................................88
§ 7. Сравнимость статистических группировок ........................102
§ 8. Виды статистических таблиц ..............................................104
§ 9. Основные правила построения и анализа
статистических таблиц ........................................................110

Глава 3. Методы многомерной классификации
в социологическом исследовании ................................................114
§ 1. Задача классификации и примеры ее решения .................114
§ 2. Типы алгоритмов многомерной классификации ..............121
§ 3. Классификация по заданным типам объектов ..................127

Глава 4. Методы определения средних величин и вариаций
в социальных исследованиях .......................................................131
§ 1. Абсолютные показатели ......................................................131

§ 2. Относительные показатели .................................................133
§ 3. Средние показатели ............................................................138
§ 4. Структурные средние ..........................................................150
§ 5. Основные показатели вариации .........................................154
§ 6. Использование показателей вариации
в анализе взаимосвязей .......................................................158

Глава 5. Методы анализа линейных динамических процессов ............163

§ 1. Динамические процессы с постоянным темпом прироста
и модель Мальтуса ...............................................................163
§ 2. Графическое представление решений
разностных уравнений ........................................................168
§ 3. Процессы с линейно убывающей скоростью роста
(модели динамики народонаселения и другие модели) ....171
§ 4. Модели переходных экономических процессов
и модель эпидемии Бэйли ...................................................175

Глава 6. Методы анализа нелинейных динамических процессов ........180

§ 1. Гиперболический рост — режим с обострением ...............180
§ 2. Демографическая модель Ферхюльста
и логистический рост ...........................................................182
§ 3. Влияние обратной связи на устойчивость динамических
систем (задача о максимизации квоты отлова) ..................189
§ 4. Модель борьбы двух биологических видов
за ограниченные ресурсы ....................................................192
§ 5. Модель «хищник — жертва»
и макроэкономическая модель Гудвина ............................197
§ 6. Модель Рикера внутривидовой борьбы
и бифуркация удвоения периода ........................................204

Глава 7. Латентный анализ в социальных науках ...............................209

§ 1. Общая постановка задачи ...................................................209
§ 2. Двухгрупповая модель латентноструктурного анализа ....212
§ 3. Общая модель латентных групп ..........................................221

Глава 8. Методы исследования взаимосвязи
социальноэкономических явлений .............................................228

§ 1. Понятия причинности, регрессии, корреляции ................228
§ 2. Парная регрессия ................................................................232

Содержание
7

§ 3. Множественная (многофакторная) регрессия ...................235
§ 4. Корреляционные параметрические методы
изучения связи .....................................................................238
§ 5. Принятие решений на основе уравнений регрессии .........243
§ 6. Методы изучения связи качественных признаков ............246
§ 7. Ранговые коэффициенты связи ..........................................249

Глава 9. Вероятностные основы статистической теории .....................253
§ 1. Математическая статистика и ее задачи .............................253
§ 2. Законы больших чисел ........................................................259
§ 3. Проверка статистических гипотез ......................................273
§ 4. Основы теории статистических решений ..........................281

Глава 10. Анализ динамики социальноэкономических явлений .........294
§ 1. Ряды динамики и их виды ...................................................294
§ 2. Сопоставимость уровней и смыкание рядов динамики ....296
§ 3. Аналитические показатели ряда динамики .......................299
§ 4. Средние показатели в рядах динамики
и методы их исчисления ......................................................303
§ 5. Методы анализа основной тенденции (тренда)
в рядах динамики .................................................................307
§ 6. Методы выявления сезонной компоненты ........................314
§ 7. Прогнозирование и интерполяция .....................................316

Глава 11. Изучение социальнопсихологической установки ...............319
§ 1. Понятие установки ..............................................................319
§ 2. Свойства шкал .....................................................................322
§ 3. Определения ........................................................................324
§ 4. Оценивание шкал ................................................................325
§ 5. Признаки и опросные листы ..............................................331
§ 6. Методы шкалирования .......................................................337
§ 7. Выводы .................................................................................369

Глава 12. Методы анализа дифференциальных моделей спроса .........371
§ 1. Спрос и предложение ..........................................................371
§ 2. Эластичность функции .......................................................372
§ 3. Логистическая функция спроса ..........................................375
§ 4. Кривые Торнквиста .............................................................378

Литература ...........................................................................................382

8
Содержание

Предисловие к серии

Переход России на инновационный путь развития и вступление во
Всемирную торговую организацию (ВТО) резко повысили требова
ния к профессиональному уровню специалистов всех отраслей, в пер
вую очередь социологов, экономистов, демографов, юристов, поли
тологов, историков и др., всех аспирантов и студентов, выбравших
стезю современных социальных наук. Их профессиональный уровень
будет определяться тем, насколько полно они освоили современные
математические методы и могут ли они применять эти методы для
анализа сложных социальноэкономических процессов, протекаю
щих в нашем обществе. Поэтому при подготовке специалистов, бака
лавров и магистров в Высшей школе современных социальных наук
МГУ им. М. В. Ломоносова и в других вузах страны изучение матема
тических методов и моделей, которому посвящена настоящая серия
учебных пособий «Социальные науки и математика», занимает осо
бое место. Исследование количественных методов и моделей совре
менных социальных наук имеет особенности, которые вытекают из
специфики социальноэкономических процессов и явлений, много
образия социальных задач и подходов к их решению.
Задачи социальной практики и ее теоретического обобщения весь
ма разносторонни. Сюда относятся прежде всего методы сбора, сис
тематизации и обработки социологической и статистической инфор
мации, оценка текущего состояния общественных процессов и про
гноз социальноэкономических тенденций. При этом используются
различные методы обработки полученной информации: логический
анализ, простые логические модели, разработка многофакторных ма
тематикостатистических моделей, применение современного мате
матического аппарата для их исследований.
Высокая неопределенность социальнополитических процессов,
значительный случайный характер изучаемых факторов, большой
объем получаемой информации вызывают необходимость примене
ния теории экспертных оценок и эвристических методов, теории ве
роятностей и математической статистики. Наряду с моделированием
социальноэкономических процессов требуют освоения методы оп
тимизации, принятия решений и исследования операций, включая
линейное программирование.

Интегрирование России в мирохозяйственные связи актуализиру
ет освоение глобальных моделей и процессов, охватывающих сотни
стран и народов, десятки тысяч факторов и тенденций.
Читателям предлагается серия учебных пособий, включающая
семь книг. Они содержат необходимую информацию о применении
математических методов и моделей в современных социальных нау
ках для студентов, магистрантов, бакалавров, аспирантов и препода
вателей высших учебных заведений.
Целью данной серии является рассмотрение методологических ос
нов применения математических методов в современных социальных
науках и конкретных практических методов обработки социальной
информации. Авторы обобщили богатый опыт моделирования соци
альных явлений и процессов, накопленный как в России, так и в за
рубежных странах.
Последнее десятилетие характеризуется значительным возраста
нием роли исследований российских социологов по проблемам пере
хода России к гражданскому обществу.
Эти исследования, широко развернувшиеся в нашей стране, опре
деляют и пути становления новой демократии в России.
При решении современных социальных проблем перед социолога
ми встают задачи разработки концепции социального планирования,
отвечающей современным потребностям общественного развития
России; создания прогностических моделей социального развития
российского общества на ближайшую и более отдаленную перспекти
вы; выработки системы показателей и индикаторов социального раз
вития, при помощи которой можно измерять различные социальные
аспекты жизни общества и планировать их изменение; разработки
научных принципов и методик изучения связи показателей социаль
ного и экономического развития.
Все многообразие работ по применению математических методов
в социологии идет по следующим направлениям: методологические
проблемы, выборка, измерение, анализ данных, моделирование.

Методологические проблемы применения математических
методов в современных социологических исследованиях

Работы, посвященные исследованию методологических проблем
применения математики в социологии, охватывают множество во
просов, которые, в свою очередь, требуют определенной классифика
ции. Не претендуя на бесспорность, можно выделить следующие раз
делы методологических проблем задействования математических ме
тодов в социологии, следуя в основном хронологическому порядку их
постановки в российской литературе.

10
Предисловие к серии

Вопервых, роль статистических закономерностей в конкретных
социологических исследованиях.
Вовторых, возможности и перспективы использования математи
ки в социологии.
Втретьих, методологические проблемы выборки, измерения, ана
лиза данных и моделирования в социологии.
Последний круг вопросов связан с общей, данной выше класси
фикацией области применения математических методов в социоло
гии. В силу этого методологическое рассмотрение данного круга
проблем уместно объединить с обсуждением специальных вопросов.
Первоначально дискуссия ученых исходила из двух точек зрения.
Согласно первой точке зрения статистика — это исключительно со
циальноэкономическая наука, использующая некоторые математи
ческие методы. В силу второй точки зрения статистика — универсаль
ная наука, изучающая массовые случайные процессы безотноситель
но к их специфике.
В ходе дискуссии были поставлены новые важные проблемы. Во
первых, проблема объективности статистических закономерностей в
сфере социальной жизни общества и необходимости использования
общей и математической статистики при проведении конкретных со
циологических исследований; вовторых, проблема специфичности
действия статистических законов в обществе.
Те стороны массовых социальных явлений и процессов, которые
получают и могут получить количественное выражение, становятся
предметом статистики. Новый подход к этим массовым явлениям и
процессам требует поиска содержательной специфики случайного и
статистического в социальной действительности. Неправомерно под
ходить к экономическим и социальным явлениям с мерками, заимст
вованными из области изучения явлений природы. Статистическая
совокупность, с которой работает социолог, существенно отличается
от совокупности, с которой имеет дело натуралист.
В связи с применением математики в сфере социального научного
знания, с вхождением в социологию многообразных математических
методов перед социологами, экономистами и математиками встал во
прос об оценке возможностей и перспектив применения математики
в социологических исследованиях.
Рассматривая связи и преемственность использования математиче
ских методов в социологии и других социальных науках — психологии,
лингвистике, демографии, российские ученые обращают внимание на
тот факт, что количественные методы выступают как необходимый
этап социологического исследования, который связан с поисками но
вых методов, реализацией новейших достижений математики.

Предисловие к серии
11

Трудности применения математики в социологии обусловлены
сложностью социальных явлений, а также тем, что социолог постоян
но имеет дело с фактами не только объективными, но и субъективны
ми, перевод которых в количественную форму требует разработки
специального математического аппарата.
Кроме того, трудности связаны с тем, что в общественных науках
связь между наблюдаемым явлением и наблюдателем очень трудно
свести к минимуму. С одной стороны, наблюдатель может оказывать
значительное влияние на явления, привлекшие его внимание. С дру
гой стороны, ученыйсоциолог не может взирать на свои объекты с
холодных высот вечности и вездесущности. Иными словами, в обще
ственных науках мы имеем дело с короткими статистическими ряда
ми и не можем быть уверены, что значительная часть наблюдаемого
нами не создана нами самими.
Наконец, эти трудности связаны с тем, что социология изучает яв
ления, которые характеризуются и количественными, и качественны
ми переменными. Это ставит перед социологией проблему измерения
качественных величин.
Иногда ссылаясь на еще несовершенные и весьма приближенные
результаты применения математических теорий, например теории
игр, в социологии, некоторые ученые указывают на несоответствие
математического аппарата социальной структуре. При этом они
обычно интуитивно сравнивают стройность и строгость математики,
применяющейся в физике и астрономии в XVIII и XIX вв., и слож
ность, неопределенность и неэффективность математического аппа
рата социологии XX в.
Если иметь в виду такое сопоставление, то действительно можно
отметить, что в социологии нет законов, аналогичных законам
И. Ньютона и А. Эйнштейна, для области социальных явлений нет
математической теории, подобной теории классической или кванто
вой механики. Причина тут кроется, видимо, в несравненно большей
сложности и изменчивости социальных объектов. На наш взгляд, бы
ло бы большим заблуждением думать, что когданибудь в отношении
общества будут найдены уравнения, подобные уравнениям классиче
ской механики.
В последние годы все больший вес приобретает обсуждение мето
дологических проблем использования новейших математических ме
тодов, выросших в рамках математической статистики, технической
кибернетики, математической экономики. Представляет интерес об
суждение методологических проблем применения методов распозна
вания образов в конкретных социальных исследованиях.
Эти задачи перспективны, по нашему мнению, в двух основных
направлениях. Вопервых, их решение позволяет получать сложные

12
Предисловие к серии

статистические критерии классификации полипараметрических объ
ектов, которые в дальнейшем можно использовать в автоматизиро
ванных системах управления социальными системами. Вовторых, их
решение дает информативный набор признаков, описывающих си
туации, подлежащие классификации, что позволит в дальнейшем
увеличить надежность классификации.
В последнее время начинают все более интенсивно обсуждаться
проблемы применения математических методов в социальном иссле
довании как этапе и инструменте социального управления и плани
рования. Математическое обеспечение конкретного социологическо
го исследования становится необходимостью на пути отыскания и
реализации народнохозяйственного оптимума.

Методы выборки в конкретных социологических исследованиях

Любое социальное исследование сталкивается с проблемой выбо
ра объектов, поскольку всякое социальное явление имеет массовый
характер и нет времени и средств исследовать всю генеральную сово
купность. В связи с этим делают выборку определенного числа объек
тов из генеральной совокупности и по результатам их исследования
судят обо всей совокупности. В зависимости от того, насколько по
выборке можно судить обо всей генеральной совокупности, вводят
понятие представительной, или репрезентативной, выборки.
Распространение результатов выборочного исследования на гене
ральную совокупность возможно только в том случае, когда выборка
строилась на основе научно обоснованного метода.
Различают вероятностные и неслучайные методы отбора. Меха
низм построения выборки при вероятностных методах отбора осно
ван на использовании случайности, а распространение результатов
выборочного исследования на генеральную совокупность — на стати
стической теории оценивания.
Если отбор единиц осуществляется не по принципу случайности,
а по какомулибо другому принципу, то такой отбор называют неслу
чайным, или направленным. Широкое применение данных методов
объясняется простотой и низкой стоимостью такого вида отбора по
сравнению с вероятностными методами.
При неслучайных способах отбора главным условием того, что вы
борка верно представляет исследуемую совокупность, является согла
сование долей единиц отбора, обладающих целым рядом определен
ных свойств в выборке и изучаемой совокупности. То есть задается
набор характеристик единиц отбора, так или иначе связанных с изу
чаемым признаком, и выравниваются распределения единиц отбора
по заданным характеристикам в выборке и совокупности. В этом слу

Предисловие к серии
13