Начертательная геометрия

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 

АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНЖЕНЕРНЫЙ ИНСТИТУТ

Т. В. Семенова, Е. В. Петрова

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Курс лекций

Новосибирск 2013

УДК 514.18 (07) 
ББК 22.15, я7
С 302

Кафедра теоретической и прикладной механики

Рецензент канд. тех. наук, доц. С. Г. Щукин

Семенова Т. В. Начертательная геометрия: курс лекций / 

Т. В. Семе нова, Е. В. Петрова; Новосиб. гос. аграр. ун-т: Инженер. ин-т. 
Новосибирск: Изд-во НГАУ, 2013. —  130 с.

Представлены теоретические основы курса в виде лекций по те
мам. Предназначен для студентов 1-го курса Инженерного института 
всех форм обучения по направлениям подготовки 110800 — Агроинженерия, 190700 — Технология транспортных процессов, 190600 — 
Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов, 
051000 — Профессиональное обучение (по отраслям), 110809.51 — Механизация сельского хозяйства.

Утвержден и рекомендован к изданию методическим советом 

Инженерного института (протокол № 2 от 30 октября 2012 г.).

© Новосибирский государственный аграрный университет, 2013

ПРЕДИСЛОВИЕ

Начертательная геометрия — одна из основных обще
технических дисциплин, составляю щих основу инженерного образования.

Французский ученый Гаспар Монж (1746—1818), ко
торого по праву считают творцом начертательной геометрии, так определил цели и задачи этой науки:

«Эта наука имеет две главные цели.
Первая — точное представление на чертеже, имею
щем только два измерения, объектов трехмерных, которые могут быть точно заданы. С этой точки зрения — это 
язык, необходимый инженеру, создающему какой-либо проект, а также всем тем, кто должен руководить его 
осуществлением, и, наконец, мастерам, которые должны 
сами изготовлять различные части.

Вторая цель начертательной геометрии — выводить из 

точного описания тел все то, что неизбежно следует из их 
формы и взаимного расположения. В этом смысле — это 
средство искать истину; она дает бесконечные примеры 
перехода от неизвестного к известному; и поскольку она 
всегда имеет дело с предметами, которым присуща наибольшая ясность, необходимо ввести ее в план народного 
образования. Она пригодна не только для того, чтобы развивать интеллектуальные способности великого народа 
и тем самым способствовать усовершенствованию рода 
человеческого, но она необходима для рабочих, цель которых придавать телам определенные формы; и именно, 
главным образом, потому, что методы этого искусства 
до сих пор были мало распространены или даже совсем 
не пользовались вниманием, развитие промышленности 
шло так медленно».

Кроме этого, начертательная геометрия развивает 

способность абстрактно мыслить, развивает пространственные представления — качества, совершенно необ

ходимые для инженерной практики, для решения прикладных задач.

Являясь теоретической основой инженерной графики, 

начертательная геометрия ставит целью:

— ознакомить изучающих ее с методами построения 

изображений пространственных форм на плоскости, т. е. 
научить составлять чертеж;

— развить способность мысленного воспроизведения 

пространственного вида изображенного на чертеже предмета, т. е. научить читать чертеж;

— дать знания и необходимые навыки для графиче
ского решения задач, связанных с пространственными 
формами, т. е. научить графически решать задачи по начертательной геометрии.

В процессе изучения дисциплины «Начертательная 

геометрия» студент должен сформировать следующие 
компетенции:

— овладеть основными законами геометрического 

построения и взаимного пересечения геометрических 
объектов в пространстве;

— готовность к решению инженерных задач, связан
ных с проектированием, производством и эксплуатацией 
машин и механизмов;

– способность применять полученные знания для 

изучения профильных технических дисциплин, а также 
в последующей инженерной деятельности.

Обозначения и символы

Обозначения геометрических фигур в различных системах

I
II
III

Фигура
Ф
Ф
Ф

Плоскости проекций

горизонтальная
фронтальная
профильная

Н
V
W

Н
V
W

П1
П2
П3

Точки в пространстве
A, B, C

Проекции точек

горизонтальная
фронтальная
профильная

а, в, с
а/, в/, с/

а//, в//, с//

А/, B/, C/

A//, B//, C//

A///, B///, C///

А1, В1, С1
A2, B2, C2
A3, B3, C3

Линии 
Двумя точками

Проекции линий
Проекциями точек

Плоскости 
P, Q, S, a, b, g

Следы плоскостей

горизонтальные
фронтальные
профильные

Pн, Qн, Sн
PV, QV, SV
PW, QW, SW

aн, bн, gн
aV, bV, gV

a W, b W, g W

aп1, bп1, gп1
aп2, bп2, gп2
aп3, bп3, gп3

Символы, обозначающие отношения 
между геометрическими фигурами

Совпадение, результат действия
Конгруэнтность
Перпендикулярность
Объединение
Пересечение
Включает
Принадлежит, является элементом
Конъюнкция предложений, союз И
Квантор общности
Логическое следствие

=
@
^
∪
∩
⊂
∈
∧
∀
⇒

ВВЕДЕНИЕ

Возникновение начертательной геометрии относит
ся к глубокой древности, появление ее обусловливалось 
потребностями строительства, а несколько позже — развитием искусств и техники.

С развитием методов построения изображений про
странственных форм на плоскости связаны имена таких 
ученых древности, как Эсхил, Анаксагор, Демокрит, Евклид, Витрувий, Птолемей.

Значительных успехов в своем развитии начертатель
ная геометрия достигла в эпоху Возрождения (Лоренцо 
Гиберти, Леон Баттиста Альберти, Пьеро делла Франческа, 
Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер и др.).

Большой вклад в развитие начертательной геометрии 

внесли французский математик Ж. Дезарг, итальянский 
архитектор Андреа дель Поццо, голландский математик 
Гравезандт, английский математик Тейлор, немецкий 
геометр Ламберт, английский геометр Вильям Фейрич, 
французский инженер Фрезье и ряд других.

Практические приемы построения графических изо
бражений с давних времен были известны и в России. 
Есть основания считать, что графические изображения 
для нужд строительства применялись в России еще в X—
XI вв., а несколько позже они достигли уже известного 
совершенства (картины художника Рублева, чертежи 
Петра I, Р. Санникова, И. И. Ползунова, И. П. Кулибина, 
И. Е. Сафонова, архитекторов Д. В. Ухтомского, В. И. Боженова, М. Ф. Казакова, В. П. Стасова и др.).

Однако творцом начертательной геометрии по праву 

считается французский инженер и ученый Гаспар Монж 
(1746—1818). В 1795 г. Гаспар Монж опубликовал свой капитальный труд «Начертательная геометрия». В данном труде он систематизировал и обобщил накопленный годами 
опыт геометрических построений, систематизировал ме

тод проекций, ввел понятие «комплексный чертёж». Именно Монжа 
считают основателем начертательной геометрии, так как он в данном 
труде дал название науке и вложил 
в обобщенную информацию подлинно научный смысл и значение. 
И эта наука, удовлетворяя требованиям технического прогресса, очень 
быстро завоевала признание и стала 
одним из основных курсов втузов.

В вузах России начертательную геометрию стали из
учать с 1810 г. Первым русским профессором начертательной геометрии и крупным ученым-исследователем 
в этой области стал Яков Александрович Севастьянов 
(1796—1849).

Гаспар Монж

Тема 1

ПРЕДМЕТ И МЕТОД НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ. 

МЕТОД ПРОЕКЦИЙ. ВИДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ. 

СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ. 
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ МОДЕЛЬ КООРДИНАТНЫХ 

ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ. ЭПЮР МОНЖА

Начертательная геометрия — наука о методах по
строения изображений пространственных форм на плоскости, излагает способы графического решения задач, 
связанных с телами, имеющими три измерения на плоском чертеже.

Предметы изучения начертательной геометрии:
— изложение и обоснование способов изображения 

пространственных форм на плоскости;

— решение пространственных задач на плоскости во 

всем многообразии.

Изображения, построенные по законам, изучаемым 

в начертательной геометрии, дают информацию о форме 
изображенных предметов и их взаимном расположении 
в пространстве, позволяют определить их размеры, исследовать геометрические свойства.

Начертательная геометрия излагает методы точного 

изображения пространственных предметов на плоскости 
и основана на методе проекций.

Слово проекция произошло от латинского слова 

projecere — бросать тень, след. Таким образом, под проекцией предмета на плоскость подразумевается его изображение, «отброшенное» на эту плоскость с помощью 
проецирующих лучей.

Проекцией точки В на плоскость П является точка 

пересечения проецирующего луча, проведенного через 
точку В, с плоскостью проекций П (рис.1).

Рис. 1. Процесс проецирования

В зависимости от способа проведения проецирующих 

лучей проекции делятся на центральные (рис. 2 а) и параллельные (рис. 2 б).

а

б

Рис. 2. Методы проецирования: а — центральное; б — параллельное

Центральные проекции, или перспектива, обладают 

наилучшей наглядностью и наиболее верно передают 
те зрительные впечатления, которые получает наблюдатель, рассматривая предмет в натуре. Перспектива — 
как фотография: передает не только общую форму предмета, но и отражает взаимное положение наблюдателя 
и предмета — поворот и удаление предмета относительно зрителя. Однако по перспективному изображению 
сложно определить истинные размеры и форму предмета (рис. 2 а).

Параллельные проекции (аксонометрия) (рис. 2 б) не 

отличаются такой наглядностью, как перспектива, потому 
что предмет рассматривается как бы издалека и только 
сверху или снизу. Вместе с тем аксонометрическое изображение дает представление о форме изображаемого 
предмета. Кроме того, по нему легко определить основные размеры предмета.

Параллельные проекции могут быть косоугольными 

(рис. 3 б) и прямоугольными (ортогональными) (рис. 3 а).

Если направление проецирования составляет с пло
скостью проекций острый угол, то такая проекция называется косоугольной, если же прямой, то прямоугольной 
(ортогональной). Для построения машиностроительных 
чертежей применяется ортогональное проецирование.

 
а  
б

Рис. 3. Виды центрального проецирования:

а — прямоугольная (ортогональная) проекция; б — косоугольная