Математические основы вычислительной механики жидкости, газа и плазмы

К.В. БРУШЛИНСКИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ 
ЖИДКОСТИ, ГАЗА И ПЛАЗМЫ

Ê.Â. Áðóøëèíñêèé
Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû âû÷èñëèòåëüíîé ìåõàíèêè æèäêîñòè, ãàçà è ïëàçìû: Ó÷åáíîå ïîñîáèå / Ê.Â. Áðóøëèíñêèé –
Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé Äîì «Èíòåëëåêò», 2017. – 272 ñ.

ISBN 978-5-91559-224-6

Âû÷èñëèòåëüíàÿ ìåõàíèêà – ñîâðåìåííàÿ îáëàñòü íàóêè,
ñîïðîâîæäàþùàÿ ñîçäàíèå è ðàçâèòèå íîâîé òåõíèêè. Îíà
äîïîëíÿåò è îáëåã÷àåò âîçìîæíîñòè âñå áîëåå ñëîæíûõ òåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé è  ïîçâîëÿåò ñýêîíîìèòü íà âñå áîëåå
äîðîãîñòîÿùèõ ýêñïåðèìåíòàõ. Åå ñîäåðæàíèåì ÿâëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è áîëüøîé îáúåì
ãðîìîçäêèõ ðàñ÷åòîâ ñ ïðèìåíåíèåì áûñòðî ñîâåðøåíñòâóþùåéñÿ âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè. Ýôôåêòèâíîñòü òîãî è äðóãîãî òðåáóåò ãðàìîòíîãî ïðîíèêíîâåíèÿ â ìàòåìàòè÷åñêóþ
ïðèðîäó ïîñòàâëåííûõ çàäà÷ è ïðèìåíÿåìûõ äëÿ èõ ðåøåíèÿ
÷èñëåííûõ ìåòîäîâ.
 ó÷åáíîì ïîñîáèè èçëîæåíû, ñ îäíîé ñòîðîíû, ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû ìåõàíèêè æèäêîñòè, ãàçà è ïëàçìû, ñ äðóãîé –
íåêîòîðûå òåîðåòè÷åñêèå âîïðîñû ñîâðåìåííîé âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè; òåì ñàìûì îáðàùàåòñÿ âíèìàíèå ÷èòàòåëÿ íà
åäèíñòâî ðàçíûõ íà ïåðâûé âçãëÿä ðàçäåëîâ íàóêè. Ýòè âîïðîñû èëëþñòðèðóþòñÿ ïðèìåðàìè ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ òèïîâ
çàäà÷.
Êíèãà ðàññ÷èòàíà íà ñòóäåíòîâ ñòàðøèõ êóðñîâ, àñïèðàíòîâ,
à òàêæå íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ è ïðåïîäàâàòåëåé, èíòåðåñóþùèõñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì ìîäåëèðîâàíèåì â ñîâðåìåííûõ çàäà÷àõ ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä.

© 2016, Ê.Â. Áðóøëèíñêèé
© 2017, ÎÎÎ «Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-224-6

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Глава 1. Математический аппарат газодинамики . . . . . . . . . . . .
13

§ 1.1. Уравнения газодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.1.1. Законы сохранения — физический смысл уравнений . . . .
13
1.1.2. Сведения из термодинамики. Уравнение состояния . . . . .
16
1.1.3. Уравнения газодинамики идеального газа. Консервативная
и простейшая формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.1.4. Уравнения акустики. Волновое уравнение. Линейное уравнение переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
§ 1.2. Теория характеристик систем квазилинейных уравнений . . . . .
23
1.2.1. Характеристики систем уравнений первого порядка . . . .
23
1.2.2. Гиперболичность и эволюционность . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.2.3. Соотношения на характеристиках. . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.2.4. Характеристики систем многомерных уравнений. . . . . . .
28
1.2.5. Характеристики системы уравнений газодинамики . . . . .
30
1.2.6. Характеристики и постановки задач с уравнениями газодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.2.7. Двумерные стационарные течения газа . . . . . . . . . . . . .
35
§ 1.3. Квазиодномерное приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.3.1. Модель течений газа в узких трубках. . . . . . . . . . . . . .
37
1.3.2. Стационарные течения. Сопло Лаваля . . . . . . . . . . . . . .
42
§ 1.4. Теория разрывных решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
1.4.1. Образование разрывов в решениях одного квазилинейного
уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
1.4.2. Обобщенные решения систем уравнений . . . . . . . . . . . .
51
1.4.3. Разрывы в решениях уравнений газодинамики . . . . . . . .
52
1.4.4. Распад произвольного разрыва . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
§ 1.5. Модели несжимаемой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
1.5.1. Уравнения гидродинамики и газодинамики . . . . . . . . . .
61
1.5.2. Теория «мелкой воды» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63

Оглавление

§ 1.6. Диссипативные процессы в газах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
1.6.1. Уравнения газодинамики с вязкостью и теплопроводностью
66
1.6.2. Эволюционность уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
1.6.3. Гладкость решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
1.6.4. Искусственная вязкость Неймана–Рихтмайера . . . . . . . .
72
1.6.5. Пограничные слои . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76

Глава 2. Автомодельные задачи математической физики . . . . . .
80

§ 2.1. Методы подобия. Автомодельность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
§ 2.2. Задача о сферическом поршне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
§ 2.3. Задача о сильном взрыве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
§ 2.4. Задача о распространении тепла от точечного источника . . . . .
91
§ 2.5. Определение показателей автомодельности. . . . . . . . . . . . . . .
94
§ 2.6. Задача о сходящейся сферической ударной волне . . . . . . . . . .
96
§ 2.7. Задача о схлопывании сферической полости . . . . . . . . . . . . . .
106

Глава 3. Магнитогазодинамические модели плазмы . . . . . . . . . .
115

§ 3.1. Уравнения магнитной газодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
3.1.1. Законы сохранения. Консервативная форма уравнений. . .
115
3.1.2. Неконсервативные формы уравнений . . . . . . . . . . . . . .
118
§ 3.2. Гиперболичность уравнений МГД, характеристики, соотношения
на них . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
§ 3.3. Разрывы в решениях уравнений МГД . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
§ 3.4. Симметрия в задачах магнитной газодинамики. Типичные классы
двумерных МГД-течений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
3.4.1. Примеры симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
3.4.2. Двумерные МГД-течения в поперечном магнитном поле .
129
3.4.3. Двумерные МГД-течения в плоскости магнитного поля . .
131
3.4.4. Двумерные МГД-задачи с проводниками, погруженными в
плазму . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
3.4.5. Двумерные МГД-задачи с произвольно ориентированными
скоростью и магнитным полем . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
§ 3.5. Квазиодномерное приближение в магнитной газодинамике . . . .
134
3.5.1. Основные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
3.5.2. Стационарные течения. Первые интегралы. МГД-сопло Лаваля с поперечным магнитным полем . . . . . . . . . . . . . .
140
3.5.3. МГД-течения в присутствии продольного магнитного поля
142
§ 3.6. Диссипативные процессы в магнитной газодинамике . . . . . . . .
150
§ 3.7. Математические модели плазмостатики . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
3.7.1. Равновесные конфигурации плазмы в магнитных ловушках.
Симметрия. Уравнение Грэда–Шафранова . . . . . . . . . . .
152
3.7.2. Пример расчета равновесных конфигураций . . . . . . . . . .
157

Оглавление
5

§ 3.8. О существовании, единственности и устойчивости решения задач
в математических моделях взаимодействия реакции и диффузии
160
§ 3.9. Математические вопросы теории МГД-устойчивости . . . . . . . .
163
3.9.1. Линейная теория устойчивости равновесия плазмы в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
3.9.2. Схема исследования устойчивости конфигураций в плазменном цилиндре. Z-пинч . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168
3.9.3. Об устойчивости конфигураций в цилиндре с продольным
магнитным полем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170
§ 3.10. Связь между диффузионной и МГД-проявлениями неустойчивости
175

Глава 4. О численном решении задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180

§ 4.1. Некоторые общие вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180
4.1.1. О постановке задач и системах координат . . . . . . . . . . .
180
4.1.2. Единицы измерения. Безразмерные уравнения и параметры
181
§ 4.2. Разностные схемы. Исчисление конечных разностей . . . . . . . .
185
§ 4.3. Примеры разностных схем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188
4.3.1. Расщепление по физическим процессам. . . . . . . . . . . . .
188
4.3.2. Примеры разностных схем для гиперболических уравнений
и систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
4.3.3. Примеры разностных схем для параболических уравнений
192
§ 4.4. Основные положения теории разностных схем . . . . . . . . . . . .
193
4.4.1. Цели и задачи теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193
4.4.2. Аппроксимация, устойчивость, сходимость . . . . . . . . . .
195
4.4.3. Исследование аппроксимации . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198
4.4.4. Об устойчивости
разностных схем для эволюционных
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203
§ 4.5. Критерии устойчивости разностных схем . . . . . . . . . . . . . . . .
205
4.5.1. Принцип максимума — достаточный критерий устойчивости
206
4.5.2. Необходимый признак устойчивости Куранта, Фридрихса и
Леви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
210
4.5.3. О спектральном методе исследования устойчивости . . . .
213
4.5.4. Спектр линейных разностных операторов с постоянными
коэффициентами на неограниченной прямой . . . . . . . . .
214
4.5.5. Примеры исследования устойчивости спектральным методом
218
4.5.6. Спектры разностных операторов на полупрямых . . . . . . .
220
4.5.7. Исследование устойчивости разностных схем на конечном
отрезке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221
§ 4.6. Расчеты разрывных решений. Схема Годунова . . . . . . . . . . . .
224
4.6.1. «Схемная» вязкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
4.6.2. Схемы, сохраняющие монотонность . . . . . . . . . . . . . . .
225
4.6.3. Схема для уравнений акустики . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229
4.6.4. Схема Годунова для уравнений газодинамики . . . . . . . .
231

Оглавление

§ 4.7. Схемы годуновского типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
234
4.7.1. Схемы с коррекцией потоков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
4.7.2. Невозрастание полной вариации . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237
§ 4.8. Решение задач с разностными аналогами параболических уравнений
241
4.8.1. Неявные разностные схемы в одномерных задачах. Метод
прогонки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241
4.8.2. Многомерные задачи. Методы переменных направлений.
Расщепление по направлениям . . . . . . . . . . . . . . . . . .
246
4.8.3. Продольно-поперечная прогонка . . . . . . . . . . . . . . . . . .
248
§ 4.9. Итерационные методы решения краевых задач с эллиптическими
уравнениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250
4.9.1. Итерационные методы установления . . . . . . . . . . . . . . .
250
4.9.2. Простейшая явная схема. Скорость сходимости . . . . . . .
252
4.9.3. Скорость сходимости с продольно-поперечной прогонкой .
255
4.9.4. Ускорение сходимости. Полиномы Чебышева . . . . . . . . .
257

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
261

ВВЕДЕНИЕ

Механика жидкости, газа и плазмы — обширная область современной науки — существует по крайней мере со времен Архимеда и интенсивно продолжает развиваться в наши дни. Интерес к этой области легко объяснить разнообразными и необходимыми приложениями к навигации, воздухоплаванию, добыче и транспортировке энергоресурсов, а
в последнее время к решению проблем атомной физики и управляемого
термоядерного синтеза, освоения космоса, т. е. к актуальным вопросам
научно-технического прогресса, относящимся к развитию энергетики,
транспорта и созданию новых видов техники, в том числе крайне необходимой оборонной техники. К этому следует добавить чисто научные,
а не исключено, что в недалеком будущем и прикладные, интересы к
проблемам астрофизики.
Задачи механики содержат большой объем количественной информации и требуют установления в ней закономерностей. По этой причине
механика тесно соприкасается и переплетается с другой, тоже древнейшей, наукой — математикой, вплоть до того, что часто употребляемые
термины «механико-математические» и «физико-математические» воспринимаются как единые неразрывные понятия. Иными словами, рабочим языком механики являются математические термины, уравнения,
правила и т. п.
В частности, современный язык механики жидкости и газа — гидромеханика, точнее, уравнения гидродинамики и газодинамики введен в
употребление в XVIII веке Эйлером и Даниилом Бернулли, а уравнения
магнитной газо- и гидродинамики, базирующиеся на той же гидромеханике, работах Ампера и уравнениях Максвелла, — шведским физиком
Х. Альфвеном в середине ХХ века. В результате основной математический аппарат механики жидкости, газа и плазмы состоит из дифференциальных уравнений с частными производными, нелинейными (точнее,
квазилинейными), что существенно отличает их от традиционных линейных уравнений математической физики, изучаемых в университетах
и технических вузах.

Введение

Задачи с уравнениями механики практически во всех случаях не
имеют явных так называемых аналитических точных решений. Тем не
менее, потребность в их решении со временем быстро возрастает, поскольку оно облегчает и расширяет возможности теоретических исследований и позволяет сэкономить на громоздких дорогостоящих, а иногда и принципиально невозможных экспериментах. Выход из положения может быть только в том, чтобы решать задачи приближенно. Практика такого решения возникла в середине ХХ века и широко распространилась в науке и технике. Она потребовала численных методов решения задач с уравнениями в частных производных, создание и исследование которых определили современное состояние вычислительной
математики. Необходимость выполнять огромное число утомительных
однотипных вычислений вызвала к жизни создание электронно-вычислительных машин (ЭВМ), немыслимая ранее производительность которых продолжает расти. Применение новой техники привело к созданию
еще одного нового направления работ — составлению программ и умению проводить громоздкие расчеты с их помощью, причем требования
к программам повышаются по мере увеличения быстродействия вычислительных средств.
Приближенное решение математических задач, связанных с научными и техническими проблемами, называют в настоящее время математическим моделированием. Это понятие включает в себя несколько
этапов: четкое понимание цели исследования в терминах исходной проблемы; грамотную постановку задачи в терминах механики и ее математического аппарата; создание или выбор из числа известных численного метода приближенного решения задачи; программирование с учетом
возможностей вычислительной техники; проведение расчетов или серии расчетов («вычислительных экспериментов») с разными значениями параметров задачи; обработку и анализ результатов расчетов с точки
зрения первоначально поставленной цели. Отсюда следует, что современный специалист в области математического моделирования должен
по крайней мере быть в курсе и правильно ориентироваться во всех
перечисленных этапах работы.
Цель предлагаемой книги — помочь начинающим специалистам ориентироваться в вопросах стыковки постановок механико-математических задач и численных методов их решения, т. е. уметь грамотно взглянуть на численные методы с точки зрения внутреннего содержания и
особенностей задачи и в то же время оценить постановку задачи на
предмет возможностей ее численного решения. Для этого желательно хорошо чувствовать математическую природу уравнений механики
сплошных сред, чтобы учитывать ее при постановке прикладных задач

Введение
9

и выборе численных методов, которые предполагается использовать для
их решения.
Автор не ставит перед собой задачи дать подробный обзор современной литературы в рассматриваемой области, но считает нужным назвать
ряд источников, которые в той или иной степени относятся к обсуждаемым здесь тематике и методологическим подходам.
В середине XX века выдающиеся математики, привлеченные к численному решению актуальных задач газодинамики и теплопроводности, обратили специальное внимание на природу и особенности задач
с нелинейными дифференциальными уравнениями механики сплошных
сред. Соответствующие вопросы и возможные в ту пору ответы составили содержание известных современным специалистам книги Р. Куранта
и К. Фридрихса [1] и обзорной статьи И. М. Гельфанда [2]. В течение
десятков лет в качестве наиболее распространенных учебных, научных
и справочных изданий пользуются известностью два тома «Теоретической физики» Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [3, 4] и первая отечественная книга по магнитной газодинамике А.Г. Куликовского и Г.А. Любимова [5]. Среди изданий последнего времени обратим внимание на
монографию А.Г. Куликовского, Н.В. Погорелова и А.Ю. Семенова [6],
название которой и тематика взаимоотношения задач механики сплошных сред с их математическими моделями представляются автору близкими к предлагаемой книге. Она содержит также обзор численных методов, используемых при решении задач механики сплошных сред. В
том же ключе написана небольшая (и без численных методов) книжка
Дж. Марсдена и А. Чорина [7]. Заслуживают внимания глубокие по
содержанию учебные пособия по механике сплошных сред, составленные физиками по материалам прочитанных ими лекционных курсов:
Т. Е. Фабером [8], Ю. П. Райзером [9] и В. П. Крайновым [10]. Любознательному читателю полезно ознакомиться с взглядами разных авторов на одни и те же проблемы и, может быть, сформировать свой собственный взгляд. Перечисленные источники помогут желающим более
подробно ознакомиться с интересующими их конкретными задачами.
Общая цель названных и неназванных текстов — подчеркнуть непрерывное единство фундаментальных и прикладных аспектов науки.
Содержание книги структурировано следующим образом.
Глава 1 посвящена уравнениям газодинамики, как наиболее типичному и в то же время простому объекту механики сплошных сред. Здесь
говорится об их физическом и, может быть, даже философском смысле — о законах сохранения. Основное внимание уделено математической природе уравнений, которая в значительной степени определяется характеристиками и разрывными решениями. Указана родственная
связь уравнений с хорошо известными линейными уравнениями аку

Введение

стики, переноса и волновым. Приведены некоторые примеры полезных
упрощающих предположений, позволяющих более наглядно увидеть существенные общие закономерности исследуемых процессов. Указано место и особенности уравнений механики несжимаемой жидкости в теории уравнений. Отдельный параграф посвящен моделям вязкости и теплопроводности и их влиянию на тип уравнений, постановку задач и
методы решения.
В гл. 2 выделен класс автомодельных задач математической физики, которые допускают группу подобных преобразований, в результате
чего сокращается число независимых переменных и упрощается процесс решения. Эти задачи представлены, во-первых, задачами газодинамики о течении газа под действием движущегося поршня и в результате сильного взрыва, хорошо известными благодаря выдержавшей
много изданий книге Л. И. Седова [11]. Во-вторых, изложена задача о
распространении тепла от точечного источника в среде с нелинейной
зависимостью теплопроводности от температуры, решенная Я. Б. Зельдовичем и А. С. Компанейцем [12]. Она известна специалистам, но, к
сожалению, ее трудно встретить в популярной научной или учебной
литературе. Два последних параграфа посвящены близким по математическому аппарату задачам газодинамики — о сходящихся сферических ударной волне и полости. Первая из них известна как «задача
Гудерлея» по имени ее автора [13] и также редко встречается в литературе (см., например, монографии Е. И. Забабахина [14], Г. И. Баренблатта [15, 16] и А. Н. Крайко [17]). Обе задачи подробно исследованы
группой советских авторов под руководством И. М. Гельфанда в 1950-х
годах и впервые опубликованы в 1963 г. в обзоре К. В. Брушлинского
и Я. М. Каждана [18]. Изложение обеих задач следует этому обзору и
имеет целью сделать его более доступным современному читателю.
В гл. 3 представлены особенности механики сплошных сред, отличающие полностью ионизованную плазму от электрически нейтральных
газов. Ее математический аппарат — магнитная газодинамика (МГД)
является естественным расширением и обобщением тех вопросов, которые рассмотрены в гл. 1 в применении к газодинамике. Обращено
внимание как на единство и общность проблем и подходов в этих разделах механики, так и на специфические особенности, которые магнитное поле, электрический ток и их взаимодействие вносят в МГДмодели среды. Отдельные параграфы посвящены математическим моделям плазмостатики и математической теории устойчивости в плазме,
которые весьма актуальны в работах по управляемому термоядерному
синтезу. Глава 3 в целом сосредоточена на основных математических
проблемах МГД, а примеры конкретных задач лишь иногда кратко упоминаются. Более подробно с МГД-моделями в задачах физики плазмы

Введение
11

можно ознакомиться с помощью монографий Ю. Н. Днестровского и
Д. П. Костомарова [19], А. И. Морозова [20] и автора [21].
Последняя глава посвящена обзору некоторых основных вопросов,
касающихся разностных методов приближенного решения задач механики сплошных сред. Она не претендует на роль систематического учебника по теории разностных схем, в качестве которого можно уверенно
рекомендовать, например, книги С. К. Годунова и В. С. Рябенького [22],
А. А. Самарского и Ю. П. Попова [23, 24], Р. Рихтмайера и К. Мортона [25] и др. Читателю может оказаться интересным популярное изложение основ вычислительной математики В. Ф. Дьяченко [26]. Современные представления о численном решении задач механики и физики
изложены в книгах Р. П. Федоренко [27] и М. П. Галанина и Е. Б. Савенкова [28]. Оригинальный численный метод решения задач газодинамики предложен Б. Н. Четверушкиным. Он включает в себя элементы
предельного перехода от кинетических уравнений к моделям сплошной
среды и представлен в монографии [29].
На фоне этого далеко не полного списка достижений наших коллег
автор считает нужным очередной раз напомнить основные положения
теории разностных схем, изложенные на примерах простейших линейных уравнений с постоянными коэффициентами, где выкладки могут
быть доведены до точных решений и в то же время в простой и наглядной форме видна суть проблемы. В этой части главы использованы материалы ротапринтной брошюры, изданной в МИФИ [30]. Затем
сделан акцент на вопросах адекватного расчета разрывных решений
задач механики. Обращено внимание на идею монотонности разностной
схемы, высказанную С. К. Годуновым и реализованную в предложенной
им схеме [31] и в более поздних схемах годуновского типа, принадлежащих разным зарубежным авторам.
В изложении вопросов о разностных методах решения двумерных и
трехмерных задач с параболическими и эллиптическими уравнениями
и системами мы сосредоточились на экономической эффективности использования известных явных и неявных методов. Здесь уместно упомянуть легко и ясно написанную книгу Н. Н. Яненко [32], которая сегодня, к сожалению, трудно доступна, поскольку ни разу не переиздавалась.
Содержание книги и изложенные в ней положения определились,
во-первых, в процессе работы автора в коллективе Института прикладной математики (ИПМ) имени М. В. Келдыша РАН, в научных планах
которого на протяжении многих лет постоянно присутствуют вопросы
математического моделирования и расчеты актуальных задач газодинамики, теплопроводности и физики плазмы. Во-вторых, книга отражает многолетний опыт педагогической работы автора в Национальном
исследовательском ядерном университете (НИЯУ) МИФИ и на меха

Введение

нико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова, где им
прочитаны курсы лекций по теории разностных схем, численным методам, математическому моделированию физических процессов, вычислительной физике плотной плазмы, вычислительной механике сплошных
сред. Опираясь на этот опыт, автор надеется, что предлагаемая книга
может служить пособием для студентов и аспирантов при изучении
представленного в ней материала, а также поможет начинающим преподавателям донести до слушателей изложенное в ней содержание и
связанные с ним идеи и взгляды.
Позиция и взгляды автора формировались в коллективе ИПМ под руководством выдающихся ученых и педагогов М.В. Келдыша, И.М. Гельфанда, А. Н. Тихонова. На постановку и решение математических задач газодинамики оказал большое влияние Я. Б. Зельдович. Расчеты
процессов в физике плазмы в связи с разработками новых плазменных
установок в Институте атомной энергии имени И. В. Курчатова (ныне
НИЦ «Курчатовский институт») инициированы в ИПМ Алексеем Ивановичем Морозовым, который в течение многих лет был автором постановки основных задач и постоянным участником их решения.
Непосредственное влияние на взгляды автора оказало общение с коллегами С.К. Годуновым, В.С. Рябеньким, О.В. Локуциевским, Н.Н. Ченцовым, В.Ф. Дьяченко, Р.П. Федоренко, Н.М. Зуевой, Л.С. Соловьевым,
В. С. Имшенником, К. И. Бабенко, А. В. Забродиным, А. А. Самарским,
С.П. Курдюмовым, Б.Л. Рождественским, В.Я. Арсениным, Л.М. Дегтяревым, А.П. Фаворским, Ю.П. Поповым, Б.Н. Четверушкиным, А.Г. Куликовским, Г. А. Любимовым, А. А. Барминым, Д. П. Костомаровым,
Н. А. Кудряшовым, В. В. Савельевым, М. Б. Гавриковым, А. Н. Козловым, В. Т. Жуковым, А. Е. Луцким. Помощь в наборе рукописи оказала
Л. И. Михайлова.
Л. Ф. Соловейчик обратил мое внимание на некоторые упомянутые
выше книги, выпущенные Издательским домом «Интеллект».
Владимир Алексеевич Левин посоветовал мне начать работу над этой
книгой, которую теперь удалось завершить и представить читателю.
Я глубоко благодарен своим учителям, коллегам, друзьям и ученикам, которые прямо или косвенно способствовали появлению этой
книги.
Работа над окончательной редакцией гл. 3 выполнена при поддержке
Российского научного фонда (проект №16-11-10278).

Г Л А В А
1

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
ГАЗОДИНАМИКИ

§ 1.1.
УРАВНЕНИЯ ГАЗОДИНАМИКИ

1.1.1.
Законы сохранения — физический смысл уравнений

В основе математических моделей жидкости, газа или плазмы лежат уравнения механики сплошных сред. Они предполагают, что
среда достаточно плотная, а более конкретно, что длина δ свободного
пробега частиц (атомов, молекул, ионов) между двумя столкновениями
много меньше характерного размера L области среды, которую занимает исследуемое явление, т. е. δ/L ≪ 1. Это позволяет не следить за
каждой частицей отдельно (их, как известно, NA ≈ 6 · 1023 (число Авогадро) в каждой грамм-молекуле газа) и ограничиться усредненными
макропараметрами: плотностью ρ, давлением p, температурой T, связанными с ними термодинамическими величинами — удельной внутренней (тепловой) энергией ε, энтропией s и др., а также вектором
скорости v. Значения этих величин — функции времени и координат
точек пространства. Они составляют необходимый набор информации
о динамике исследуемой среды в рассматриваемых диапазоне времени
и области пространства.
Основные закономерности поведения перечисленных макропараметров подчиняются дифференциальным уравнениям, которые имеют весьма общий характер, т. е. описывают общие для всех рассматриваемых
сред законы сохранения и не зависят от конкретных свойств среды и обстоятельств конкретной задачи. Речь идет о законах сохранения массы,
импульса и энергии, которые утверждают, что ни одна из этих характеристик материи не может самопроизвольно возникнуть или исчезнуть в
рассматриваемой среде, т. е. все возможные их изменения во времени и
пространстве обязаны быть согласованы между собой. Математическое
выражение законов сохранения удобно представить себе для сжимаемого газа, а особенности и отличия, относящиеся к жидкости и плазме,
обсудить, ниже.

Глава 1. Математический аппарат газодинамики

В пространстве, заполненном газом, выделим произвольную фиксированную область Ω. Масса находящегося в ней газа в любой момент
времени, очевидно, равна

M(t) =
Ω

ρ(t, r) dr,

где ρ — плотность газа, t — время, а r = (x, y, z) точка пространства,
dr = dx dy dz — элемент объема пространства. Поскольку согласно закону сохранения газ нигде не возникает и не исчезает, изменение массы M со временем

dM
dt =
Ω

∂ρ
∂t dr

может происходить только в результате движения газа через область Ω
и количественно равно потоку массы через поверхность Γ, ограничивающую область Ω. Этот поток — масса газа, вытекающая через границу
за единицу времени, равен поверхностному интегралу потока ρvn через
единицу площади Γ, где vn = (v, n) — проекция скорости v на внешнюю
нормаль n. Согласно формуле Гаусса–Остроградского этот интеграл равен объемному
Γ

ρvn dσ =
Ω

div ρv dr,

который (с обратным знаком) и есть единственная причина изменения
массы M(t). Отсюда — интегральное выражение закона сохранения массы
Ω

„∂ρ

∂t + div ρv
«
dr = 0.

Предполагая подынтегральное выражение непрерывным и напоминая, что
область Ω в пространстве произвольная, получим отсюда дифференциальное уравнение непрерывности (или, как часто говорят, неразрывности)

∂ρ
∂t + div ρv = 0,
(1.1.1)

соответствующее закону сохранения массы.
Импульс (количество движения) объема газа в области Ω равен
интегралу
Ω

ρv dr