Эстетический потенциал истории математики

УМ1'Е1УМ1ТЖА Б Ш Ж Ж Ё

Н А У Ч Н О - Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Й

Издается

И 
М Е Т О Д И Ч Е С К И Й  Ж У Р Н А Л  

с мая 1934 г.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЯ
2 
Курдюмова Н.А.
Платон как искатель истины

МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР_____________________
6 
Шатуновский Я.
Математика как изящное искусство и ее 
роль в общем образовании
12 Степанов М.Е.
Математика и мифология

КОНСУЛЬТАЦИЯ__________________________________
13 Отвечаем на ваши вопросы

14

25

Глазков Ю.А.
Аттестационное централизованное
тестирование
Азевич А. И.
Итоговые тестовые работы по математике 
в V—VI классах

ОТКРЫТЫЙ УРОК
36 Кордина И. Е.
Нестандартные задания по теме «Системы 
линейных уравнений»
39 Азиев И. К .'
Релейный зачет с тестовыми заданиями 
по теме «Прогрессии»
43 Худадатова С.С.
Кросснамберы как средство контроля

2001

47 Недошивкин Е.Ф., Соловьева
Расстояния и углы между прямыми 
и плоскостями

ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ_________________________________
51 Пике Д.X.
Советы старого учителя

МЕТОДИЧЕСКИЕ УЛОВКИ_______________________
52 Вергазова О. Б.
Октаэдр показывает фокус

ВСТУПИТЕЛЬНЫЕ ЭКЗАМЕНЫ В ВУЗЫ________
53 Черноморский филиал МГУ 

ПРОБЛЕМЫ И СУЖДЕНИЯ 
____________
59 Козлов С.Д.
Математика в школе. Какой ей быть?
62 Симонов А.С.
Не выплеснуть ребенка вместе с водой

ЗАДАЧИ____________________________________________
64

ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА__________________________
69 Саввина О.А.
Эстетический потенциал истории математики 
73 Чепракова Е.И., Липкина Т.А.
Присутствие красоты 
75 Ятайкина А.А., Пашкина О.А.
О золотом сечении и не только о нем

Рукописи, поступившие в редакцию, не рецензируются и не возвращаются. Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы

Главный редактор 
А. И. Верченко
Заместитель главного редактора
Н.А. Курдюмова
Редакторы отделов
А.А.Лаврентьев, И.Л.Кукало
Младший редактор
Е. А. Шевчук
Отдел задач
Л.П. Купцов, С.В.Резниченко, 
Д.А.Терёшин, С.И.Токарев
Заведующая редакцией 
Н.А.Мишвеладзе

Издательство ООО 
«Школьная Пресса»

Адрес издательства:
127254, Москва, ул. Руставели, д. 10, корп. 3. 
Телефон 219- 83-80, факс 219- 52-89

Адрес редакции:
127254, Москва, ул. Руставели, д. 10, корп. 3. 
Телефоны: 219- 52- 87, 219- 52-89 (факс)

E -m ail: marketing@ shkola-press.ru

Журнал зарегистрирован
Государственным комитетом РФ по печати,
per. №  015437

Формат 84x108 1/16
Тираж 33 000 экз. Заказ 3 5  5 6.

Отпечатано на ордена Трудового Красного 
Знамени ГУП Чеховском полиграфическом 
комбинате Министерства Российской 
Федерации по делам печати, 
телерадиовещания и средств массовых 
коммуникаций. 142300, г. Чехов Московской 
области. Тел. (272) 71-336. Факс (272) 62-536 

© «Школьная Пресса».
© «Математика в школе», 2001, №  3

Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Запрещается воспроизведение всего журнала 
или любой его статьи без письменного разрешения издателя. Любая попытка нарушения закона будет преследоваться в судебном порядке

ЭСТЕТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ 

ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

О.А.САВВИНА (Елец) 
-------
Весьма существенным компонентом педагогического процесса является эстетическое воспитание. Оно наиболее ярко осуществляется в таких 
предметах, как литература, музыка, изобразительное искусство. Эстетический же потенциал математики в практике обучения часто недооценивается. Однако на протяжении веков пути математики 
и различных видов искусства нередко переплетались. Поэтому исторические сведения предоставляют благодатный материал для развития эстетического вкуса школьников.

Для эстетического воспитания на уроках математики обычно рекомендуют:
— показывать ученикам замечательную стройность формул, доказательств, красоту различных фигур, изящество связей между величинами;
— решать задачи и доказывать теоремы разными 
методами и сравнивать эти методы по оригинальности приемов.
К перечисленным рекомендациям необходимо 
добавить, что их выполнение облегчается, если 
привлекать исторические сведения.
В истории математики заложен не меньший эстетический потенциал, чем в самой науке. Укажем 
лишь некоторые возможные пути его реализации.
Сильное впечатление производит на ребят использование оригинальных формулировок задач, 
теорем, доказательств, известных из истории.

В качестве примеров приведем две задачи, решение которых непременно доставит школьнику большое удовольствие.

Древнеиндийская задача 
Есть кадамба-цветок.
На один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла 
Вся в цвету сименгда,
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди,
Ее трижды сложи,
На кутай этих пчел посади.
Лишь одна не нашла 
Себе места нигде,
Все летала то взад, то вперед и везде 
Ароматом цветов наслаждалась.
Назови теперь мне, подсчитавши в уме, 
Сколько пчелок всего здесь собралось?
О т в е т :  15 пчел.

Задача, приписываемая Евклиду 

Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали. 
Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен. 
Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью: 
«Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка? 
Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру. 
Если ж бы ты у меня лишь одну меру взял,
то мы бы сравнялись». 
Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это?
О т в е т :  груз мула 7 мер, груз осла 5 мер.

Обратимся теперь к доказательству двух известных алгебраических формул. Но сначала отметим, 
что перед их демонстрацией надо провести с учащимися небольшую беседу. В ходе этой беседы 
учитель поясняет, что алгебра сформировалась намного позже геометрии. Однако алгебраические 
формулы фактически существовали еще тогда, когда не было самой алгебры. Просто формулы не 
символами записывались, а проговаривались словами, а доказательством служил чертеж. Такая геометрическая алгебра и сейчас поставляет остроумные наглядные доказательства. Некоторые из них 
даже проще, чем современные символические обоснования.
Теперь учитель может привести эти доказательства. Учащиеся убедятся, что если в первой формуле алгебраические преобразования не уступят 
геометрическим по простоте, то во второй геометрия явно вырывается вперед по простоте и наглядности, оставляя далеко позади символические 
выкладки.
Разность квадратов двух чисел равна произведению этих чисел на их разность.
Доказательство понятно из рис. 1, а, 6.

Квадрат трехчлена равен сумме квадратов всех его 
членов, сложенной с суммой всевозможных удвоенных произведений его членов, взятых по два. 
Доказательство очевидно из рис. 2.

XI
У*
I2

ху
Уг

хг
ху
XZ

а * Ь
Ь2 = (а — Ь)(а + Ь)

Рис. I

X  
у  
Z
2 _
(х + у  + z)
= X2 +  У1 + г2 +
+  2ху + 2x7. + 2yz 

Рис. 2

Эстетическое воздействие на учащихся оказывает и привлечение сведений об истории создания 
некоторых терминов и символов.
Ш кольникам, например, будет интересно узнать 
о том, какие названия давали раньше теореме Пифагора, или о том, как именовали арифметические 
действия.
В некоторых списках «Начал» Евклида теорема 
Пифагора называлась теоремой нимфы, по-види- 
мому, из-за сходства чертежа с бабочкой (рис. 3), 
поскольку словом «нимфа» греки называли бабочек. Нимфами греки называли еще и невест, а также 
некоторых богинь. При переводе с греческого арабский переводчик, вероятно, не обратил внимания на 
чертеж и перевел слово «нимфа» как «невеста», а не 
«бабочка». Так и появилось ласковое название знаменитой теоремы — «теорема невесты».

В XIV—XVI вв. умение выполнять арифметические действия считалось особым искусством, постичь 
которое может лишь человек с необыкновенными 
способностями. Каждый мастер счета пользовался 
своим излюбленным приемом умножения или деления, который он прославлял. Итальянский математик Лука Пачоли в книге «Сумма арифметики»

описал восемь способов умножения, среди которых 
особенно интересен способ, носящий романтическое 
название «ревность» (или решетчатое умножение).
Суть этого метода состояла в том, что рисовалась решетка, которая затем заполнялась результатами промежуточных вычислений. Проиллюстрируем действие этого способа на конкретном примере -  найдем произведение чисел 231 
и 
1254. 
Сверху решетки запишем один множитель 231, а 
слева -  другой 
1254. 
Направление расстановки 
цифр в записи чисел выбрано по ходу часовой 
стрелки (рис. 4). Затем в каждую клетку впишем 
произведение цифр множителей, находящихся с 
ней в одной горизонтали и в одной вертикали. При 
этом цифра десятков должна стоять в нижнем треугольнике каждой клетки, а цифра единиц -  в верхнем. После заполнения решетки сложим числа 
вдоль полос-«диагоналей» и результаты сложения 
подпишем справа и снизу от решетки. Если при 
сложении получим двузначное число, то справа от 
«диагонали» запишем число единиц, а число десятков прибавим при сложении чисел следующей «диагонали». Например: 8 + 1 + 5  + 0 + 2 = 1 6 ,  6 
пишем, 1 переносим. Тогда в следующей «диагонали» получаем 0 + 0 +  1 + 6  + 0 + 1  + 1 = 9 .
Произведение 231 х 1254 представляет собой 
число, записанное цифрами, стоящими внизу и 
справа, которое следует читать в направлении против хода часовой стрелки -  289674.
Лука Пачоли писал: «Такая решетка напоминает решетчатые ставни-жалюзи, которые вешались 
на венецианские окна, мешая уличным прохожим 
видеть сидящих у окна дам и монахинь».
Не менее привлекательны названия некоторых 
кривых. Например, кривая, уравнение которой в 
декартовых координатах имеет вид
а3
У = -- —
Г’
а + х
вошла в учебники под поэтическим названием «локон Аньези» (рис. 5). Такое название было дано в 
честь замечательной женщины-математика Марии 
Аньези (1718-1799), изучавшей эту кривую в 1748 г.
Любопытна история названия кривой, задаваемой уравнением х 3 +  у* =  3аху.
Впервые эту кривую определил РДекарт в 1638 г. 
Однако первоначально математики не рассматривали отрицательные координаты и строили только 
ту часть кривой, которая лежит в первой четверти 
(рис. 6). Затем стали полагать, что во всех четырех 
квадрантах кривая имеет ту же форму, что и в первой четверти. Роберваль предложил для кривой 
нежный термин «подснежник» («1е galant»). Но есть 
и другое, не менее красивое название — «цветок 
жасмина». Позже была установлена правильная 
форма этой кривой, и она получила современное 
наименование -  «декартов лист».

Очень большое значение для эстетического воспитания школьников имеет привлечение биографических сведений о математиках, об их разносторонних интересах и дарованиях.
К сожалению, и сегодня нередко можно услышать высказывания о том, что математика — «сухая 
наука», а «сами математики похожи на отлаженные 
механизмы с весьма ограниченными интересами». 
Подобные мнения появились потому, что в школах 
не ведется систематическая работа по ознакомлению учащихся с биографиями известных ученых.
Философом и поэтом, классиком персидской и 
таджикской литературы называют известного математика Омара Хайяма (1040? — 1123). Каждое его 
четверостишье (рубаи) — своеобразная миниатюра, 
где в четырех строчках отражено большое человеческое переживание, а иногда и целая жизнь:

Чтоб мудро жизнь прожить, знать надобно немало.
Два важных правила запомни для начала:
Ты лучше голодай, чем что попало есть,
И лучше будь один, чем вместе с кем попало.

Другой пример — математик и логик Чарлз 
ЛДоджсон (1832-1898). Под псевдонимом Льюис 
Кэррол он хорошо известен как автор сказки «Приключения Алисы в стране чудес». Как рассказывают биографы, королева Виктория пришла в восторг от этой книги и захотела прочитать все, написанное Кэрролом. Можно представить ее разочарование, когда она увидела на своем столе стопку 
книг по математике.
Известный математик Софья Васильевна Ковалевская (1850 -  1891) обладала незаурядным литературным талантом. Назовем лишь несколько ее произведений: драма «Борьба за счастье», написанная в 
соавторстве со шведской писательницей А.Ш Леф

флер, романы «Нигилистка», «Сестры Раевские». 
Особое место в творчестве Ковалевской занимают 
стихотворения. Стихи она писала с детских лет и до 
конца жизни, хотя никогда их не публиковала.
Учитель С.В.Ковалевской, немецкий математик, 
«образец математической строгости» Карл Вейер- 
штрасс (1815—1897) считал, что «математик, который не есть поэт, не будет никогда подлинным 
математиком». Академик П.Я.Кочина перевела на 
русский язык одно из стихотворений ученого:

«Красота есть тайна мира, что в искусстве вновь живет, 
Изгони ее из жизни — с ней любовь навек умрет. 
Вздрогнет все от отвращенья, ночь людей повергнет
в страх,
И с последним из поэтов все погаснет в небесах».

Так сказал поэт. Ученых же Бог вещий одарил 
Пониманьем духа мира и гармонии светил:
Истина есть солнце, озаряющее все,
Благо высшее познанья им приносит бытие.

Все прекрасное, что людям сердце может обновить,
Все высокое, что в думах — прах наносный удалить,
В душах благородных женщин сплетено в венок один — 
То любви уста вещают из сердец своих глубин.

Первое четверостишие этого стихотворения — 
цитата из стихотворения поэта Августа фон Плате- 
на, а остальные отражают мысли самого К.Вейер- 
штрасса.
Многие русские математики сочиняли стихи. 
Безусловно, эти стихи не имеют такой популярности, как стихи Омара Хайяма, однако они не менее 
интересны и близки нам. Нельзя, например, остаться равнодушным к следующим строкам из стихотворения «Разлив Волги при Казани», написанного 
Н.ИЛобачевским (1792—1856) в молодости:

Царица рек, в торжественном теченье 
К далеким Каспия обширного водам 
Ты уклоняешься к Казани на свиданье 
С ней — древней матерью татарским городам!.. 
Ужели и твоих иссякнет волн стремленье —
И Волга зарастет болотною травой?
И, где суда твои крылатые сквозили,
Увязнет странника усталая нога?
Куда они с собой веселье привозили — 
Осиротелые умолкнут берега!..
Нет!., бытие твое до вечности продлится,
Как память ясная великих дел.
Великое в веках бессмертием хранится 
И не ему ничтожество — удел.
Вот образ мирного могущества России!
Ее разлив не страшен никому.
Великодушие обуздывает силы,
Всегда, везде покорные ему.

А вот строки АЛихолета, посвященные H.H.Jlo- 
бачевскому и его неевклидовой геометрии:

«Все! Перечеркнуты “Начала”.
Довольно мысль на них скучала,
Хоть прав почти во всем Евклид,
Но быть не вечно постоянству:
И плоскость свернута в пространство,
И мир
Иной имеет вид...

О чем он думал во вчерашнем?
О звездном облаке, летящем 
Из ниоткуда в никуда?
О том, что станет новым взглядом:
Две трассы, длящиеся рядом,
Не параллельны никогда?
Что постоянному движенью 
Миров сопутствует сближенье,
И, значит, встретятся они:
Его земная с неземными 
Непараллельными прямыми*
Когда-нибудь, не в наши дни?..

В заключение следует сказать, что в эстетическом воспитании весьма популярен прием использования исторических сведений межпредметного 
характера. Например, учителя часто рассказывают 
о том, как математика влияла на различные виды 
искусства: музыку, живопись, архитектуру.

_____________________  Литература _____________________

Волошинов А.В. Математика и искусство. — М.: Просвещение, 1992.
Кордемский Б.А. Великие жизни в математике: Кн. для 
учащихся 8—11 кл. -  М.: Просвещение, 1995.
Кочина Г1.Я. Софья Васильевна Ковалевская. — М.: Наука, 1981.
Педретти К. Леонардо. — М.: Детская литература, 1986.
Перельман Я.И. Занимательная арифметика. — М.: АО 
«Столетие», 1994.
Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Кн. 
для учащихся 7—9 кл. сред. шк. — М.: Просвещение, 1990.
Савин А. Про умножение / /  Квант. — 1992. -  № 2.
Смилга В.П. 
В погоне за красотой. — М.: Молодая 
гвардия, 1965.
Смышляев В.К. О математике и математиках. — Йошкар-Ола: Мар. кн. изд-во, 1977.
Чистяков В.Д. Рассказы о математиках. — Минск: Вы- 
шэйш. шк., 1966.
Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики: Кн. для учащихся 10—11 кл. — М.: Просвещение, 1997.

* Н адо уберечь учащ ихся от отож дествления стихов с матем атическим и моделям и. П араллельны е прям ы е параллельны 
просто пооп ределен и ю  как на Зем ле, так и в косм осе, как в наш и 
дн и, так и в грядущ ем. (Примеч. ред.)