Начертательная геометрия

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ

ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

Е.П. Петрова, Л.Ю. Сумина, Т.Н. Засецкая, А.Л. Мышкин

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Альтаир-МГАВТ

Москва

2007

Елена Павловна Петрова
Лариса Юрьевна Сумина

Татьяна Николаевна Засецкая

Александр Леонидович Мышкин

Начертательная геометрия

Конспект лекций

Компьютерная верстка Т.В. Дементьевой

Подписано в печать ……… 2007 г.

Формат 6090/16. Объем  5  п.л.
Заказ № …..… Тираж 200 экз.

Московская государственная академия водного транспорта

117105, г. Москва, Новоданиловская набережная, д. 2, корп. 1

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ

ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

Е.П. Петрова, Л.Ю. Сумина, Т.Н. Засецкая, А.Л. Мышкин

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Конспект лекций

Допущено

Министерством транспорта Российской Федерации в качестве учебного по
собия в сфере образования для студентов учебных заведений водного транспорта

Альтаир-МГАВТ

Москва

2007

Е.П. Петрова, Л.Ю. Сумина, Т.П. Засецкая, А.Л. Мышкин

Начертательная геометрия. Конспект лекций. М.: Альтаир-МГАВТ, 

2007 г. — 80 с.

Материал изложен в сжатой форме с приведением алгоритмов решения 

метрических и позиционных задач. Составлен с учетом современных требований геометрической науки, соответствует государственным образовательным 
стандартам. Входит в необходимый состав методических разработок для студентов технических специальностей.

Рецензент – зав. кафедрой теоретической механики и инженерной графи
ки Московского Государственного Университета технологий и управления, 
д.т.н., профессор А.О. Харитонов.

Рекомендован к изданию Учебно-методическим советом МГАВТ.

Рассмотрен и рекомендован к изданию на заседании кафедры Теоретиче
ской механики (протокол от 4 октября 2006 г. № 2).

Ответственность за оформление и содержание передаваемых в печать 

материалов несут авторы и кафедры академии, выпускающие учебнометодические материалы.

 МГАВТ, 2007
 Петрова А.Л., Сумина Л.Ю., 
Засецкая Т.Н., Мышкин А.Л., 2007

СОДЕРЖАНИЕ

Лекция № 1. Предмет начертательной геометрии. Метод проекций. Образова
ние комплексного чертежа ………………………………………………………... 5

Лекция № 2. Задание точки на комплексном чертеже. Точки разных углов про
странства и их проекции. Октанты ……………………………………………….. 9

Лекция № 3. Задание прямой линии на комплексном чертеже. Прямые общего 

и частного положения. Следы прямой. Взаимное положение прямых. Метод 

прямоугольного треугольника …………………………………………………... 14

Лекция № 4. Задание плоскости на комплексном чертеже. Плоскости частного 

и общего положения. Следы плоскости ………………………………………… 22

Лекция № 5. Принадлежность точки и линии плоскости. Главные линии плос
кости ……………………………………………………………………………….. 28

Лекция № 6. Метрические задачи. Перпендикулярность, параллельность пря
мой и плоскости. Перпендикулярность и параллельность плоскостей ………. 31

Лекция № 7. Позиционные задачи. Взаимное пересечение прямой с плоско
стью, пересечение плоскостей …………………………………………………... 34

Лекция № 8. Способы преобразования чертежа. Метод перемены плоскостей 

проекций …………………………………………………………………………... 41

Лекция 9. Метод вращения вокруг проецирующей оси и прямых уровня. Метод 

плоскопараллельного перемещения …………………………………………….. 43

Лекция № 10. Многогранники. Задание многогранников на комплексном чер
теже. Пересечение геометрических образов ……………………………………. 49

Лекция № 11. Кривые линии. Кривые поверхности. Поверхности 

вращения …………………………………………………………………………... 54

Лекция № 12. Пересечение поверхностей вращения проецирующими плоско
стями ………………………………………………………………………………. 61

Лекция № 13. Обобщенные позиционные и метрические задачи. Пересечение 

поверхности с прямой линией. Взаимное пересечение кривых и гранных по
верхностей. Метод секущих плоскостей ………………………………………... 65

Лекция № 14. Взаимное пересечение поверхностей вращения. Метод секущих 

сфер ………………………………………………………………………………... 69

Лекция № 15. Касательные линии и плоскости к поверхности ………………. 70

Лекция № 16. Развертки ………………………………………………………… 72

Лекция № 17. Аксонометрические поверхности ……………………………… 76

Лекция № 1. Предмет начертательной геометрии. Метод 

проекций. Образование комплексного чертежа

Основные вопросы, подлежащие  рассмотрению на лекции:

1. Предмет начертательной геометрии

2. Условные обозначения.

3. Методы проецирования.

4. Свойства ортогонального проецирования.

1. Предмет начертательной геометрии

В число дисциплин, составляющих основу инженерного образования, 

входит начертельная геометрия. Она является грамматикой «языка техники» 
чертежа. Изображения, построенные по правилам, излагаемым в начертатель
ной геометрии, позволяют представить мысленно форму предметов и их взаим
ное расположение в пространстве, определить их размеры. Начертательная 

геометрия, вызывая усиленную работу пространственного воображения, развивает его.

Правила построения изображений, излагаемые в начертательной геомет
рии, основаны на методе проекций. 

Для упрощения записи условий и решения задач принята система услов
ных обозначений объектов и действий.

2. Условные обозначения

А, В, С,… А1, В1, С1,… А2, В2, С2,… А3, В3, С3,… – точки и их проекции.

а, в, с,… а1, в1, с1,… а2, в2, с2,… а3, в3, с3,… – прямые и их проекции.

Г, Ф, ∑,… Г1, Ф1, ∑1,… Г2, Ф2, ∑2,… Г3, Ф3, ∑3,… –плоскости, поверхности и их проекции.

П1, П2, П3 – плоскости проекций.

x, y, z – координатные оси: абсцисс, ординат, аппликат. 

XA, YA, ZA – координаты точки.

(АВ) – прямая, проходящая через точки А и В.

[AB] – отрезок прямой, ограниченный точками А и В.

| AB | – длина отрезка АВ.

α, 
β, 
γ – углы. 

,  ,  
– размер угла. 

≡ – совпадение, тождество. 

– подобие. 

║ – параллельность.

– перпендикулярность. 

– скрещивание. 

Э, Є – принадлежность (например, А Э в – точка А принадлежит прямой в).

∩ – пересечение (например, К = m ∩ n – точка К является пересечением прямых mи n).

≠, 
– отрицание (например, А 
в – точка А не принадлежит прямой в).

=> – логическое следствие.

<=> – эквивалентность. 

3. Методы проецирования

Существует два основных метода проецирования: центральное и параллельное.

При центральном проецировании надо задать: 

S – центр проецирования.

[А, В] – отрезок (объект проецирования). 

По – плоскость проекции. 

Проведя через S и А прямую линию до пересечения еѐ с плоскостью По

получаем точку Ао. Также поступаем и с точкой В. Точки Ао и Во являются цен
тральными проекциями точек А и В на плоскость По. Они получаются в пересе
чении проецирующих лучей SА, SB с плоскостью проекций. АоВо проекция 

прямой АВ на плоскость По (рис.1). 

Если центр проецирования удалить в бесконечность, то проецирующие 

лучи становятся параллельными. Такое проецирование называется параллель
ным. Параллельное проецирование может быть косоугольным и прямоуголь
ным. При косоугольном проецировании направление проецирования составляет 

с плоскостью проекций угол, не равный 90о; при прямоугольном проецирова
нии лучи перпендикулярны плоскости проекций, такое проецирование называ
ется ортогональным (рис.2).

Большим достоинством центральных проекций является их наглядность, 

их применяют в архитектурном проектировании. Наш глаз устроен по принци
пу центрального проецирования.

При построении чертежей следует учитывать не только наглядность 

изображения, но и простоту их графических построений, а также и обратимость 

чертежей, то есть возможность однозначно определить все геометрические 

свойства объекта. Центральное проецирование не отвечает этим требованиям: 

центральные проекции не определяют формы и размеры предметов. Большая 

простота построения и свойства параллельных проекций, обеспечивающие со
хранение натуральных размерных соотношений объясняют широкое примене
ние параллельного проецирования. 

В конструкторской практике применяют ортогональное (параллельное) 

проецирование. 

Рис.1

Рис.2. П1 – плоскость проекции; S – направление проецирования; S
П1

Рис. 3

4. Свойства ортогонального проецирования

4.1. Для построения проекций прямой достаточно спроецировать две еѐ точки. 

4.2. Если точка А является пересечением прямых m и n то проекция точки А1

является пересечением проекций прямых m1 и n1.

Если А = m ∩ n => A1 = m1 ∩ n1

4.3. Если прямые m и n параллельны, то параллельны и их проекции. 

Если m ║ n => m1 ║ n1. 

4.4. Если точка К делит отрезок АВ в отношении АК/КВ, то проекция точки К1

делит проекцию прямой А1В1 в отношении А1К1/К1В1 и эти отношения равны. 

АК/КВ = А1К1/К1В1

4.5. Если прямые параллельны, то абсолютные величины длин отрезков так от
носятся друг к другу как их проекции. 

[АВ] ║ [CD] => | АВ | / | CD | = | А1В1 | / | C1D1 |

4.6. Если прямая параллельна направлению проецирования (в ортогональном 

проецировании перпендикулярна плоскости проекций), то проекцией прямой 

является точка. 

4.7. Если отрезок прямой параллелен плоскости проекций, то он проецируется 

на эту плоскость в свою натуральную величину.

[ АВ ║ П1 ] => | AB | = | A1B1 |

Если отрезок не параллелен плоскости 

[ CD ] 
П1 => | C1D1 | = | CD | ▪ cos α

4.8. При ортогональном проецировании прямой угол проецируется без искаже
ния (прямым углом) если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, 

а другая не перпендикулярна ей (рис.3).

( [ AB ] 
[ BC ] ) и ( [ AB ] ║ П1, [ BC ] 
П1 ) => [ А1В1
В1С1 ]

Ортогональное проецирование на одну плоскость не обладает обратимо
стью, т.е. по нему нельзя восстановить положение, размеры и форму предмета в 

пространстве. 

Контрольные вопросы

1. В чем сущность методов центрального и параллельного проецирования?

2. Что такое «эпюр Монжа»?

3. Какие проекции называют ортогональными?

4. Сформулируйте свойства ортогонального проецирования.

Лекция № 2. Задание точки на комплексном чертеже. 

Точки разных углов пространства и их проекции. Октан
ты

Основные вопросы, подлежащие  рассмотрению на лекции:

1. Пространственная модель координатных плоскостей. Проецирование 

точки на 2 координатные плоскости.

2. Точки различных углов пространства и их проекции. Октанты. 

3. Проецирование точки на 3 координатные плоскости.

1. Пространственная модель координатных плоскостей. 
Проецирование точки на 2 и 3 координатные плоскости

Для получения обратимого чертежа французский ученый  Г. Монж  пред
ложил ортогонально проецировать предмет на 2 или 3 взаимно перпендикуляр
ные плоскости проекций. 

Представим в пространстве точку А в системе двух взаимно перпендику
лярных плоскостей проекций (рис.4). 

Рис. 4                                                   Рис. 5                              Рис. 6

П1 – горизонтальная плоскость проекций.

П2 – фронтальная плоскость проекций.

Плоскости проекций П1 и П2 пересекаются по оси координат Х

Х = П1 ∩ П2, П1
П2

А, А1 и А, А2 – проецирующие лучи, АА1
П1 и АА2
П2

А1 – горизонтальная проекция точки А.

А2 – фронтальная проекция точки А.

А1Ах, А2Ах – линии связи. 

| y | = | AA2 | = | A1Ax | – удаление точки от плоскости П2.

| z | = | AA1 | = | A2Ax | – удаление точки от плоскости П1.

По двум проекциям точки можно представить положение этой точки в 

пространстве.

Если повернуть плоскость П1 вокруг оси Х до совмещения еѐ с плоско
стью П2 мы получим чертеж точки А, состоящий из двух проекций А1 и А2, 

расположенных на одном перпендикуляре к оси проекций (рис.5, 6).

Прямую, соединяющую на чертеже проекции А1 и А2 называют линией 

связи. Чертеж с совмещенными плоскостями называется эпюром Монжа или 

комплексным чертежом.