Методы математической физики в решении задач нефтегазового производства: Курс лекций.

В. В. КАДЕТ 

МЕТОДЫ 
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 
В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ 
НЕФТЕГАЗОВОГО ПРОИЗВОДСТВА 

Курс лекций 

Допущено УМО вузов Российской Федерации по нефтегазовому 
образованию в качестве учебного пособия для подготовки 
бакалавров и магистров по направлению 553600 «Нефтегазовое дело» 

и для подготовки дипломированных специалистов 
по направлению 650700 «Нефтегазовое дело» специальности 090600 
«Разработки и эксплуатация месторождений» 

Москва • Ижевск 

2004 

УДК 530.17:532.546 

Кадет В. В. 
Методы математической физики в решении задач нефтегазового производства: Курс лекций. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 148 стр. 

В настоящем курсе рассмотрены методы аналитического решения основных 
типов гиперболических уравнений первого порядка (уравнений, описывающих распространение бегущих волн) и параболических уравнений второго порядка (уравнений теплопроводности и фильтрации). Эти уравнения широко применяются при 
моделировании процессов как однофазной (линейное или нелинейное уравнение 
упругого режима), так и двухфазной (бегущая волна скачка насыщенности) фильтрации. 

Рассмотрена, также ставшая уже классической, задача о распространении волн 
конечной амплитуды на поверхности жидкости и ее решение в виде уединенной 
волны — солитона. 

Представлены методы получения решений нового важного и интересного класса задач — о локализации тепла или массы и режимах с обострением, а также 
освещен вопрос о самоподобии фрактальных кривых. Приведены примеры решения конкретных прикладных задач: о безнапорной фильтрации флюида в пласте 
(растекание бугра пластовых вод), о растворении газа в пленке текущей жидкости 
(скрубберный процесс). 

Пособие предназначено для студентов специальностей нефтегазового, геофизического и экологического профилей, а также прикладной математики. Оно будет 
полезно магистрантам ряда программ нефтегазового и горного направлений, аспирантам и специалистам, работающим в указанных областях. 

Издание подготовлено на кафедре нефтегазовой и подземной гидромеханики 
РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина. 

Рецензенты: 

зав. кафедрой высшей математики РГУ нефти и газа 
им. И.М.Губкина д.ф,- м.н., проф. Калинин В.В. 
зав. сектором ИПМ им. М. В. Келдыша РАН 
д.ф.-м.н., проф. Колесниченко А. В. 

ISBN 5-93972-361-6 

© В. В. Кадет, 2004 
© Институт компьютерных исследований, 2004 

http://rcd.ru 
http://ics.org.ru 

Оглавление 

Предисловие 
5 

Введение. Анализ размерностей и подобие 
7 

ГЛАВА 1. Задача о мгновенном точечном источнике в бесконечной 
среде 
14 

ГЛАВА 2. Задача о мгновенном точечном источнике на конечном 

линейном отрезке 
20 

2.1. I автомодельная промежуточная стадия 
22 

2.2. II автомодельная промежуточная стадия 
26 

ГЛАВА 3. Задача о мгновенном источнике в нелинейной среде . . 
3 7 

ГЛАВА 4. Разрешение парадокса. Численный эксперимент. Предельное автомодельное решение 
43 

ГЛАВА 5. Полная и неполная автомодельность. Автомодельные решения первого и второго рода 
52 

ГЛАВА 6. Решения типа бегущих волн. Их связь с автомодельными 
решениями 
60 

6.1. Стационарная бегущая волна первого рода 
61 

6.2. Стационарная бегущая волна второго рода 
64 

6.3. Взаимосвязь решений типа бегущих волн с автомодельными 
решениями 
69 

ГЛАВА 7. Сильные фильтрационные и тепловые волны 
71 

ГЛАВА 8. Волны конечной амплитуды на поверхности жидкости. 
Нелинейная среда с дисперсией. Эксперименты Дж. С. Рассела. 
Уравнение Кортевега-Де-Фриза 
82 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ГЛАВА 9. Понятие о локализации тепла и граничных режимах с 

обострением 
89 

9.1. Локализация тепла или массы 
89 

9.2. Граничный режим обострения 
93 

ГЛАВА 10. Понятие о фракталах и фрактальной размерности. Самоподобные кривые 
96 

10.1. Размерность самоподобия 
96 

10.2. Самоподобные кривые 
100 

ГЛАВА 11. Растворение газа в пленке текущей жидкости (модель 
скрубберного процесса) 
104 

11.1. Гидродинамика тонкой пленки на поверхности 
104 

11.2. Конвективная диффузия в тонкой движущейся пленке . . . . 110 

ГЛАВА 12. Турбулентный поток с поперечным сдвигом 
115 

ГЛАВА 13. Задача о расплывании бугра подземных вод 
120 

13.1. Постановка задачи 
120 

13.2. Анализ размерностей 
122 

13.3. Случай полной автомодельности 
123 

13.4. Случай неполной автомодельности 
128 

ГЛАВА 14. Приложение 
133 

Литература 
143 

Предметный указатель 
144 

Предисловие 

Данный курс задумывался как обзор основных задач, связанных с решением параболического уравнения второго порядка и гиперболического 
уравнения первого порядка, поскольку подавляющее большинство задач 
фильтрации приводят именно к таким уравнениям. 

Чрезвычайно интересным и плодотворным методом анализа и исследования уравнений математической физики является анализ размерностей, 
который в XX веке получил значительное развитие прежде всего благодаря работам J7.0. Ландау, К. П. Станюковича, Я. Б. Зельдовича, Ю. П. Райзера, 
Г. Н. Баренблатга, а также ряда других исследователей. Поэтому изучению 
именно этого метода в настоящем курсе уделено большое внимание. 

Наряду с этим определенное внимание хотелось бы уделить вопросам, 
еще не ставшим «классическими», но представляющим значительный интерес с точки зрения теории фильтрации. Сюда можно отнести специфический 
класс постановок и решений уравнения теплопроводности (фильтрационного уравнения) — граничные режимы с обострением и локализацией тепла 
(массы). 

С другой стороны, микромеханический подход в исследовании течений 
в поровом пространстве приводит к использованию принципиально новых 
геометрических объектов — фракталов, имеющих свои специфические характеристики. При этом оказывается, что фрактальные кривые обладают 
свойством так называемой неполной автомодельности. Это еще раз подтверждает универсальность метода анализа размерностей при рассмотрении 
самых разнообразных задач математической физики. 

Многие задачи, возникающие при исследовании геофизических и гидродинамических проблем, имеют существенно нелинейный характер. Поэтому одна из глав посвящена анализу весьма примечательной модели нелинейного волнового процесса — уравнению Кортевега-Де-Фриза. 

Пособие написано по материалам лекционного курса, читаемого автором в течение ряда лет в РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина. 

Различные вопросы, освещенные в настоящем пособии, в той или иной 
степени могут использоваться при подготовке студентов, обучающихся по 
специальностям 080400 — Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых, 090600 — Разработка и эксплуатация 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

нефтяных и газовых месторождений, 070600-02 — Физические процессы 
нефтегазового производства, 010200 — Прикладная математика, 320700 — 
Охрана окружающей среды и рациональное использование природных ресурсов, по программе подготовки бакалавров и магистров по направлению 
553600 «нефтегазовое дело», 550600 «горное дело». 

Список рекомендуемой для дополнительной или самостоятельной ра-
боты литературы включает всего шесть ссылок на основные работы, которые практически полностью покрывают вошедший в лекции материал. 
При этом каждая из них содержит обширную подробную библиографию. 
Содержатся также ссылки на литературу, на основе которой в конце книги 
сделано приложение. 

Автор искренне благодарит Максименко А. А., Семенова А. А. и Дмитриева М. Н. за помощь в оформлении рукописи. 

Введение. Анализ размерностей 
и подобие 

Все изучаемые физические процессы характеризуются соответствующими физическими величинами. Как правило, эти величины имеют размерность. Узкое понимание размерности предполагает наличие некоторой 
произвольно выбранной эталонной единицы измерения данной физической 
величины. 

Например — единица измерения длины (расстояния) представляет собой расстояние между отметками на специально изготовленном стержне, 
хранящемся в парижской Палате мер и весов (метр). На сегодня существует 
более точное, не зависящее от влияния внешних условий, определение этой 
эталонной единицы — 165 073 673 длин волн гамма-квантов, излучаемых 
при переходе электрона с уровня 2рхо на уровень 5ds в атоме К г т . 

Единицу измерения времени естественно связать с периодом устойчиво повторяющихся астрономических явлений, допустим 1/86 400 частью 
солнечных суток на Земле (секунда). Современное определение секунды 
вновь связано с длиной волны излучаемых при определенных условиях 
гамма-квантов — разделив ее на скорость распространения гамма-квантов 
(скорость света), получим период колебания электромагнитного поля. За одну секунду принято 9 192 621 770 периодов таких колебаний при излучении 
гамма-кванта в результате перехода электрона с одного подуровня на другой 
в основном состоянии атома Cs133. 

В широком смысле размерность физической величины есть функция, 
определяющая, во сколько раз изменится численное значение этой величины при переходе от исходной системы единиц измерения (С.Е.И.) к другой 
С.Е.И. внутри данного класса С.Е.И. То есть, например, при переходе от 
измерения расстояния в метрах к измерению расстояния в сантиметрах все 
численные значения длин в задаче увеличатся в 100 раз. Класс С.Е.И. — 
совокупность С.Е.И., отличающихся между собой только величиной, но не 
физической природой входящих в них единиц измерения. 

Система единиц измерения — совокупность единиц измерения, достаточная для измерения характеристик рассматриваемого класса явлений. 

ВВЕДЕНИЕ. АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЕ 

Например, для измерения геометрических характеристик объекта достаточно С.Е.И., состоящей из 1 размерной единицы — длины L. 

Для измерения характеристик кинематических явлений достаточно 
С.Е.И., состоящей из 2 единиц — расстояния (длины) L и времени Т. 

Для измерения характеристик динамических явлений — состоящей из 
3 единиц — расстояния L, времени Т и массы М. Для измерения характеристик теплообменных явлений — состоящей из 4 единиц - расстояния L, 
времени Т, массы М и градуса Кельвина К. 

В общем случае С.Е.И. «не обязана» быть «минимальной». В принципе, 
если С.Е.И. уже содержит единицы измерения расстояния L и времени Т, 
это вовсе не означает, что она не может содержать единицу измерения скорости V, отличную от отношения L/T. При наличии двух не связанных 
между собой масштабов пространства или времени С.Е.И. может содержать одновременно две единицы измерения, соответственно, длины L\, Lo 
или времени Ti, Тг. Выбор конкретной С.Е.И. определяется исключительно 
удобством анализа и решения рассматриваемой задачи. 

Очевидно, если внутри данного класса С.Е.И. для любой С.Е.И. некая 
величина постоянна, то ее размерность равна единице, то есть она безразмерна. 

Постановка любой задачи математической физики так или иначе предполагает в результате ее решения получение функциональной зависимости между искомой (определяемой) величиной и внешними варьируемыми 
(определяющими) параметрами 

а = f(ai, • • - ,ak,ak+ь 
.. ,,а„), 
1 ^ к < п, 

где а — определяемый параметр; а\, ..., ак, ак+1, • • • ,ап — определяющие 
параметры. 

Смысл анализа размерностей состоит в отыскании такой постановки 
задачи математической физики (возможно, несколько модифицированной 
по сравнению с исходной), которая позволяет описывать изучаемое явление 
более простой (с меньшим числом переменных) и при этом более универсальной зависимостью. 

Переход к такой зависимости осуществляется на базе использования 
П-теоремы. Но, прежде чем сформулировать эту теорему и продемонстрировать технику ее применения, отметим два весьма важных обстоятельства. 

Во-первых, размерность любой физической величины всегда есть 
степенной одночлен. Данное утверждение следует из общефизического 
принципа ковариантности (совместности или пропорциональности преобразований): внутри данного класса С.Е.И. все С.Е.И. равноправны. 

ВВЕДЕНИЕ. АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЕ 

Для его доказательства рассмотрим некоторый класс С.Е.И. А, В, 
... 
(А, В, ... обозначают символы М, L, Т и тому подобные). В силу равноправия систем внутри данного класса размерность любой величины а зависит 
только от величин А, В, 
...: 

Если бы существовала некоторая избранная система внутри данного класса, 
то в число аргументов функции размерности входили бы также отношения 
величин основных единиц исходной системы к соответствующим единицам избранной системы. В силу принятого принципа равноправия систем 
единиц измерения внутри данного класса это не так. Поэтому аргументами функции размерности являются только величины А, В, ..., независимо 
от того, какая система принята за исходную. Выберем в классе А, В, ... 
три системы единиц: (0), (1) и (2), причем система (1) получается из системы (0) уменьшением основных единиц измерения в Ai,Bi, ... раз, 
а система (2) получается из системы (0) уменьшением основных единиц 
измерения в А\, В\, ... раз. В согласии со сказанным при переходе от системы (0) к системе (1) численное значение рассматриваемой величины а 
увеличивается в Ф(А2, 
• • •) раз, при переходе от системы (0) к системе 
(2) — в Ф(А2, В'2- ...) раз. Отсюда следует, что численные значения величины а в системах (1) и (2) отличаются в <&(Ai,Bi, .. .)/Ф(А2, Во, • • •) 
раз. Далее, в силу равноправия систем внутри данного класса результат 
перехода от системы (2) к системе (1) зависит только от этих систем и не 
зависит от того, какая система принята за нулевую. Отношения же основных единиц измерения в системах (2) и (1) составляют, соответственно, 
А1/А2, В1/В2, • •., поэтому численное значение величины а должно при 
этом переходе увеличиться в Ф(А-1 /А2, В1/В2, ...) раз. Итак, мы вычислили изменение численного значения величины а при переходе от системы (2) 
к системе (1) двумя способами. Приравнивая результаты, получаем уравнение для функции размерности Ф 

Это уравнение, в естественном предположении, что размерность — гладкая функция, решается просто. Продифференцировав обе части по А у и 
положив А\ = А2 = A, Bi = В2 = В, ..., получим 

Ф '(А, В,...) 
_ i 

Ф(А,В,...) 
А 
•i-Ф'а 1 
) = i 
А 

ВВЕДЕНИЕ. АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЕ 

где а = const, т. е. не зависит от А, В, 
Интегрируя полученное соотношение, находим 

Ф (А,В,...) 
= 
АаФ1(В,...): 

причем функция 
от А уже не зависит. Повторяя рассуждение для остальных переменных, получаем 

Ф = [а] = A aB f }... 

(постоянный множитель, получающийся в конце концов в правой части, 
равен единице, поскольку при А = В = ... — 1 система единиц измерения не меняется и изменения численного значения величины а также не 
происходит). 

Отсюда следует, что если размерность ни одной из величин рассматриваемой совокупности ai, ... ,аг нельзя представить в виде произведения 
степеней размерностей остальных величин, то эти величины имеют независимые размерности. 

Во-вторых, внутри данного класса С.Е.И. всегда можно осуществить 
переход от используемой С.Е.И. к другой С.Е.И. так, чтобы любая заранее 
выбранная величина из числа величин с независимыми размерностями изменила свое численное значение в произвольное число раз, а все остальные 
величины из этого числа остались неизменными. 

Пусть, например, размерности аргументов <ц, ..., а* в выбранном 
классе С.Е.И. А, В, ... имеют вид 

[ai] = A a i B ^ . . . . . . . , [afe] = А а * В л .... 

Мы строим, по определению, такую систему (ищем такие числа А, В, 
...), 
чтобы выполнялись соотношения 

Аа1В01 
... = Q,Aa2B02... 
=1, ...,Aa»Bl3k 
... 
=1. 

Логарифмируя, находим, что для логарифмов переходных множителей 
1пД1пВ,... получается система линейных алгебраических уравнений 

ai In А + /3i In В + ... = In Q: 
a 2 In A +/32 In .В + ... =0; 

aklnA 
+ /Зк\пВ + ... 
=0. 

Эта система всегда имеет по крайней мере одно решение. Действительно, 
число неизвестных In A, In В,... 
в ней заведомо не меньше числа уравнений, так как в противном случае размерности величин 
... 
выражающиеся через А, В, ..., были бы, очевидно, зависимыми. Если число 

ВВЕДЕНИЕ. АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ и ПОДОБИЕ 

неизвестных больше числа уравнений, то разрешимость системы очевидна. Если же число неизвестных равно числу уравнений, то однозначная 
разрешимость системы вытекает из того, что определитель 

«1 
ft 
... 

«2 02 
••• 

0k 
••• 

отличен от нуля, поскольку в противном случае размерности величин 
а\,... 
,ак снова не были бы независимыми. 

Пусть теперь определяющие параметры (аргументы) рассматриваемой 
функциональной зависимости делятся на две принципиально отличные части — аргументы «],..., 
имеют независимые размерности, а аргументы 
a/- +i,..., а„ — размерности, выражаемые в виде произведений степеней 
размерностей определяющих параметров с независимыми размерностями: 

[ак+1] = Ы ^ 1 • • • [ofcP*1 

[on] = [ai]p-...[ofc]r-. 

Размерность определяемой величины а также должна выражаться через 
размерности аргументов а\,..., Пк'
[а} = 
{а1Г...[ак]г. 

Если бы это было не так, то размерности величин а,а\.... 
были бы 
независимыми и, согласно предыдущему, можно было бы, меняя систему 
единиц измерения внутри данного класса, произвольно менять величину а, 
оставляя неизменными величины а \ . . . . , а^ (а следовательно, и все определяющие параметры а\...., 
ап). Это означало бы, что величина а зависит не 
только от параметров а \ . . . . ,а п, т. е. что список определяющих параметров в исходной зависимости заведомо неполон. Таким образом, существуют 
такие числа р, ..., г, что последняя формула действительно имеет место. 

Запишем теперь соотношения 

ВВЕДЕНИЕ. АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЕ 

Величины П, Их, П2, ..., Hn-k, очевидно, безразмерны, и при переходе от одной системы единиц к другой внутри данного класса их численные 
значения остаются неизменными. Последнюю зависимость теперь представим в виде 

_ /(ai, • • •, ап) _ 

ai•••ак 

= т Ч / ^ ь • • •' аь П1<+1 • • • а1к+1' • • • ' П n - k < n • • • 
) = 
®1•••ак 

= F(ai,..., 
ак, Пх,..., n„_fe). 

Как было показано, можно перейти к такой системе единиц измерения, 
что любой из параметров а\,..., 
ак, например аь изменится в произвольное 
число раз, а остальные сохранятся неизменными. При таком переходе, как 
легко видеть, в полученной зависимости меняется, и притом произвольно, 
только первый аргумент, а все остальные аргументы функции F остаются 
неизменными, так же, как ее значение П. Отсюда следует, что dF/dai 
- 0. 
Совершенно аналогично и dF/da2 = 0, ..., dF/dak 
= 0. Следовательно, 
данная зависимость представляется на самом деле через функцию п — к 
аргументов 

или, что то же самое, функция / имеет специальный вид 

f(ai,..., 
ак, «fc+i, • • •, ап) = 

_ v 
afe+i 
ап 
\ 

Этот факт составляет содержание центрального (и, по существу, единственного содержательного) утверждения анализа размерностей — П-теоремы, явно сформулированной и доказанной, по-видимому, впервые 
Э. Бакингамом: 

Пусть существует физическая закономерность, выраженная в виде 
зависимости некоторой размерной, вообще говоря, величины от размерных 
же определяющих параметров. Эта зависимость может быть представлена в виде зависимости некоторой безразмерной величины от безразмерных комбинаций определяющих параметров. Количество этих безразмерных комбинаций меньше общего числа определяющих параметров на число 
размерных определяющих параметров с независимыми размерностями.