Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи

УДК 519.6
ББК 22.18
А 47

А л е к с е е в В. М., Га л е е в Э. М., Ти х о м и р о в В. М. Сборник задач
по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи: Учеб. пособие — 3-е изд.,
испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. — 256 с. — ISBN 978-5-9221-0992-5.

В книге собрано примерно 700 задач на отыскание экстремумов для
конечномерного случая, для задач классического вариационного исчисления,
оптимального управления и выпуклого программирования. Содержатся элементы функционального анализа, дифференциального исчисления и выпуклого
анализа.
В книге приведены теория, необходимая для решения задач, и примеры. Основу решения всех задач составляет единый принцип, восходящий к Лагранжу.
Часть задач приведена с решениями. Имеется большое количество трудных
задач, которые могут быть использованы в качестве курсовых и дипломных
работ.
Для студентов вузов по специальностям «Математика» и «Прикладная
математика», а также для аспирантов и научных работников.
Рекомендовано Учебно-методическим Советом по математике и механике
УМО по классическому университетскому образованию в качестве задачника
для студентов высших учебных заведений, обучающихся по группе математических направлений и специальностей.

ISBN 978-5-9221-0992-5

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2007, 2008, 2011

c⃝ В. М. Алексеев, Э. М. Галеев,
В. М. Тихомиров, 2007, 2008, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к третьему изданию . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Предисловие . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12

Г л а в а 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
15
§ 1.1. Как возникают экстремальные задачи? . .. . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.1.1. Классическая изопериметрическая задача. Задача Дидоны. (15). 1.1.2. Другие старинные экстремальные задачи в геометрии. (20).
1.1.3. Вариационный принцип Ферма и принцип
Гюйгенса. Задача о преломлении света. (23).
1.1.4. Задача
о брахистохроне. Зарождение вариационного исчисления. (26).
1.1.5. Аэродинамическая задача Ньютона. (28).
1.1.6. Задача
о рационе и транспортная задача. (29). 1.1.7. Задача о быстродействии. (29).
§ 1.2. Как формализуются экстремальные задачи? . .. . . . . . . . . . . . .
30
1.2.1. Основные определения. (30). 1.2.2. Простейшие примеры
формализации экстремальных задач. (31). 1.2.3. Формализация
задачи Ньютона. (33). 1.2.4. Различные формализации классической изопериметрической задачи и задачи о брахистохроне.
Простейшая задача о быстродействии. (35).
1.2.5. Формализация транспортной задачи и задачи о рационе. (37).
1.2.6. Основные классы экстремальных задач. (38).
§ 1.3. Правило множителей Лагранжа и теорема Куна–Таккера . .. . . .
42
1.3.1. Теорема Ферма. (42). 1.3.2. Правило множителей Лагранжа. (44).
1.3.3. Теорема Куна–Таккера. (48).
1.3.4. Доказательство конечномерной теоремы отделимости. (53).
§ 1.4. Простейшая задача классического вариационного исчисления
и ее обобщения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
1.4.1. Уравнение Эйлера. (54). 1.4.2. Необходимые условия в задаче Больца. Условия трансверсальности. (59).
1.4.3. Расширения простейшей задачи. (61).
1.4.4. Игольчатые вариации.
Условие Вейерштрасса. (68). 1.4.5. Изопериметрическая задача
и задача со старшими производными. (70).
§ 1.5. Задача Лагранжа и основная задача оптимального управления
73
1.5.1. Постановки задач. (73). 1.5.2. Необходимые условия в задаче Лагранжа. (75).
1.5.3. Принцип максимума Понтрягина. (77).
1.5.4. Доказательство принципа максимума в задаче
со свободным концом. (79).
§ 1.6. Решение задач. .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85

Оглавление

1.6.1. Геометрические экстремальные задачи. (86). 1.6.2. Аэродинамическая задача Ньютона. (90). 1.6.3. Простейшая задача
о быстродействии. (93).
1.6.4. Классическая изопериметрическая задача и задача Чаплыгина. (96).
1.6.5. Задача о брахистохроне и некоторые задачи геометрии. (100).

Г л а в а 2. Аппарат теории экстремальных задач . . . . . . . . . . . . . .
102
§ 2.1. Предварительные сведения из функционального анализа . .. . . .
102
2.1.1. Линейные
нормированные
и
банаховы
пространства.
(102).
2.1.2. Произведение
пространств.
Факторпространство. (104).
2.1.3. Теорема Хана–Банаха и ее следствия. (106). 2.1.4. Теоремы отделимости. (109). 2.1.5. Теорема
Банаха об обратном операторе и лемма о правом обратном
отображении. (112). 2.1.6. Лемма о замкнутости образа. (114).
2.1.7. Лемма об аннуляторе ядра регулярного оператора. (115).
2.1.8. Измеримые и абсолютно непрерывные функции. (115).
2.1.9. Теорема Рисса об общем виде линейного функционала
в пространстве C. Формула Дирихле. (118).
§ 2.2. Основы дифференциального исчисления в линейных нормированных пространствах . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
2.2.1. Производная по направлению, первая вариация, производные Гато и Фреше, строгая дифференцируемость. (121).
2.2.2. Теорема о суперпозиции дифференцируемых отображений. (127).
2.2.3. Теорема о среднем и ее следствия. (130).
2.2.4. Дифференцирование в произведении пространств. Частные производные. Теорема о полном дифференциале. (133).
2.2.5. Производные высших порядков. Формула Тейлора. (135).
§ 2.3. Теорема о неявной функции. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
2.3.1. Формулировка теоремы о существовании неявной функции. (142).
2.3.2. Модифицированный принцип сжимающих
отображений. (143).
2.3.3. Доказательство теоремы. (144).
2.3.4. Классические теоремы о неявной функции и об обратном
отображении. (147). 2.3.5. Касательное пространство и теорема
Люстерника. (151).
§ 2.4. Дифференцируемость некоторых конкретных отображений . .. . .
154
2.4.1. Оператор Немыцкого и оператор дифференциальной связи. (154). 2.4.2. Интегральный функционал. (157). 2.4.3. Оператор краевых условий. (161).
§ 2.5. Необходимые сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
2.5.1. Основные предположения. (163). 2.5.2. Локальная теорема существования. (165). 2.5.3. Теорема единственности. (167).
2.5.4.
Линейные
дифференциальные
уравнения.
(169).
2.5.5. Глобальная теорема
о существовании
и непрерывной
зависимости решения от начальных данных и параметров. (173).
2.5.6. Теорема
о
дифференцируемой
зависимости
решений
от начальных данных. (178).
2.5.7. Классическая теорема
о
дифференцируемой
зависимости
решений
от
начальных
данных. (181).

Оглавление
9

§ 2.6∗. Элементы выпуклого анализа. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184
2.6.1. Основные
определения.
(185).
2.6.2. Выпуклые
множества
и
функции
в
линейных
топологических
пространствах. (191).
2.6.3. Преобразование Лежандра–Юнга–
Фенхеля. Теорема Фенхеля–Моро. (198).
2.6.4. Субдифференциал. Теорема Моро–Рокафеллара. Теорема Дубовицкого–
Милютина. (203).

Г л а в а 3. Принцип Лагранжа для гладких задач с ограничениями
211
§ 3.1. Элементарные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211
3.1.1. Элементарные задачи без ограничений. (211). 3.1.2. Элементарная
задача
линейного
программирования.
(215).
3.1.3. Задача
Больца.
(216).
3.1.4. Элементарная
задача
оптимального управления. (219). 3.1.5. Принцип Лагранжа для
задач с равенствами и неравенствами. (219).
§ 3.2. Принцип Лагранжа для гладких задач с ограничениями типа
равенств и неравенств. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222
3.2.1. Формулировка теоремы. (222).
3.2.2. Правило множителей для гладких задач с равенствами. (224).
3.2.3. Редукция
задачи. (226). 3.2.4. Доказательство теоремы. (227).
§ 3.3∗. Принцип Лагранжа и двойственность в задачах выпуклого программирования . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
3.3.1. Теорема
Куна–Таккера
(субдифференциальная
форма). (230).
3.3.2. Метод возмущений и теорема двойственности. (232).
3.3.3. Линейное
программирование:
теорема
существования и теорема двойственности. (237). 3.3.4. Теорема
двойственности для задачи о кратчайшем расстоянии. Лемма
Хоффмана и лемма о минимаксе. (243).
§ 3.4∗. Необходимые условия второго порядка и достаточные условия
экстремума в гладких задачах . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253
3.4.1. Гладкие задачи с равенствами. (253).
3.4.2. Гладкие задачи с равенствами и неравенствами — необходимые условия
второго порядка. (255). 3.4.3. Достаточные условия экстремума
для гладких задач с равенствами и неравенствами. (259).

Г л а в а 4. Принцип Лагранжа в задачах классического вариационного исчисления и оптимального управления . . . . . . . . . . . . .
263
§ 4.1. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа . .. . . . . . . . . . . . . .
263
4.1.1. Постановка
задачи
и
формулировка
теоремы. (263).
4.1.2. Редукция задачи Лагранжа к гладкой задаче. (268).
4.1.3. Обобщенная лемма Дюбуа–Реймона. (270).
4.1.4. Вывод
условий стационарности. (272).
4.1.5. Задача со старшими
производными. Уравнение Эйлера–Пуассона. (274).
§ 4.2. Принцип максимума Понтрягина . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
278
4.2.1. Постановка
задачи
оптимального
управления.
(278).
4.2.2. Формулировка принципа максимума. Принцип Лагранжа
в задаче оптимального управления. (282). 4.2.3. Игольчатые вариации. (285). 4.2.4. Редукция к конечномерной задаче. (288).

Оглавление

1.6.1. Геометрические экстремальные задачи. (86). 1.6.2. Аэродинамическая задача Ньютона. (90). 1.6.3. Простейшая задача
о быстродействии. (93).
1.6.4. Классическая изопериметрическая задача и задача Чаплыгина. (96).
1.6.5. Задача о брахистохроне и некоторые задачи геометрии. (100).

Г л а в а 2. Аппарат теории экстремальных задач . . . . . . . . . . . . . .
102
§ 2.1. Предварительные сведения из функционального анализа . .. . . .
102
2.1.1. Линейные
нормированные
и
банаховы
пространства.
(102).
2.1.2. Произведение
пространств.
Факторпространство. (104).
2.1.3. Теорема Хана–Банаха и ее следствия. (106). 2.1.4. Теоремы отделимости. (109). 2.1.5. Теорема
Банаха об обратном операторе и лемма о правом обратном
отображении. (112). 2.1.6. Лемма о замкнутости образа. (114).
2.1.7. Лемма об аннуляторе ядра регулярного оператора. (115).
2.1.8. Измеримые и абсолютно непрерывные функции. (115).
2.1.9. Теорема Рисса об общем виде линейного функционала
в пространстве C. Формула Дирихле. (118).
§ 2.2. Основы дифференциального исчисления в линейных нормированных пространствах . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
2.2.1. Производная по направлению, первая вариация, производные Гато и Фреше, строгая дифференцируемость. (121).
2.2.2. Теорема о суперпозиции дифференцируемых отображений. (127).
2.2.3. Теорема о среднем и ее следствия. (130).
2.2.4. Дифференцирование в произведении пространств. Частные производные. Теорема о полном дифференциале. (133).
2.2.5. Производные высших порядков. Формула Тейлора. (135).
§ 2.3. Теорема о неявной функции. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
2.3.1. Формулировка теоремы о существовании неявной функции. (142).
2.3.2. Модифицированный принцип сжимающих
отображений. (143).
2.3.3. Доказательство теоремы. (144).
2.3.4. Классические теоремы о неявной функции и об обратном
отображении. (147). 2.3.5. Касательное пространство и теорема
Люстерника. (151).
§ 2.4. Дифференцируемость некоторых конкретных отображений . .. . .
154
2.4.1. Оператор Немыцкого и оператор дифференциальной связи. (154). 2.4.2. Интегральный функционал. (157). 2.4.3. Оператор краевых условий. (161).
§ 2.5. Необходимые сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
2.5.1. Основные предположения. (163). 2.5.2. Локальная теорема существования. (165). 2.5.3. Теорема единственности. (167).
2.5.4.
Линейные
дифференциальные
уравнения.
(169).
2.5.5. Глобальная теорема
о существовании
и непрерывной
зависимости решения от начальных данных и параметров. (173).
2.5.6. Теорема
о
дифференцируемой
зависимости
решений
от начальных данных. (178).
2.5.7. Классическая теорема
о
дифференцируемой
зависимости
решений
от
начальных
данных. (181).

Оглавление
9

§ 2.6∗. Элементы выпуклого анализа. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184
2.6.1. Основные
определения.
(185).
2.6.2. Выпуклые
множества
и
функции
в
линейных
топологических
пространствах. (191).
2.6.3. Преобразование Лежандра–Юнга–
Фенхеля. Теорема Фенхеля–Моро. (198).
2.6.4. Субдифференциал. Теорема Моро–Рокафеллара. Теорема Дубовицкого–
Милютина. (203).

Г л а в а 3. Принцип Лагранжа для гладких задач с ограничениями
211
§ 3.1. Элементарные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211
3.1.1. Элементарные задачи без ограничений. (211). 3.1.2. Элементарная
задача
линейного
программирования.
(215).
3.1.3. Задача
Больца.
(216).
3.1.4. Элементарная
задача
оптимального управления. (219). 3.1.5. Принцип Лагранжа для
задач с равенствами и неравенствами. (219).
§ 3.2. Принцип Лагранжа для гладких задач с ограничениями типа
равенств и неравенств. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222
3.2.1. Формулировка теоремы. (222).
3.2.2. Правило множителей для гладких задач с равенствами. (224).
3.2.3. Редукция
задачи. (226). 3.2.4. Доказательство теоремы. (227).
§ 3.3∗. Принцип Лагранжа и двойственность в задачах выпуклого программирования . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
3.3.1. Теорема
Куна–Таккера
(субдифференциальная
форма). (230).
3.3.2. Метод возмущений и теорема двойственности. (232).
3.3.3. Линейное
программирование:
теорема
существования и теорема двойственности. (237). 3.3.4. Теорема
двойственности для задачи о кратчайшем расстоянии. Лемма
Хоффмана и лемма о минимаксе. (243).
§ 3.4∗. Необходимые условия второго порядка и достаточные условия
экстремума в гладких задачах . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253
3.4.1. Гладкие задачи с равенствами. (253).
3.4.2. Гладкие задачи с равенствами и неравенствами — необходимые условия
второго порядка. (255). 3.4.3. Достаточные условия экстремума
для гладких задач с равенствами и неравенствами. (259).

Г л а в а 4. Принцип Лагранжа в задачах классического вариационного исчисления и оптимального управления . . . . . . . . . . . . .
263
§ 4.1. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа . .. . . . . . . . . . . . . .
263
4.1.1. Постановка
задачи
и
формулировка
теоремы. (263).
4.1.2. Редукция задачи Лагранжа к гладкой задаче. (268).
4.1.3. Обобщенная лемма Дюбуа–Реймона. (270).
4.1.4. Вывод
условий стационарности. (272).
4.1.5. Задача со старшими
производными. Уравнение Эйлера–Пуассона. (274).
§ 4.2. Принцип максимума Понтрягина . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
278
4.2.1. Постановка
задачи
оптимального
управления.
(278).
4.2.2. Формулировка принципа максимума. Принцип Лагранжа
в задаче оптимального управления. (282). 4.2.3. Игольчатые вариации. (285). 4.2.4. Редукция к конечномерной задаче. (288).

Оглавление

4.2.5. Доказательство принципа максимума. (289). 4.2.6. Доказательство леммы о пакете иголок. (295). 4.2.7. Доказательство
леммы об интегральных функционалах. (303).
§ 4.3∗. Задачи оптимального управления, линейные по фазовым переменным . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
305
4.3.1. Редукция задачи оптимального управления, линейной
по фазовым переменным, к задаче ляпуновского типа. (306).
4.3.2. Теорема Ляпунова. (308).
4.3.3. Принцип
Лагранжа
для ляпуновских задач. (311).
4.3.4. Теорема двойственности. (318). 4.3.5. Принцип максимума для задач оптимального
управления, линейных по фазовым переменным. (322).
§ 4.4. Применение общей теории к простейшей задаче классического
вариационного исчисления. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
325
4.4.1. Уравнение Эйлера. Условие Вейерштрасса. Условие Лежандра. (326).
4.4.2. Условия второго порядка для слабого
экстремума. Условия Лежандра и Якоби. (328).
4.4.3. Гамильтонов формализм. Теорема об интегральном инварианте. (332).
4.4.4. Достаточные условия абсолютного экстремума в простейшей задаче. (339).
4.4.5. Сопряженные точки. Достаточные
условия сильного и слабого экстремума. (344).
4.4.6. Теорема Э. Нётер. (353).
4.4.7. Вариационный принцип и законы
сохранения в механике. (358).

Дополнение. Необходимые условия экстремума. Г. Г. Магарил-Ильяев,
В. М. Тихомиров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
361

Комментарии и путеводитель по литературе . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
388
Список литературы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
391
Список основных обозначений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
398
Предметный указатель . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
402

Предисловие к третьему изданию

Первое издание книги вышло в 1979 г. Оно было основано на
многолетнем опыте преподавания курсов оптимизации на механикоматематическом факультете Московского университета. В постановке
и лекционной разработке курса «Оптимальное управление» на механико-математическом факультете, на базе которого создавалась эта
книга, большая заслуга принадлежала Сергею Васильевичу Фомину.
Сергей Васильевич Фомин умер в 1985 г., не увидев завершения своих
замыслов. В 1980 г. закончился жизненный путь Владимира Михайловича Алексеева. В 2005 г. в серии «Классический университетский
учебник», подготовленной к 250-летию Московского университета, вышло, фактически без изменений второе издание книги. Уже после его
выхода дочь В. М. Алексеева — Е. В. Алексеева — сообщила мне, что
в 1980 г., будучи уже смертельно больным, Владимир Михайлович
работал над усовершенствованием книги и, завершив работу, передал
ей экземпляр книги с многочисленными вставками и исправлениями. Я воспринял для себя это его деяние, как непременный долг
подготовить третье издание книги с учетом всего, что было сделано
Владимиром Михайловичем. Это третье издание сейчас представлено
читателю. В нем учтено большинство предложений В. М. Алексеева
по усовершенствованию текста. Исключение составили лишь некоторые предложения, требовавшие значительной переработки текста, что
я не решился делать в одиночку. Но я решил включить в книгу
дополнение, написанное мною совместно с Г. Г. Магарил-Ильяевым
и помещенное в конце книги, в котором учтены многие пожелания
Владимира Михайловича и некоторые из наших общих замыслов,
остававшихся нереализованными. Здесь во многом использован опыт
семинара по оптимизации, работавшего на механико-математическом
факультете в течение нескольких последних лет. Усилиями участников
этого семинара удалось добиться более глубокого понимания многих
важных вопросов в теории экстремума, и это нашло отражение в тексте дополнения, авторы которого выражают благодарность участникам
семинара, особенно А. В. Арутюнову, А. В Дмитруку, М. И. Зеликину
и Н. П. Осмоловскому.
14 мая 2007 г.
В. М. Тихомиров

Оглавление

4.2.5. Доказательство принципа максимума. (289). 4.2.6. Доказательство леммы о пакете иголок. (295). 4.2.7. Доказательство
леммы об интегральных функционалах. (303).
§ 4.3∗. Задачи оптимального управления, линейные по фазовым переменным . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
305
4.3.1. Редукция задачи оптимального управления, линейной
по фазовым переменным, к задаче ляпуновского типа. (306).
4.3.2. Теорема Ляпунова. (308).
4.3.3. Принцип
Лагранжа
для ляпуновских задач. (311).
4.3.4. Теорема двойственности. (318). 4.3.5. Принцип максимума для задач оптимального
управления, линейных по фазовым переменным. (322).
§ 4.4. Применение общей теории к простейшей задаче классического
вариационного исчисления. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
325
4.4.1. Уравнение Эйлера. Условие Вейерштрасса. Условие Лежандра. (326).
4.4.2. Условия второго порядка для слабого
экстремума. Условия Лежандра и Якоби. (328).
4.4.3. Гамильтонов формализм. Теорема об интегральном инварианте. (332).
4.4.4. Достаточные условия абсолютного экстремума в простейшей задаче. (339).
4.4.5. Сопряженные точки. Достаточные
условия сильного и слабого экстремума. (344).
4.4.6. Теорема Э. Нётер. (353).
4.4.7. Вариационный принцип и законы
сохранения в механике. (358).

Дополнение. Необходимые условия экстремума. Г. Г. Магарил-Ильяев,
В. М. Тихомиров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
361

Комментарии и путеводитель по литературе . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
388
Список литературы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
391
Список основных обозначений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
398
Предметный указатель . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
402

Предисловие к третьему изданию

Первое издание книги вышло в 1979 г. Оно было основано на
многолетнем опыте преподавания курсов оптимизации на механикоматематическом факультете Московского университета. В постановке
и лекционной разработке курса «Оптимальное управление» на механико-математическом факультете, на базе которого создавалась эта
книга, большая заслуга принадлежала Сергею Васильевичу Фомину.
Сергей Васильевич Фомин умер в 1985 г., не увидев завершения своих
замыслов. В 1980 г. закончился жизненный путь Владимира Михайловича Алексеева. В 2005 г. в серии «Классический университетский
учебник», подготовленной к 250-летию Московского университета, вышло, фактически без изменений второе издание книги. Уже после его
выхода дочь В. М. Алексеева — Е. В. Алексеева — сообщила мне, что
в 1980 г., будучи уже смертельно больным, Владимир Михайлович
работал над усовершенствованием книги и, завершив работу, передал
ей экземпляр книги с многочисленными вставками и исправлениями. Я воспринял для себя это его деяние, как непременный долг
подготовить третье издание книги с учетом всего, что было сделано
Владимиром Михайловичем. Это третье издание сейчас представлено
читателю. В нем учтено большинство предложений В. М. Алексеева
по усовершенствованию текста. Исключение составили лишь некоторые предложения, требовавшие значительной переработки текста, что
я не решился делать в одиночку. Но я решил включить в книгу
дополнение, написанное мною совместно с Г. Г. Магарил-Ильяевым
и помещенное в конце книги, в котором учтены многие пожелания
Владимира Михайловича и некоторые из наших общих замыслов,
остававшихся нереализованными. Здесь во многом использован опыт
семинара по оптимизации, работавшего на механико-математическом
факультете в течение нескольких последних лет. Усилиями участников
этого семинара удалось добиться более глубокого понимания многих
важных вопросов в теории экстремума, и это нашло отражение в тексте дополнения, авторы которого выражают благодарность участникам
семинара, особенно А. В. Арутюнову, А. В Дмитруку, М. И. Зеликину
и Н. П. Осмоловскому.
14 мая 2007 г.
В. М. Тихомиров

Предисловие

Одной из характерных особенностей современной эпохи является
все возрастающее внимание к проблемам управления. Как никогда
прежде ощущается потребность в плодотворном и эффективном использовании природных богатств, огромных людских ресурсов, материальных и технических средств. Говоря о наиболее приметных явлениях
научно-технического прогресса в XX веке, обычно называют расщепление атома, первые шаги к освоению космоса, создание компьютеров
и новых информационных технологий. На этом фоне теория управления выглядит пока менее эффектно, хотя в развитии современной
цивилизации она уже играет выдающуюся роль и есть основание
думать, что в будущем эта роль станет еще значительней.
Всюду, где имеется возможность активного участия человека, возникает проблема отыскания наилучшего, или, как говорят, оптимального, из возможных управлений. Вызванные к жизни потребностями
экономики и техники оптимизационные проблемы потребовали в свою
очередь создания новых разделов математики.
В 40-х годах исследование задач экономики породило новое направление анализа, получившее название л и н е й н о г о и в ы п у к л о г о
п р о г р а м м и р о в а н и я. В те же годы приобрели актуальность задачи
управления летательными аппаратами и технологическими процессами
сложной структуры. Соответствующая математическая теория была
создана в середине пятидесятых годов и получила название теории
о п т и м а л ь н о г о у п р а в л е н и я. Выдающуюся роль сыграл в этом
принцип максимума Понтрягина. В теории оптимального управления
произошел синтез идей и методов исследования, с одной стороны
восходящих к классикам вариационного исчисления, а с другой —
вполне
современных. Ее
развитие
самым
существенным
образом
связано с именами отечественных математиков.
Эта книга задумана как учебное пособие по различным курсам
оптимизации, читаемым в университетах и вузах с повышенной математической подготовкой.
Расскажем вкратце об общем замысле и плане книги.
История исследования задач на экстремум, или, как сейчас обычно
говорят, «экстремальных задач», началась не в наши дни — в той

Предисловие
13

или иной мере такие задачи всегда привлекали внимание математиков.
Мы хотели раскрыть перед читателями с самой разной предварительной подготовкой эту связь времен и неразрывность научной дороги. Это
сделано в первой главе, рассчитанной на широкую аудиторию. Хотя
используемый здесь математический аппарат минимален, мы старались выдержать стиль точного математического текста, ограничиваясь
наиболее выразительными, но элементарными фрагментами истории
изучения экстремальных задач. Наша цель — связать воедино первоначальные замыслы И. Кеплера и П. Ферма, задачи, поставленные
X. Гюйгенсом, И. Ньютоном и И. Бернулли, идеи и методы Ж. Лагранжа, Л. Эйлера и К. Вейерштрасса с современным этапом теории, непосредственно продолжающей исследования великих предшественников.
Кроме того, в первой главе описаны методы решения конкретных
задач и приведены примеры решения на базе единой идеологии задач,
поставленных в разные времена учеными разных направлений.
Остальная часть книги адресована по преимуществу математикам.
Возникновение новой теории стимулировало развитие и старых, и новых разделов математического анализа. Не все эти разделы должным
образом представлены в современном математическом образовании.
Нам кажется, что фрагмент классического анализа, объединенный
вокруг темы «н е я в н а я ф у н к ц и я», играет ныне исключительную
роль во всех аспектах конечномерного и бесконечномерного анализа.
То же самое можно сказать и об основах в ы п у к л о г о а н а л и з а.
Наконец, для теории оптимального управления существенно, что основные факты теории дифференциальных уравнений остаются верными
и для уравнений с р а з р ы в н ы м и правыми частями.
Названные выше три раздела анализа и геометрии излагаются
во второй главе.
Изложение теории собственно экстремальных задач представлено
в третьей и четвертой главах. Их главную часть составляет содержание
полугодового курса, читавшегося авторами на механико-математическом факультете МГУ. Текст препарирован так, что доказательства
основных теорем занимают не больше одной лекции. Всюду выдержан
принцип полноты изложения. Мы старались везде избежать пропусков,
ссылок на очевидность и т. д.
Некоторые стандартные обозначения (из теории множеств, функционального анализа и т. п.) употребляются в тексте без пояснений.
Поэтому для облегчения ориентировки читателей в конце книги приведен список основных обозначений с краткой их расшифровкой.
Параграфы, номера которых отмечены в тексте и в оглавлении
звездочкой, призваны подвести читателя к современным методам теории экстремальных задач. Здесь изложение более соответствует монографическому стилю, допускаются отдельные, правда, минимальные,
ссылки на теоремы, хотя и ставшие классическими, но находящиеся
пока за пределами традиционных программ. Эти параграфы написаны
на основе курсов «Выпуклый анализ», «Дополнительные главы теории

Предисловие

Одной из характерных особенностей современной эпохи является
все возрастающее внимание к проблемам управления. Как никогда
прежде ощущается потребность в плодотворном и эффективном использовании природных богатств, огромных людских ресурсов, материальных и технических средств. Говоря о наиболее приметных явлениях
научно-технического прогресса в XX веке, обычно называют расщепление атома, первые шаги к освоению космоса, создание компьютеров
и новых информационных технологий. На этом фоне теория управления выглядит пока менее эффектно, хотя в развитии современной
цивилизации она уже играет выдающуюся роль и есть основание
думать, что в будущем эта роль станет еще значительней.
Всюду, где имеется возможность активного участия человека, возникает проблема отыскания наилучшего, или, как говорят, оптимального, из возможных управлений. Вызванные к жизни потребностями
экономики и техники оптимизационные проблемы потребовали в свою
очередь создания новых разделов математики.
В 40-х годах исследование задач экономики породило новое направление анализа, получившее название л и н е й н о г о и в ы п у к л о г о
п р о г р а м м и р о в а н и я. В те же годы приобрели актуальность задачи
управления летательными аппаратами и технологическими процессами
сложной структуры. Соответствующая математическая теория была
создана в середине пятидесятых годов и получила название теории
о п т и м а л ь н о г о у п р а в л е н и я. Выдающуюся роль сыграл в этом
принцип максимума Понтрягина. В теории оптимального управления
произошел синтез идей и методов исследования, с одной стороны
восходящих к классикам вариационного исчисления, а с другой —
вполне
современных. Ее
развитие
самым
существенным
образом
связано с именами отечественных математиков.
Эта книга задумана как учебное пособие по различным курсам
оптимизации, читаемым в университетах и вузах с повышенной математической подготовкой.
Расскажем вкратце об общем замысле и плане книги.
История исследования задач на экстремум, или, как сейчас обычно
говорят, «экстремальных задач», началась не в наши дни — в той

Предисловие
13

или иной мере такие задачи всегда привлекали внимание математиков.
Мы хотели раскрыть перед читателями с самой разной предварительной подготовкой эту связь времен и неразрывность научной дороги. Это
сделано в первой главе, рассчитанной на широкую аудиторию. Хотя
используемый здесь математический аппарат минимален, мы старались выдержать стиль точного математического текста, ограничиваясь
наиболее выразительными, но элементарными фрагментами истории
изучения экстремальных задач. Наша цель — связать воедино первоначальные замыслы И. Кеплера и П. Ферма, задачи, поставленные
X. Гюйгенсом, И. Ньютоном и И. Бернулли, идеи и методы Ж. Лагранжа, Л. Эйлера и К. Вейерштрасса с современным этапом теории, непосредственно продолжающей исследования великих предшественников.
Кроме того, в первой главе описаны методы решения конкретных
задач и приведены примеры решения на базе единой идеологии задач,
поставленных в разные времена учеными разных направлений.
Остальная часть книги адресована по преимуществу математикам.
Возникновение новой теории стимулировало развитие и старых, и новых разделов математического анализа. Не все эти разделы должным
образом представлены в современном математическом образовании.
Нам кажется, что фрагмент классического анализа, объединенный
вокруг темы «н е я в н а я ф у н к ц и я», играет ныне исключительную
роль во всех аспектах конечномерного и бесконечномерного анализа.
То же самое можно сказать и об основах в ы п у к л о г о а н а л и з а.
Наконец, для теории оптимального управления существенно, что основные факты теории дифференциальных уравнений остаются верными
и для уравнений с р а з р ы в н ы м и правыми частями.
Названные выше три раздела анализа и геометрии излагаются
во второй главе.
Изложение теории собственно экстремальных задач представлено
в третьей и четвертой главах. Их главную часть составляет содержание
полугодового курса, читавшегося авторами на механико-математическом факультете МГУ. Текст препарирован так, что доказательства
основных теорем занимают не больше одной лекции. Всюду выдержан
принцип полноты изложения. Мы старались везде избежать пропусков,
ссылок на очевидность и т. д.
Некоторые стандартные обозначения (из теории множеств, функционального анализа и т. п.) употребляются в тексте без пояснений.
Поэтому для облегчения ориентировки читателей в конце книги приведен список основных обозначений с краткой их расшифровкой.
Параграфы, номера которых отмечены в тексте и в оглавлении
звездочкой, призваны подвести читателя к современным методам теории экстремальных задач. Здесь изложение более соответствует монографическому стилю, допускаются отдельные, правда, минимальные,
ссылки на теоремы, хотя и ставшие классическими, но находящиеся
пока за пределами традиционных программ. Эти параграфы написаны
на основе курсов «Выпуклый анализ», «Дополнительные главы теории

Предисловие

экстремальных задач» и других, также читавшихся на механико-математическом факультете МГУ в течение ряда лет.
Более подробно о содержании читатель может узнать из оглавления,
где выделены и названы все важнейшие результаты и факты, нашедшие
отражение в книге.
Из сказанного следует, что мы рассчитываем на разную читательскую аудиторию: прежде всего — на студентов университетов и вузов
с повышенным математическим курсом, но также и на инженеров,
экономистов и математиков, сталкивающихся с необходимостью решать различные экстремальные задачи. Для этих читателей написано
введение, а для тех, кто интересуется теорией экстремальных задач
более серьезно, в конце помещен путеводитель по литературе — монографической и обзорной, а также дополнение.
Первые три параграфа этого дополнения, где говорится о необходимых условиях экстремума в гладких задачах без ограничений,
с ограничениями типа равенств и в простейшей задаче вариационного
исчисления, доступны для понимания студентам технических и экономических вузов. Четвертый параграф дополнения посвящен задачам
оптимального управления. В пятом параграфе приведено упрощенное
доказательство теоремы о неявной функции, лежащей в основе теорем
существования и зависимости от начальных данных и параметров,
которые, в свою очередь, являются базой необходимых условий экстремума в задачах вариационного исчисления и оптимального управления.
Мы выражаем свою искреннюю признательность коллективу кафедры общих проблем управления механико-математического факультета
МГУ, принимавшему активное участие в обсуждении как методики
преподавания курса «Оптимальное управление», так и характера изложения отдельных затрагиваемых в книге вопросов.
Мы считаем своим обязательным долгом отметить, что на формирование математических концепций, положенных в основу этой
книги,
значительное
влияние
оказала
творческая
деятельность
А. А. Милютина.
Мы благодарны А. И. Маркушевичу за ценные консультации, а также А. П. Буслаеву и Г. Г. Магарил-Ильяеву, внимательно прочитавшим
рукопись и сделавшим ряд весьма полезных замечаний.
В. М. Алексеев,
В. М. Тихомиров
P.S. Считаю своим долгом сказать здесь о двух людях, упомянутых
выше. Алексей Алексеевич Милютин (1925–2000) был нашим учителем в теории оптимального управления. Он впервые прочитал курс
«Оптимальное управление» на механико-математическом факультете
МГУ. Алексей Иванович Маркушевич (1908–1981) предоставил нам
экземпляр из своей библиотеки великого труда Ньютона, что оказалось
весьма важным для понимания истоков оптимального управления.
В. М. Тихомиров

Г л а в а 1

ВВЕДЕНИЕ

§ 1.1. Как возникают экстремальные задачи?

Людям свойственно стремление к лучшему, и если им приходится
выбирать из нескольких возможностей, то желание найти среди них
оптимальную представляется вполне естественным.
Слово «оптимальный» происходит от латинского optimus, что значит — наилучший, совершенный. Для того чтобы найти оптимальную
из возможностей, приходится решать задачи на отыскание максимума или минимума, т. е. наибольших и наименьших значений какихто величин. Оба эти понятия — максимум и минимум — объединяются термином экстремум (от латинского extremum, означающего
«крайнее»). Поэтому задачи на отыскание максимума или минимума
называют экстремальными задачами.
Методы решения и исследования различного рода экстремальных
задач составляют специальные разделы математического анализа. Почти тот же смысл вкладывается в понятие «задача оптимизации»;
в котором более отчетливо прослеживается связь с практическими
применениями математики.
Цель этой книги — познакомить читателя с теорией и приемами
решения экстремальных задач. Но прежде чем переходить к формальному, логически последовательному изложению этой ветви математики,
мы хотим обратиться к прошлому, чтобы лучше понять причины, побуждающие ставить и решать экстремальные задачи в их прикладном
аспекте, т. е. как задачи оптимизации.

Mercatique solum, facti
de nomine Byrsam
Taurino quantum possent
circumdare tergo.
P. Vergilius Maro «Aeneas» 1)

1.1.1. Классическая изопериметрическая задача. Задача Дидоны.
Задачи отыскания наибольших и наименьших величин впервые были поставлены античной наукой. Древнейшей из известных

1) Столько купили земли и дали ей имя Бирса, сколько смогли окружить
бычьей шкурой. (П. Вергилий Марон «Энеида».)

Предисловие

экстремальных задач» и других, также читавшихся на механико-математическом факультете МГУ в течение ряда лет.
Более подробно о содержании читатель может узнать из оглавления,
где выделены и названы все важнейшие результаты и факты, нашедшие
отражение в книге.
Из сказанного следует, что мы рассчитываем на разную читательскую аудиторию: прежде всего — на студентов университетов и вузов
с повышенным математическим курсом, но также и на инженеров,
экономистов и математиков, сталкивающихся с необходимостью решать различные экстремальные задачи. Для этих читателей написано
введение, а для тех, кто интересуется теорией экстремальных задач
более серьезно, в конце помещен путеводитель по литературе — монографической и обзорной, а также дополнение.
Первые три параграфа этого дополнения, где говорится о необходимых условиях экстремума в гладких задачах без ограничений,
с ограничениями типа равенств и в простейшей задаче вариационного
исчисления, доступны для понимания студентам технических и экономических вузов. Четвертый параграф дополнения посвящен задачам
оптимального управления. В пятом параграфе приведено упрощенное
доказательство теоремы о неявной функции, лежащей в основе теорем
существования и зависимости от начальных данных и параметров,
которые, в свою очередь, являются базой необходимых условий экстремума в задачах вариационного исчисления и оптимального управления.
Мы выражаем свою искреннюю признательность коллективу кафедры общих проблем управления механико-математического факультета
МГУ, принимавшему активное участие в обсуждении как методики
преподавания курса «Оптимальное управление», так и характера изложения отдельных затрагиваемых в книге вопросов.
Мы считаем своим обязательным долгом отметить, что на формирование математических концепций, положенных в основу этой
книги,
значительное
влияние
оказала
творческая
деятельность
А. А. Милютина.
Мы благодарны А. И. Маркушевичу за ценные консультации, а также А. П. Буслаеву и Г. Г. Магарил-Ильяеву, внимательно прочитавшим
рукопись и сделавшим ряд весьма полезных замечаний.
В. М. Алексеев,
В. М. Тихомиров
P.S. Считаю своим долгом сказать здесь о двух людях, упомянутых
выше. Алексей Алексеевич Милютин (1925–2000) был нашим учителем в теории оптимального управления. Он впервые прочитал курс
«Оптимальное управление» на механико-математическом факультете
МГУ. Алексей Иванович Маркушевич (1908–1981) предоставил нам
экземпляр из своей библиотеки великого труда Ньютона, что оказалось
весьма важным для понимания истоков оптимального управления.
В. М. Тихомиров

Г л а в а 1

ВВЕДЕНИЕ

§ 1.1. Как возникают экстремальные задачи?

Людям свойственно стремление к лучшему, и если им приходится
выбирать из нескольких возможностей, то желание найти среди них
оптимальную представляется вполне естественным.
Слово «оптимальный» происходит от латинского optimus, что значит — наилучший, совершенный. Для того чтобы найти оптимальную
из возможностей, приходится решать задачи на отыскание максимума или минимума, т. е. наибольших и наименьших значений какихто величин. Оба эти понятия — максимум и минимум — объединяются термином экстремум (от латинского extremum, означающего
«крайнее»). Поэтому задачи на отыскание максимума или минимума
называют экстремальными задачами.
Методы решения и исследования различного рода экстремальных
задач составляют специальные разделы математического анализа. Почти тот же смысл вкладывается в понятие «задача оптимизации»;
в котором более отчетливо прослеживается связь с практическими
применениями математики.
Цель этой книги — познакомить читателя с теорией и приемами
решения экстремальных задач. Но прежде чем переходить к формальному, логически последовательному изложению этой ветви математики,
мы хотим обратиться к прошлому, чтобы лучше понять причины, побуждающие ставить и решать экстремальные задачи в их прикладном
аспекте, т. е. как задачи оптимизации.

Mercatique solum, facti
de nomine Byrsam
Taurino quantum possent
circumdare tergo.
P. Vergilius Maro «Aeneas» 1)

1.1.1. Классическая изопериметрическая задача. Задача Дидоны.
Задачи отыскания наибольших и наименьших величин впервые были поставлены античной наукой. Древнейшей из известных

1) Столько купили земли и дали ей имя Бирса, сколько смогли окружить
бычьей шкурой. (П. Вергилий Марон «Энеида».)

Гл. 1. Введение

экстремальных задач является, пожалуй, классическая изопериметрическая задача. Трудно сказать, когда впервые была высказана мысль
о наибольшей «вместимости» окружности и сферы среди всех замкнутых кривых одной и той же длины или поверхностей одной и той же
площади. Один из последних учеников афинской школы платоников
Симплиций (VI в. н. э.), составивший незадолго до окончательного краха античной цивилизации обширный комментарий к трудам
Аристотеля (IV в. до н. э.), пишет: «Доказано до Аристотеля, ибо он
пользуется этим, как известным, а затем более полно — Архимедом
и Зенодором, что среди изопериметрических фигур наиболее вместимым является круг, а среди изопифанных — шар». В этих словах
обозначена постановка следующих экстремальных задач: среди плоских замкнутых кривых, имеющих заданную длину, найти кривую,
охватывающую наибольшую площадь, и среди пространственных
замкнутых поверхностей, имеющих заданную площадь, найти поверхность, охватывающую наибольший объем. Для философа-платоника такая постановка задачи естественна и связана с поисками
идеальных форм. Недаром круг и шар были в древности символами
геометрического совершенства.
Более прозаическую мотивировку той же изопериметрической зада-
чи и ряда близких к ней задач мы находим, пусть даже в несколько
наивной, но достаточно отчетливой форме в легенде о Дидоне. Напомним ее, следуя «Энеиде» римского поэта Вергилия, две строки которого
приведены выше в качестве эпиграфа.
Финикийская царевна Дидона и с ней небольшой отряд жителей
города Тира, спасаясь от преследований тирана — брата Дидоны,
покинули родной город и в поисках счастья отправились на кораблях
на запад вдоль берегов Средиземного моря. Выбрав на африканском
побережье
(нынешний
Тунисский
залив)
удобное
место,
Дидона
и ее спутники решили основать здесь поселение. По-видимому, эта
идея не вызвала энтузиазма у местных жителей, но все же Дидоне
удалось уговорить их предводителя Ярба, и он неосторожно согласился
уступить Дидоне клочок земли, «который можно окружить бычьей
шкурой».
Не
сразу
понял
простодушный
Ярб
хитрый
замысел
финикиянки. Разрезав шкуру на тонкие полоски, Дидона связала их
в один длинный ремень и окружила им значительную территорию.
На этой территории она заложила город Карфаген 1) . В память об этой
истории карфагенская цитадель получила название Бирса 2) . Все эти
события легенда относит к 825 (или к 814) г. до н. э.
Анализируя ситуацию, мы обнаруживаем несколько возможностей
поставить здесь задачу оптимизации.

1) Финикийское К а р т а д а ш т — новый город.
2) На языке пунийцев (так римляне называли жителей Карфагена) — шкура.
Это название употребляется до сих пор.

1.1. Как возникают экстремальные задачи?
17

А) Требуется указать оптимальную форму участка земли, который
при заданной длине периметра L имеет наибольшую площадь S.
Ясно, что это — та же самая классическая изопериметрическая
задача 1) . Ее решением является круг.

Уп р а ж н е н и е. Считая бычью шкуру прямоугольником 1 м × 2 м и приняв
ширину ремешка равной 2 мм, найдите L и максимальное S.
(Авторам не удалось найти точные размеры Бирсы. Расположенная на высоком (63 м) холме, она вряд ли была особенно большой. Для сравнения —
длина стен Московского Кремля 2235 м.)
Решение
изопериметрической
задачи
заключено
в
следующем
утверждении.
Если спрямляемая кривая длины L ограничивает плоскую фигуру
площади S, то
L2 ⩾ 4πS,
(1)

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда кривая — окружность.
Неравенство (1) называется изопериметрическим; его доказательство можно найти в [21].
Б) Другие постановки задачи получаются, если, как это естественно считать, Дидона хотела сохранить выход к морю. В отличие

A
B

C

S

S
l

Рис. 1

от классической изопериметрической задачи, эти задачи мы будем называть задачами
Дидоны. Для простоты рассмотрим сначала
случай прямолинейного берега (рис. 1).
П е р в а я
з а д а ч а
Д и д о н ы.
Среди
всех дуг длины L, содержащихся в полуплоскости, ограниченной прямой l и с концами A, B ∈ l, найти такую, которая
вместе с отрезком [AB] ограничивает фигуру наибольшей площади S.
Р е ш е н и е. Пусть ACB — произвольная допустимая дуга с концами A, B ∈ l, ограничивающая фигуру площади S (рис. 1). Отразив
ее симметрично относительно l, мы получим замкнутую кривую длины
2L, ограничивающую фигуру площади 2S. Согласно изопериметрическому неравенству
(2L)2 ⩾ 4π2S,
(2)

откуда
S ⩽ L2/(2π).
(3)

1) Еще одна реальная ситуация, приводящая к той же задаче, описана
Л. Н. Толстым в рассказе «Много ли человеку земли нужно». Разбор этого
рассказа с точки зрения геометрии см.: Перельман Я. И. Занимательная геометрия. — М.–Л.: Гостехиздат, 1950. — Гл. 12.

Гл. 1. Введение

экстремальных задач является, пожалуй, классическая изопериметрическая задача. Трудно сказать, когда впервые была высказана мысль
о наибольшей «вместимости» окружности и сферы среди всех замкнутых кривых одной и той же длины или поверхностей одной и той же
площади. Один из последних учеников афинской школы платоников
Симплиций (VI в. н. э.), составивший незадолго до окончательного краха античной цивилизации обширный комментарий к трудам
Аристотеля (IV в. до н. э.), пишет: «Доказано до Аристотеля, ибо он
пользуется этим, как известным, а затем более полно — Архимедом
и Зенодором, что среди изопериметрических фигур наиболее вместимым является круг, а среди изопифанных — шар». В этих словах
обозначена постановка следующих экстремальных задач: среди плоских замкнутых кривых, имеющих заданную длину, найти кривую,
охватывающую наибольшую площадь, и среди пространственных
замкнутых поверхностей, имеющих заданную площадь, найти поверхность, охватывающую наибольший объем. Для философа-платоника такая постановка задачи естественна и связана с поисками
идеальных форм. Недаром круг и шар были в древности символами
геометрического совершенства.
Более прозаическую мотивировку той же изопериметрической задачи и ряда близких к ней задач мы находим, пусть даже в несколько
наивной, но достаточно отчетливой форме в легенде о Дидоне. Напомним ее, следуя «Энеиде» римского поэта Вергилия, две строки которого
приведены выше в качестве эпиграфа.
Финикийская царевна Дидона и с ней небольшой отряд жителей
города Тира, спасаясь от преследований тирана — брата Дидоны,
покинули родной город и в поисках счастья отправились на кораблях
на запад вдоль берегов Средиземного моря. Выбрав на африканском
побережье
(нынешний
Тунисский
залив)
удобное
место,
Дидона
и ее спутники решили основать здесь поселение. По-видимому, эта
идея не вызвала энтузиазма у местных жителей, но все же Дидоне
удалось уговорить их предводителя Ярба, и он неосторожно согласился
уступить Дидоне клочок земли, «который можно окружить бычьей
шкурой».
Не
сразу
понял
простодушный
Ярб
хитрый
замысел
финикиянки. Разрезав шкуру на тонкие полоски, Дидона связала их
в один длинный ремень и окружила им значительную территорию.
На этой территории она заложила город Карфаген 1) . В память об этой
истории карфагенская цитадель получила название Бирса 2) . Все эти
события легенда относит к 825 (или к 814) г. до н. э.
Анализируя ситуацию, мы обнаруживаем несколько возможностей
поставить здесь задачу оптимизации.

1) Финикийское К а р т а д а ш т — новый город.
2) На языке пунийцев (так римляне называли жителей Карфагена) — шкура.
Это название употребляется до сих пор.

1.1. Как возникают экстремальные задачи?
17

А) Требуется указать оптимальную форму участка земли, который
при заданной длине периметра L имеет наибольшую площадь S.
Ясно, что это — та же самая классическая изопериметрическая
задача 1) . Ее решением является круг.

Уп р а ж н е н и е. Считая бычью шкуру прямоугольником 1 м × 2 м и приняв
ширину ремешка равной 2 мм, найдите L и максимальное S.
(Авторам не удалось найти точные размеры Бирсы. Расположенная на высоком (63 м) холме, она вряд ли была особенно большой. Для сравнения —
длина стен Московского Кремля 2235 м.)
Решение
изопериметрической
задачи
заключено
в
следующем
утверждении.
Если спрямляемая кривая длины L ограничивает плоскую фигуру
площади S, то
L2 ⩾ 4πS,
(1)

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда кривая — окружность.
Неравенство (1) называется изопериметрическим; его доказательство можно найти в [21].
Б) Другие постановки задачи получаются, если, как это естественно считать, Дидона хотела сохранить выход к морю. В отличие

A
B

C

S

S
l

Рис. 1

от классической изопериметрической задачи, эти задачи мы будем называть задачами
Дидоны. Для простоты рассмотрим сначала
случай прямолинейного берега (рис. 1).
П е р в а я
з а д а ч а
Д и д о н ы.
Среди
всех дуг длины L, содержащихся в полуплоскости, ограниченной прямой l и с концами A, B ∈ l, найти такую, которая
вместе с отрезком [AB] ограничивает фигуру наибольшей площади S.
Р е ш е н и е. Пусть ACB — произвольная допустимая дуга с концами A, B ∈ l, ограничивающая фигуру площади S (рис. 1). Отразив
ее симметрично относительно l, мы получим замкнутую кривую длины
2L, ограничивающую фигуру площади 2S. Согласно изопериметрическому неравенству
(2L)2 ⩾ 4π2S,
(2)

откуда
S ⩽ L2/(2π).
(3)

1) Еще одна реальная ситуация, приводящая к той же задаче, описана
Л. Н. Толстым в рассказе «Много ли человеку земли нужно». Разбор этого
рассказа с точки зрения геометрии см.: Перельман Я. И. Занимательная геометрия. — М.–Л.: Гостехиздат, 1950. — Гл. 12.