КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ 

В ЭКОНОМИКЕ 

И МЕНЕДЖМЕНТЕ

Москва
ИНФРА-М
2017

УЧЕБНИК

В.А. Малугин
Л.Н. Фадеева

Допущено 
Учебно-методическим объединением по классическому
университетскому образованию в качестве учебника
для студентов высших учебных заведений, обучающихся
по направлению подготовки 38.03.01 «Экономика»

УДК 519.2(075.8)
ББК 22.172я73
 
М18

Малугин В.А.
Количественный анализ в экономике и менеджменте : учеб-
ник / В.А. Малугин,  Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев [и др.]. — М.: ИН-
ФРА-М, 2017. — 615 с. + Доп. материалы [электронный ресурс; 
режим доступа http://www.znanium.com]. — (Высшее образование: 
Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-004832-1 (print)
ISBN 978-5-16-100138-7 (online)

В книге рассмотрены основные разделы математики — как элементарной, 
так и высшей, включая теорию вероятностей и математическую статистику. 
Математический инструментарий затем использован в экономических прило-
жениях (эконометрика, микроэкономика). Полученные знания применены в 
создании моделей экономики и управления и изучении методов их анализа, 
в решении задач по оптимизации.
Материал снабжен большим количеством примеров и иллюстраций, а так-
же задачами для самостоятельного решения. Теоретический и практический 
курс количественного анализа рассчитан на два учебных года.
Для студентов и преподавателей вузов и факультетов экономического про-
филя.
УДК 519.2(075.8)
ББК 22.172я73

М18

О б  а в т о р а х:
Малугин В.А. — кандидат физико-математических наук, доцент;
Фадеева Л.Н. — кандидат физико-математических наук, доцент;
Лебедев А.В. — кандидат физико-математических наук, доцент;
Павлова Л.С. — кандидат экономических наук, доцент;
Слепак Б.Э. — кандидат экономических наук, доцент

Р е ц е н з е н т ы:
Алехин Е.И. — канд. физ.-мат. наук, доцент, зав. кафедрой мате-
матического и информационного анализа экономических процес-
сов ГОУ ВПО «Орловский государственный университет»;
Максимов В.П. — д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры ин-
формационных систем и математических методов в экономике 
Пермского государственного университета

© Коллектив авторов, 2014
ISBN 978-5-16-004832-1 (print)
ISBN 978-5-16-100138-7 (online)

Материалы, отмеченные знаком 
, доступны 
в электронно-библиотечной системе znanium (www.znanium.com)

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Предисловие

Антицитата: «высшая математика убивает 
креативность».

А.А. Фурсенко,
министр образования и науки РФ,  
о преподавании математики в школе  
(РИА «Новости», 12 февр. 2009)

Математический курс с приложениями в экономике и менедж-
менте читается студентам по семестрам последовательно в течение 
двух лет. Он написан преподавателями, ряд лет ведущими занятия по 
соответствующим дисциплинам на отделении экономики и менедж-
мента. По нему старательный студент самостоятельно реально может 
научиться основам количественного анализа. 
Цель, которую ставит перед собой коллектив преподавателей, не 
сводится к тому, чтобы дать студенту сумму знаний. Цель в другом. 
Знания со временем устаревают, технологии меняются. Что же 
остается у студента, когда-то закончившего университет? 
В течение всех лет преподавания в университете идет процесс ин-
теллектуального воспитания и развития студента. Ему прививается 
научный подход к решению проблем экономики и управления. Дости-
гается это на основе материала книги в процессе живого общения на 
лекциях и семинарах. Студент обучается логическому мышлению, при-
менению системного подхода, использованию современных дости-
жений науки в своей деятельности. Кроме того, он начинает понимать, 
как надо учиться, чтобы достичь успеха, и что надо учиться всегда. На-
учный метод, плюс умение логически мыслить, плюс фундаментальные 
знания вооружают его на всю жизнь. В этом мы видим достоинство 
университетского образования в науке экономики и управления.
В последние десятилетия научно обусловленный подход в управ-
лении приобретает все большее значение в жизни людей. Слабое 
руководство предприятием или фирмой приводит к банкротству. Не-
продуманные действия по управлению экономикой регионов и го-
сударств приводят к провалам в экономической политике и пони-
жают жизненный уровень людей. Отсутствие внимания к научным 
достижениям и научно обоснованным прогнозам развития челове-
чества в области экологии, политологии, социологии и т.д. со сто-
роны надгосударственных организаций (ООН, ЕС и др.) приводит к 
развитию «болезней» человечества, лечение которых потом дорого 
будет обходиться потомкам. 

Считается, что «фундаментальность университетской подготовки 
требует знаний не только специальных, но и общих» в сфере бизнеса 
и управления, причем к общим относят язык, физкультуру и мате-
матику. На наш взгляд, изучение математики с ее приложениями в 
области экономики и управления для управленческих специаль-
ностей играет иную, неизмеримо более важную роль.
Научная мысль — это не поток ощущений, эмоций или аморф-
ного сознания, это логическая цепочка рассуждений и вычислений, 
в конце которой, как правило, содержится ответ на поставленный 
вопрос. Умение сформулировать проблему, построить научную мо-
дель развития исследуемого объекта, найти и просчитать решение, 
правильно его интерпретировать — прерогатива высоко научно-об-
разованных людей. Расцвет в большинстве научных отраслей в зна-
чительной степени определяется тем, насколько глубоко математика 
проникла в эти отрасли, насколько серьезно исследователи исполь-
зуют математический аппарат в своей работе. 
Ближе других по роду деятельности к решению проблем бизнеса и 
управления стоят специалисты по политологии, по государственному 
управлению, по менеджменту. Именно они в первую очередь должны 
обладать логическим мышлением, применять научный метод к 
сложным проблемам. Ни одна наука не учит так эффективно умению 
размышлять, из причин выводить следствия, обосновывать свои вы-
воды, как математика. Четкие законы математики исключают рас-
плывчатость, туманность, многозначность суждений. Если хочешь 
научиться логически мыслить, решай задачи по математике. Еще один 
важный аргумент в пользу занятий математикой — известный ответ. 
Если исследователь нашел идею, верно использовал формулы, не 
сделал ошибок в расчетах, он получит правильный ответ. Правиль-
ными ли были его действия при решении проблем в экономике, биз-
несе, управлении и т.д., можно узнать спустя длительное время. 
Каждое неверное решение на рабочем месте — это не только чувство 
неудовлетворенности, это еще и материальные и финансовые потери: 
как минимум — исследователя, как максимум — целого государства. 
Математика не сводится к решению уравнений или нахождению 
интегралов. На математическом языке строятся модели экономи-
ческих, социологических, политологических проблем. Разработаны 
методы их решения. Если аккуратно с учетом основных особен-
ностей построена, например, экономико-математическая модель, 
то, варьируя ее параметры и анализируя решение, можно разобраться 
в том, какие действия следует предпринять для решения реальной 
экономической проблемы. Перед принятием управленческого ре-
шения нужно проиграть ситуацию на модели. 

Данный учебник дает будущему специалисту в области бизнеса и 
управления возможность развить в себе навыки логического мышления 
даже в том случае, если его знания далее четырех действий арифметики 
не распространяются. Познакомившись с основными математичес-
кими идеями и инструментами, он затем научится строить математи-
ческие модели, анализировать их, а следовательно, с большим успехом 
находить правильные решения. Структура книги построена так, что, 
разобравшись с элементарной математикой и познакомившись с 
идеями высшей, будущий специалист выходит на экономико-матема-
тические и управленческие задачи, размещенные во второй части — 
«Количественные методы в экономике и управлении». Одним из ос-
новных разделов здесь является теоретический курс исследования опе-
раций, т.е. применение научного подхода к сложным проблемам, 
возникающим в управлении сообществами людей, совокупностью 
машин, финансовыми потоками. Исследование операций — раздел на 
стыке математики, экономики и управления, предназначенный дать в 
руки менеджеру всю мощь науки для нахождения идей разрешения 
проблем и реализации этих идей наилучшим образом. Исследование 
операций позволяет обосновывать и использовать методы математи-
ческого моделирования различных процессов в экономике, социо-
логии, управлении, психологии, строить экономико-математические 
модели, подвергнув их анализу, выбирать оптимальные решения.
Материал учебника преподносится в доступной форме, отличается 
системным подходом к изложению. Лекции сопровождаются доста-
точно большим количеством задач и упражнений с ответами. Мате-
матическая теория и специально подобранные задачи в одной книге 
позволяют легко сочетать лекции и семинары в процессе обучения. 
Часть задач решена, но большая часть предложена для самостоятель-
ного решения или разбора на семинарских занятиях. Реализованная 
в книге идея объединить математическую и экономическую теорию, 
а также сборник задач и упражнений важна для успешной работы пре-
подавателя и студента в условиях новых стандартов высшего образо-
вания третьего поколения, предполагающих наличие в учебном плане 
как аудиторных часов, обязательно включающих «контактную» часть, 
так и времени на самостоятельную работу. 
Особенностью книги является краткий курс по элементарной ма-
тематике, предваряющий разделы высшей математики. Он позволяет 
школьникам подготовиться к изучению высшей математики, а сту-
дентам — повторить или вновь освоить некоторые разделы школьной 
математики, без которой восприятие высшей невозможно. Книга, 
таким образом, содержит весь математический аппарат, необхо-

димый будущему предпринимателю или менеджеру при получении 
им высшего образования, начиная со школьной алгебры и закан-
чивая теорией оптимизации в управлении.
Значительная часть материала учебника посвящена классическим 
методам теории оптимизации и включает в себя такие важные части, 
как метод Лагранжа, используемый при нахождении условного эк-
стремума, симплекс-метод и др. На этой основе рассматриваются 
важные теоретические экономико-математические оптимизаци-
онные задачи, ориентирующие обучающегося не только на каче-
ственное, но и на количественное обоснование принимаемых ре-
шений по оптимизации. 
Количественный анализ для экономических и управленческих спе-
циальностей — развивающийся предмет. В учебный курс в силу недо-
статочного количества часов не включены многие разделы, полезные 
экономисту и управленцу в их практической деятельности. И тем не 
менее, авторы надеются, что материал, изложенный в книге, будет 
полезен также обучающимся по родственным специальностям:
080105 «Финансы и кредит»;
080111 «Маркетинг»; 
080109 «Бухгалтерский учет и аудит»;
080301 «Коммерция, торговое дело»;
080502 «Экономика и управление на предприятии»;
080504 «Государственное и муниципальное управление»;
080505 «Управление персоналом»;
080507 «Менеджмент организации»;
080700 «Бизнес-информатика»;
080801 «Прикладная информатика в экономике».
Основной единицей деления учебника является раздел, посвя-
щенный, как правило, одной дисциплине. В каждом разделе рас-
сматриваются базовые понятия, без которых не возникает пони-
мания дисциплины в ее целостности. Затем изучается материал, 
менее значимый для самой дисциплины, но существенный для даль-
нейшего изложения количественных методов в экономике и управ-
лении. Все эти разделы в той или иной степени читались учащимся. 
Раздел 1, 2, 3 — Малугин В.А.; раздел 4 — Фадеева Л.Н., Ле-
бедев А.В.; раздел 5 — Фадеева Л.Н. (главы 16–20, 22), Фадеева Л.Н., 
Лебедев А.В. (глава 21); раздел 6 — Малугин В.А. (глава 23); Фа-
деева Л.Н., Лебедев А.В. (глава 24, п. 1, 2, 3); Лебедев А.В. (глава 24, 
п. 4, глава 25); раздел 7 — Малугин В.А. (главы 26, 27, 28, 30, 31); 
 Павлова Л.С., Слепак Б.Э. (глава 29).

Часть I
МатеМатиЧеские основы 
эконоМиЧеского анализа

раздел I
основные Понятия  
элеМентарной МатеМатики

глава 1
арифМетика и алгебра

1.1. оЧерк развития МатеМатики

источники и движущие силы  
зарождения и первых шагов математики
Слово «математика» происходит от греческого mathematike, что 
значит знание, наука. В древности это была наука о числах (арифме-
тика) и наука о формах на плоскости (геометрия). Математические 
знания независимо и параллельно возникали у разных народов.
Как арифметика, так и геометрия выросли из потребностей обы-
денной жизни, были обусловлены запросами хозяйствования, сводив-
шимися к счету предметов, измерению количества продуктов, пло-
щадей земельных участков, определению размеров отдельных частей 
архитектурных сооружений, измерению времени, коммерческим 
расчетам, навигации. Развивающаяся торговля требовала количе-
ственного выражения в торговых операциях. Землемерные работы 
при продаже или покупке земли с возвращением рек в свои русла 
после разливов нуждались в геометрических построениях и вычис-
лениях. 
Другой движущей силой являлось осмысление действительности, 
философские исследования. Они требовали абстрактных логически 
обусловленных построений. Происходила формализация фило-
софских рассуждений. Математические рассуждения отходили от 

конкретных объектов. Исследование абстрактных форм приводило 
к новому математическому знанию, которое затем возвращалось к 
материальной действительности в виде умения решать практические 
задачи. Математика выделилась из науки философии при ее форма-
лизации и соединилась с простым счетом и геометрическими по-
строениями предприимчивых и образованных людей. 
Параллельно с развитием элементов математики проводились 
астрономические исследования. Наблюдения за движением звезд тре-
бовали количественных отношений. Астрономия являлась первой 
научной областью, которая предъявила математике свои особые и 
очень большие требования. Это привело к раннему развитию триго-
нометрии. 
Развитие различных разделов математики в значительной мере 
подогревалось любознательностью образованных представителей 
общества. Математика, осознавшая себя как научное направление, 
начала ставить перед собой задачи, которые, казалось, уже не имели 
непосредственного практического применения. Во времена Пифа-
гора начала развиваться, например, теория чисел. Религиозное ми-
ровоззрение Древнего мира наложило свой отпечаток на эти ростки. 
Числовым соотношениям приписывались магические значения. 
Одни числа считались расположенными к людям, другие несли не-
гативный мистический оттенок, приносили несчастья, их боялись и 
старались не употреблять в счете. 
Наибольшего развития элементы математики достигли в древней 
Греции к VI–V вв. до н. э. В результате накопления достаточно боль-
шого фактического материала, суммирования и осмысления боль-
шого количества разрозненных знаний складывалось понимание 
математики как самостоятельной науки — науки элементарной ма-
тематики, содержащей в себе арифметику, теорию чисел, начала 
геометрии и алгебры. Само слово «алгебра» появилось много позже. 
Основы математической науки закладывались как систематическое 
и логически последовательное построение. 
Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т.д.) 
приводят к появлению названий и обозначений простейших 
дробных чисел и к разработке приемов выполнения арифметических 
действий над дробями. Появились первые математические доказа-
тельства. Математика, как и все научное и художественное твор-
чество, перестала быть безымянной. Она создается теперь из-
вестными по именам математиками, оставившими после себя мате-
матические сочинения. К сожалению, многие из них не дошли до 
нас даже в отрывках. 

геометрия евклида — первая естественно-научная теория
В V–III вв. до н.э. научная жизнь сначала сосредоточивается в 
Афинах, через два столетия после завоеваний Александра Македон-
ского перемещается в Александрию. Нам известны имена первых 
греческих геометров и философов Фалеса Милетского и Пифагора 
Самосского. Значительный вклад в развитие геометрии сделали Ев-
клид и Архимед.
В Афинах, а особенно в Александрии, куда стекались образо-
ванные представители эллинистического общества, где объединя-
лись различные мировые культуры, греческая математика достигла 
своего высшего расцвета. Этому способствовало невиданное ранее 
по своей широте государственное покровительство науке. Алексан-
дрийские библиотеки обладали огромной притягательной силой. 
Наиболее значительным сочинением этого времени из дошедших 
до нас в копиях и комментариях поздних авторов, явилось сочинение 
«Начала» Евклида. Оно не было энциклопедией математических 
знаний своей эпохи, поскольку многие математические достижения 
того времени в нем отсутствовали. Но другие разделы были изложены 
столь подробно и последовательно, что на многие века стали об-
разцом математического учебника, по которому учились студенты, 
которым как справочником пользовались ученые и вообще образо-
ванные люди. «Начала» Евклида посвящены элементарной гео-
метрии, методам нахождения площадей и объемов, теории чисел, 
алгебре и некоторым другим разделам. Евклид подвел итог трехсот-
летнему развитию греческой математики. «Начала» построены по так 
называемой дедуктивной системе. Сначала приводятся определения, 
постулаты и аксиомы, затем теоремы. Постулаты посвящены возмож-
ности выполнения некоторых геометрических построений, аксиомы 
вводят некоторые предложения, касающиеся свойств отношений ра-
венства и неравенства между величинами. Первый постулат, на-
пример, утверждает, что «от всякой точки до всякой точки можно 
провести прямую линию», а первая аксиома говорит: «Равные одному 
и тому же равны между собой». Затем формулируются теоремы, одна 
из которых — теорема Пифагора. Приводятся их доказательства, ко-
торые служат образцом научной строгости. Метод изложения мате-
риала, основательность и строгость в изложении привели к тому, что 
геометрия Евклида признана первой естественно-научной теорией.

основные этапы развития математики
После александрийской эпохи расцвета, увлеченности самых ши-
роких слоев образованного общества математикой продолжался рост 

объема научных знаний в этой области. Однако математическая 
наука уже не достигала прежней цельности и глубины, оставаясь 
уделом отдельных ученых. Последующие столетия были эпохой воз-
растающего влияния религии в жизни общества. Вера и научное 
знание сталкивались. Ученых преследовала инквизиция. Боролись 
между собой научные школы. Например, неясно было, как строить 
фигуры циркулем и линейкой, если существуют несоизмеримые от-
резки. В связи с этим еще в III в. до н. э. Аристотелем был наложен 
запрет на применение арифметики к геометрии. Только открытие 
иррациональных чисел позволило разобраться в этой проблеме.
Центр развития наук, в том числе и математики, переместился на 
Восток. В Индии в V–XII вв. развитие математики привело к со-
зданию десятичной системы счисления, к употреблению нуля для 
обозначения отсутствия единиц данного разряда. Была создана ал-
гебра, оперирующая не только дробями, но и иррациональными и 
отрицательными числами.
В Средней Азии и на Ближнем Востоке арабские завоевания, объ-
единение огромных территорий под властью арабских халифов при-
вели к тому, что в течение IX—XV вв. ученые Средней Азии, Ближ-
него Востока и Пиренейского п-ова пользовались арабским языком. 
Наука здесь развивается в мировых торговых городах и при государ-
ственной поддержке. В первой половине IX в. арабский математик 
Хорезми впервые дал изложение алгебры как самостоятельной 
науки. Термин «алгебра» происходит от начала названия сочинения 
Хорезми «Аль-джебр», по которому европейские математики раннего 
Средневековья познакомились, например, с решением квадратных 
уравнений. В связи с астрономическими и геодезическими работами 
большое развитие получила тригонометрия. Выходец из Сирии Алъ-
Баттани ввел в употребление первые тригонометрические функции 
синус и тангенс. Блестящим завершением этой эпохи явилась в XV в. 
деятельность Улугбека, который при своем дворе и обсерватории в 
Самарканде собрал более 100 ученых и организовал долго оставав-
шиеся непревзойденными астрономические наблюдения, вычис-
ление математических таблиц и т.д.

Математический анализ —  
качественный скачок в развитии
С XVII в. начинается новый период развития математики. Центр 
развития наук опять перемещается в Европу. Поворотным пунктом 
в математике была введенная Р. Декартом переменная величина. Ко-
личественные отношения стали рассматриваться в процессе их из-