Усредненные функции грина уравнения Шредингрера со случайным потенциалом

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ 

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 

Ф И З И К А 
Том 28, № 3 
сентябрь, 1976 

УСРЕДНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 
СО СЛУЧАЙНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ 

В. М. Четвериков 

Получены уравнения для одно- и двухчастичных усредненных функций Грина уравнения Шредингера со случайным гауссовым потенциалом. Рассмотрение ведется с помощью метода континуального интегри- 
\ 
рования, позволяющего легко проследить аналогии с соответствующими 
уравнениями и диаграммами в теории поля. 

1. ВВЕДЕНИЕ 

Возможность применения одного и того же математического формализма к совершенно разным физическим задачам давно уже стала привычной, 
хотя и не перестает удивлять. Целью данной статьи является еще одна иллюстрация этого факта на примере усредненных функций Грина уравнения Шредингера со случайным гауссовским потенциалом: 

(1) 
\ih — + , 
*A-V(x,t) 
]G(x,t;x0,T)=m(x-x0)8(t-x), 

L dt 
2m 
J 

G(x, t; x0, т)=0 
при t<%; Ш\ 
x*Rn\ 

<V(x, t)>=v(x, t); <(V(xu tj-vfa, 
tt)) (V(x2, t2)-v(x2, 
t2))> = 

= / l ( * i , t2, #i, X2) . 

Скобки < .» . > означают усреднение по некоторому случайному процессу, 
от которого зависит V(x, t). 

Нас будут в основном интересовать две усредненные функции Грина 
<G(x, t; х0, 0)> и <G(xu t{; x0, 0)G*(x2, t2; x0', 0)>, для которых мы получим уравнения и в некоторых простейших случаях проведем вычисления 
с помощью фейнмановских интегралов по траекториям. Подобная математическая задача возникает в теории сильно легированных полупроводников, в электронной теории аморфных полупроводников и жидких металлов, в электронной теории вещества с большими максвелловскими временами релаксации [1, 2], а также при рассмотрении прохождения коротковолнового излучения через статистически неоднородную среду [3, 4]. 

Использование метода континуального интегрирования [4] позволяет, 
во-первых, проследить связь получаемых уравнений с аналогичными 
уравнениями (Дайсона, Бете — Солпитера) и фейнмановскими диаграммами в теории поля, а во-вторых, обсудить некоторые вопросы теории 
фейнмановских интегралов по траекториям с неаддитивным действием [5]. 

359