Курс физики с примерами решения задач. «Физика конденсированного состояния»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 

высшего профессионального образования
Национальный исследовательский

«Томский политехнический университет»

С.И. Кузнецов
Н.А. Тимченко

Курс физики с примерами решения 

задач

ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО

СОСТОЯНИЯ

Учебное пособие

Томск 2011

УДК 53(075.8)
ББК 22.3я73

Кузнецов С. И., Тимченко Н.А.

Курс физики с примерами решения задач. «Физика 

конденсированного состояния»: учебное пособие. – Томск: 
Изд-во Томского политехнического университета, 2011. – 47 с.

В учебном пособии рассмотрены основные законы, связанные с 

физикой конденсированного состояния вещества. Разобраны общие 
приемы решения задач с подробным анализом и методикой их решения. 
Приведены задачи для самостоятельных внеаудиторных занятий.

Пособие подготовлено на кафедре общей физики ТПУ, соответствует 

программе курса физики высших технических учебных заведений и 
направлено на активизацию научного мышления и познавательной 
деятельности студентов.

Предназначено 
для 
межвузовского 
использования 
студентами 

технических специальностей.

УДК 53(075.8)

ББК 22.3я73

Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом

Томского политехнического университета

Рецензенты

Доктор физико-математических наук, профессор ТГУ

А.В. Шаповалов

Доктор физико-математических наук, профессор ТГПУ

А.Г. Парфенов

© Томский политехнический университет, 2011

© Оформление. Издательство ТПУ, 2011

© С.И. Кузнецов, Н.А. Тимченко, 2011

К 891

ВВЕДЕНИЕ

Курс физики в высших технических учебных заведениях 

охватывает все важнейшие разделы классической и современной 
физики. Выпускник технического университета обязан владеть одной из 
основных фундаментальных дисциплин – физикой, твердо усвоить 
принципы и подходы естественных наук, обеспечившие, особенно в 
последнее 
время, 
невиданный 
технический прогресс 
и резкое 

сокращение сроков между научными открытиями и их внедрением в 
жизнь.

Задачей общей физики является, не 
вдаваясь глубоко в 

подробности рассматриваемых теорий и не увлекаясь математикой, дать 
общее представление о физической картине мира, установить 
действующие в нем законы, изучить основные методы физических 
исследований и обозначить области применения этих законов и 
методов.

Цель книги – помочь студентам освоить материал программы, 

научиться активно применять теоретические основы физики как 
рабочий 
аппарат, 
позволяющий 
решать 
конкретные 
задачи 
и 

приобрести уверенность в самостоятельной работе.

Содержание теоретического материала охватывает все темы раздела 

«Физика конденсированного состояния», изучаемые в технических вузах, 
при этом:

 учитываются 
наиболее 
важные 
достижения 
в 
развитии 

современной науки и техники;

 уделяется большое внимание физике различных явлений природы;
 анализируются решения большого количества физических задач, 

связанных с повышением ресурсоэффекутивности. 

 приводятся задачи для самостоятельного решения и ответы к ним.
Подготовлено на кафедре общей физики ТПУ и соответствует 

программе курса физики высших технических учебных заведений.

Предназначено для межвузовского использования студентами 

технических специальностей, изучающими курс физики по очной и 
дистанционной программам образования в течение трех семестров.

Наиболее 
полно 
материал 
курса 
изложен 
на 
сайте 

http://portal.tpu.ru/SHARED/s/SMIT, в Web
course
tools
ТПУ и в 

электронном читальном зале НТБ ТПУ http://www.lib.tpu.ru.

Авторы с благодарностью примут все замечания и пожелания 

читателей, способствующие улучшению курса по адресу smit@tpu.ru.

Заставить человека думать – это значит сделать 
для него значительно больше, чем снабдить его 
определенным количеством инструкций.

Чарльз Бэббидж

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

1. 
Внимательно 
прочитайте 
условия 
задачи. 
Сделайте 

сокращенную запись данных и искомых физических величин, 
предварительно представив их в интернациональной системе единиц 
(СИ). 

СИ состоит из основных, дополнительных и производных единиц. 

Основными единицами являются: единица длины – метр (м); массы –
килограммы (кг); времени – секунда (с); силы электрического тока –
ампер 
(А); 
термодинамической 
температуры
–
кельвин 
(К); 

количества вещества – моль (моль); силы света – кандела (кд). 

Дополнительные единицы: единица плоского угла – радиан (рад); 

единица телесного угла – стерадиан (ср). 

Производные единицы устанавливаются через другие единицы 

данной системы на основании физических законов, выражающих 
взаимосвязь между  соответствующими величинами. 

В условиях и при решении задач часто используются множители и 

приставки СИ для образования десятичных и дольных единиц (см. 
Приложение).

2. Вникните в смысл задачи. Представьте физическое явление, о 

котором идет речь; введите упрощающие предположения, которые
можно сделать при решении. Для этого необходимо использовать такие 
абстракции, как материальная точка, абсолютно твердое тело, луч света. 

3. Если позволяет условие задачи, выполните схематический чертеж.
4. С помощью физических законов установите количественные 

связи между заданными и искомыми величинами, то есть составьте 
замкнутую систему уравнений, в которой число уравнений равнялось 
бы числу неизвестных.

5. Найдите решение полученной системы уравнений в виде 

алгоритма, отвечающего на вопрос задачи.

6.
Проверьте правильность полученного решения, используя 

правило размерностей. 

7. Подставьте в полученную формулу численные значения 

физических величин и проведете вычисления. Обратите внимание на 
точность численного ответа, которая не может быть больше точности 
исходных величин. 

ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Молярная внутренняя энергия химически простых (состоящих из 

одинаковых атомов) твердых тел в классической теории теплоемкости 
выражается формулой:

RT
U
3
μ 
,

где R
–
молярная газовая постоянная; T
–
термодинамическая 

температура.

Теплоемкость 
C
системы 
(тела) 
при 
постоянном 
объеме 

определяется как производная от внутренней энергии U по температуре, 
т.е.:

T
U
C
d
/
d

.

Закон Дюлонга и Пти. Молярная теплоемкость 
μ
C
химически 

простых твердых тел:

R
C
3
μ 
.

Закон 
Неймана-Коппа. 
Молярная 
теплоемкость 
химически 

сложных тел (состоящих из различных атомов):

R
n
C
3
μ 
,

где n – общее число частиц в химической формуле соединения.

Среднее 
значение 
энергии 

 E
квантового 
осциллятора, 

приходящейся на одну степень свободы, в квантовой теории Эйнштейна 
выражается формулой:

1
)]
/(
ω
exp[

ω

0





kT
E
E



,

где 
0
E
– нулевая энергия (
ω
2
/
1
0


E
);  – постоянная Планка; ω –

круговая частота колебаний осциллятора; k – постоянная Больцмана; T –
термодинамическая температура.

Молярная внутренняя энергия кристалла в квантовой теории 

теплоемкости Эйнштейна определяется по формуле:

1
)
/
θ
exp(

θ
3

E

E

0



T
R
U
U


,

где 
E
μ
θ
2
/
3

0
R
U

–
молярная нулевая энергия по Эйнштейну; 

k
/
ω
θE


– характеристическая температура Эйнштейна.

Молярная 
теплоемкость 
кристалла 
в 
квантовой 
теории 

теплоемкости Эйнштейна при низких температурах (
E
θ

T
):

)
/
θ
exp(
)
/
θ
(
3
E
E
μ
T
T
R
C


.

Частотный спектр колебаний в квантовой теории теплоемкости 

Дебая задается функцией распределения частот 
)
ω
(
g
. Число dZ

собственных частот тела, приходящихся на интервал частот от ω до 

ω
d
ω
, определяется выражением:

ν
d
)
ω
(
d
g
Z 
.

Для трехмерного кристалла, содержащего N атомов,

ω
d
ω

ω

d
2

3
max

gN
Z 
,

где 
max
ω
– максимальная частота, ограничивающая спектр колебаний.

Энергия U твердого тела связана со средней энергией 

 E

квантового осциллятора и функцией распределения частот 
)
ω
(
g

соотношением:






max
ω

0

ω
d
)
ω
(
g
E
U
.

Молярная внутренняя энергия кристалла по Дебаю















T

x
x
x
T
RT
U
U

/
θ

0

3
3

D

μ
μ

D

0
d
1
)
exp(
θ
3
3
,

где 
D
μ
θ
8
/
9

0
R
U

– молярная нулевая энергия кристалла по Дебаю; 

max
D
ω
θ


–
характеристическая 
температура 
Дебая, 
max
ω
–

наибольшая частота колебаний.

Молярная теплоемкость кристалла по Дебаю, при низких 

температурах (
D
θ

T
):

3

D

3

μ
θ
5
π
12











T
R
C
,

при решении задач 
D
θ

T
, если 
1,0
θ
/
D 
T
.

Теплоемкость электронного газа:

F

2

μ
θ
2
π

э

T
ZR
C

,

где 
k
EF

F
θ

– характеристическая температура Ферми.

Фонон –
квазичастица, являющаяся квантом поля колебаний 

кристаллической решетки.

Энергия фонона E:

D
θ
k
E 
.

Квазиимпульс фонона

.λ
/
π
2 

p

Скорость фонона является групповой скоростью звуковых волн в 

кристалле

p
E
u
d
/
d

.

При малых значениях энергии фонона дисперсией волн можно 

пренебречь и тогда групповая и фазовая скорости совпадут:

p
E
u
/
υ 

.

Скорости продольных (
lυ ) и поперечных (
τ
υ ) волн в кристалле 

определяются по формулам:

ρ
/
υ
E
l 
,         
ρ
/
υτ
G

,

где E и G – модули соответственно продольной и поперечной 
упругости.

Усредненное значение скорости звука υ
связано с 
lυ
и 
τ
υ

соотношением

3
3
τ

3
υ
1

υ
2

υ
3

l



.

Закон Фурье. Количество теплоты dQ, перенесенное через 

поверхность площадью S, перпендикулярную направлению теплового 
потока, за время dt, равно:

t
S
x
T
Q
d
)
d
/
d
(
λ
d


,

где λ – теплопроводность; dT/dx – градиент температуры. Знак минус в 
формуле 
показывает, 
что 
направление 
теплового 
потока 

противоположно вектору градиента температуры.

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА 

ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Электроны в металле (по квантовой статистике)

Распределение 
Ферми-Дирака
по 
энергиям 
для 
свободных 

электронов в металле:

1
)]
/(
)
exp[(

1
)
(

F

D



kT
E
E
E
f

i

,

где Ei – энергия электронов; 
F
E – уровень (или энергия) Ферми.

Распределение Бозе–Эйнштейна:

1
)]
/(
)
exp[(

1
)
(

F

E



kT
E
E
E
f

i

.

Уровень Ферми в металле при Т = 0

3
/
2
2

2

F
)
π
3
(
2
n
m
E


.

Температура вырождения T :

3
/
2

2
π
2
n
km
T


.

Полупроводники

Удельное сопротивление собственных полупроводников:

enb
1
ρ 
,

где е – заряд электрона; n – концентрация носителей заряда (электронов 
и дырок); b – подвижность носителей заряда.

Удельная проводимость собственных полупроводников:

)
(
γ
p
n
b
b
en


,

где bn и bp – подвижности электронов и дырок.

Зависимость электропроводности полупроводника от температуры

)
2
/
Δ
exp(
σ
σ
0
kT
E


.

Напряжение
H
U
на гранях образца при эффекте Холла:

BJl
R
U
H
H 
,

где 
H
R
– постоянная Холла; В – индукция магнитного поля; l – ширина 

пластины; J – плотность тока.

Постоянная Холла для полупроводников тип алмаза, кремния, 

германия и др., обладающих носителями заряда одного вида (n и p),

en
R
1

8
π
3

H 
,

где n – концентрация носителей заряда.

КРИСТАЛЛОГРАФИЯ

Молярный объем кристалла:

ρ
/
μ
M
V 
,

где М – молярная масса вещества; ρ – плотность кристалла.

Объем V элементарной ячейки в кристаллах:
а) при кубической сингонии 
3
a
V 
;

б) при гексагональной сингонии 
2
/
3
2c
a
V 
. Здесь а и с –

параметры решетки.

Если для гексагональной решетки принять теоретическое значение:

a
c
3
/
8

,     то     
3
2a
V 
.

Число элементарных ячеек в одном моле кристалла

V
V
Z
/
μ
μ 
,   или   
n
kN
Z
A /
μ 
,

где k – число одинаковых атомов в химической формуле соединения
(например, в кристалле AgBr число одинаковых атомов Ag или Br в 
химической формуле соединения равно единице); NА – постоянная 
Авогадро; 
n
–
число 
одинаковых 
атомов, 
приходящихся 
на 

элементарную ячейку. На рисунке 1 представлена структура NaCl: 
аналогичную структуру имеют соединения KBr, AgBr, MnO и др.

Рисунок 1

Число Z элементарных ячеек в единице объема кристалла:

μ
μ /V
Z
Z 
,

или в общем случае

M
N

n
k
Z
A
ρ

;

для кристалла, состоящего из одинаковых атомов (k = 1),

nM
N
Z
A
ρ

.

Параметр а кубической решетки:

3
)
ρ
/(
A
N
k
nM
a 
.

Расстояние d между соседними атомами в кубической решетке:
а) в гранецентричной 
2
/
a
d 
;

б) в объемно-центрированной 
2
/
3a
d 
.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ

«Электромагнитные свойства твердых тел»

1. Кусок металла V = 20 см3 находится при температуре Т = 0. 

Определить число 
N
Δ
свободных электронов, импульсы которых 

отличаются от максимального импульса pmax не более чем на 0,1pmax. 
Энергия Ферми 
эВ
5
F 
E
.

Решение. Для того чтобы установить распределение свободных 

электронов в металле по импульсам, воспользуемся распределением 
Ферми для свободных электронов при Т = 0:

E
E
m
E
n
d
2

π
2
1
)
(
d
2
/
1

2
/
3

2
2








.
(1)

Так как 
)
(
d
E
n
есть число электронов в единице объема, энергии 

которых заключены в интервале значений от Е до E + dE (E < EF), то оно 
должно быть равно числу электронов dn(p) в единице объема, 
заключенных в интервале значений импульса от p до p + dp, т.е. 
заключенных в интервале значений импульса от p до p + dp, т.е.

)
(
d
)
(
d
E
n
p
n

.
(2)

При этом должно соблюдаться следующее условие. Данной энергии Е
соответствует определенный импульс 
))
2
/(
(
2
m
p
E
p

и интервалу 

энергии dE отвечает, соответствующий ему интервал импульсов dp






p
m
p
E
d
d
. Заметив, что 
2
/
1
2
/
1
)
2
/( m
p
E

, подставим в правую часть 

равенства (2) вместо dn(E) выражение (1) с заменой Е0 на р и dE на dp в 
соответствии с полученными соотношениями, т.е.

p
m
p

m
p
m
p
n
d

)
2
(

2

π
2
1
)
(
d
2
/
1

2
/
3

2
2








.

После сокращений получим искомое распределение свободных 
электронов в металле по импульсам при Т = 0:

p
p
p
n
d

π

1
)
(
d
2

3
2


.

Число электронов в единице объема, импульсы которых заключены 

в интервале от pmax – 0,1pmax до pmax, найдем интегрированием в 
соответствующих пределах:

]
)
9,0
(
1[

π
3

1
d

π

1
Δ
3
3
max
3
2

9,0

2

3
2

max

max





p
p
p
n

p

p



,  или  
2

3
max

2
π
3
271
,0
Δ


p
n 
.