Обработка результатов многократных измерений. Проверка соответствия эксперементального распределения нормальному (гауссову) распределению по статистическому критерию Пирсона (хи-квадрат)

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКАЯ  ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ 

ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

МГАВТ

Шклярова Е. И.

«ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО 

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НОРМАЛЬНОМУ (ГАУССОВУ) РАСПРЕДЕЛЕНИЮ 

ПО СТАТИСТИЧЕСКОМУ КРИТЕРИЮ ПИРСОНА (КРИТЕРИЮ СОГЛАСИЯ χ2)»

Альтаир – МГАВТ

Москва 

2010

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКАЯ  ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ 

ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

Шклярова Е. И.

«ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО 

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НОРМАЛЬНОМУ (ГАУССОВУ) РАСПРЕДЕЛЕНИЮ 

ПО СТАТИСТИЧЕСКОМУ КРИТЕРИЮ ПИРСОНА (КРИТЕРИЮ СОГЛАСИЯ χ2)»

Методические рекомендации для выполнения

лабораторных работ

Альтаир – МГАВТ

Москва 

2010

Учебно-практическое издание

Шклярова Е. И.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО 

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НОРМАЛЬНОМУ (ГАУССОВУ) РАСПРЕДЕЛЕНИЮ 

ПО СТАТИСТИЧЕСКОМУ КРИТЕРИЮ ПИРСОНА (КРИТЕРИЮ СОГЛАСИЯ χ2.

Методические рекомендации

для выполнения лабораторных работ

Компьютерная верстка: Шершакова И.В.

Подписано в печать__.__.2010
Формат 60x90/16. Объем 1 п.л.

Заказ № ___ Тираж. 
экз.

Альтаир — МГАВТ

Московская государственная академия водного транспорта

117105 г. Москва,  Новоданиловская наб., д.2, корп.1

Шклярова Е.И. «Обработка результатов многократных измерений. Провер
ка соответствия экспериментального распределения нормальному (гауссову) 
распределению по статистическому критерию Пирсона (хи-квадрат)». Методические 
указания по выполнению лабораторной работы. М.: Альтаир-МГАВТ. 2010 г. 12 с.

Методические указания по выполнению лабораторной работы относятся к 

дисциплине «Метрология, стандартизация и сертификация». Лабораторная работа 
посвящена обработке результатов многократных динамическим методом проводится экспериментальная проверка соответствия распределения результатов 
измерений нормальному (гауссову) распределению, которое часто встречается на 
практике. Студенты осваивают современный метод измерений, учатся рассчитывать моменты распределения, пользоваться статистическими таблицами и проверять статические гипотезы. Содержание лабораторной работы соответствует 
требованиям Государственного образовательного стандарта.

Методические указания предназначены для студентов, изучающих дисцип
лину «Метрология, стандартизация и сертификация».

Специальности 180101, 18103, 180403, 190602, 190701, 270104.
Рецензент: доктор технических наук, профессор В.И. Толшин.
Рассмотрено и рекомендовано к изданию на заседании кафедры судострое
ния и судоремонта  (протокол № 1 от 28.09.2010).

Рекомендовано к изданию Учебно-методическим советом МГАВТ.

Ответственность за оформление и содержание передаваемых в печать ма
териалов несут авторы и кафедры академии, выпускающие учебно-методические 
материалы.

© МГАВТ, 2010
©  Шклярова Е.И. 2010

СОДЕРЖАНИЕ

1. ОЦЕНКА ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОКРАТ
НЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ПО СТАТИСТИЧЕСКОМУ КРИТЕРИЮ ПИРСОНА 

(КРИТЕРИЮ СОГЛАСИЯ χ2)
.
.
.
.
.
.
.
.
4

2. ПРИЛОЖЕНИЕ
.
.
.
.
.
.
.
.
.         .         10

3. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
.
.
.
.
.
.
.
.        12

ОЦЕНКА ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ 

ПО СТАТИСТИЧЕСКОМУ КРИТЕРИЮ ПИРСОНА 

(КРИТЕРИЮ СОГЛАСИЯ χ2)

1.
Цель работы.

Практическое применение критерия согласия Пирсона χ2 (хи-квадрат) для проверки статистиче
ской гипотезы о нормальном (гауссовом) распределении случайной погрешности при многократных 
измерениях твѐрдости в динамическом режиме (так называемой «твѐрдости по отскоку») на приборе 
ТЭМП-3 «твѐрдомер электронный малогабаритный переносной программируемый). Анализируемый 
образец – сталь 20ХНГ, алюминиевый сплав или стекло.

2.
Основные сведения.

Знания реального закона распределения измеряемых величин необходимы, поскольку числовые 

значения вероятностных характеристик могут существенно различаться при различных законах 
распределения. 

Для прямых многократных равноточных измерений при большом числе наблюдений (
) для 

оценки близости распределения экспериментальных результатов измерений (либо случайных погрешностей измерений) к принятой аналитической модели закона распределения используют критерий 
согласия. На практике наибольшее распространение получил критерий Пирсона (критерий согласия 
«хи-квадрат»). Предварительно строят эмпирический закон распределения измеряемой величины 
(гистограмму). Затем необходимо построить соответствующую ему модель теоретического закона 
распределения (в настоящей работе – нормальное, или, Гауссово распределение), после чего сопоставляют эмпирическую модель и известный теоретический закон распределения. ы

Для нормального закона распределения (закона Гаусса) функция плотности распределения веро
ятности имеет вид:

где 
и 
– параметры распределения;

– аргумент функции, случайная величина.

При переносе начала координат в точку начала отсчета величины 
уравнение кривой нормально
го распределения случайной величины 
имеет вид:

Нормальный закон (закон Гаусса) распределения случайных погрешностей измерения описывает
ся формулой:

где 
- отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины;

- среднеквадратическое отклонение (СКО); 
.

Вероятность попадания результата наблюдения в заданный интервал 
равна:

В метрологии для определения вероятности попадания результатов наблюдения в некоторый ин
тервал применяется так называемая нормированная функция Лапласа:

Функция Лапласа табулирована (см. Табл. 1 Приложения).

Вероятность попадания результата наблюдения 
в интервал:

При рассмотрении этой формулы следует учитывать:

Закон распределения Гаусса однозначно характеризуется указанием двух параметров – математи
ческого ожидания и среднеквадратического отклонения (либо дисперсия 
) На практике имеют 

дело с ограниченным числом наблюдений, т.е. имеют дело с выборкой из генеральной совокупности. 
Оценку точности измерений проводят по ограниченному (иногда довольно большому) числу наблюдений и в результате получают одно число. Это называется точечной оценкой.

Выборка – ряд значений, принимаемых случайной величиной в ограниченном числе n независи
мых опытов. Оцениваются математическое ожидание и СКО функции распределения (функции для 
оценок имеют различный вид в зависимости от закона распределения плотности вероятности)

Оценка математического ожидания результатов наблюдений:

Оценка СКО случайной погрешности:

Определяют число интервалов группирования m вариационного ряда и строят таблицу, в которой 

приводится веничина интервалов, количество значений измеряемой величины («попаданий») в том 
или ином интервале и статистические частоты 
. Затем находят теоретические вероятности попада
ния величины x в каждый из интервалов 
. Если теоретический закон распределения –

нормальный закон распределения (закон Гаусса), то теоретическая вероятность в данном интервале:

Используют таблицы функции Лапласа 
(Приложение, Таблица 1). Математическое ожидание 

при расчѐте заменяется средним арифметическим значением, а 
– среднестатистическим средне
квадратическим отклонением 
(СКО).

В качестве меры расхождения между теоретическими вероятностями и статистическими частота
ми критерий «хи-квадрат» предусматривает использование величины:

где 
и 
- экспериментальное и теоретическое значения частот в -ом интервале разбиения;

- число интервалов;

- значение вероятности в -ом интервале разбиения, соответствующее выбранной теоретической 

модели распределения.

При большом числе измерений n закон распределения величины 
практически не зависит от ви
да функции распределения измеряемой величины, а зависит от числа интервалов m. При неограниченном увеличении n закон близок к распределению хи-квадрат с числом степеней свободы k. Число 
степеней свободы k распределения хи-квадрат: 
где 

- число интервалов;

- число независимых параметров распределения. 

Для нормального закона распределения 
, т.к. закон Гаусса однозначно характеризуется ука
занием двух параметров – математического ожидания и среднеквадратического отклонения СКО.

χ2 (хи-квадрат) – мера суммарного отклонения между моделью и экспериментальным распределе
нием случайной величины.

Если вычисленная по экспериментальным данным мера расхождения χ2 меньше или равна таблич
ному значения 
, то гипотеза о совпадении экспериментального и теоретического (в 

частности, гауссова) распределения принимается. Это означает, что с определѐнной вероятностью 
гипотеза не противоречит экспериментальным данным. Эта вероятность связана с величиной q, так 
называемым уровнем значимости. Вероятность того, что 
мала; обычно 
.

3.
Порядок работы. Методика расчета.

В качестве исходных данных в настоящей практической работе приводится набор результатов 

экспериментальных наблюдений (
), распределѐнных в порядке возрастания по так называемым 

интервалам группирования (m – число интервалов группирования), и число 
- число «попаданий» в 

каждый интервал значений величины x.

Задача состоит в расчѐте по экспериментальным данным величины 
и в сравнении полученно
го значения 
с табличным значением 
при выбранном уровне значимости 
и числе

степеней свободы k. В общем случае, 
, где 
- число интервалов; 
для гауссова 

распределения (по выборке оцениваются два параметра: 
). Следует сделать вывод о совпадении 

(либо несовпадении) распределения случайной величины с нормальным распределением (распределением Гаусса) при выбранном уровне значимости q.

Полученные значения 
результатов многократных наблюдений располагаются в вариационный 

ряд в порядке возрастания. Далее при 
все значения разбивают на определенное число интерва
лов m (при 
число интервалов m обычно 7 или 9). Приводится число «попаданий» 
значения 

твѐрдости в каждый интервал группирования.

По этим данным оценивают математическое ожидание (так называемое выборочное среднее)

где 
– координата центра -го интервала.

Выборочная дисперсия 
(квадрат СКО) рассчитывается по формуле:

В прикладной статистике для упрощения расчѐта выборочной дисперсии 
используется форму
ла:

При использовании значений 
(
– координата середины -го интервала группирования) и

(число попаданий в -ый интервал при общем числе интервалов 
) выборочная дисперсия 

рассчитывается по формуле:

Таким образом получают точечные оценки выборочного среднего и выборочной дисперсии (квад
рат СКО).

По экспериментальным данным составляют две таблицы по образцу, приведенному ниже.
После заполнения Таблицы 1 рассчитывают выборочное среднее 
(10) и выборочную дисперсию 

(13), Находят точечную оценку СКО: 
.

Далее заполняют Таблицу 2 по форме, приведѐнной ниже. Значения нормированной функции 

нормального распределения (функции Лапласа) в графе 6 выбирают из Таблицы 1 Приложения с 
учѐтом соотношения (7).

При вычислении вероятности 
следует иметь в виду, что левая граница первого интервала и пра
вая граница последнего должны совпадать и границами области возможных значений случайной 
величины. При нормальном (гауссовом) распределении значений случайной величины первый интервал простирается до 
, последний до 
. (Следует исправить координаты границ интервалов в 

графе 4 Таблицы 2).

Для вычисления 
рассчитывают сумму значений в графе (9) Таблицы 2 и сравнивают 
с 

(табличное значение), предварительно задаваясь уровнем значимости
(См. Таблица 2 

Приложение).

Заключение. После сравнения значений 
с 
делают вывод о соответствии (либо несоответ
ствии) закона распределения погрешностей при измерении твѐрдости в данном опыте нормальному 
закону распределения – закону Гаусса.

Таблица 1

Данные для расчѐта параметров распределения для экспериментально

определѐнных значений твѐрдости в динамическом режиме измерения.

№
п/п

Границы интервалов 
значений твѐрдости, 

H, у.е.

Число попа
даний 

Координата
центра интервала 

1
2
3
4
5
6
7