Министерство образования и науки Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
Т. П. ПУШКАРËВА 
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ  ОСНОВЫ  
ЖИВОПИСИ  И  АРХИТЕКТУРЫ 
 
 
 
Рекомендовано УМО РАЕ по классическому универ-
ситетскому и техническому образованию в качестве 
учебно-методического 
пособия 
для 
студентов  
высших учебных заведений, обучающихся по на-
правлению подготовки 261400.62 «Технология худо-
жественной 
обработки 
материалов» 
(протокол   
 
№ 464  от  18.06.2014 г.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Красноярск 
СФУ 
2014 

УДК 51:[75+72] (07) 
ББК 22.1я73+85.1я73 
П912 
 
 
Рецензенты: 
Н.А. Незговорова, член Союза художников России,  
доц. каф. «Материаловедение и технология обработки материалов» СФУ; 
А.М. Синичкин, канд. техн.наук,  
доц. каф. «Материаловедение и технология обработки материалов» СФУ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Пушкарëва, Т.П. 
П912 
 
Математические основы живописи и архитектуры: учеб.-
метод. пособие / Т. П. Пушкарёва. – Красноярск: Сиб. федер. 
ун-т, 2014. – 92 с. 
 
 
ISBN 978-5-7638-3092-7 
 
 
 
В пособии рассмотрено применение математических фигур и расчетов в 
живописи и архитектуре, а также в теории цвета. Приведены примеры, спо-
собствующие усвоению теоретического материала.  
Предназначено для студентов классических и технических вузов худо-
жественного направления. Может быть полезно студентам при изучении 
курсов «Композиция» и «Дизайн», а также преподавателям художественных 
дисциплин. 
 
 
 
 
 
Электронный вариант издания см.: 
http://catalog.sfu-kras.ru 
 

УДК 51:[75+72] (07) 
ББК 22.1я73+85.1я73 

 
 
ISBN 978-5-7638-3092-7 
© Сибирский федеральный университет, 2014 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение ............................................................................................................... 4 

§ 1. Математическое изобразительное  искусство ........................................... 6 

§ 2. Аксонометрия ............................................................................................. 12 

§ 3. Виды перспективы ..................................................................................... 23 

§ 4. Золотое сечение .......................................................................................... 33 

§ 5. Модулор Ле Корбюзье ............................................................................... 45 

§ 6. Симметрия и асимметрия .......................................................................... 51 

§ 7. Конструктивизм .......................................................................................... 59 

§ 8. Математика в науке о цвете ...................................................................... 65 

§ 9. Масштабность ............................................................................................. 85 

Заключение ........................................................................................................ 89 

Библиографический список .............................................................................. 90 
 

Введение 

Согласно современным взглядам математика и изобразительное 
искусство – очень удаленные друг от друга дисциплины, поскольку 
первая из них – аналитическая, вторая – эмоциональная. Математика 
не играет очевидной роли в современном искусстве, однако у боль-
шинства художников она находится в центре внимания.   
Своеобразным «скелетом живописи», ее конструктивной осно-
вой является рисунок. Он играет важнейшую роль в определении 
очертаний предметов, их форм, объемов и взаимного расположения в 
пространстве, т.е. именно в нем заложены геометрические законы 
живописи. 
Своеобразие геометрии, выделяющее ее из других разделов ма-
тематики, заключается в неразрывном, органическом соединении жи-
вого воображения со строгой логикой. По своей сущности геомет-
рия – это пространственное воображение, пронизанное и организо-
ванное строгой логикой. В ней всегда присутствуют эти два нераз-
рывно связанных элемента: наглядная картина и точная формулиров-
ка, строгий логический вывод. 
Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, 
строгая логика – привилегия математики.  
Еще одним фундаментальным понятием математики, которое 
имеет прямое отношение к природе и искусству, является симметрия. 
Художники разных эпох использовали симметричное построе-
ние картины. Симметричными были многие древние мозаики. Живо-
писцы эпохи Возрождения часто строили свои композиции по зако-
нам симметрии. Такое построение позволяло достигнуть впечатления 
покоя, величественности, особой торжественности и значимости со-
бытий.  
Бордюры в архитектурных и скульптурных произведениях, ор-
наменты в прикладном искусстве – все это примеры использования 
симметрии. 
Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокрови-
щами: теоремой Пифагора и золотым сечением.  
Как следствие многочисленных применений золотого сечения в 
геометрии и  искусстве в эпоху Возрождения появилась книга «Боже-
ственная пропорция», а сам термин был введен Леонардо да Винчи в 
XV веке. Пропорция золотого сечения лежит в основе многих творе-
ний Фидия, Тициана, Рафаэля и других. 

В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно 
среди художников, скульпторов и архитекторов. В большинстве жи-
вописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в от-
ношении золотой пропорции, а при выборе размеров картин стара-
лись, чтобы отношение ширины к высоте тоже равнялось золотой 
пропорции. 
Настоящее искусство имеет свою теорию. Иногда эту теорию 
можно выразить в терминах математики, так как она тесно связана 
практически со всеми разновидностями современного искусства и ис-
кусства древних времен. 

§ 1. Математическое изобразительное  
искусство 

В математическом изобразительном искусстве наиболее часто 
используют многогранники, тесселяции, ленты Мебиуса, невозмож-
ные фигуры, фракталы и искаженные перспективы. Отдельные рабо-
ты могут включать в себя одновременно несколько перечисленных 
фигур и объектов. 
Многогранник – это трехмерное тело, гранями которого являют-
ся многоугольники. Существует всего пять правильных многогранни-
ков, у которых все стороны являются правильными многоугольника-
ми и все вершины одинаковы. Они известны как многоугольники 
Платона, или Платоновы тела (рис. 1).  

 
Рис. 1. Платоновы тела: а – тетраэдр; б – куб; в – октаэдр;  
г – икосаэдр; д – додекаэдр 

Существует 13 выпуклых многогранников, гранями которых яв-
ляются один, два или три правильных многоугольника и у которых 
все вершины одинаковы. Они известны как тела Архимеда (рис. 2).  

Рис. 2. Архимедовы тела: а – усеченный тетраэдр; б – кубооктаэдр; 
в – усеченный куб; г – усеченный икосаэдр; д – усеченный додекаэдр; 
е – усеченный кубооктаэдр; ж – усеченный октаэдр;  
з – усеченный икосододекаэдр; и – ромбокубооктаэдр; к – дважды усеченный 
куб (курносый куб); л – икосододекаэдр; м – ромбоикосододекаэдр;  
н – дважды усеченный додекаэдр (курносый додекаэдр) 

Кроме этого, существует бесконечное множество призм и анти-
призм с гранями в виде правильных многоугольников. Антипризма – 
полуправильный многогранник, у которого две параллельные грани 
(основания) – равные между собой правильные n-угольники, а ос-
тальные 2n граней (боковые грани) – правильные треугольники 
(рис. 3). 
Кроме правильных и полуправильных многогранников красивые 
формы имеют звездчатые многогранники. Правильные звездчатые 
многогранники получаются из правильных многогранников путем 

продолжения их граней и ребер. Их всего четыре, и называются они 
телами Кеплера – Пуансо (рис. 4). 

 
Рис. 3. Антипризмы 

 
Рис. 4. Тела Кеплера–Пуансо 

Тесселяции, известные также как покрытие плоскости плитками 
(tiling), являются коллекциями фигур, которые покрывают всю мате-
матическую плоскость, совмещаясь друг с другом без наложений и 
пробелов. Правильные тесселяции состоят из фигур в виде правиль-
ных многоугольников, при совмещении которых все углы имеют оди-
наковую форму. Существует всего три многоугольника, пригодных 
для использования в правильных тесселяциях. Это  правильный тре-
угольник, квадрат и правильный шестиугольник (рис. 5).  

 
Рис. 5. Правильные тесселяции 

Полуправильными тесселяциями называют такие тесселяции, в 
которых использованы правильные многоугольники двух или трех 
типов и все вершины одинаковы (рис. 6).  

Рис. 6. Полуправильные тесселяции 

Существует всего 8 полуправильных тесселяций. Вместе три 
правильных тесселяции и восемь полуправильных носят название 
Архимедовых. 

 
Рис. 7. Невозможные фигуры 

 
Рис. 8.  Ленты Мебиуса 

Невозможные фигуры – это фигуры, изображенные в перспек-
тиве таким способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фи-
гурой. Однако при более внимательном рассмотрении зритель пони-
мает, что такая фигура не может существовать в трехмерном про-
странстве (рис. 7).  
Лента Мебиуса – это трехмерный объект, имеющий только одну 
сторону. Такая лента может быть легко получена из полоски бумаги, 
если перекрутить один из концов полоски, а затем склеить оба конца 
друг с другом (рис. 8). 
Необычные системы перспективы, содержащие две или три ис-
чезающие точки, также являются излюбленной темой многих худож-
ников. К ним также относится родственная область – анаморфное ис-
кусство. Слово анаморфный (anamorthic) состоит из двух греческих 
слов «ana» (снова) и «morthe» (форма). К анаморфным относятся изо-
бражения, настолько сильно искаженные, что разобрать их без специ-
ального зеркала бывает невозможно. Если смотреть в анаморфоскоп, 
то изображение «формируется снова» в узнаваемую картину. 

 
Рис. 9. Фракталы 

Фрактал – это объект, повторяющий сам себя в различных мас-
штабах, которые связаны математическим способом. Фракталы фор-
мируются итерационно, многократно повторяя вычисления так, что 
получается объект высокой сложности с множеством мелких деталей 
(рис. 9). 

Вопросы для самоконтроля 

1. Какие фигуры и объекты наиболее часто используются в ма-
тематическом изобразительном искусстве? 
2. Что такое многогранник?