Основы физики конденсированного состояния

Ю.В. ПЕТРОВ

ОСНОВЫ ФИЗИКИ 
КОНДЕНСИРОВАННОГО  
СОСТОЯНИЯ

ФИЗТЕХОВСКИЙ УЧЕБНИК

Ю.В. Петров
Основы физики конденсированного состояния: Учебное пособие /
Ю.В. Петров  – Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект»,
2013. – 216 с.

Учебное пособие нового поколения отличается в первую очередь тем, что в
нем рассматривается конденсированное состояние вещества как в упорядоченном, так и в неупорядоченном состоянии. Наряду со строгими количественными соотношениями большое место уделено приближенным оценкам физических величин, характерных для физики конденсированного состояния.
Рассмотрены такие новые состояния конденсированного вещества, как графен
и его производные, а также горячее плотное вещество, возникающее при взаимодействии ультракоротких фемтосекундных лазерных импульсов с твердыми
телами.
В книге обсуждаются многие темы, ранее не получавшие необходимого внимания в учебной литературе. Это и аномальные зависимости плотности от температуры для ряда веществ, и зонная структура жидкостей и аморфных тел, и
новые квантовые эффекты.
Для студентов и преподавателей физических, химических и материаловедческих факультетов, научных работников и инженеровисследователей.

      © 2013, Ю.В. Петров
       © 2013, ООО «Издательский Дом
«Интеллект», оригиналмакет,
оформление

ISBN 9785915591102

ISBN 9785915591102

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

1.1. Порядок величин в атомной физике . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2. Характерные величины в молекулярной физике . . . . . . . .
12
1.3. Типы связи атомов в конденсированном состоянии. . . . . .
15
1.4. Характерный порядок величин в физике конденсированного
состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.5. Кристаллическое и аморфное состояния твердого тела, жидкости, жидкие кристаллы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22

Глава 2. Кристаллы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28

2.1. Кристаллическое состояние твердого тела . . . . . . . . . . . .
28
2.2. Обратная решетка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.3. Дифракция волн на кристаллической решетке . . . . . . . . .
37

Глава 3. Динамика кристаллической решетки . . . . . . . . . .
40

3.1. Колебания кристаллической решетки . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.2. Квантование колебаний решетки. Фононы . . . . . . . . . . .
48
3.3. Термодинамика колебаний решетки . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.4. Уравнение состояния Ми–Грюнайзена . . . . . . . . . . . . . .
71

Глава 4. Электроны в конденсированных веществах. . . . . .
78

4.1. Энергетические зоны электронов в конденсированных веществах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
4.2. Приближение сильной связи для электронов в кристалле .
85
4.3. Эффективная масса электрона . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89

Оглавление

4.4. Mеталлы и диэлектрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.5. Электронный газ в металле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
4.6. Термодинамика электронного газа . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
4.7. Собственные полупроводники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
4.8. Примесные полупроводники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
4.9. Конденсированное вещество, возникающее при действии
ультракоротких лазерных импульсов на металлы . . . . . . .
116

Глава 5. Кинетические эффекты в конденсированных
средах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120

5.1. Электропроводность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
5.2. Теплопроводность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134

Глава 6. Сверхпроводимость и сверхтекучесть . . . . . . . . . .
139

6.1. Сверхпроводимость. Основные свойства сверхпроводников
139
6.2. Куперовское спаривание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
6.3. Токовое состояние сверхпроводника . . . . . . . . . . . . . . . .
147
6.4. Сверхпроводники в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . .
148
6.5. Сверхпроводники I и II рода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
6.6. Туннельные эффекты в сверхпроводниках . . . . . . . . . . .
156
6.7. Сверхтекучесть . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159

Глава 7. Магнитные явления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162

7.1. Эффект Холла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
7.2. Спиновый парамагнетизм и диамагнетизм ионов в металле
165
7.3. Ферромагнетизм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
7.4. Спиновые волны в ферромагнетике . . . . . . . . . . . . . . . .
175

Глава 8. Низкоразмерные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
178

8.1. Квантовый эффект Холла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
178
8.2. Трехмерные кристаллические полиморфные модификации
углерода: графит и алмаз . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
8.3. Энергетический спектр электронов в графене в приближении сильной связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188
8.4. Квантование Ландау в графене . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
8.5. Целочисленный квантовый эффект Холла в графене . . . .
200
8.6. Углеродные нанотрубки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203

Г Л А В А
1

ВВЕДЕНИЕ

1.1.
ПОРЯДОК ВЕЛИЧИН В АТОМНОЙ ФИЗИКЕ

В физике конденсированного состояния рассматриваются
связанные состояния макроскопически большого числа атомов и молекул. В свою очередь атомы представляют собой связанные состояния
ядер и электронов. Из всех электронов, количество которых в атоме
может быть достаточно большим, достигая сотни, наибольший интерес
для образования связанных состояний представляют внешние, валентные электроны. Именно взаимодействие валентных электронов с соседними атомами приводит к образованию связей в конденсированной среде. Для того, чтобы такая связь образовалась, электрону должно быть
достаточно «уютно» не только около своего атома, но и около соседнего.
А значит, для этого расстояние до соседнего атома должно быть порядка расстояния от валентного электрона атома до ядра этого атома, т. е.
порядка размера атома. Характерные размеры атомов можно оценить,
исходя из того, что их внешние электроны находятся в условиях притяжения к эффективному заряду, примерно равному +e. Действительно,
если нейтральный атом содержит Z электронов, то заряд его ядра, равный +Ze, для одного внешнего электронами экранируется остальными
(Z − 1) электронами, и эффективный заряд, в поле которого находится
этот внешний электрон, составляет +Ze − (Z − 1)e = +e. Приближенно
считая взаимодействие внешнего электрона с эффективным зарядом
кулоновским, мы получаем водородоподобную систему. Ее характерные
величины могут быть оценены уже в рамках боровского приближения.
Считая, что электрон массы m в атоме водорода движется со скоростью v по круговой орбите радиуса r, а центростремительной силой

Гл. 1. Введение

является кулоновская сила взаимодействия между электроном и ядром, получаем mv2/r = e2/r2 (далее мы везде используем систему СГС).
Учитывая же дуализм волна-частица для микроскопических частиц и
рассматривая движение электрона по окружности как распространение
волны де Бройля, получаем необходимое условие стационарности состояния: на длине окружности должно укладываться целое число n длин
волн де Бройля λ = h/(mv), т. е.

2πr = nλ = n2πℏ

mv .

Это условие можно записать в виде

rp = Lz = nℏ,

где p, Lz — соответственно импульс (p = mv) и проекция момента импульса электрона на нормаль к плоскости круговой орбиты. Оно означает квантование проекция момента импульса и в сочетании с написанным выше классическим уравнением движения электрона дает

v = e2

ℏ
1
n
и

r = ℏ2

me2 n2.

Подставляя эти значения в выражение энергии электрона

ε = mv2

2
− e2

r ,

получаем уровни энергии электрона в атоме водорода

εn = −me4

ℏ2
1

2n2 .

Состояние с минимальной энергией (основное состояние) соответствует
n = 1. Введем величины: боровский радиус

aB = ℏ2

me2 ∼= 0,529
◦A,

атомную единицу скорости

vat = e2

ℏ
∼= 2190 км/с,

атомную единицу энергии

εat = me4

ℏ2 ∼= 27,2 эВ.

1.1. Порядок величин в атомной физике
7

Эти величины задают характерные масштабы длин (aB ∼
◦A), скоростей
(vat) и энергии (εat ∼ эВ) в атомах. Атомная скорость, отнесенная к
скорости света, составляет

vat
c = e2

ℏc.

Безразмерная величина

α = e2

ℏc
∼=
1

137

называется постоянной тонкой структуры. Так как α ≪ 1, то v/c = α ≪ 1.
Это оправдывает использованное в приведенной боровской модели
нерелятивистское приближение. Через постоянную тонкой структуры выражаются безразмерные величины квантовой электродинамики.
Например, отношение другой характерной для электрона длины —
комптоновской — к боровскому радиусу составляет

¯λ
aB = ℏ

mc : ℏ2

me2 = e2

ℏc = α.

Еще одной характерной длиной для электрона является так называемый классический радиус rc, характерный размер шара, имеющего
заряд электрона, при котором электростатическая энергия сравнивается
с энергией покоя электрона: e2/rc = mc2. Отсюда

rc =
e2

mc2 ,

а его отношение к комптоновской длине

rc
¯λc =
e2

mc2 : ℏ

mc = e2

ℏc = α,

и иерархия характерных электронных длин такова:

aB : ¯λc : rc = 1 : α : α2.

Величина атомной энергии εat по отношению к энергии покоя электрона
составляет
εat
mc2 = me4

ℏ2 : mc2 =
e4

ℏ2c2 = α2.

Атомную единицу энергии можно представить различными способами
как

εat = me4

ℏ2 = e2

aB =
ℏ2

ma2
B
= α2mc2 = 27,2 эВ.

Гл. 1. Введение

Масштабы длины, энергии, скорости определяют соответственно характерные масштабы других величин в атоме. Характерное атомное
время можно определить как время, за которое электрон со скоростью
vat = αc совершает один оборот по окружности, длина которой соответственно ∼ aB:

tat = aB

vat = aB

αc = ℏ2

me2 : e2

ℏ = ℏ3

me4 ∼= 2,4 · 10−17 с.

Таким образом, на временах, меньших, чем tat невозможно говорить о
связанном состоянии внешних электронов в атоме.
Найдем характерное значение ускорения электрона в атоме. Очевидно,

aat = vat

tat = e2

ℏ : ℏ3

me4 = me6

ℏ4 ∼= 9,12 · 1022 м/с2.

Соответственно перегрузка по отношению к ускорению свободного падения в поле силы тяжести на поверхности Земли g достигает значения
aat/g ∼= 1022. Определим характерную величину атомного давления как
отношение величины кулоновской силы e2/a2
B к атомной площади ∼ a2
B:

pat = e2

a2
B
: a2
B = e2

a4
B
= εat

a3
B
= m4e10

ℏ8
∼= 294 Мбар.

Это определяет и соответствующий порядок величины внешнего давления, могущего повлиять на внешние оболочки атомов. Он приближается к миллиону атмосфер. Найдем характерные величины внутренних
электрического и магнитного полей в атоме. Атомную напряженность
электрического поля Eat найдем как напряженность электрического заряда e на расстоянии aB:

Eat = e

a2
B
= m2e5

ℏ4
= (e2/aB)/e

aB
∼= 27,2 В

aB
∼= 5,1 · 1011 В/м.

Для нахождения характерного значения индукции магнитного поля в
атоме Bat можно воспользоваться уравнением Максвелла

rot B = 4π

c j.

Оценка для плотности электрического тока j дает j ∼ enatvat, где
nat ∼ a−3
B
— характерная электронная концентрация в атоме, так что

j ∼ e

a3
B
αc.

Величину rot B оценим как Bat/aB. Тогда

Bat
aB ∼ 1

c · e

a3
B
αc,

1.1. Порядок величин в атомной физике
9

откуда находим

Bat = α e

a2
B
= αEat ∼= 12,4 Тл.

Это достаточно большое поле, относимое к так называемым мегагауссовым полям. Энергия взаимодействия такого поля с магнитным моментом, равным магнетону Бора

µB =
eℏ
2mc = 1

2e¯λc,

составляет

ε = µBBat = 1

2e¯λcα e

a2
B
= α

2
¯λc
aB
e2

aB = α2

2 εat

и является характерной величиной спин-орбитального расщепления
атомных термов, интервалов их тонкой структуры.
Представляет также интерес порядок величины внешнего магнитного поля, которое может влиять на внешние оболочки атомов. Для
того, чтобы это произошло, сила Лоренца, действующая на электрон
во внешнем магнитном поле B∗, равная

FL = e

cvatB∗ = eαB∗,

должна быть порядка электростатической силы Fe = e2/a2
B.
Из условия FL = Fe получаем

B∗ =
e

αa2
B
= Bat

α2 ∼= 2,4 · 105 Тл.

Такие большие магнитные поля существуют только на астрофизических
объектах, в частности, нейтронных звездах.
Приведенные характерные величины в атоме соответствуют внешним электронам атома. Для самых внутренних электронов можно также получить достаточно строгие оценки соответствующих им величин,
особенно в случае атомов с достаточно большими значениями зарядового числа ядра Z. Уже для урана с периодами полураспада изотопов 235U,
равным 7,1 · 108 лет и 238U, составляющим 4,5 · 109 лет и поэтому относящегося к практически стабильному элементу, заряд ядра имеет
большую величину Z = 92. Еще большие величины заряда ядра имеют нестабильные искусственно получаемые трансурановые элементы.
В 2012 г. учеными из японского физического центра RIKEN получены
надежные данные о синтезе элемента с порядковым номером Z = 113
при облучении мишени из висмута ионами цинка. Время жизни ядра
нового элемента составляло порядка 4 мс. В том же 2012 г. элементы 114 и 116 Периодической системы элементов получили официаль

Гл. 1. Введение

ные названия соответственно «флеровий» (Flerovium) и «ливерморий»
(Livermorium).
Внутренние 1s-электроны фактически находятся в поле действия
голого ядра с зарядом Ze. Действительно, внешние электроны могут
рассматриваться как сферическая оболочка, которая не создает внутри
себя электрического поля. Для каждого из двух 1s-электронов учет
экранирования поля ядра другим 1s-электроном при большом Z мало
меняет эффективный заряд ядра, поэтому для 1s-электронов опять приближенно справедлива одноэлектронная боровская модель, но только в
качестве заряда ядра фигурирует не +e, а +Ze. Соответственно потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром становится равной
U(r) = −Ze2/r, и мы видим, что характерные величины для внутренних
электронов достаточно тяжелых атомов получаются из характерных величин атома водорода просто заменой e2 → Ze2. Например, отношение
характерной скорости 1s-электрона к скорости света составляет

v
c = Ze2

ℏc = Zα

и при достаточно большом Z может быть близко к 1 (если учесть, что Z
может достигать сотни). Это означает, что внутренние электроны в
достаточно тяжелых атомах являются релятивистскими, и приведенные
для нерелятивистских электронов оценки в случае больших Z требуют
уточнения, например для энергии 1s-электронов.
Такая оценка с учетом релятивизма электронов может быть сделана опять же в боровском приближении. Полная энергия электрона,
включающая энергию покоя, кинетическую энергию и потенциальную
энергию взаимодействия его с ядром, может быть записана в виде

ε(p, r) =
p2c2 + m2c4 − Ze2

r .
(1.1.1)

Рассматривая основное состояние электрона, напишем боровское условие квантования rp = ℏ, из которого r = ℏ/p, и энергия электрона может быть записана как функция только его импульса:

ε(p) =
p2c2 + m2c4 − Ze2p

ℏ .
(1.1.2)

Введя величину x = p/(mc) и постоянную тонкой структуры, получим:

ε(x) = mc21 + x2 − Zαx
.
(1.1.3)

Вычисляя производную энергии по x и приравнивая ее к нулю для
основного состояния, получаем

ε′(x) = mc2
x
p

1 + x2 − Zα
= 0.
(1.1.4)

1.1. Порядок величин в атомной физике
11

Отсюда находим, что минимум энергии достигается при

x = x0 =
Zα
p

1 − (Zα)2 .
(1.1.5)

Подставляя x = x0 в выражение для энергии (1.1.3), получаем энергию
основного состояния (энергию 1s-электрона):

ε0 = ε(x0) = mc2
1 +
(Zα)2

1 − (Zα)2 −
Zα
p

1 − (Zα)2

= mc21 − (Zα)2.

(1.1.6)
Это выражение совпадает с тем, которое получается при решении уравнения Дирака для электрона в кулоновском поле.
Энергия связи (энергия ионизации) электрона в основном состоянии
составляет
εi = mc2 − ε0 = mc21 −
1 − (Zα)2 .
(1.1.7)

Радиус электронной орбиты как функция x может быть написан в виде

r = ℏ

p =
ℏ

mcx = ¯λC

x
(1.1.8)

(¯λC = ℏ/(mc) — комптоновская длина волны электрона). Радиус орбиты
в основном состоянии

r0 = ¯λC

x0 = ¯λC

Zα

1 − (Zα)2 = aB

Z

1 − (Zα)2.
(1.1.9)

Импульс p электрона в основном состоянии

p = mcx0 = mc
Zα
p

1 − (Zα)2 =
mv
p

1 − (v/c)2 = mc
v/c
p

1 − (v/c)2 .
(1.1.10)

Отсюда получаем для релятивистского электрона v/c = Zα, аналогично
соотношению в нерелятивистском случае. При Z, не слишком больших
по сравнению с 1, энергия ионизации в релятивистском случае

ε0 = mc21 −
1 − (Zα)2 ∼= mc21 −
1 − 1

2(Zα)2= Z2 α2mc2

2
= Z2 εat

2
(1.1.11)

совпадает с нерелятивистским выражением. Если при малых Z энергия
ионизации мала по сравнению с энергией покоя электрона, то при Z
около ста она приближается к mc2. По энергии ионизации (1.1.7) можно
определить красную границу фотоэффекта на внутренних электронах.

Гл. 1. Введение

Из условия, что энергия фотона εγ = 2πℏc/λ длины волны λ должна
превышать энергию ионизации, получаем

2πℏc

λ
≥ mc21 −
1 − (Zα)2 .
(1.1.12)

Отсюда получаем ограничение на длину волны света

λ ≤ 2πℏ

mс
1

1 −
p

1 − (Zα)2 .
(1.1.13)

Для длины волны красной границы λ2 внутреннего электрона, таким
образом, получаем

λ ≤
λC

1 −
p

1 − (Zα)2 = λr.
(1.1.14)

Здесь комптоновская длина волны электрона λC = 2πℏ

mc = 2π¯λC = 2παaB.

И в выражение (1.1.6) для энергии, и в выражение (1.1.9) для радиуса орбиты входит
1 − (Zα)2. Это вносит ограничение

1 − (Zα)2 ≥ 0,

откуда следует

Z ≤ 1

α
∼= 137.

Это условие ограничивает сверху заряд ядра электродинамических атомов с точечным ядром.

1.2.
ХАРАКТЕРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
В МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ

Конденсация вещества из газовой фазы происходит образованием связанных состояний либо из атомов, если газовая фаза имеет
атомарный характер (примером может служить конденсация инертных
газов, паров металлов), либо из молекул в случае молекулярных газов,
таких как двухатомные газы водорода, азота, кислорода, многоатомные
пары воды, метана. Даже в случае одноатомных газов их конденсация
протекает через стадию образования молекул (кластеров). Связь атомов в молекулах осуществляется внешними электронами, которые для
образования связи должны находиться примерно на одинаковых расстояниях как от ядра своего атома, так и от ядер соседних атомов. При
размере области локализации электрона a (расстоянию между атомами