Репетитор по физике : электромагнетизм, колебания и волны, оптика, элементы теории относительности, физика атома и атомного ядра : задачи и методы их решения


Абитуриент

И. Л. Касаткина





                РЕПЕТИТОР ПО ФИЗИКЕ




ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ОПТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ Под ред. Т. В. Шкилъ Издание четырнадцатое, переработанное и дополненное

Ростов-на-Дону «Феникс» 2014

УДК 373.167.1:53
ББК 22.3я72
КТК 444
     К 38



   Рекомендовано Министерством общего и профессионального образования Ростовской области в качестве учебного пособия для студентов и учащихся общеобразовательных учреждений общего и профессионального образования
   Рецензент:
     профессор П. Н. Тищенко
   Консультанты:
     генерал-майор Ю. А. Гордеев,
     доктор технических наук В. В. Хуторцев






      Касаткина И. Л.
К 38 Репетитор по физике : электромагнетизм, колебания и волны, оптика, элементы теории относительности, физика атома и атомного ядра : задачи и методы их решения / И.Л. Касаткина ; под ред. Т.В. Шкиль. — Изд. 14-е, перераб. и доп. — Ростов н/Д : Феникс, 2014. — 844, [1] с. : ил. — (Абитуриент).
      ISBN 978-5-222-21751-1

         В пособии даны методические указания к решению задач по физике, изучаемой в 7—10-х классах средней школы и на младших курсах вузов. Рассмотрено решение множества задач как средней, так и повышенной трудности. Предложено большое количество задач для самостоятельного решения.
         Пособие незаменимо в процессе учебы, при подготовке к контрольным работам, государственному централизованному тестированию и экзаменам. Оно окажет большую помощь старшеклассникам и студентам в течение всего учебного процесса, а также всем, кто занимается самообразованием и сдает экзамены экстерном.

УДК 373.167.1:53
ISBN 978-5-222-21751-1                     ББК 22.3я72


                     © Касаткина И.Л., 2013
                     © Оформление, ООО «Феникс», 2013

ЭЛЕКТРОСТАТИКА


Советы: как начать решать задачи и какие законы применить.
Кратко повторим теорию


1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗАРЯДОВ. ЗАКОН КУЛОНА


   Решение задач о взаимодействии двух или более точечных зарядов чаще всего основывается на применении закона Кулона.
   Закон Кулона: сила взаимодействия двух покоящихся точечных электрических зарядов прямо пропорциональна произведению модулей этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Эта сила направлена вдоль прямой, соединяющей заряды. Ее величина зависит от диэлектрических свойств среды, в которой заряды взаимодействуют:
F = ь Ы Ы .
е г²

   Поскольку h = —-— , то в рационализованном виде
                  4пго


F = Ы Ы .                        (1.1)
4пеое г²
   Здесь F - сила взаимодействия только точечных зарядов или заряженных равномерно шаров, k = 9 • 10⁹ Н • м²/Кл², |q₁| и |q₂| -модули зарядов, е₀ = 8,85 • 10⁻¹² Кл²/Н • м²(или ф/м) - электриче
ская постоянная, е - относительная диэлектрическая проницаемость среды, в которой взаимодействуют заряды q₁ и q₂ (евакуума = = 1, евоздуха ~ 1). Относительную диэлектрическую проницаемость других веществ можно найти в соответствующих таблицах.
   Примечание. Формулу закона Кулона мы записываем так:

j._ₕM ........................... _ „
г = к —— , подразумевая под q₁ и q₂ модули зарядов.
   Если при взаимодействии зарядов между ними устанавливается равновесие или возникает движение зарядов, то к закону Кулона можно добавить законы механики. Если заряды (заряженные тела) покоятся или движутся равномерно, то применяем первый закон Ньютона, а если они движутся с ускорением, то второй. Если при взаимодействии заряженных тел между ними происходит перераспределение зарядов, то к закону Кулона добавляем закон сохранения зарядов, согласно которому общий заряд системы не меняется при любых перераспределениях зарядов внутри системы. При этом следует учитывать знаки зарядов. Одноименные заряды

отталкиваются, а разноименные притягиваются.
   Решать задачи на применение закона Кулона к системе точечных зарядов можно в следующем порядке:
   а)    выполнить крупный рисунок, на котором обозначить все заряды системы и изобразить векторы приложенных к ним сил, обозначив каждую силу буквой с индексом, соответствующим индексу заряда; при этом следует знать, что силами тяжести элект

3

ронов (за редким исключением) можно пренебречь, так как они несравненно меньше кулоновских сил взаимодействия этих частиц;
   б)    если заряд находится в равновесии, то все силы, приложенные к нему, должны быть скомпенсированы, поэтому можно выбрать направление, на которое спроецировать все эти силы и их алгебраическую сумму приравнять нулю или модули антинаправ-ленных сил приравнять друг другу;
   в)    записать систему уравнений, соответствующих условию равновесия, и решить ее относительно искомой величины. Непременно проверить единицу измерения, переведя все единицы в одну систему, желательно в СИ. Правда, в целях экономии бумаги мы такую проверку делали только в сложных случаях, но вам советуем делать это всегда.
   При решении задач мы везде записывали закон Кулона в рационализованном виде.
   Внимание! Обозначая заряды q₁ и q₂, мы не ставили возле них вертикальные черточки, имея в виду, что q₁ и q₂ - только модули зарядов, а знаки их мы учитывали при выборе направления действующих на заряды электрических сил. Если вы тоже не будете ставить эти черточки, то непременно уточните, что q₁ и q₂ - модули зарядов, иначе могут посчитать их отсутствие за ошибку. Правда, во многих учебниках и учебных пособиях эти черточки в записи закона Кулона отсутствуют. Но ведь их авторам экзамены не сдавать.
   Если в условии задачи ничего не сказано о среде, в которой взаимодействуют заряды, значит, этой средой является вакуум или воздух и ее относительную диэлектрическую проницаемость можно считать равной единице.
   Закон Кулона в записи, приведенной выше, справедлив также применительно к заряженным телам сферической формы. В этом случае г - расстояние между их центрами (рис. 1-1, а).
   Если в условии вашей задачи говорится о расстоянии I между поверхностями шаров или расстоянии от точечного заряда до поверхности шара (рис. 1-1), то в формуле закона Кулона г = I + R₁ + + R₂ (см. рис. 1-1, а) или г = R + I (рис. 1-1, б).

а>         Рис. 1-1             б)

   Если на данный, заряд q действует N точечных зарядов q₁, q₂, q₃, ..., qN, то сила F , с которой все они вместе действуют на заряд q, по принципу суперпозиции равна векторной сумме сил, действующих на заряд q со стороны каждого заряда в отдельности:
F = Fi + F2 + F3 + ... + Fn .
   Для нахождения равнодействующей силы F в каждом конкретном случае нужно показать все силы, приложенные к заряду q со стороны каждого заряда в отдельности, с учетом знаков взаимодействующих зарядов. При этом вектор каждой силы должен быть направлен вдоль прямой, проходящей через заряд q, и заряд, со стороны которого эта сила действует на заряд q. Показав каждую силу, действующую на заряд q со стороны каждого отдельного заряда, можно произвести векторное сложение сил, пользу

4

ясь правилами сложения векторов (обычно правилом параллелограмма сил). Если заряд q и действующие на него заряды q₁, q₂, q₃, ..., qN находятся на одной прямой, то для определения величины силы F, действующей на заряд q, достаточно произвести алгебраическое сложение сил F₁, F₂, F₃, ..., FN с учетом их направления (т. е. с учетом знаков перед ними). Если же силы F₁, F₂, F₃, ... FN, приложенные к заряду q, действуют под углом друг к другу, то для определения величины равнодействующей силы F придется пользоваться соответствующими формулами тригонометрии, теоремой Пифагора или теоремой косинусов.
   Количество нескомпенсированных элементарных зарядов N (протонов или электронов) на теле можно определить, разделив весь заряд тела q на элементарный заряд (заряд электрона или протона): N = —, где е = 1,6 • 10 ¹⁹ Кл - элементарный заряд, посколь-е
ку любой электрический заряд на теле всегда является кратным элементарному заряду е (заряду электрона или протона). Напомним, что заряд электрона отрицательный, а протона - положительный, но по модулю они друг другу равны. Поэтому любой заряд q можно представить в виде произведения числа элементарных зарядов N, содержащихся в нем, и величины элементарного заряда е:
   q = Ne, где N = 1, 2, 3, ... - целое число.
   Если число электронов в проводнике больше, чем число протонов в ядрах атомов этого проводника, то проводник несет избыточный отрицательный заряд, а если наоборот, то положительный.
   Если два одинаковых по форме и размерам проводника, заряженных одинаковыми по модулю, но разноименными зарядами, привести в соприкосновение, то алгебраическая сумма их зарядов станет равна нулю, так как разноименные заряды нейтрализуют друг друга, и проводники окажутся незаряженными. Когда говорят «одинаковые проводники», то имеют в виду, что они имеют одинаковые размеры и форму, а также находятся в одной и той же среде. Если один из таких проводников заряжен зарядом q и приведен в соприкосновение с другим незаряженным проводником, то в результате соприкосновения заряд q распределится поровну между ними, т. е. на каждом таком проводнике окажется заряд q/2.
   Если на одинаковых проводниках были разные заряды q₁ и q₂, то после соприкосновения они перераспределятся так, что заряды проводников станут одинаковыми.
   Чем больше объем одного незаряженного проводника по сравнению с другим заряженным, тем больший заряд перейдет на него при их соприкосновении. Если объем незаряженного проводника во много раз больше объема заряженного, то практически весь заряд перейдет на незаряженный проводник.
   Для характеристики распределения заряда вдоль нити вводят понятие линейной плотности заряда.
   Определение линейной плотности заряда т: линейная плотность заряда, равномерно распределенного по нити, равна отношению заряда нити q к ее длине I:

q
т = | .                      (1.2)
   Для характеристики распределения заряда по поверхности вводят понятие поверхностной плотности заряда.
   Определение поверхностной плотности заряда о: поверхностная плотность заряда равна отношению заряда q, равномерно распределенного по поверхности, к площади .S этой поверхности:

5

                              q
° = О .                         (1-3)
                              О
   Для характеристики распределения заряда в некотором объеме вводят понятие объемной плотности заряда.
   Определение объемной плотности заряда р: объемная плотность заряда q, равномерно распределенного в объеме V, равна отношению заряда к объему, в котором он распределен:

                             q
Р = ^ -                        (1-4)
   Рассмотрим примеры на принцип суперпозиции сил.
   Пример 1. Точечный заряд q помещен в точку О (рис. 1-2, а). В точках 1 и 2 находятся точечные заряды q₁ и q₂, которые действуют на заряд q с силами Fi и F2 - Равнодействующая этих


сил в векторной записи

F = Fi + F2 , в скалярной F = Fᵢ - F₂ .




При этом F₁ = k^-^тг и F₂ = k———т . eri                                      e(ri ⁺ '■)

«>

Рис. 1-2

ной):

Знак перед равнодействующей силой F определяется модулями зарядов q₁ и q₂ и расстояниями г₁ и г₂. Поэтому, если перед F при вычислениях вдруг появится знак «минус», поменяйте местами силы F₁ и F₂.
   На рис. 1-2, б) показаны силы, действующие на заряд q₁ со стороны зарядов q и q₂. Их равнодействующая F' может быть определена следующим образом (здесь штрих - просто



индекс, а не знак производ


F‘ = F‘- F₂', где F k^ , er₂²

Fi‘= k^|.
Efj

   На рис. 1-2, в) показаны силы, действующие на заряд q₂ со стороны зарядов q и q₁. Их равнодействующая F" может быть определена так:

IX_J,?1?2    _U ?2?
    F = Fi ⁻ f2 , где Fi = k —Y , F = k —----T .
                           erf        e(ri + Г2)²
    Пример 2. В вершинах равностороннего треугольника находятся одинаковые положительные заряды q. В центр этого треугольника помещен отрицательный заряд - q₀ (в точку пересечения его биссектрис, медиан и высот) (рис. 1-3).
    Определим силу, действующую на заряд q в вершине т со стороны остальных зарядов. На заряд q в вершине треугольника действует равнодействующая Fᵢ ₂ сил F ᵢ и F ₂ , которую можно опре

делить, выполнив векторное сложение сил F i и F2 , действующих на него со стороны двух других зарядов, расположенных в верши

6

нах треугольника, и силы F о , действующей на этот заряд со стороны заряда q₀ в центре треугольника. Тогда равнодействующая всех этих сил в векторной записи
   F = Fi + F₂ + Fo.

   Для определения модуля F можно сначала сложить по правилу паралле
лограмма силы Fi и F2 , равные по модулю друг другу и определяемые по закону Кулона формулой
F. = F₂ = k^ .
                                  еай Здесь а - сторона треугольника.

                       ^*
   Равнодействующая F₁ ₂ сил F i и

Рис. 1-3

F2 является диагональю

параллелограмма, построенного на силах Fi и F2 как на сторонах. Поскольку наш треугольник равносторонний, то все его углы

равны 60°. Несложно доказать, что равнодействующая F₁ ₂ лежит против угла 120°, поэтому ее величина может быть найдена по теореме косинусов
   F₁>₂ = Ffi + F - 2F₁F₂ cos 120° = Fₗyl2(l + cos 60°) , так как F₁ = F₂ cos 120° = cos (180° - 60°) = -cos 60°.
   Очевидно, что равнодействующая F₁>₂ антинаправлена силе Fₒ , действующей на заряд q со стороны заряда q₀, поэтому равнодействующая F всех сил, действующих на заряд q, по модулю равна разности сил F₁₂ и F₀:

F = Fi'2 - Fo.


(1.5)

   По закону Кулона Fₒ = k^j-.
er
   Здесь г - расстояние от вершины треугольника до его центра. Это расстояние можно определить, используя теоремы геометрии.

Известно, что расстояние г составляет — высоты треугольника h, которая из прямоугольного треугольника тОр равна: a sin 60°,

2 ,   2    . „„„
г = — = = — a sin 60 .

поэтому

3    3
   Осталось подставить значения F^ и F₀ в формулу (1.5), и сила F, действующая на заряд q со стороны всех других зарядов системы, будет определена. Если же заряд q в равновесии, то F = 0 и F1,2 = Fₒ.

7

Рис. 1-4

   Пример 3. В вершинах квадрата находятся одинаковые по модулю положительные заряды q (рис. 1-4). Определим результирующую силу F, с которой три заряда действуют на четвертый.
   На заряд q в вершине квадрата 4 действуют с равными по модулю силами F₁ заряды в вершинах 1 и 3. Пусть сторона квадрата а. Тогда




J = ь^.
еа²

Равнодействующую двух сил F₁, которую мы обозначили .Е₁рез, определим по теореме Пифагора:


FР,., = 7^ + Л² = <²'< = F^² = !>⁴ F = ki⁴^²- .


   Со стороны заряда q в вершине 2 на заряд q в вершине 4 действует сила F₂. Заряд q в вершине 2 расположен на расстоянии ■\/а² + а² = ^2а² = а2% от заряда q в вершине 4. Тогда по закону 2                         2
                 q        Q
Кулона F²=к е<^/2)2=к 2^   Поскольку силы F^ и F₂ сонаправлены, общая результирующая сила, действующая на заряд q в четвертой вершине со стороны остальных трех зарядов,
„2    „2       „2
   F = Fᵢ  + F₂ = l,4k-ⁱT + k-^ = l,9k-ⁱT .
         ¹рез ²    , еа²    2еа²  , еа²

   Если на некоторый заряд q, кроме силы Кулона, действуют другие силы, например, силы тяжести, натяжения, упругости и т. п.,то равнодействующая сила будет равна векторной сумме всех сил, включая и силу Кулона. При этом, если говорится, что заряд q находится в равновесии или движется равномерно и прямолинейно, то по первому закону Ньютона все силы, действующие на него, уравновешены, т. е. их равнодействующая равна нулю. Если же они не уравновешены, то заряд q движется с ускорением а, которое по второму закону Ньютона равно отношению равнодействующей F сил, действующих на этот заряд, к массе т тела или

          _       __ F
частицы, несущей заряд q: а = — .
                              т
   Если при этом заряд q движется равномерно по окружности, то равнодействующая F направлена по радиусу к центру окружности, поэтому заряд движется с центростремительным ускорением Цц , направленным тоже по радиусу к центру окружности перпендикулярно вектору линейной скорости V заряда.
   Рассмотрим примеры применения законов динамики в задачах электростатики.

8

   Пример 4. Два малых шарика массами т₁ и т₂, несущие заряды q₁ и q₂, висят на нити (рис. 1-5). Поскольку он и покоятся, то силы, действующие на каждый шарик, уравновешены. На нижний шарик действуют сила тяжести ///|” и сила натяжения FH₁. Кроме того, на него

действует кулонова сила FK , которая, если заряды на шариках одноименные (рис. 1-5, и), направлена вниз, поскольку шарики отталкиваются друг от друга. Тогда применительно к нижнему шарику первый закон Ньютона можно записать следующим образом:

   в векторном виде mₓg + FK + FH₁ = О,

в скалярном виде

mig + FK = Fh1
а)           б)
Рис. 1-5

      На верхний шарик действуют сила тяжести m₂g , сила на

тяжения со стороны нижней нити Fₕ₁ , сила натяжения со стороны верхней нити Fₕ₂ и сила Кулона FK , которая теперь направлена вверх. С учетом направления этих сил первый закон Ньютона применительно к этому шарику запишем следующим образом:
   в векторном виде m₂g + FH₁ + Fₕ₂ + FK = О,

   в скалярном виде т₂g + FH₁ = Fₕ₂ + FK.
   Если заряды q₁ и q₂ разноименные, то теперь они будут притягиваться, поэтому направления сил Кулона, действующих на каждый шарик со стороны другого, изменятся на противоположные (рис. 1-5, б). Теперь запись первого закона Ньютона применительно к нижнему шарику будет:
   в векторном виде (по-прежнему) m₁gg + FH₁ + FK = О,
   в скалярном виде m₁g = FK + Fₕ₁ .
   Применительно к верхнему шарику этот же закон выглядит следующим образом:
   в векторном виде (по-прежнему) m₂g + FH₁ + Fₕ₂ + FK = О,
   в скалярном виде т₂g + FH₁ + FK = Fₕ₂.


   Здесь во всех случаях сила Кулона F = k -Ат- , где г - длина ег² нижней нити.
   Пример 5. Маленький шарик массой т с зарядом q₁ подвешен на абсолютно упругой пружине жесткостью k над заряженным шаром радиусом R, несущим отрицательный заряд - q₂ (рис. 1-6). Шары заряжены разноименно, поэтому вследствие их взаимного притяжения пружина удлинилась на Л/, после чего шары оказались в равновесии. Расстояние от маленького шарика до поверх
9

Рис. 1-6

ности большого равно I. Применим к этому случаю первый закон Ньютона. На малый шарик действуют сила тяжести mg со стороны Земли, сила реакции пружины Fₙ и сила Кулона FK со стороны большого шара. Поскольку заряды q₁ и q₂ разноименные, то они притягиваются и, значит, сила Кулона направлена вниз. При равновесии сумма сил тяжести и Кулона, направленных вниз, будет уравновешена силой упругости Fₙ , направленной вверх. Первый закон Ньютона в этом случае выглядит так:
   в векторном виде mgr + FK + Fₙ = О,
   в скалярном виде mg + FK = Fₙ.        (1-6)
   Здесь согласно закону Гука Fₙ = kAl   (1-7)


?1?2
   и по закону Кулона fK = k—5—7-7 . £(К + Ь)

(1-8)

   Осталось подставить (1-7) и (1-8) в (1-6) и из полученного выражения определить ту величину, о которой спрашивается в


условии задачи.

Рис. 1-7

   Пример 6. Два одинаковых малых шарика массами по т каждый с равными по знаку и модулю зарядами q подвесили на нитях длиной I в одной точке. Вследствие отталкивания они разошлись на расстояние г (рис. 1-7).
   Применим первый закон Ньютона к этому случаю.
На каждый шарик действуют три силы: сила тяжести mg , сила

Кулона FK и сила натяжения FH . Поскольку шарики находятся в покое, векторная сумма этих сил по первому закону Ньютона равна

                 ^^T  ^^г
нулю: mg + FK + FH = О.

Для записи этого закона

в скалярном виде сложим векторно

силы mg и FK и модуль их равнодействующей Fₚi приравняем


модулю силы натяжения Рн: Fₚₗ = -^(mg+ FK² и Fₚₗ = Рн, поэтому


             FH = d(mg)² + FK² , где FK = k.
   Если в условии задачи идет речь об угле а, на который отклонилась каждая нить от вертикали, или об угле 2а, на который они разошлись, то воспользуемся формулами тригонометрии

10