Аналитические решения для задач стационарного ветрового движения жидкости

В данной монографии рассматриваются аналитические решения для упрощенных моделей 
гидрофизики. Описаны новые классы аналитических решений стационарного движения однородной и неоднородной жидкости. Рассматриваются постоянные и переменные коэффициенты 
вертикального турбулентного обмена. Во всех 
случаях (движение в вертикальной плоскости, 
трехмерное течение, двухслойное течение) проводится оценка области, в которой решения для 
таких моделей ведут себя как решения для более 
простой модели Экмана, что позволяет уточнить 
область применимости последней.

9 785763 825312

ISBN 978-5-7638-2531-2

Монография

АнАлитические Решения  
для зАдАч  
стАциОнАРнОгО  
ВетРОВОгО дВижения 
жидкОсти

Министерство образования и науки Российской Федерации 

Сибирский федеральный университет 

ИВМ СО РАН 

 

 

 

Л. А. Компаниец, Т. В. Якубайлик 
Л. В. Гаврилова, О. С. Володько 
 

 

АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ЗАДАЧ 
 СТАЦИОНАРНОГО ВЕТРОВОГО 
 ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2012 

УДК 532.5 
ББК 22.253.3 
    А 641 
 Рецензенты: 
Л. Б. Чубаров, доктор физ.-мат. наук, глав.науч. сотрудник Института 
вычислительных технологий СО РАН; 
А. И. Урусов, кандидат физ.-мат наук, науч. сотрудник, доцент кафедры высшей 
математики ТГТУ 
 
 
 
 
А 641 Аналитические решения для задач стационарного ветрового движения 
жидкости / Л. А. Компаниец, Т. В. Якубайлик, Л. В. Гаврилова, О. С. Володько 
– Красноярск: Сиб. фед. ун-т, 2012. – 112 с.  
ISBN 978-5-7638-2531-2 
 
В данной монографии рассматриваются аналитические решения для 
упрощенных моделей гидрофизики. Описаны новые классы аналитических 
решений стационарного движения однородной и неоднородной жидкости. 
Рассматриваются постоянные и переменные коэффициенты вертикального 
турбулентного обмена. Во всех случаях (движение в вертикальной плоскости, 
трехмерное течение, двухслойное течение) проводится оценка области, в 
которой решения для таких моделей ведут себя как решения для более простой 
модели Экмана, что позволяет уточнить область применимости последней. 
Книга рассчитана на специалистов, работающих в области прикладной 
математики, гидродинамики. Может быть рекомендована для студентов и 
аспирантов, специализирующихся в области экологии. 
 
 
УДК 532.5 
ББК 22.253.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
     ISBN 978-5-7638-2531-2 
© Сибирский федеральный университет, 2012 
© ИВМ СО РАН, 2012 
 

Оглавление

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

1.Аналитические решения задачи ветрового движения вязкой

жидкости (течение в вертикальной плоскости) . . . . . . . . . . . .
9

1.1. Основные уравнения ветрового движения жидкости в замкну
том водоеме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

1.2. Решения для постоянного и переменного коэффициентов вер
тикального турбулентного обмена в случае однородной жид
кости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13

1.2.1.
Решение при постоянном коэффициенте вертикально
го турбулентного обмена (Kz = const) . . . . . . . . .
14

1.2.2.
Решение при линейном распределении Kz по глубине
18

1.2.3.
Решение при экспоненциальном изменении Kz по глу
бине
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21

1.3. Решение для случая двухслойной жидкости . . . . . . . . . .
23

1.4. Решение для течения в проточном водоеме . . . . . . . . . .
29

1.4.1. Решение для модели экмановского типа
. . . . . . . .
31

1.4.2. Решение задачи ветрового движения жидкости для мо
дели с учетом бокового обмена и с условием проскаль
зывания без трения на дне
. . . . . . . . . . . . . . .
32

1.4.3. Решение задачи ветрового движения жидкости в про
точном водоеме с условием проскальзывания с трени
ем на дне
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48

2.Аналитические решения задачи ветрового движения вязкой

жидкости (трехмерное течение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57

2.1. Решение для постоянного коэффициента вертикального тур
булентного обмена в случае однородной жидкости . . . . . .
57

Оглавление

2.1.1. Решение для модели Экмана при постоянном коэффи
циенте вертикального турбулентного обмена с учетом

наклонов свободной поверхности . . . . . . . . . . . .
58

2.1.2. Решение для модели движения жидкости с учетом бо
кового обмена при постоянных коэффициентах турбу
лентного обмена
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62

2.1.3. Решение для модели с учетом бокового обмена при пе
ременном коэффициенте вертикального турбулентно
го обмена (дрейфовая составляющая) . . . . . . . . .
70

2.2. Решение для случая двухслойной жидкости . . . . . . . . . .
75

2.2.1. Решение для модели с учетом бокового обмена, дрей
фовая составляющая
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
75

2.2.2. Решение для модели Экмана (двухслойная жидкость)

с учетом геострофической составляющей
. . . . . . .
84

3. Решение для случая неоднородной жидкости . . . . . . . . . . . . .
90

3.1. Решение для течения в вертикальной плоскости . . . . . . .
90

3.2. Решение для трехмерного течения . . . . . . . . . . . . . . .
100

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Введение

Актуальность проблемы расчета гидродинамического (гидрофизическо
го) режима различного рода водоемов не вызывает сомнения. С одной сто
роны, она обусловлена практикой хозяйственной деятельности человека, с

другой —
событиями природного характера. Расчет гидродинамических

характеристик важен также потому, что является основой для решения

задачи о распространении биоты и, соответственно, определения экологи
ческого режима водоема.

При этом исследовании выделяются различные аспекты. Так, если в

зимний период необходимо рассматривать влияние ледяного покрова, то в

летний период характер течения непроточных водоемов обусловлен глав
ным образом ветровым воздействием.

Задача определения гидродинамических характеристик водоема в лет
ний период в общем случае сводится к решению начально-краевой задачи

для нестационарной нелинейной системы уравнений в области с движущей
ся границей, которая для реальных задач решается при различного рода

упрощениях [20, 24, 25, 30]. Применение упрощающих предположений вы
страивает некоторую иерархию математических моделей (модели с учетом

нелинейных членов и без, модели с учетом горизонтального турбулентного

обмена и без и т. д.). Но даже при таких предположениях получающиеся си
стемы уравнений чаще всего решаются численными методами. В настоящее

время существуют программные комплексы, дающие возможность прово
дить расчеты для большого набора параметров, например система GETM

[41], и, казалось бы, нужда в частных аналитических решениях должна

была отпасть. Вопрос о важности получения и изучения аналитических

решений обсуждается во многих монографиях последних лет издания, на
пример [12, 31]. Вывод однозначный — аналитические решения являются

Введение

неотъемлемой частью процесса математического моделирования, так как

часто применяются и для априорной оценки решения, и для тестирования и

сравнительного анализа эффективности применяемого численного метода.

Интерес к аналитическим решениям ветрового движения жидкости обу
словлен тем, что они дают возможность исследовать особенности течения.

Наиболее часто в литературе встречаются решения для моделей без уче
та бокового обмена (модели экмановского типа для однородной жидкости).

Так, факт различного поворота на поверхности скорости дрейфовой состав
ляющей стационарного течения жидкости в бассейне бесконечной глубины

по отношению к направлению ветра в разных полушариях, который следу
ет из аналитически полученного Экманом [33] решения в начале прошлого

века, и сейчас применяется для анализа течения. Дальнейшее продолже
ние исследования Экмана получили в работе [38], где выписано уравнение

для геострофической составляющей течения. Влияние на течение измене
ния коэффициента вертикального турбулентного обмена по глубине иссле
довалось в работах [7, 40]. В работе [36] рассматривается нестационарное

решение для случая известного градиента давления и постоянного коэф
фициента вертикального турбулентного обмена.

Целью настоящего исследования является получение аналитических ре
шений стационарного ветрового движения однородной жидкости для при
ближенных математических моделей с учетом горизонтального турбулент
ного обмена. Главным образом нас интересовало, в каких случаях решения

для таких моделей ведут себя как решения для более изученных моде
лей экмановского типа, так как это позволяло бы делать и для этих бо
лее сложных моделей априорные выводы. Результаты данной монографии

продолжают и обобщают исследования, оформленные в виде книги

[23],
которая
была
посвящена
исследованию
моделей
без
учета

Введение
7

горизонтального турбулентного обмена.

С другой стороны, известны аналитические решения для течения неод
нородной жидкости экмановского типа для случая, когда температура ли
нейно распространяется в горизонтальном направлении [1, 32]. Задачи та
кого типа примыкают к задачам с известной плотностью [27]. В данной

монографии исследуется решение для модели экмановского типа с заранее

известным распределением температуры, причем распределение темпера
туры по глубине моделирует эффект термоклина. Анализ таких решений

может быть полезен при изучении плотностных течений [28].

Таким образом, в монографии описаны новые классы аналитических

решений для ветрового течения однородной и неоднородной жидкости, ис
следуются характер стационарного течения вязкой жидкости в приближе
нии Буссинеска и вариант течения экмановского типа (без учета бокового

обмена). Рассматривается случай однородной, многослойной (когда плот
ность меняется по глубине как кусочно-постоянная функция) и непрерывно

меняющейся по глубине плотности жидкости.

Монография состоит из трех глав.

В первой главе рассматриваются однородная и многослойная жидкость

и течение в вертикальной плоскости.

Во второй главе излагаются результаты для трехмерного течения, когда

жидкость является однородной или многослойной.

Третья глава посвящена решениям для случая двумерного в вертикаль
ной плоскости течения и трехмерного течения, когда плотность известна и

непрерывно меняется по глубине.

Основу монографии составляют оригинальные результаты авторов – со
трудников Института вычислительного моделирования Сибирского отделе
ния Российской академии наук Л. А. Компаниец, Т. В. Якубайлик, О. С. Во

Введение

лодько и доцента Сибирского федерального университета Л. В. Гавриловой.

Авторы благодарны аспирантке ИВМ СО РАН Ю. Б. Гульденбальк, чьи

расчеты были использованы при написании книги.

Особую благодарность за неоценимую помощь и поддержку при напи
сании книги авторы хотели бы выразить проф. В. М. Белолипецкому.

Отдельные части монографии были использованы при чтении курса

«Моделирование экологических режимов замкнутых систем» магистрам

Института математики Сибирского федерального университета.

1. Аналитические решения задачи ветрового

движения вязкой жидкости (течение

в вертикальной плоскости)

1.1.
Основные уравнения ветрового движения

жидкости в замкнутом водоеме

В задачах геофизической гидродинамики изучаются такие движения

сплошной среды, для которых существенную роль играют вращение всей

системы как целого и стратификация среды. Роль каждого из этих факто
ров может изучаться отдельно, но именно совместное их влияние опреде
ляет особенности рассматриваемых течений. Для решения задач о расчете

течений в водоемах необходимо иметь соответствующую систему уравне
ний и граничных условий. Большинство уравнений и преобразований из
лагается в декартовой системе координат применительно к Северному по
лушарию. Считается, что плотность воды переменная, принимаются при
ближение Буссинеска и гидростатическое приближение. Итак, исходим из

следующей упрощенной системы уравнений гидротермодинамики водоема

[21]:

уравнения движения —

∂u
∂t + u∂u

∂x + v∂u

∂y + w∂u

∂z − lv = ∂

∂z

Kz
∂u
∂z

+

(1.1)

+ ∂

∂x

Kx
∂u
∂x

+ ∂

∂y

Ky
∂u
∂y

− g∂ζ

∂x − g

ρ0

∂
∂x

0
z
ρ dz;

1. Аналитические решения... (течение в вертикальной плоскости)

∂v
∂t + u∂v

∂x + v∂v

∂y + w∂v

∂z + lu =

= ∂

∂z

Kz
∂v
∂z

+ ∂

∂x

Kx
∂v
∂x

+ ∂

∂y

Ky
∂v
∂y

− g∂ζ

∂y − − g

ρ0

∂
∂y

0
z
ρ dz;

уравнение неразрывности несжимаемой жидкости —

∂u
∂x + ∂v

∂y + ∂w

∂z = 0;
(1.2)

уравнения переноса тепла и солей —

∂T
∂t + u∂T

∂x + v∂T

∂y + w∂T

∂z =

= ∂

∂z

KT
z
∂T
∂z

+ ∂

∂x

KT
x
∂T
∂x

+ ∂

∂y

KT
y
∂T
∂y

, (1.3)

∂S
∂t + u∂S

∂x + v∂S

∂y + w∂S

∂z =

= ∂

∂z

KS
z
∂S
∂z

+ ∂

∂x

KS
x
∂S
∂x

+ ∂

∂y

KS
y
∂S
∂y

; (1.4)

уравнение состояния в общем случае —

ρ = ρ(T, S),
(1.5)

здесь x, y, z — прямоугольная система координат, ось x направлена на

восток, ось y — на север, ось z — вертикально вверх; (u, v, w) — вектор

скорости течения, u = u(x, y, z, t), v = v(x, y, z, t), w = w(x, y, z, t);

ζ = ζ(x, y, t) — отклонение свободной поверхности от невозмущенного по
ложения; T — температура воды, отсчитываемая от некоторого среднего

значения T0; S — соленость воды; Kx, Ky, KT
x , KT
y , KS
x , KS
y — коэффици
енты горизонтального турбулентного обмена для скорости, температуры

1.1. Основные уравнения ветрового движения жидкости в замкнутом водоеме
11

и солености соответственно; Kz, KT
z , KS
z — коэффициенты вертикально
го турбулентного обмена для скорости, температуры и солености соответ
ственно; l — параметр Кориолиса; g — ускорение свободного падения; ρ —

плотность воды в точке с координатами (x, y, z); ρ0 — некоторое среднее

значение плотности [21].

Система уравнений дополняется следующими граничными условиями

на поверхности водоема при z = ζ(x, y, t):

ρ0Kz
∂u
∂z = τx,
ρ0Kz
∂v
∂z = τy;
(1.6)

w = ∂ζ

∂t + u∂ζ

∂x + v∂ζ

∂y,
(1.7)

∂T
∂z = QT,
∂S
∂z = QS,

здесь τx, τy — компоненты вектора касательного напряжения ветра на

водной поверхности; QT, QS — потоки тепла и солености через свободную

поверхность.

Отметим, что вариант kb = 0 отвечает условию скольжения без трения,

а kb = ∞ — условию прилипания.

На дне водоема при z = −H(x, y) для скорости течения принимаются

условия прилипания [2]

u = v = w = 0
(1.8)

или условия скольжения без трения [21]

∂u
∂n = ∂v

∂n = 0,
(1.9)

где n — нормаль к поверхности дна бассейна.

Учет трения на дне может осуществляться через локальные скорости [14]: