Элементы современной физики твердого тела

А.И. МОРОЗОВ

ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ 
ФИЗИКИ ТВЁРДОГО ТЕЛА

À.È. Ìîðîçîâ
Ýëåìåíòû ñîâðåìåííîé ôèçèêè òâ¸ðäîãî òåëà: Ó÷åáíîå ïîñîáèå / À.È. Ìîðîçîâ – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», 2015. – 216 ñ.
ISBN 978-5-91559-191-1

Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èçëîæåíèå òåîðåòè÷åñêèõ îñíîâ ôèçèêè êîíäåíñèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ íà îñíîâå êîíöåïöèè êâàçè÷àñòèö, ñëîæèâøåéñÿ âî âòîðîé ïîëîâèíå ïðîøëîãî
âåêà.
Ïðè íàïèñàíèè êíèãè ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ÷èòàòåëü çíàêîì ñ
îñíîâíûìè òåðìèíàìè è ïîíÿòèÿìè ôèçèêè òâåðäîãî òåëà, îòíîñÿùèìèñÿ ê ïðÿìîé è îáðàòíîé êðèñòàëëè÷åñêèì ðåøåòêàì,
à òàêæå ñ ìåæàòîìíûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè, ïðèâîäÿùèìè ê îáðàçîâàíèþ êðèñòàëëè÷åñêîé ôàçû.
Êíèãà áóäåò ïîëåçíà ñòóäåíòàì, àñïèðàíòàì è èññëåäîâàòåëÿì,
æåëàþùèì óãëóáèòü ñâîè ïîçíàíèÿ, ïîëó÷åííûå ïðè èçó÷åíèè
îáùåãî êóðñà ôèçèêè.

© 2014 À.È. Ìîðîçîâ
© 2015, ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-191-1

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение. Понятие о квазичастицах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Глава 1. Динамика кристаллической решетки . . . . . . . . . .
9

1.1. Энергия кристалла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2. Уравнения движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3. Линейная цепочка атомов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.4. Двухатомная линейная цепочка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.5. Трехмерные кристаллы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

Глава 2. Квантование колебаний кристаллической решетки.
Фононы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

2.1. Диагонализация гамильтониана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.2. Фононы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.3. Ангармонизм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29

Глава 3. Теплоемкость кристаллической решетки. . . . . . . .
32

3.1. Энергия колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.2. Случай высоких температур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.3. Модель Эйнштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.4. Модель Дебая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34

Глава 4. Спектральная плотность колебаний решетки
(плотность фононных состояний). Локальные колебания.
37

4.1. Спектральная плотность состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.2. Локальные колебания. Спектр колебаний аморфных тел . . . . .
41
4.3. Методы исследования фононных спектров . . . . . . . . . . . . . .
43
4.4. Оценка величины параметра uj
⃗l,s
‹
d . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

Глава 5. Кинетическое уравнение Больцмана . . . . . . . . . . .
46

5.1. Вводные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
5.2. Бесстолкновительный режим . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48

Оглавление

5.3. Интеграл столкновений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
5.4. Интеграл столкновений для трехфононных процессов. . . . . . .
52
5.5. Линеаризация интеграла столкновений, τ-приближение . . . . .
55

Глава 6. Теплопроводность диэлектриков . . . . . . . . . . . . . .
58
6.1. Плотность потока энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
6.2. Коэффициент теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
6.3. Область высоких температур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
6.4. Область низких температур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64

Глава 7. Электронный газ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
7.1. Модель желе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
7.2. Теплоемкость электронного газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
7.3. Парамагнитная восприимчивость электронного газа . . . . . . . .
75

Глава 8. Электрон в кристаллической решетке . . . . . . . . . .
78
8.1. Теорема Блоха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
8.2. Приближение почти свободных электронов . . . . . . . . . . . . . .
80
8.3. Металлы, диэлектрики, полупроводники . . . . . . . . . . . . . . .
84
8.4. Приближение сильной связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
8.5. Численные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
8.6. Кулоновское взаимодействие между электронами . . . . . . . . . .
91
8.7. Поверхность Ферми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
8.8. Квазичастицы в ферми-жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93

Глава 9. Металлы в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
9.1. Квазиклассическое приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
9.2. Квантовое описание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
9.3. Диамагнетизм Ландау . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
9.4. Квантовые осцилляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100

Глава 10. Экранирование в металлах. . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
10.1. Статическое экранирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
10.2. Фриделевские осцилляции электронной плотности . . . . . . . . .
106
10.3. Плазменные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
10.4. Диэлектрическая проницаемость металла . . . . . . . . . . . . . . .
108
10.5. Скин-эффект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
10.6. Циклотронный резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112

Глава 11. Кинетические коэффициенты металла . . . . . . . .
113
11.1. Электро- и теплопроводность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
11.2. Закон Видемана–Франца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
11.3. Рассеяние на примесях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
11.4. Электрон-фононное взаимодействие . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
11.5. Вклад фононов в электросопротивление. Высокие температуры
125
11.6. Вклад фононов в электросопротивление. Низкие температуры .
126
11.7. Электрон-электронное рассеяние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
11.8. Термоэлектрические явления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134

Оглавление
5

Глава 12. Полупроводники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136

12.1. Общие представления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
12.2. Концентрация собственных носителей заряда . . . . . . . . . . . .
137
12.3. Примесные носители заряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
12.4. Подвижность носителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
12.5. Рассеяние носителей заряда на фононах . . . . . . . . . . . . . . . .
144
12.6. Рассеяние носителей заряда на заряженных дефектах . . . . . .
146

Глава 13. Гальваномагнитные явления . . . . . . . . . . . . . . . .
149

13.1. Эффект Холла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
13.2. Двухзонная модель. Магнетосопротивление . . . . . . . . . . . . .
154

Глава 14. Оптика полупроводников . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156

14.1. Механизмы поглощения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
14.2. Рекомбинация НЗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159
14.3. Неравновесные НЗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
14.4. Экситоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161

Глава 15. Прыжковая проводимость . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163

15.1. Переход металл–диэлектрик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
15.2. Модель Хаббарда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
15.3. Андерсоновская локализация. Зонная структура аморфных тел
168
15.4. Прыжковая проводимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171
15.5. Диффузионный и дрейфовый токи. p–n-переход . . . . . . . . . .
172

Глава 16. Диэлектрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176

16.1. Локальное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
16.2. Механизмы поляризуемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
179
16.3. Поляризационная катастрофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
16.4. Фазовый переход типа смещения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185

Глава 17. Магнитные свойства веществ. . . . . . . . . . . . . . . .
189

17.1. Магнитные взаимодействия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
17.2. Магнитное упорядочение локализованных магнитных моментов
195
17.3. Спиновые волны в ферромагнетике . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199
17.4. Магнитное упорядочение делокализованных моментов . . . . . .
202

Глава 18. Сверхпроводники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
204

18.1. Явление сверхпроводимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
204
18.2. Сверхпроводники первого и второго рода . . . . . . . . . . . . . . .
208
18.3. Критический ток. Жесткие сверхпроводники . . . . . . . . . . . . .
211
18.4. Применения сверхпроводников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211

ВВЕДЕНИЕ.
ПОНЯТИЕ О КВАЗИЧАСТИЦАХ

Книга, к знакомству с которой Вы приступаете, содержит
изложение основных явлений физики кристаллических твердых тел на
основе концепции квазичастиц. При этом мы считаем, что читатель
знаком с основными терминами и понятиями физики твердого тела,
относящимися к прямой и обратной кристаллическим решеткам, а также с межатомными взаимодействиями, приводящими к образованию
кристаллической фазы.
Что же такое квазичастица?
При описании систем, состоящих из большого числа частиц, наибольших успехов физики достигли в случае идеальных или слабо неидеальных газов, т. е. систем, в которых потенциальная энергия взаимодействия между частицами газа на характерном расстоянии r0 = n−1/3

(n — концентрация частиц) намного меньше, чем средняя кинетическая
энергия частицы Wкин.
Равновесные характеристики и кинетические коэффициенты идеального газа могут быть найдены из первых принципов. Слабое взаимодействие между частицами учитывается в дальнейшем по теории
возмущений.
Слабо неидеальными являются разреженные газы нейтральных
классических частиц (а также плотные ферми-газы). С увеличением
плотности классического газа характерная потенциальная энергия взаимодействия частиц Wпот(r0) растет и становится порядка Wкин. В этом
случае учитывать взаимодействие частиц по теории возмущений уже
нельзя. Расчет характеристик такой системы становится очень трудной
задачей: энергия частицы зависит от положений соседних частиц, а
те, в свою очередь, сильно взаимодействуют со своими соседями. В
итоге необходимо решать задачу о согласованном поведении огромного
числа частиц. Именно поэтому до сих пор не создана последовательная
микроскопическая теория жидкостей и плотных газов.

Введение. Понятие о квазичастицах
7

Для атомов в твердых кристаллических телах выполнено обратное неравенство: Wпот(r0) ≫ Wкин. Причем это неравенство справедливо вплоть до температуры плавления. Именно это определяет характер
движения атомов или ионов, образующих твердое тело: они совершают
малые колебания вблизи своих положений равновесия.
Казалось бы, мы имеем дело с системой сильно взаимодействующих
частиц и встречаемся при ее описании с такими же трудностями, как
и в случае жидкостей. Но это не так. При абсолютном нуле температуры, когда равновесная система находится в основном состоянии (в
состоянии с наинизшей энергией), характерная удельная энергия связи
атомов (энергия связи в расчете на один атом) составляет величину
ε0 порядка нескольких электрон-вольт. При повышении температуры
до некоторого значения T энергия отдельного атома увеличивается на
величину порядка T (здесь и далее мы будем температуру измерять в
энергетических единицах). При этом вплоть до температуры плавления
T ≪ ε0, т. е. энергия отдельного атома, составляющего твердое тело,
изменяется на относительно малую величину.
То же самое можно сказать и обо всем твердом теле: его энергия
изменяется слабо по сравнению с энергией основного состояния. Другими словами, с ростом температуры система переходит в возбужденное
состояние (с энергией большей, чем у основного), но энергия этого
возбужденного состояния отличается от энергии основного состояния
на малую, по сравнению с самой энергией, величину.
Именно это последнее условие является ключевым при введении
понятия квазичастиц. Если оно выполнено, то можно после некоторых хитроумных, но тождественных преобразований показать, что любое слабовозбужденное состояние системы (каковых может быть сколь
угодно много) отличается от основного возникновением некоторого числа слабо взаимодействующих между собой (и окружением) объектов,
которые и называют квазичастицами.
Поскольку эти объекты появились в результате удачного описания
состояния системы сильно взаимодействующих между собой частиц
(в нашем примере — атомов) и в виде одиночных образований (вне
нашей системы, в вакууме, например) не существуют, то в их название
ввели приставку «квази».
Так как квазичастицы слабо взаимодействуют друг с другом, то их
совокупность является почти идеальным газом и легко может быть описана. Зная характеристики основного состояния, можно найти таковые
для огромного числа слабовозбужденных состояний, которые и играют
главную роль при температурах T ≪ ε0. В частности, используя соответствующие квазичастицы, можно описать поведение кристаллической

Введение. Понятие о квазичастицах

решетки во всем температурном диапазоне ее существования (вплоть
до температуры плавления).
Конечно, сама процедура введения квазичастиц, т. е. сведение системы сильно взаимодействующих объектов к системе слабо взаимодействующих квазичастиц, отнюдь не проста и не всегда, даже если
выполнено ключевое условие, может быть проведена до конца. Но мы
с вами рассмотрим те случаи, когда это удается сделать.
Для начала, применим предложенный выше подход к исследованию
динамики кристаллической решетки.

Г Л А В А
1

ДИНАМИКА
КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ

1.1.
ЭНЕРГИЯ КРИСТАЛЛА

Расположим начало системы координат в центре одной из
элементарных ячеек кристалла. Тогда положение центра любой другой
элементарной ячейки задается вектором трансляции ⃗l.
Пусть число атомов (ионов) в элементарной ячейке равно n, а вектор ⃗ρs, где s = 1, 2, . . . n, задает положение равновесия ядра атома с
номером s относительно центра элементарной ячейки (ядро с хорошей
точностью можно считать материальной точкой). В силу трансляционной инвариантности вектор ⃗ρs одинаков для всех элементарных ячеек.
Поэтому положение равновесия ядра s-го атома в элементарной ячейке,
задаваемой вектором ⃗l, определяется вектором ⃗r (0)
⃗l,s :

⃗r (0)
⃗l,s =⃗l + ⃗ρs.
(1.1)

В процессе колебаний атомы кристалла смещаются из своих положений равновесия. Вектор ⃗u⃗l,s смещения ядра атома сорта s в ⃗l-й

элементарной ячейке, вообще говоря, зависит от⃗l, т. е. не одинаков для
разных элементарных ячеек. Текущее положение ядра атома сорта s
в ⃗l-й элементарной ячейке задается вектором ⃗r⃗l,s:

⃗r⃗l,s = ⃗r (0)
⃗l,s + ⃗u⃗l,s.
(1.2)

В дальнейшем мы будем пользоваться проекциями r j
⃗l,s, r j(0)
⃗l,s , uj
⃗l,s век
торов ⃗r⃗l,s, ⃗r (0)
⃗l,s , ⃗u⃗l,s на оси выбранной системы координат, введя индекс
j = 1, 2, 3.

Глава 1. Динамика кристаллической решетки

Поскольку положения равновесия атомов не изменяются со временем, то компоненты скорости атома v j
⃗l,s равны

v j
⃗l,s = ˙r j
⃗l,s = ˙uj
⃗l,s.
(1.3)

В (1.3) точка над буквой изображает дифференцирование по времени.
Следовательно, кинетическая энергия атомов кристалла равна

Wкин = 1

2

n
X

s=1

N
X

⃗l
Ms(˙⃗u⃗l,s)2,
(1.4)

где N — число элементарных ячеек кристалла, a Ms — масса атома
сорта s.
Потенциальная энергия кристаллической решетки Wпот является
функцией координат ядер всех атомов кристалла

Wпот = Wпот({r j
⃗l,s}).
(1.5)

Фигурные скобки показывают, что имеется ввиду совокупность всех
3nN переменных. Вид функции (1.5) очень сложен. Только в случае
ионных кристаллов с «жесткими» ионами (поляризуемостью которых в электрическом поле соседних ионов можно пренебречь) функция Wпот({r j
⃗l,s}) распадается на сумму потенциальных энергий взаимодействия пар ионов.
Реально же все атомы (ионы) поляризуются, и состояние атома
определяется не только положением его ядра, но и состоянием электронной оболочки. В металле, кроме того, существуют свободные электроны, от распределения которых также зависит потенциальная энергия
кристалла. Поэтому Wпот является функцией координат не только всех
ядер, но и всех электронов в кристалле.
Но электроны обладают существенно меньшей, по сравнению с
ионами, массой. Вследствие этого они значительно менее инерционны.
Исходя из этого, предполагают, что электроны успевают подстроиться
под изменение положений ядер атомов практически мгновенно, и реализуется та электронная конфигурация, которая отвечает минимальной
энергии кристалла при заданном положении ядер всех его атомов. Расчет собственных мод колебаний кристаллической решетки проводят при
температуре T = 0, поэтому в равновесии должна достигать минимума
энергия кристалла.
Данное приближение получило название «адиабатического». Для
получения в рамках этого приближения потенциальной энергии, зависящей только от координат ядер, мы должны взять потенциальную

1.2. Уравнения движения
11

энергию, зависящую от координат и ядер, и электронов, и решить стационарное уравнение Шредингера для электронов при заданных положениях ядер. Получившиеся значения энергии, зависят от координат
ядер, как от параметров. Энергия основного состояния и является искомой потенциальной энергией кристалла, зависящей только от координат
ядер. Конечно, выполнить указанную программу аналитически не представляется возможным, и осуществить ее можно только численными
методами.
Погрешность адиабатического приближения, т. е. поправки, возникающие вследствие учета запаздывания (инерционности) электронов,
составляют величину порядка (m/M)1/2 ∼ 10−2, где m — масса электрона, а M — масса атома (иона).
В дальнейшем будем предполагать, что функция Wпот({r j
⃗l,s}) нам
известна, хотя при изучении конкретных твердых тел именно ее получение представляет наибольшую трудность. Кроме того, будем опускать
в дальнейшем слово «ядро» и говорить просто «координата атома».

1.2.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Лагранжиан системы представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий

L = Wкин − Wпот.
(1.6)

Поскольку r j(0)
⃗l,s
не изменяются во времени, в качестве независимых

переменных выберем смещения атомов uj
⃗l,s.
Кроме того, поскольку смещения атомов из положений равновесия
малы по сравнению с межатомным расстоянием d, то мы можем разложить функцию Wпот({r j
⃗l,s}) в ряд по смещениям uj
⃗l,s

Wпот({r j
⃗l,s}) = Wпот({r j(0)
⃗l,s }) +

3
j=1

n
s=1

N
⃗l

∂Wпот({r j
⃗l,s})

∂r j
⃗l,s

{r j
⃗l,s}={r j(0)
⃗l,s }
uj
⃗l,s +

+ 1

2

3
j′,j=1

n
s′,s=1

N
⃗l′,⃗l

∂2Wпот({r j
⃗l,s})

∂r j
⃗l,s∂r j′

⃗l′s′

{r j
⃗l,s}={r j(0)
⃗l,s }
uj
⃗l,su j′

⃗l′,s′ +

+ 1

6

3
j′′,j′

j=1

n
s′′,s′
s=1

N
l′′,⃗l′
⃗l

∂3Wпот({r j
⃗l,s})

∂r j
⃗l,s∂r j′

⃗l′s′∂r j′′

⃗l′′s′′

{r j
⃗l,s}={r j(0)
⃗l,s }
uj
⃗l,su j′

⃗l′,s′u j′′

⃗l′′,s′′ + . . .
(1.7)

Глава 1. Динамика кристаллической решетки

Первое слагаемое в (1.7) представляет собой энергию связи кристалла и не зависит от uj
⃗l,s. Второе слагаемое в (1.7) равно нулю, так
как положения равновесия атомов отвечают минимуму потенциальной
энергии, а в точке минимума функции первая производная равна нулю.
Часто при рассмотрении динамики кристаллической решетки ограничиваются третьим слагаемым в (1.7). Это приближение называется
«гармоническим», а четвертое и последующие слагаемые в разложении (1.7) называют ангармоническими. Ниже мы оценим величину малого параметра uj
⃗l,s/d, по которому, на самом деле, происходит разложение. Потенциальная энергия атома изменяется на величину порядка
себя самой при его смещении на расстояние порядка межатомного.
Поэтому

∂Wпот({r j
⃗l,s})

∂r j
⃗l,s
∼ Eат

d ;
∂2Wпот({r j
⃗l,s})

∂r j
⃗l,s∂rj′

⃗l′,s′
∼ Eат

d2
и т.д.,

где Eат — энергия атомного масштаба. Таким образом, каждый последующий член разложения (1.7) содержит лишнюю степень малого
параметра uj
⃗l,s/d.
Рассмотрим уравнения движения атомов кристалла в гармоническом
приближении, учитывая только квадратичный по uj
⃗l,s член в (1.7). Уравнения Лагранжа имеют вид

d
dt
∂L
∂ ˙uj
⃗l,s
− ∂L

∂uj
⃗l,s
= 0.
(1.8)

Подставляя L в виде

L = 1

2

n
s=1

N
⃗l
Ms(˙⃗u⃗l,s)2 − 1

2

3
j′,j=1

n
s′,s=1

N
⃗l′,⃗l

∂2Wпот({r j
⃗l,s})

∂r j
⃗l,s∂r j′

⃗l′s′

{r j
⃗l,s}={r j(0)
⃗l,s }
uj
⃗l,su j′

⃗l′,s′,

(1.9)
получаем систему 3nN уравнений

Ms¨u j
⃗l,s = −

3
j′=1

n
s′=1

N
⃗l′

∂2Wпот({r j
⃗l,s})

∂r j
⃗l,s∂r j′

⃗l′s′

{r j
⃗l,s}={r j(0)
⃗l,s }
u j′

⃗l′,s′.
(1.10)

Матрицу

G jj′

ss′(⃗l −⃗l′) =
∂2Wпот({r j
⃗l,s})

∂r j
⃗l,s∂r j′

⃗l′s′

{r j
⃗l,s}={r j(0)
⃗l,s }
(1.11)

называют матрицей силовых постоянных кристалла.

1.3. Линейная цепочка атомов
13

Физический смысл силовых постоянных очень прост. Пусть все uj
⃗l,s,

кроме u j′

⃗l′,s′ равны нулю. Тогда на атом сорта s в элементарной ячейке ⃗l
действует сила, равная

F j
⃗l,s = −G jj′

ss′(⃗l −⃗l′)u j′

⃗l′,s′.
(1.12)

Если условно представить, что все атомы в кристалле связаны между собой пружинками, то силовая постоянная — это жесткость одной
такой пружины.
Вследствие трансляционной симметрии кристалла G jj′

ss′(⃗l −⃗l′) зависит не от⃗l и⃗l′ по отдельности, а только от их разности ⃗h =⃗l −⃗l′. Если
мы заменим в уравнении (1.12) ⃗l на ⃗l + ⃗T, а ⃗l′ на ⃗l′ + ⃗T, где ⃗T — вектор
трансляции, то при uj′

⃗l′+⃗T,s′ = uj′

⃗l′,s сила F j
⃗l+⃗T,s должна равняться силе F j
⃗l,s.
Поскольку
∂2Wпот({r j
⃗l,s})

∂r j
⃗l,s∂r j′

⃗l′s′
=
∂2Wпот({r j
⃗l,s})

∂rj′

⃗l′,s′∂r j
⃗l,s
,

то G jj′

ss′(⃗h) = G j′j
s′s(−⃗h).
Уравнения (1.10) представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка, полностью описывающих динамику кристаллической решетки в гармоническом приближении. Поскольку мы предполагали, что нам известна функция Wпот({r j
⃗l,s}), то
мы знаем и все ее производные, т. е. и силовые постоянные кристалла.
Но так как N ∼ 1023, то решение такого количества дифференциальных
уравнений «в лоб» не представляется возможным.
Поскольку входящие в уравнения (1.10) величины вещественны, то
их решение должно быть инвариантно относительно комплексного сопряжения. Кроме того, поскольку в уравнения входит только вторая производная по времени, то они, а, следовательно, и множество их решений
инвариантно относительно смены знака времени (замены t на −t).
Мы ограничимся рассмотрением тех решений этих уравнений, которые имеют вид бегущих плоских волн.

1.3.
ЛИНЕЙНАЯ ЦЕПОЧКА АТОМОВ

Рассмотрим вначале линейную бесконечную цепочку одинаковых атомов, разделенных расстоянием d, фрагмент которой изображен на рис. 1.1, а.