Краткий курс аналитической геометрии

ИЗДАНИЕ ЧЕТЫРНАДЦАТОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ

МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
2 0 1 4

Допущено Министерством образования РФ
в качестве учебника для студентов
высших учебных заведений

УДК 514.1
ББК 22.151.5
Е 91

Е ф и м о в Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. — 14-е изд.,
испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. — 240 с. — ISBN 978-5-9221-1419-6.

Предметом изучения аналитической геометрии являются фигуры, которые
в декартовых координатах задаются уравнениями первой или второй степени.
На плоскости это прямые и линии второго порядка. В пространстве — плоскости и прямые, поверхности второго порядка. Этот материал изложен в книге
в минимальном объеме, необходимом для усвоения дальнейших глав высшей
математики и ее приложений.
Для студентов высших учебных заведений.

ISBN 978-5-9221-1419-6

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2005, 2006, 2014

c⃝ Н. В. Ефимов, 2005, 2006, 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

П р е д и с л о в и е  к  ш е с т о м у  и з д а н и ю  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Г л а в а  1. Координаты на прямой и на плоскости  . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

§ 1. Ось и отрезки оси  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
§ 2. Координаты на прямой. Числовая ось  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
§ 3. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости. Понятие
о декартовых косоугольных координатах  . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
§ 4. Полярные координаты  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

Г л а в а  2. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости  . .
19

§ 5. Проекция отрезка. Расстояние между двумя точками  . . . . . . . .
19
§ 6. Вычисление площади треугольника  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
§ 7. Деление отрезка в данном отношении  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
§ 8. Преобразование декартовых координат при параллельном сдвиге
осей  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
§ 9. Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
§ 10. Преобразование декартовых прямоугольных координат при изменении начала и повороте осей  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33

Г л а в а  3. Уравнение линии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36

§ 11. Понятие уравнения линии. Примеры задания линий при помощи уравнений  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
§ 12. Примеры вывода уравнений заранее данных линий  . . . . . . . . .
42
§ 13. Задача о пересечении двух линий  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
§ 14. Параметрические уравнения линии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
§ 15. Алгебраические линии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47

Г л а в а  4. Линии первого порядка  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50

§ 16. Угловой коэффициент  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
§ 17. Уравнение прямой с угловым коэффициентом  . . . . . . . . . . . . .
51
§ 18. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
§ 19. Прямая как линия первого порядка. Общее уравнение прямой  . .
56
§ 20. Неполное уравнение первой степени. Уравнение прямой «в отрезках»  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
§ 21. Совместное исследование уравнений двух прямых  . . . . . . . . . .
60
§ 22. Нормальное уравнение прямой. Задача вычисления расстояния
от точки до прямой  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
§ 23. Уравнение пучка прямых  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66

Оглавление

Г л а в а  5. Геометрические свойства линии второго порядка . . . . . . . . . . .
70

§ 24. Эллипс. Определение эллипса и вывод его канонического уравнения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
§ 25. Исследование формы эллипса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
§ 26. Эксцентриситет эллипса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
§ 27. Рациональные выражения фокальных радиусов эллипса  . . . . . .
77
§ 28. Построение эллипса по точкам. Параметрические уравнения
эллипса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
§ 29. Эллипс как проекция окружности на плоскость. Эллипс как
сечение круглого цилиндра  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
§ 30. Гипербола. Определение гиперболы и вывод ее канонического
уравнения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
§ 31. Исследование формы гиперболы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
§ 32. Эксцентриситет гиперболы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
§ 33. Рациональные выражения фокальных радиусов гиперболы  . . .
93
§ 34. Директрисы эллипса и гиперболы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
§ 35. Парабола. Вывод канонического уравнения параболы  . . . . . . . .
97
§ 36. Исследование формы параболы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
§ 37. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы  . . . . . . . .
102
§ 38. Диаметры линий второго порядка  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
§ 39. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы  . . . . . . .
109
§ 40. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения  . . . . . .
109

Г л а в а  6. Преобразование уравнений при изменении координат  . . . . . . .
111

§ 41. Примеры приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
§ 42. Гипербола как график обратной пропорциональности. Парабола
как график квадратного трехчлена  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Г л а в а  7. Некоторые простейшие задачи аналитической геометрии
в пространстве  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
§ 43. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве  . . . . . . .
123
§ 44. Понятие свободного вектора. Проекции вектора на ось  . . . . . .
126
§ 45. Проекции вектора на оси координат  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
§ 46. Направляющие косинусы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
§ 47. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном
отношении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133

Г л а в а  8. Линейные операции над векторами  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135

§ 48. Определение линейных операций  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
§ 49. Основные свойства линейных операций  . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
§ 50. Разность векторов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
§ 51. Основные теоремы о проекциях  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
§ 52. Разложение векторов на компоненты  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144

Г л а в а  9. Скалярное произведение векторов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
148

§ 53. Скалярное произведение и его основные свойства  . . . . . . . . . .
148
§ 54. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151

Оглавление

Г л а в а  10. Векторное и смешанное произведения векторов  . . . . . . . . . . .
154

§ 55. Векторное произведение и его основные свойства  . . . . . . . . . . .
154
§ 56. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
§ 57. Смешанное произведение трех векторов  . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
§ 58. Выражение смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167

Г л а в а  11. Уравнение поверхности и уравнения линии  . . . . . . . . . . . . . .
169

§ 59. Уравнение поверхности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169
§ 60. Уравнения линии. Задача о пересечении трех поверхностей  . . . .
171
§ 61. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими,
параллельными одной из координатных осей  . . . . . . . . . . . . . .
172
§ 62. Алгебраические поверхности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
174

Г л а в а  12. Плоскость как поверхность первого порядка. Уравнения прямой  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176

§ 63. Плоскость как поверхность первого порядка  . . . . . . . . . . . . . . .
176
§ 64. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
179
§ 65. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
181
§ 66. Уравнения прямой  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
§ 67. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой  . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
§ 68. Некоторые дополнительные предложения и примеры  . . . . . . . .
192

Г л а в а  13. Поверхности второго порядка  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198

§ 69. Эллипсоид и гиперболоиды  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198
§ 70. Конус второго порядка  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
204
§ 71. Параболоиды  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
205
§ 72. Цилиндры второго порядка  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
209
§ 73. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида.
Конструкции В.Г. Шухова  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
210

П р и л о ж е н и е. Элементы теории определителей  . . . . . . . . . . . . . . . . .
215

§ 1. Определители второго порядка и системы двух уравнений первой
степени с двумя неизвестными  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
§ 2. Однородная система двух уравнений первой степени с тремя
неизвестными  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
§ 3. Определители третьего порядка  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222
§ 4. Алгебраические дополнения и миноры  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
226
§ 5. Решение и исследование системы трех уравнений первой степени
с тремя неизвестными  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
§ 6. Понятие определителя любого порядка  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237

ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ

В настоящем издании произведены следующие изменения:
1. Значительно сокращена глава 6, посвященная общему уравнению линии второго порядка. Дело в том, что приведение к каноническому виду такого уравнения само по себе является вполне простой задачей; кроме того, эта задача не настолько часто встречается,
чтобы имело смысл запоминать для нее готовые формулы. Поэтому
здесь достаточно разъяснить сущность метода, что и сделано.
2. В конце главы 8 добавлены два небольших пункта о разложении вектора по косому базису.
3. Несколько упрощено изложение отдельных мест главы 13.
4. Исключен материал, содержащийся в §§ 77–81 предыдущего
издания (приведение к каноническому виду общего уравнения поверхности второго порядка).
Таким образом, в книге оставлены лишь те вопросы, которые
соответствуют основным разделам программы по математике для
высших технических учебных заведений в части аналитической геометрии и теории определителей.
Теперь по поводу произведенных сокращений. Они касаются
общей теории кривых и поверхностей второго порядка. Изложение этих вопросов в предыдущем издании книги ориентировалось
только на решение определенных задач аналитической геометрии.
Между тем, для приложений требуются многие вопросы алгебры,
которые тесно связаны с аналитической геометрией. Поэтому аналитическую геометрию следует излагать так, чтобы важные алгебраические понятия получили в ней достаточную акцентировку.
В частности, в теории кривых и поверхностей второго порядка
должны получить достаточное освещение основные свойства квадратичных форм.
Сюда примыкают также линейные преобразования и матрицы. Все
эти вопросы изложены нами в отдельной небольшой книжке («Квадратичные формы и матрицы»)*, которая издается в серии «Избранные
главы высшей математики для инженеров и студентов втузов».

28 декабря 1961 г.
Н. Ефимов

*) Н . В .  Е ф и м о в. Квадратичные формы и матрица. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2009.

ГЛАВА 1

КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ И НА ПЛОСКОСТИ

§ 1. Ось и отрезки оси

1. Рассмотрим произвольную прямую. Она имеет два взаимно
противоположных направления. Изберем по своему желанию одно
из них и назовем его положительным (а противоположное направление — отрицательным).
Прямую, на которой «назначено» положительное направление,
мы будем называть осью. На чертежах положительное направление оси указывается стрелкой (см., например, рис. 1, где изображена ось а).

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НА ПЛОСКОСТИ

Рис. 1
2. Пусть дана какая-нибудь ось и, кроме того, указан масштабный отрезок, т. е. линейная единица, с помощью которой любой
отрезок может быть измерен и тем самым для любого отрезка может быть определена его длина.
Возьмем на данной оси две произвольные точки и пометим их
буквами А, В. Отрезок, ограниченный точками А, В, называется
направленным, если сказано, какая из этих точек считается началом отрезка, какая концом. Направлением отрезка считается направление от начала к концу.
В дальнейшем тексте направленный отрезок обозначается двумя
буквами с чертой над ними, именно теми же буквами, какими
помечены ограничивающие его точки; при этом буква, которой
помечено начало, ставится на первом месте. Таким образом, обозначает направленный отрезок, ограниченный точками А, В,
началом которого является точка А; обозначает направленный

Глава 1. Координаты на прямой и на плоскости
отрезок, ограниченный точками А, В, началом которого является
точка В.
В дальнейшем, рассматривая направленные отрезки оси, мы часто будем называть их просто отрезками, опуская слово «направленный».
Условимся называть величиной отрезка некоторой оси число,
равное его длине, взятой со знаком плюс, если направление этого
отрезка совпадает с положительным направлением оси, и со знаком
минус, если оно совпадает с отрицательным направлением оси. Величину отрезка мы будем обозначать символом АВ (без черты).
Мы не исключаем случая, когда точки А и В совпадают; тогда
отрезок называется нулевым, так как величина его АВ равна
нулю. Направление нулевого отрезка неопределено и, таким образом, называть такой отрезок направленным можно лишь условно.
В е л и ч и н а  отрезка, в отличие от его д л и н ы, есть число
относительное; очевидно, длина отрезка есть модуль его величины*), поэтому, в согласии с принятым в алгебре способом обозначать модуль числа, для обозначения длины отрезка мы будем
употреблять символ ⎪АB⎟ . Ясно, что ⎪АB⎥ и ⎪BA⎟ обозначают одно
и то же число. Напротив, сами величины АВ и ВА отличаются знаком, так что
АВ = − ВА.

На рис. 1 изображены ось а и на ней точки А, В, С, D ; E1E2 —
масштабный отрезок. Точки А, В, С, D предполагаются расположенными так, что расстояние между А и В равно двум, между С и D —
трем. Направление от А к В совпадает с положительным направлением оси, направление от С к D противоположно положительному
направлению оси. В данном случае мы имеем, следовательно,

АВ = 2,
CD = − 3
или
BA = − 2,
DC = 3.

Кроме того, можно написать

⎪АB⎟ = 2,
⎪CD⎟ = 3.

3. При любом расположении точек А, В, С на оси величины отрезков , и связаны соотношением

АВ + ВС = АС ;
(1)

это соотношение мы будем называть основным тождеством.

*) Слово «модуль» означает то же, что и «абсолютная величина».

Докажем основное тождество. Предположим сначала, что отрезки и , будучи ненулевыми, имеют о д и н а к о в ы е  направления (рис. 2, верх); тогда отрезок имеет длину, равную
сумме длин отрезков , и направлен одинаково с ними.
В этом случае все три числа АВ, ВС и АС имеют одинаковые знаки,
число АС равно сумме чисел АВ, ВС, т. е. тождество (1) справедливо.
Предположим теперь, что отрезки и , будучи ненулевыми, имеют р а з н ы е  направления (рис. 2, низ). Тогда отрезок
имеет длину, равную разности длин отрезков , и направлен так же, как более длинный из них. В этом случае числа АВ
и ВС имеют разные знаки, а число АС имеет модуль, равный разности модулей чисел АВ, ВС, и знак, совпадающий со знаком того из
этих чисел, модуль которого больше. Следовательно, по правилу
сложения относительных чисел и при таком расположении точек
число АС равно сумме чисел АВ, ВС, т. е. тождество (1) справедливо.

Рис. 2

Предположим, наконец, что какой-нибудь из отрезков ,

— нулевой. Если — нулевой отрезок, то точка В совпадает с точкой А, следовательно,

AB + BC = AA + AC = 0 + AC = AC.

Если — нулевой отрезок, то точка В совпадает с точкой С,
следовательно,
AB + BC = AC + CC = AC + 0 = AC.

Итак, тождество (1) действительно справедливо при всех расположениях точек А, В, С.
З а м е ч а н и е. Если бы в соотношении (1) символы АВ, ВС
и АС считались просто д л и н а м и  соответствующих отрезков
(без учета знаков!), то оно было бы верно только тогда, когда точка В лежит между точками A и С. Универсальность соотношения
(1) имеет своим источником именно то обстоятельство, что АВ, ВС
и АС в нем понимаются как в е л и ч и н ы  отрезков , и , т. е. как длины их, взятые с надлежащими знаками *).

*) Если отрезки не лежат на какой-либо оси, а рассматриваются как произвольные отрезки на плоскости, то нет оснований условно приписывать их длинам тот или иной знак. В таких случаях длины отрезков можно обозначать как
в элементарной геометрии, без символа модуля, что мы и будем часто делать
в дальнейшем (см., например, п. 40, где длина отрезка обозначена через СМ
вместо ⎪СМ⎥).

§ 1. Ось и отрезки оси

Глава 1. Координаты на прямой и на плоскости
§ 2. Координаты на прямой. Числовая ось

4. Мы укажем здесь способ, с помощью которого п о л о ж ен и е  т о ч е к  на произвольно выбранной прямой можно определять заданием ч и с е л.
Пусть дана произвольная прямая а. Выберем некоторый отрезок
в качестве линейной единицы, назначим на прямой а положительное направление (благодаря чему она станет осью) и отметим
на этой прямой буквой О какую-нибудь точку.
После этого условимся называть координатой любой точки М
на оси а величину отрезка . Точку О будем называть началом
координат; ее собственная координата равна нулю.
Заданием координаты точки М положение этой точки на данной прямой определяется вполне. Именно, модуль координаты,
т. е. ОМ, есть расстояние точки М от (заранее фиксированной)
точки О, а знак координаты, т. е. знак числа ОМ, устанавливает,
в каком направлении от точки О расположена точка М; если координата положительна, то точка М расположена в положительном
направлении от точки О, если отрицательна, то в отрицательном,
если же координата равна нулю, то точка М совпадает с точкой О
(все это непосредственно следует из определения величины отрезка
оси; см. п. 2).
Представим себе, что прямая а расположена перед нами горизонтально и положительно направлена в правую сторону. Тогда
расположение точек прямой а, в зависимости от знака их координат, может быть описано следующим образом: точки, имеющие
положительные координаты, лежат справа от начала координат О,
а точки, имеющие отрицательные координаты, — слева от начала
координат О.
Координату произвольной точки обычно обозначают буквой х.
В тех случаях, когда рассматривается несколько точек, их часто
обозначают одной буквой с разными номерами, например,
М1, M2,…, Мn; координаты этих точек тогда также обозначают одной буквой с соответствующими номерами x1, x2,…, xn.
Желая кратко указать, что данная точка имеет данную координату, записывают эту координату в круглых скобках рядом с обозначением самой точки, например: М1 (х1), M2 (x2),…, Мn (хn).
5. Здесь мы докажем две простые, но важные теоремы. Они
относятся к оси, на которой введена координатная система.
Т е о р е м а  1. Каковы бы ни были две точки оси М1 (х1) и M2 (х2),
всегда имеет место равенство

M1M2 = x2 − x1.
(1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Вследствие основного тождества (п. 3)
OM1 + M1M2 = OM2,
откуда
M1M2 = OM2 − OM1.
Но ОМ2 = х2, OM1 = x1, следовательно,
M1M2 = x2 − x1,
что и требовалось доказать.
Сущность этой теоремы можно высказать такими словами: чтобы получить величину отрезка оси, нужно от координаты его конца
отнять координату начала. (См. рисунки 3 и 4; в случае рис. 4
необходимо учесть, что координата х1 отрицательна.)
Т е о р е м а  2. Если M1(xl) и M2(x2) — любые две точки оси и d —
расстояние между ними, то
d = ⎪x2 − x1⎪.
(2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно предыдущей теореме
M1M2 = x2 − x1;
но расстояние между точками М1, М2 есть модуль величины отрезка , следовательно,
d = ⎪x2 − x1⎪.
Теорема доказана.

З а м е ч а н и е. Так как числа x2 − x1 и x1 − х2 имеют общий модуль, то с равным правом можно писать d = ⎪x2 − x1⎪ и d = ⎪x1 − x2⎪.
Приняв это во внимание,
мы можем выразить смысл
доказанной теоремы так: чтобы вычислить расстояние
между двумя точками оси,
нужно от координаты одной
из них отнять координату
другой и взять модуль полученной разности.

П р и м е р  1. Даны точки A (5), В (−1), С (−8), D (2); найти величины отрезков , и .
Р е ш е н и е. На основании теоремы 1 имеем

АВ = − 1 − 5 = − 6,

CD = 2 − (−8) = 10,

DB = − 1 − 2 = − 3.

П р и м е р  2. Найти расстояние между точками P (3) и Q (−2).
Р е ш е н и е. На основании теоремы 2

d = ⎪−2 − 3⎪ = ⎪−5⎪ = 5.

Рис. 3

Рис. 4

§ 2. Координаты на прямой. Числовая ось

Глава 1. Координаты на прямой и на плоскости
6. Если на какой-нибудь оси введена координатная система, то
каждая точка этой оси имеет одну вполне определенную координату.
Обратно, какое бы мы ни взяли (вещественное) число х, на оси найдется одна вполне определенная точка М с данной координатой х.
Условимся говорить, что точка М изображает число х. Ось, на
которой введены координаты по способу, описанному в п. 4, так что
ее точки изображают все вещественные числа, называется числовой
осью. На рис. 5 изображены числовая ось и несколько целых чисел.

Условившись изображать числа в виде точек числовой оси, мы
тем самым делаем геометрически наглядным наше представление
о всех числах в их совокупности. Вместе с тем мы получаем возможность формулировать в геометрических терминах арифметические соотношения. Например, все решения неравенств 3 < х < 5
можно наглядно представить себе в виде точек числовой оси, расположенных между двумя ее точками, из которых одна изображает число 3 (т. е. имеет координату, равную 3), другая — число 5
(т. е. имеет координату, равную 5). Это обстоятельство можно коротко выразить так: неравенства 3 < х < 5 определяют интервал (числовой оси), ограниченный точками 3 и 5.
Выражение арифметических соотношений геометрическими терминами оказалось весьма удобным и постоянно употребляется во
всех разделах математики.

§ 3. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости.
Понятие о декартовых косоугольных координатах

7. Если указан способ, позволяющий устанавливать положение
точек плоскости заданием чисел, то говорят, что на плоскости
введена система координат. Мы рассмотрим сейчас простейшую
и наиболее употребительную систему координат, которая называется д е к а р т о в о й  п р я м о у г о л ь н о й.
Декартова прямоугольная система координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке (т. е. указано, какая из них считается первой, а какая — второй). Точка
пересечения осей называется началом координат, а сами оси —
координатными осями, причем первую из них называют также осью
абсцисс, а вторую — осью ординат.
Обозначим начало координат буквой О, ось абсцисс — буквами
Ох и ось ординат — буквами Оу. На чертежах буквы х, у ставятся

Рис. 5

около соответственных осей в положительном направлении от точки О в том месте, где изображения осей обрываются; таким образом, само расположение букв О и х на чертеже указывает, куда
направлена ось абсцисс, а расположение букв О и у — куда направлена ось ординат. Тем самым отпадает надобность указывать положительные направления осей стрелками, поэтому в дальнейшем на
наших чертежах стрелки на координатных осях не ставятся.
Пусть M — произвольная точка плоскости. Спроектируем точку М на координатные оси, т. е. проведем через М перпендикуляры
к прямым Ох и Оу; основания этих перпендикуляров обозначим
соответственно Мх и My (рис. 6).
Координатами точки М в заданной системе называются числа

х = ОМх,
у = ОМу,
(1)

где ОМx означает величину отрезка 
оси абсцисс, OMy —
величину отрезка 
оси ординат. Число х называется первой
координатой или абсциссой точки М, число у называется второй
координатой или ординатой точки M. Желая кратко указать, что
точка М имеет абсциссу х и ординату у,
пользуются записью М (х; у). Если нам придется рассматривать несколько точек, то мы
часто будем обозначать их одной буквой
с разными номерами, например, M1, М2,…, Мп;
тогда координаты этих точек мы будем помечать соответствующими номерами и записывать рассматриваемые точки так: M1 (x1; у1),
М2 (х2; у2),…, Мn (хп; уп).
8. Если задана система декартовых прямоугольных координат, то каждая точка плоскости в этой системе имеет одну вполне определенную пару координат х, у. Обратно, каковы бы ни были два (вещественных) числа
х, у, на плоскости найдется одна вполне определенная точка, абсцисса которой в данной системе есть х, а ордината есть у. Чтобы
построить точку по ее координатам х, у, нужно на оси абсцисс
отложить от начала координат отрезок 
, величина которого
равна х, а на оси ординат — отрезок 
, величина которого равна у (направления, в которых следует откладывать эти отрезки,
определяются знаками чисел х, у); после этого, проводя через Мх
прямую, параллельную оси Оу, и через Му — прямую, параллельную оси Ох, мы найдем искомую точку М как точку пересечения
проведенных прямых.
9. В п. 4 мы объяснили, как вводится система координат на
прямой. Введем теперь на каждой из координатных осей Ох и Оу

Рис. 6

§ 3. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости