Нормированные кольца

УДК 512.5
ББК 22.144
Н 20

Н а й м а р к
М. А.
Нормированные
кольца.
—
3-е изд.,
—
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. — 688 с. — ISBN 978-5-9221-1273-4.

В книге излагаются основы теории нормированных колец и их обобщений
и приложения этой теории к анализу, теории приближений функций в комплексной области, теории представлений групп, гармоническому анализу на
коммутативной группе и другим вопросам.
Краткое содержание книги.
Глава I — основные сведения из топологии, функционального анализа
и теории интегрирования в форме, удобной для использования в остальных
частях книги. Глава II — основные сведения из теории нормированных колец.
Глава III — теория коммутативных нормированных колец. Глава IV — теория
представлений симметричных колец. Глава V — теория различных классов
колец. Глава VI — групповые кольца, теория унитарных представлений топологических групп. Глава VII — слабо замкнутые кольца. Глава VIII — разложение
кольца операторов в гильбертовом пространстве на неприводимые кольца и
применение к разложению унитарного представления группы на неприводимые
представления (написана заново).
Добавление I — частично упорядоченные множества и лемма Цорна. Добавление II — борелевские множества и борелевские функции. Добавление III —
аналитические множества. (Добавления II и III написаны специально для
понимания главы VIII.)
В книгу включены примеры, поясняющие основной текст и указывающие на
различные применения теории, а также литературные указания о полученных
главным образом в последнее время усилениях излагаемых в основном тексте
результатов.
Во втором издании число примеров, литературных указаний, а также библиография существенно увеличены, текст подвергся переработке, для многих
результатов написаны новые, более простые доказательства, многие новые
результаты добалены в главах II–VII.
В книге 3 рисунка. Библиография содержит 1118 названий.

ISBN 978-5-9221-1273-4

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2010

c⃝ М. А. Наймарк, 2010

ОГЛАВЛЕНИЕ

Пр ед и с л о в и е к о в т о р о м у и з д а н и ю . . . . . . . . . . . . .. . . .. .. .. .
12
И з
п р ед и с л о в и я к
п е р в о м у и з д а н и ю . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
13

Г л а в а I. Основные сведения из топологии и функционального
анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
16
§ 1. Линейные пространства . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. .. .. .
16
1. Определение линейного пространства (16).
2. Линейная зависимость н независимость векторов (17). 3. Подпространства (19).
4. Факторпространство (20). 5. Линейные операторы (21). 6. Действия с операторами (24). 7. Инвариантные подпространства (28).
8. Выпуклые множества (28). 9. Теоремы о продолжении линейного функционала (33).
§ 2. Топологические пространства. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. .. .. .
38
1. Определение топологического пространства (38).
2. Внутренность множества; окрестности (39).
3. Замкнутые множества;
замыкание множеств (40).
4. Подпространства (41).
5. Отображения топологических пространств (42).
6. Бикомпактные множества (43).
7. Хаусдорфовы пространства (44).
8. Нормальные
пространства (46). 9. Локально бикомпактные пространства (48).
10. Теорема Стоуна (49).
11. Слабая топология, определенная
семейством функций (52).
12. Топологическое произведение пространств (53). 13. Метрические пространства (56). 14. Компактные множества в метрических пространствах (61).
15. Топологическое произведение метрических пространств (62).
§ 3. Топологические линейные пространства. . . . . . . .. . . . . . . . .. .. .. .
65
1. Определение
топологического
линейного
пространства (65).
2. Замкнутые подпространства в топологических линейных пространствах (67).
3. Выпуклые множества в локально выпуклых
пространствах (68).
4. Задание локально выпуклой топологии
при помощи полунорм (69).
5. Случай конечномерного пространства (72).
6. Непрерывные линейные функционалы (74).
7. Сопряженное пространство (77). 8. Выпуклые множества в конечномерном пространстве (80). 9. Выпуклые множества в сопряженном
пространстве (81). 10. Конусы (86). 11. Аннуляторы в сопряженном пространстве (87).
12. Аналитические вектор-функции (89).
13. Полные локально выпуклые пространства (90).

Оглавление

§ 4. Нормированные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
90
1. Определение нормированного пространства (90). 2. Ряды в нормированном пространстве (96).
3. Факторпространства полного
нормированного пространства (97).
4. Ограниченные линейные
операторы (98).
5. Ограниченные линейные функционалы; сопряженное пространство (102).
6. Вполне непрерывные операторы (103).
7. Аналитические вектор-функции в полном нормированном пространстве (105).
§ 5. Гильбертово пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
107
1. Определение гильбертова пространства (107). 2. Проекция вектора на подпространство (110). 3. Ограниченные линейные функционалы в гильбертовом пространстве (113).
4. Ортогональные
системы векторов в гильбертовом пространстве (115).
5. Ортогональная сумма подпространств (121). 6. Прямая сумма гильбертовых пространств (122). 7. График оператора (123). 8. Замкнутые
операторы; замыкание оператора (124).
9. Сопряженный оператор (125). 10. Случай ограниченного оператора (129). 11. Обобщение на операторы в пространстве Банаха (132). 12. Операторы
проектирования (133).
13. Приводимость (137).
14. Частично
изометрические операторы (138).
15. Матричное представление
оператора (139).
§ 6. Интегрирование на локально бикомпактном пространстве. . . .. .. .. .
141
1. Основные понятия; постановка задачи (141). 2. Основные свойства интеграла (142).
3. Расширение интеграла на полунепрерывные снизу функции (143). 4. Верхний интеграл произвольной
неотрицательной вещественной функции (145).
5. Внешняя мера
множества (147). 6. Эквивалентные функции (148). 7. Простран
ства
L 1 и L1 (149).
8. Суммируемые множества (154).
9. Измеримые множества (157).
10. Измеримые функции (158).
11. Вещественное пространство L2 (164).
12. Комплексное пространство L2 (166).
13. Пространство L∞ (167).
14. Положительная
и отрицательная части линейного функционала (167).
15. Теорема Радона–Никодима (168).
16. Пространство, сопряженное
к L1 (170). 17. Комплексные меры (173). 18. Интеграл на прямом
произведении пространств (174).
19. Интегрирование векторных
и операторных функций (180).

Г л а в а II.
Основные понятия и предложения теории нормированных колец . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
182

§ 7. Основные алгебраические понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
182
1. Определение кольца (182).
2. Кольца с единицей (184).
3. Центр (187).
4. Идеалы (187).
5. Радикал (193).
6. Гомоморфизм и изоморфизм колец (196). 7. Регулярные представления
кольца (197).
§ 8. Топологические кольца . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. .. .. .
199
1. Определение топологического кольца (199).
2. Топологическое присоединение единицы (201).
3. Кольца с непрерывным

Оглавление
7

обратным (201).
4. Резольвента в кольце с непрерывным обратным (204).
5. Топологические тела с непрерывным обратным (205). 6. Кольца с непрерывным квазиобратным (206).
§ 9. Нормированные кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
207
1. Определение нормированного кольца (207).
2. Присоединение
единицы (208). 3. Радикал в нормированном кольце (208). 4. Банаховы кольца с единицей (209).
5. Резольвента в банаховом
кольце с единицей (211). 6. Непрерывный гомоморфизм нормированных колец (212). 7. Регулярные представления нормированного
кольца (213).
§ 10. Симметричные кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
216
1.
Определение
и
простейшие
свойства
симметричного
кольца (216). 2. Положительные функционалы (219). 3. Нормированные симметричные кольца (221). 4. Положительные функционалы
в банаховом симметричном кольце (222).

Г л а в а III.
Коммутативные нормированные кольца . . . . . . . . .. .. .. .
225
§ 11. Реализация коммутативного нормированного кольца в виде кольца
функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
225
1. Факторкольцо по максимальному идеалу (225).
2. Функции
на максимальных идеалах, порожденные элементами кольца (226).
3. Топологизация множества всех максимальных идеалов (229).
4. Случай кольца без единицы (233).
5. Система образующих
кольца (234). 6. Аналитические функции элементов кольца (236).
7. Винеровские пары колец (240). 8. Функции нескольких элементов кольца; локально аналитические функции (242).
9. Разложение кольца в прямую сумму идеалов (244). 10. Кольца с радикалом (245).
§ 12. Гомоморфизм и изоморфизм коммутативных колец . . . . . . . .. .. .. .
247
1. Единственность нормы в полупростом кольце (247). 2. Случай
симметричных колец (249).
§ 13. Кольцевая граница. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
249
1. Определение и основные свойства кольцевой границы (249).
2. Расширение максимальных идеалов (251).
§ 14. Вполне симметричные коммутативные кольца. . . . . .. . . . . . .. .. .. .
254
1. Определение вполне симметричного кольца (254).
2. Критерий вполне симметричности (255).
3. Применение теоремы Стоуна (255).
4. Кольцевая граница вполне симметричного кольца (257).
§ 15. Регулярные кольца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
257
1. Определение регулярного кольца (257).
2. Нормальные кольца функций (258).
3. Структурное пространство кольца (260).
4. Свойства регулярных колец (262).
5. Случай кольца без единицы (267).
6. Достаточное условие регулярности кольца (267).
7. Примарные идеалы (267).
§ 16. Вполне регулярные коммутативные кольца. . . . . . .. . . . . . . .. .. .. .
269
1. Определение и простейшие свойства вполне регулярного кольца (269).
2. Реализация
вполне
регулярных
коммутативных

Оглавление

колец (271). 3. Обобщение на мультинормированные кольца (278).
4. Симметричные подкольца кольца C(T) и бикомпактные расширения пространства T (279). 5. Антисимметричные подкольца кольца C(T) (280).
6. Подкольца кольца C(T) и некоторые вопросы
теории приближений (281).

Г л а в а IV. Представления симметричных колец . . . . . . . . . . .. .. .. .
285

§ 17. Основные понятия и предложения теории представлений . . . .. .. .. .
285
1.
Определение
и
простейшие
свойства
представления (285).
2.
Прямая
сумма
представлений (286).
3.
Описание
представлений
при
помощи
положительных
функционалов
(288).
4.
Представления
вполне
регулярных
коммутативных
колец;
спектральная теорема (292).
5. Спектральные операторы (302).
6. Неприводимые представления (304). 7. Связь между векторами
и положительными функционалами (306).
§ 18. Включение симметричного кольца в кольцо операторов . . . . .. .. .. .
307
1. Регулярная норма (307). 2. Приведенное кольцо (308). 3. Минимальная регулярная норма (311).
§ 19. Неразложимые функционалы и неприводимые представления . .. .. .
314
1. Положительные функционалы, подчиненные данному (314).
2. Кольцо Cf (316). 3. Неразложимые положительные функционалы (317). 4. Теоремы полноты и аппроксимации (318).
§ 20. Применение к коммутативным симметричным кольцам. . .. . . .. .. .. .
322
1. Минимальная регулярная норма в коммутативном симметричном
кольце (322).
2. Положительные функционалы в коммутативном
симметричном кольце (323). 3. Примеры (326). 4. Случай вполне
симметричного кольца (331).
§ 21. Обобщенная лемма Шура . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. .. .. .
339
1. Каноническое разложение оператора (339).
2. Основная теорема (341).
3. Применение к прямым суммам попарно неэквивалентных представлений (343).
4. Применения к представлениям,
кратным данному неприводимому представлению (344).
§ 22. Некоторые представления кольца B(H) . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
346
1. Идеалы в кольце B(H) (346).
2. Кольцо I0 и его представления (350). 3. Представления кольца B(H) (352).

Г л а в а V. Некоторые специальные кольца . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
355

§ 23. Вполне симметричные кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
355
1. Определение и примеры вполне симметричного кольца (355).
2. Спектр (356).
3. Теоремы о продолжении (358).
4. Критерий
вполне симметричности (366).
§ 24. Вполне регулярные кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
368
1. Основные свойства вполне регулярных колец (368).
2. Реализация вполне регулярного кольца в виде кольца операторов (370).
3. Факторкольцо вполне регулярного кольца (373).

Оглавление
9

§ 25. Дуальные кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
375
1. Аннуляторные и дуальные кольца (375).
2. Идеалы в аннуляторном кольце (376). 3. Полупростые аннуляторные кольца (380).
4. Простые аннуляторные кольца (386).
5. Гильбертовы кольца (389). 6. Вполне регулярные дуальные кольца (392).

§ 26. Кольца вектор-функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
395
1. Определение кольца вектор-функций (395).
2. Идеалы в кольце вектор-функций (396).
3. Теоремы о принадлежности векторфункции кольцу (399). 4. Случай вполне регулярных колец (400).
5. Континуальный аналог леммы Шура (408).
6. Структурное
пространство вполне регулярного кольца (417).

Г л а в а VI. Групповые кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
420

§ 27. Топологические группы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
420
1. Определение группы (420). 2. Подгруппы (422). 3. Определение и простейшие свойства топологической группы (422). 4. Инвариантный интеграл и инвариантная мера на локально бикомпактной
группе (424).
5. Существование инвариантного интеграла на локально бикомпактной группе (425).

§ 28. Определение и основные свойства группового кольца. . . . . . .. .. .. .
434
1. Определение группового кольца (434).
2. Некоторые свойства
группового кольца (437).

§ 29. Унитарные представления локально бикомпактной группы и их
связь с представлениями группового кольца . . . . . . . .. . . . . .. .. .. .
441
1. Унитарные представления группы (441).
2. Связь между представлениями группы и группового кольца (441).
3. Теорема полноты (446). 4. Примеры (447).

§ 30. Положительно определенные функции. . . . . . . . .. . . . . . . . .. .. .. .
461
1. Положительно определенные функции и их связь с унитарными представлениями (461). 2. Связь положительно определенных
функций с положительными функционалами в групповом кольце (464). 3. Регулярные множества (468). 4. Тригонометрические
многочлены на группе (471). 5. Спектр (472).

§ 31. Гармонический анализ на коммутативной локально бикомпактной
группе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
476
1. Максимальные идеалы группового кольца коммутативной группы; характеры (476).
2. Группа характеров (481).
3. Положительно определенные функции на коммутативной группе (483).
4. Формула обращения и теорема Планшереля для коммутативной
группы (485). 5. Свойство отделимости множества [L1 ∩ P] (490).
6. Теорема двойственности (491).
7. Унитарные представления
коммутативной
группы (493).
8. Теоремы
тауберовского
типа (493). 9. Случай бикомпактной группы (498). 10. Сферические
функции (500). 11. Операция обобщенного сдвига (502).

Оглавление

§ 32. Представления бикомпактных групп . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
506

1. Кольцо L2(G) (506).
2. Представления бикомпактной группы (507). 3. Тензорное произведение представлений (513). 4. Теорема двойственности для бикомпактной группы (514).

Г л а в а VII. Кольца операторов в гильбертовом пространстве . .. .. .
519

§ 33. Различные топологии в кольце B(H). . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
519
1. Слабая топология (519). 2. Сильная топология (519). 3. Сильнейшая топология (522). 4. Равномерная топология (522).
§ 34. Слабо замкнутые подкольца кольца B(H) . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
523
1.
Основные
понятия
(523).
2.
Главная
единица
(523).
3. Центр (528). 4. Факторизация (528).
§ 35. Относительная эквивалентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
529
1. Операторы и подпространства, присоединенные к кольцу (529).
2. Основная лемма (530).
3. Определение относительной эквивалентности (531).
4. Сравнение замкнутых подпространств (532).
5. Конечные и бесконечные подпространства (535).
§ 36. Относительная размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
539
1. Целая часть отношения двух подпространств (539).
2. Случай
существования минимального подпространства (540).
3. Случай
отсутствия минимального подпространства (541).
4. Существование и свойства относительной размерности (542). 5. Область изменения относительной размерности; классификация факторов (547).
6. Инвариантность класса фактора по отношению к симметричному
изоморфизму (549).
§ 37. Относительный след. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
550
1. Определение следа (550).
2. Свойства следа (551).
3. След
в факторах классов (I∞) и (II∞) (557).
§ 38. Структура и примеры некоторых классов факторов . . . .. . . . .. .. .. .
557
1. Отображение M → M(M) (557).
2. Матричное описание факторов классов (I) и (II) (560).
3. Описание факторов класса
(I) (562).
4. Структура факторов класса (II∞) (564).
5. Пример
фактора класса (II1) (565). 6. Аппроксимативно конечные факторы
класса (II1) (567).
7. Соотношение между классами факторов M
и M ′ (568).
8. Соотношение между симметричным и пространственным изоморфизмами (568).
9. Неограниченные операторы,
присоединенные к фактору конечного класса (568).
§ 39. Унитарные кольца и кольца со следом . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
569
1. Определение унитарного кольца (569).
2. Определение кольца
со следом (569). 3. Унитарное кольцо, определенное следом (569).
4. Канонический след в унитарном кольце (570).

Г л а в а VIII.
Разложение
кольца
операторов
на
неприводимые
кольца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
574

§ 40. Постановка задачи; каноническая форма коммутативного кольца
операторов в гильбертовом пространстве . . . . . . . . .. . . . . . .. .. .. .
574

Оглавление
11

1. Постановка задачи (574).
2. Лемма о сепарабельности (576).
3. Каноническая форма коммутативного кольца (577).
§ 41. Прямой интеграл гильбертовых пространств; разложение кольца
операторов в прямой интеграл неприводимых колец. . . . . . . .. .. .. .
580
1. Прямой интеграл гильбертовых пространств (580).
2. Разложение гильбертова пространства в прямой интеграл по заданному
коммутативному кольцу R (584). 3. Разложение по максимальному
коммутативному кольцу. Условие неприводимости (589).
4. Разложение унитарного представления локально бикомпактной группы
на неприводимые представления (593).
5. Центральные разложения и факторпредставления (598).
6. Представления в пространстве с индефинитной метрикой (598).

Д о б а в л е н и е
I.
Частично упорядоченные множества и лемма
Цорна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
601

До б а в л е н и е II. Борелевские пространства и борелевские функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
602

До б а в л е н и е III.
Аналитические множества . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
604
С п и с о к л и т е р а т у р ы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
612
И м е н н о й у к а з а т е л ь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
668
Пр ед м е т н ы й у к а з а т е л ь . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. .. .. .
674
Го т и ч е с к и й а л ф а в и т . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. .. .. .
685

Предисловие ко второму изданию

В этом втором издании переработан и улучшен первоначальный
текст, отдельные части написаны заново; заново и более доступно
написана глава VIII. При этом учтены изменения и дополнения, сделанные автором в японском, немецком, первом и втором американских,
а также в румынском (литографированном) изданиях.
Для удобства читателя в книгу включены добавления II и III,
необходимые для понимания главы VIII.
В книге отражены многие новые результаты теории, интенсивно
развивавшейся за десятилетие, прошедшее после выхода в свет первого
издания. Разумеется, ограничения на объем книги заставили автора
произвести при этом жесткий отбор и во многих случаях ограничиться лишь формулировкой новых результатов или литературными
указаниями. Автор вынужден был также сделать отбор в исключительно обширном количестве новых работ при составлении дополненного
списка литературы. В этот список и в литературные указания к главам включены монографии и обзоры по отдельным вопросам теории,
вышедшие в свет за последнее десятилетие. Автор надеется, что эти
дополнения и литературные указания дадут читателю возможность
ориентироваться также в новых вопросах теории.
Автор весьма признателен всем коллегам, указавшим после выхода
в свет первого издания на отдельные содержавшиеся в нем опечатки
и неточности.
Д. А. Райков и М. Г. Сонис тщательно отредактировали рукопись
и своими замечаниями способствовали улучшению отдельных мест
книги; кроме того, М. Г. Сонисом написаны пп. 3, 5 § 9, п. 7 § 11,
IX п. 2 § 18, следствия 1–4 из I п. 3 § 23 и IV, V п. 3 § 23.
Автор считает своим приятным долгом выразить Д. А. Райкову
и М. Г. Сонису глубокую благодарность. Автор благодарен А. З. Рывкину за внимательное отношение к рукописи и выражает признательность
Д. П. Желобенко за помощь при чтении корректур.

Москва, февраль 1967 г.
М. А. Наймарк

Из предисловия к первому изданию

Теория нормированных колец, несмотря на свое недавнее возникновение, развилась в обширную отрасль функционального анализа,
имеющую многочисленные применения в различных других областях
математики.
Первый цикл работ, посвященных конкретным нормированным
кольцам, именно кольцам ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве, был начат в 1930 г. фон Нейманом [1] и затем
продолжен в работах Мюррея и фон Неймана [1]. Уже в этих работах
выяснилась целесообразность рассмотрения колец операторов. Однако
наиболее плодотворной оказалась абстрактная точка зрения; при этой
точке зрения природа элементов кольца никакой роли не играет, так
что нормированное кольцо есть просто какая угодно совокупность
элементов, образующая кольцо в алгебраическом смысле и снабженная
нормой, удовлетворяющей простым требованиям.
Эта точка зрения была систематически развита И. М. Гельфандом
[1–7] в его теории коммутативных нормированных колец. Решающее
значение здесь имели обнаруженная И. М. Гельфандом роль максимальных идеалов, построение бикомпактного пространства максимальных идеалов и представление элементов полупростого кольца в виде
кольца непрерывных функций на этом пространстве. Уже первые приложения показали силу теории нормированных колец. Так, при помощи
нормированных колец получилось неожиданно простое доказательство
теоремы Винера [1] о тригонометрических рядах, получились также
простые доказательства и обобщения многих теорем тауберовского
типа и т. д.
Существенную роль в развитии этих приложений сыграл большой
цикл работ Г. Е. Шилова [1–22], посвященных исследованию различных классов коммутативных нормированных колец и структуры идеалов в них.
Особенно важным оказалось применение теории коммутативных
нормированных колец к теории локально бикомпактных коммутативных групп, которое привело к построению И. М. Гельфандом,
М. Г. Крейном и Д. А. Райковым (см. Гельфанд и Райков [1], Крейн [6],
Райков [2–6]) гармонического анализа на таких группах и, в частности, к простому аналитическому доказательству Д. А. Райковым [4]
теоремы двойственности Л. С. Понтрягина.
Другой важный класс уже некоммутативных колец, именно колец
с инволюцией (см. § 10), был рассмотрен в работе И. М. Гельфанда
и М. А. Наймарка [1]. В этой работе было показано, что всякое

Из предисловия к первому изданию

такое кольцо, при соблюдении некоторых естественных условий, можно
так изоморфно отобразить в кольцо ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве, что операция инволюции переходит
в операцию A → A∗ (где A∗ — сопряженный оператор), а норма переходит в норму оператора.
Важную роль здесь сыграло понятие положительного функционала,
т. е. линейного функционала f в кольце, удовлетворяющего условию
f(x∗x) ⩾ 0. Методы, разработанные в этой статье, в частности понятие
положительного функционала, были в дальнейшем использованы в работах И. М. Гельфанда и в многочисленных работах других авторов
при изучении колец с инволюцией и построении теории представлений
таких колец; для частного случая групповых колец эти методы были
использованы при изучении унитарных представлений топологических
групп.
Другое построение теории представлений локально бикомпактных
групп, при помощи положительно определенных функций, было впервые дано И. М. Гельфандом и Д. А. Райковым [2], в частности ими
была доказана полнота системы всех неприводимых унитарных представлений локально бикомпактной группы.
В дальнейшем эти результаты И. М. Гельфанда и Д. А. Райкова
были отчасти независимо повторены и затем развиты в работах Р. Годмана [3].
Несмотря на наличие большого числа результатов, теорию нормированных колец, особенно некоммутативных, нельзя считать завершенной и многие интересные вопросы этой теории до сих пор остаются
открытыми.
Особый интерес представляет дальнейшее развитие теории характеров и гармонического анализа на локально бикомпактных группах,
построенной в работах И. М. Гельфанда и М. А. Наймарка [1–8] для
комплексных классических групп и перенесенной в многочисленных
работах ряда авторов на другие классы локально бикомпактных групп.
Кроме того, остается нерешенным ряд вопросов, связанных с разложением данного представления группы или кольца на неприводимые
представления.
Несмотря на важность теории нормированных колец для многих
приложений и на большое количество результатов, в ней уже полученных, до сих пор имеется очень мало книг, посвященных этой теории.
Так, имеется книга Люмиса [2], в которой, однако, главное внимание
уделено теории коммутативных и гильбертовых колец и ее приложению
к гармоническому анализу на локально бикомпактной коммутативной
группе и на бикомпактной некоммутативной группе. Кроме того, некоторые вопросы теории нормированных колец изложены в книге Хилла
«Функциональный анализ и полугруппы».
В настоящей книге излагается теория нормированных, а также
некоторых топологических колец как коммутативных, так и некоммутативных, и различные ее приложения, главным образом к теории

Из предисловия к первому изданию
15

представлений локально бикомпактных групп. Для удобства читателя
в первой главе книги даны необходимые сведения из функционального
анализа.
Автор выражает глубокую благодарность Д. А. Райкову, прочитавшему книгу в рукописи и сделавшему ряд ценных замечаний. Автор
выражает также глубокую благодарность И. М. Гельфанду и Г. Е. Шилову за ряд ценных советов.

Москва, август 1955 г.
М. А. Наймарк

Г л а в а I

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ

И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

§ 1. Линейные пространства

1. Определение линейного пространства. Множество R называют линейным или векторным пространством, если:
а) для любых двух элементов x, y из R определена их сумма x + y,
также являющаяся элементом множества R;
б) для любого вещественного или комплексного числа α и любого
элемента x из R определено их произведение αx, также являющееся
элементом множества R;
в) эти операции сложения элементов и умножения элемента на
число удовлетворяют следующим условиям:
a1) x + y = y + x;
a2) (x + y) + z = x + (y + z);
а3) в R существует элемент 0 такой, что x + 0 = x для любого
элемента x из R;
а4) для каждого элемента x из R существует элемент −x такой, что
x + (−x) = 0;
б1) 1 · x = x;
б2) α(βx) = (αβ) x;
б3) (α + β) x = αx + βx;
б4) α(x + y) = αx + αy.
Если при этом в R определено умножение лишь на вещественные
числа, то R называют вещественным линейным пространством; если
же в R определено умножение на произвольные комплексные числа, то
R называют комплексным линейным пространством.
Очевидно, всякое комплексное линейное пространство R можно
также рассматривать как вещественное линейное пространство.
Элементы линейного пространства R называют обычно векторами.
Отметим, что природа элементов пространства R, а также способ
определения операций сложения и умножения на число могут оставаться совершенно произвольными; важно только, чтобы выполнялись
условия a1)–а4) и б1)–б4).

§ 1. Линейные пространства
17

П р и м е р ы. 1. Обозначим через Cn совокупность всех систем x =
= (ξ1, ξ2, ... , ξn), где ξ1, ξ2, ..., ξn — комплексные числа. Определим
операции сложения и умножения на комплексное число по формулам

(ξ1, ξ2, ... , ξn) + (η1, η2, ... , ηn) = (ξ1 + η1, ξ2 + η2, ... , ξn + ηn),
α(ξ1, ξ2, ... , ξn) = (αξ1, αξ2, ... , αξn).

Очевидно, условия а1)–а4) и б1)–б4) будут выполнены, так что Cn —
комплексное линейное пространство.
Если же считать ξj и ηj только вещественными, то мы получим
вещественное линейное пространство Rn.
В частности, C1 есть просто совокупность всех комплексных чисел,
а R1 — совокупность всех вещественных чисел, с обычными операциями сложения и умножения.
2. Пусть Pn — совокупность всех многочленов p(x) = c0 + c1x + ...
... + cnxn степени ⩽ n с комплексными коэффициентами; определим
в Pn операции сложения и умножения на комплексное число обычным
образом. Легко видеть, что тогда Pn станет комплексным линейным
пространством.
3. Пусть C(a, b) — совокупность всех непрерывных комплексных
функций x = x(t) на фиксированном отрезке [a, b]; определим операции
сложения и умножения на комплексное число обычным образом. Легко
проверить, что C(a, b) станет тогда комплексным линейным пространством.

2. Линейная зависимость н независимость векторов. Линейной
комбинацией векторов x1, x2, ..., xk называют всякую сумму вида
α1x1 + α2x2 + ... + αkxk. Векторы x1, x2, ..., xk называют линейно
независимыми, если их линейная комбинация α1x1 + α2x2 + ... + αkxk
обращается в нуль лишь когда α1 = α2 = ... = αk = 0, и линейно
зависимыми в противном случае.
Пространство R называют конечномерным (именно n-мерным), если в R существует не более конечного числа (именно n и не более)
линейно независимых векторов; в противном случае пространство R
называют бесконечномерным. В случае n-мерного пространства R всякую совокупность n линейно независимых векторов называют базисом в R.

Пространство Cn примера 1 п. 1 n-мерно; базисом в нем является,
например, совокупность векторов x1 = (1, 0, 0, ... , 0), x2 = (0, 1, 0, ...
... , 0), ..., xn = (0, 0, ... , 0, 1).
Пространство C(a, b) примера 3 п. 1 бесконечномерно, ибо в нем
имеется сколько угодно линейно независимых функций, например,

1, t, ... , tN
(N = 1, 2, 3, ... ).

Гл. I. Основные сведения из топологии и функционального анализа

Если R n-мерно и x1, x2, ..., xn — базис в R, то всякий вектор x
из R представляется, и притом единственным образом, в виде

x = ξ1x1 + ξ2x2 + ... + ξnxn.
(1)

Действительно, так как R n-мерно, то векторы x, x1, x2, ..., xn
линейно зависимы; это означает, что существуют числа c, c1, ..., cn,
не все равные нулю, для которых

cx + c1x1 + ... + cnxn = 0.
(2)

При этом c ̸= 0, ибо из c = 0 следовало бы c1x1 + ... + cnxn = 0, что
в силу линейной независимости векторов x1, ..., xn возможно лишь
при c1 = c2 = ... = cn. Но тогда из (2) следует

x = −c1

c x1 − ... − cn

c xn,

т. е. формула (1) с коэффициентами ξi = −ci

c . Если одновременно
x = ξ′
1x1 + ξ′
2x2 + ... + ξ′
nxn, то, вычтя это равенство из (1), получим

0 = (ξ1 − ξ′
1) x1 + (ξ2 − ξ′
2) x2 + ... + (ξn − ξ′
n) xn.

В силу линейной независимости векторов x1, x2, ..., xn это возможно
лишь тогда, когда ξ1 − ξ′
1 = ξ2 − ξ′
2 = ... = ξn − ξ′
n = 0, т. е. ξ1 = ξ′
1,
ξ2 − ξ′
2, ..., ξn = ξ′
n. Тем самым доказана единственность представления (1).
Числа ξ1, ξ2, ..., ξn называют координатами вектора x относительно базиса {x1, x2, ... , xn}.
Два линейных пространства R и R′ называют изоморфными, если
между совокупностями их векторов существует взаимно однозначное
соответствие x ↔ x′, обладающее следующими свойствами:
1) если x ↔ x′, то αx ↔ αx′;
2) если x ↔ x′ и y ↔ y′, то x + y ↔ x′ + y′.
Само такое соответствие x ↔ x′ называют изоморфизмом пространств R и R′.

Уп р а ж н е н и я. 1). Доказать, что соответствие x ↔ (ξ1, ξ2, ... , ξn)
между векторами n-мерного пространства R и их координатами ξ1,
ξ2, ..., ξn относительно фиксированного базиса есть изоморфизм пространств R и Cn (см. пример 1 п. 1).
2). Доказать, что векторы

y1 = ξ11x1 + ξ12x2 + ... + ξ1nxn,
y2 = ξ21x1 + ξ22x2 + ... + ξ2nxn,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
yk = ξk1x1 + ξk2x2 + ... + ξknxn

(3)

§ 1. Линейные пространства
19

n-мерного пространства R с базисом {x1, x2, ... , xn} линейно независимы тогда и только тогда, когда ранг матрицы 1)
ξ11
ξ12
...
ξ1n
ξ21
ξ22
...
ξ2n
. . . . . . . . . . . . . . . . .
ξk1
ξk2
... ξkn

равен k.

3. Подпространства. Подмножество M линейного пространства R
называют его подпространством, если: а) сумма любых двух элементов множества M также принадлежит M; б) произведение любого
элемента из M на произвольное число также принадлежит M. Очевидно, M также образует линейное пространство, если сохранить в нем
то же определение операций сложения и умножения на число, что и во
всем пространстве.

П р и м е р ы. 1. Совокупность всех систем x = (0, ξ2, ... , ξn) в Cn
есть подпространство в Cn.
2. Совокупность всех функций x(t) из C(a, b), равных нулю в фиксированной точке t0 ∈ [a, b], есть подпространство в C(a, b).

Отметим, что само R, а также множество (0), состоящее из одного
только элемента 0, являются подпространствами в R. Мы будем называть их тривиальными подпространствами.
Очевидно, пересечение любого множества подпространств в R
есть подпространство в R. В частности, пересечение всех подпространств, содержащих данное множество S ⊂ R, есть минимальное
подпространство, содержащее S; это минимальное подпространство
называют линейной оболочкой множества S или подпространством,
натянутым на S.
I. Линейная оболочка множества S есть совокупность всех конечных линейных комбинаций α1x1 + ... + αkxk элементов xi этого
множества.
Действительно, совокупность всех таких линейных комбинаций
есть подпространство, содержащее S; с другой стороны, всякое подпространство, содержащее S, должно содержать все эти линейные
комбинации.
Частным случаем линейной оболочки является сумма конечного
числа подпространств M1, M2, ... , Mk. Суммой подпространств M1,
M2, ..., Mk называется совокупность всех сумм x1 + x2 + ... + xk,

1) Напомним, что рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля определителей, составленных из матрицы вычеркиванием некоторых ее строк и столбцов.