Динамика материальной точки: решебник


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ, МЕХАНИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК





    О. А. Беляк, С. В. Дерезин, А. В. Попов


    В.М. Шутько, О. В. Явруян





ДИНАМИКА
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ












Ростов-на-Дону
Издательство Южного федерального университета
2010

УДК 531.8
ББК 22.21
     Д46
Печатается по решению редакционно-издательского совета Южного федерального университета

Рецензенты:
зав. кафедрой теоретической и компьютерной гидроаэродинамики ЮФУ, доктор технических наук, профессор Снопов А. И.;
зав. кафедрой сопротивления материалов ДГТУ, доктор технических наук, профессор Соловьёв А. Н.

Решебник подготовлен и издан в рамках национального проекта «Образование» по «Программе развития федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Южный федеральный университет" на 2007-2010 гг.»



       Беляк О. А., Дерезин С. В., Попов А. В., Шутько В. М., Явруян О. В.

Д 46 Динамика материальной точки: решебник / Беляк О. А., Дерезин С. В., Попов А. В., Шутько В. М., Явруян О. В. — Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2010. — 120 с.
           ISBN 978-5-9275-0773-3
           Решебник содержит решения наиболее показательных задач динамики материальной точки. В каждом модуле кратко изложены основные теоретические положения. В приложение вынесены алгоритмы решения некоторых задач, реализованные в среде Maple 10.
           Предназначен для студентов факультета математики, механики, и компьютерных наук, изучающих курс теоретической механики.

ISBN 978-5-9275-0773-3                                    УДК 531.8
ББК 22.21


                                                                © Беляк О. А., модуль 2, 2010
                                                                © Дерезин С. В., модуль 4, 2010
                                                                © Попов А. В., модуль 1, 2010
                                                                © Шутько В.М., модуль 1, 2, 5, 2010
                                                                © Явруян О. В., модуль 3, 2010
                                                                © Южный федеральный университет, 2010
                                                                © Оформление. Макет. Издательство
Южного федерального университета, 2010

                Оглавление





       Введение ...................................................... 4
       Модуль 1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
Основные задачи динамики точки........................... 5
       Модуль 2. Колебательное движение материальной точки .......... 27
       Модуль 3. Основные теоремы динамики материальной точки........ 65
       Модуль 4. Смешанные задачи динамики материальной точки........ 85
       Модуль 5. Относительное движение материальной точки .......... 96
       Литература....................................................109
       Приложение ...................................................110

            ВВЕДЕНИЕ



  Решебник по теоретической механике «Динамика материальной точки» предназначен для студентов специальностей «механика», «математика» и «прикладная математика» факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, а также может быть рекомендован для преподавателей и студентов технических вузов. Разработан решебник с целью облегчить студентам усвоение теоретического и практического материала на наиболее показательных примерах, которые охватывают практически весь спектр задач по данной тематике. Важность раздела «Динамика материальной точки» в курсе теоретической механики обусловлена тем, что знания, полученные студентами при изучении этого раздела, являются основой для изучения следующих разделов курса: динамики материальной системы и динамики твердого тела. Учтены особенности преподавания курса теоретической механики для студентов специальности «механика» в университете. Некоторые из проанализированных в пособии задач помогут студентам подготовиться к самостоятельной работе, в том числе к выполнению индивидуальных заданий.
  Решебник разбит на пять модулей, освещающих следующие темы: дифференциальные уравнения движения материальной точки, колебательное движение материальной точки, основные теоремы динамики материальной точки, смешанные задачи динамики материальной точки и относительное движение материальной точки. Модули начинаются с краткого изложения теории, далее следуют условия задач и их решения. Подбор задач вёлся с основной опорой на сборник И. В. Мещерского [8], поэтому при решении задач из этого сборника указывался только номер задачи. В остальных случаях приводилась ссылка на источник. Расположены задачи в порядке возрастания сложности. В каждом из модулей студентам предложены задачи для самостоятельного решения с целью закрепления материала. Также приведена программа алгоритма решения задач с использованием универсального математического пакета MAPLE 10.

            МОДУЛЬ 1


    Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
    Основные задачи динамики точки


  Динамика изучает движение механических систем в зависимости от причин, вызывающих движение, т. е. от действующих сил.
  Материальная точка — это тело таких малых размеров, что различием в движении его отдельных частей можно пренебречь, точка имеет массу т, равную массе всего тела. Материальная точка «по отношению к кинематическим характеристикам (траектория, скорость, ускорение)... может рассматриваться как геометрическая точка, по отношению к действующим силам она ведет себя как материальное тело природы» [5]. Модель материальной точки вполне достаточно описывает поступательное движение тела, так как в этом случае «можно ограничиться изучением движения одной какой-нибудь точки этого тела, приписав ей массу, равную массе всего тела» [12]. Понятие материальной точки и законы её движения используются и в динамике системы материальных точек, и в динамике твердого тела, например при применении теоремы о движении центра масс. Далее материальную точку будем для краткости называть просто точкой.
  В основу модели движущейся материальной точки положен второй закон Ньютона.
  троизводная по времени от количества движения mvirn mv равна, равнодействующей F приложенных к точке сил:

d            ⁿ
— {rnv== F, F = ^Fi.               (1.1)
dt           i=1

Модуль 1

  Для точки постоянной массы имеем [3, 6, 7, 13]


                    dv
m— = F, mw = F.



(1.2)

В (1.1), (1.2) v скорость, w — ускорение точки. Следовательно, второй закон Ньютона можно сформулировать иначе: произведение массы точки на ускорение равно равнодействующей силе, приложенной к точке постоянной массы.
  Уравнение (1.2) можно переписать в виде


mr = F,                                              (1.3)


где r — радиус-вектор точки относительно инерциальной системы отсчёта. В прямоугольной декартовой системе координат Oxₓx₂x₃ (1-3) даёт систему дифференциальных уравнений движения материальной точки в скалярной форме:


mxₖ = Fₖ, k =1, 2, 3.


(1.4)

В естественной системе координат, где т — касательный орт, n — главная нормаль, b — бинормаль [3], (1.3) даёт


v²
ms = FT, m— = Fₙ, 0 = Fb.
P


(1.5)

Напомним, что s(t) — закон движения точки, т. е. расстояние от начала отсчёта до движущейся точки, измеренное вдоль дуги траектории. Тогда


v²
v = s,   wT = s,     wₙ = —
                                                                P


(1.6)

где p — радиус кривизны траектории. Отметим, что траектория движущейся под действием силы F точки такова, что сила F расположена в соприкасающейся плоскости, Fb = 0 согласно (1.5) [3].
  Первая (основная) задача динамики материальной точки заключается в том, что по заданному закону движения точки


Xk = Xk(t),    k =1, 2, 3

(1.7)

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

7

и известной массе m находят действующую на точку силу (или одну из действующих сил), т. е. функции Fₖ, k =1, 2, 3, используя (1.4) и (1.7).
   Вторая (основная) задача динамики материальной точки состоит в том, чтобы по заданным силам, приложенным к точке массы m, определить закон движения точки. Для этого следует проинтегрировать систему дифференциальных уравнений (1.4). Это система трёх уравнений второго порядка, общее решение которой получим в виде функций времени t и шести произвольных постоянных Cj (j = 1, 2, ..., 6):
xₖ = xₖ(t, C1, ..., Сб), k = 1, 2, 3.              (1.8)
Для определения произвольных постоянных Cj в (1.8) используют начальные условия движения точки, т. е. начальное положение точки Го и начальную скорость vo в начальный момент времени to:
         xk(to, Ci, ..., Сб) = xko, Xk(to, C1, ..., Сб) = vko, k =1, 2, 3. (1.9)
В результате получают систему шести алгебраических уравнений для нахождения Cj.
   В случае, если на точку наложены связи, пользуются аксиомой освобождаемости n
от связей — к главному вектору активных сил F = V Fi добавляют главный вектор i=1
пассивных сил (реакций связей) R. Тогда дифференциальные уравнения движения принимают вид: в векторной форме
mr = F + R                             (1.10)
и в скалярной форме (проекции на оси координат)
mXk = Fk + Rk, k =1, 2, 3.                     (1.11)
К уравнениям (1.11) присоединяют уравнения связей.
   Наконец, возможны частные случаи движения: движение в плоскости (k =1, 2) и прямолинейное (k = 1).
   Обратим внимание читателя, что в решениях задач этого и последующих модулей для координат декартовой системы использовались обозначения x, y, z, как это принято в [8].
   Приведём решения задач на нахождение силы, действующей на точку (первая задача динамики материальной точки).

Модуль 1

  Задача 1.1 (26.15)
  Тело массы 2,04 кг совершает колебательное движение по горизонтальной прямой nt
согласно закону х =10 sin — м. Найти зависимость силы, действующей на тело, от ко-2
ординаты х. а также наибольшую величину этой силы.
  Решение
  Движение точки является прямолинейным, в (1.4) остаётся единственное уравнение, которое запишется в виде
F = тх.
Найдём ускорение
п²  nt
w = х = -10— sin —.
                                      42

Тогда может быть получена зависимость значения силы F от времени t:

F = - — m10sin — =
   42

- 5тп² sin -, 22

таким образом, колебательное движение точка совершает под действием гармонической силы. Получим зависимость значения силы F от координаты х:


F = - — тх = - ²,⁰⁴П- х = - 5,033х.
44



(1.12)

Наибольшей величины сила F достигает первый раз при t1 = 3 с, когда sin —¹ = -1,
2


F    = 50,33 Н.



(1.13)

  Задача 1.2 (26.26)
   Груз массы т = 600 кг посредством ворота поднимают по наклонному шурфу, составляющему угол а = 60° с горизонтом. Коэффидиент трения f груза о поверхность шурфа равен 0,2. Ворот радиуса r = 0,2 м вращаете я по закону д = 0,4t³. Найти натяжение троса как функцию времени и значение этого натяжения через 2 с после начала подъёма.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

9

  Решение
  По условию 'задачи, па поднимаемый груз действуют четыре силы (рис. 1.1). Сила тяжести mg направлена по вертикали вниз. Сила давления поверхности шурфа N — по нормали к поверхности. Сила трения FTₚ направлена вдоль поверхности шурфа в сторону, противоположную направлению движения. Натяжение троса S — вдоль поверхности по направлению движения. Систему координат Oxy введём так, чтобы начало отсчёта O находилось в положении, откуда груз начинает движение, ось Ox была направлена вдоль наклонной поверхности шурфа.

Рис. 1.1

  Уравнение движения (1.10) запишется в виде

mr = S + mg + FT р + N,

в проекциях па оси координат получаем

mx = S — mg sin a — FTₚ,                      (1-14)

0 = N — mg cos a.                          (1.15)
Из соотношения (1.15) находим величину нормального давления N = mg cos a. Значение силы трения определяется как предельное значение силы трения скольжения [4]


Ftр = fN = fmg cos a.

Модуль 1

Таким образом, в правой части уравнения движения (1.14) величины всех сил, кроме искомого натяжения троса S, найдены. Теперь необходимо найти ускорение w = X груза.
   Длина троса уменьшается, так как трос наматывается на вращающийся ворот. Расстояние х, на которое переместится груз вдоль наклонного шурфа, равно длине намотанной части троса:
х = гд = 0,2 • 0,4t³ = 0,08t³.
Тогда w = х = 0,48t. Из (1.14) находим натяжение троса
S = mX + mg(sin а + f cos а).

  Подставляя численные значения m, а и f, получаем значение S как функцию вре
мени

S =600

^0,48t + 9

,8 (— + 0,2 • 2

2»

Н = (288t + 5680) Н = (0,288t + 5,68) кН.

(1.16)

Через 2 с после начала подъёма натяжение троса примет значение


S(2) = (0,288 • 2 + 5,68) Н = 6,256 кН.



(1.17)

  Задача 1.3 (26.28)
  Груз М веса 10 Н подвешен к тросу длины l = 2 м и совершает вместе с тросом

колебания согласно уравнению д = — sin 2nt, где д — угол отклонения троса от верти-6
кали в радианах, t — время в секундах. Определить натяжения S₁ и S₂ троса в нижнем
и верхнем положениях груза (рис. 1.2).
  Решение
  Моменты времени, соответствующие нижнему положению груза Мь найдём из усло
вия д = 0 (рис. 1.2), т. е. t1 является корн ем уравнения sin 2nt = 0, отс юда t = —, k G Z,
2
тогда в качестве наименьшего неотрицательного момента времени возьмём t1 = 0.
п
Верхние положения груза М₂ и М₃ (рис. 1.2) характеризуются условием д = ±—,
6

sin2nt = ±1, t = —|—, k G Z, тогда t₂ = - c, t₃ = - c.

42

44

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

11

  Груз M колеблется под действием силы тяжести mg и усилия натяжения троса S. траектория М есть дуга окружности радиуса, равного длине троса l. Для нахождения значения S спроектируем уравнение движения


mw = mg + S


на нормаль к траектории груза, т. с. на направление троса; для произвольного значения


угла р имеем


mwₙ = S — mg cos р.


v²
W учётом, что нормальная составляющая ускорения wₙ = — (1-6), получаем l

S = mg cos р + m— = mg fcos р +-------.

                                            l V glS * ⁷


  Найдём теперь скорость точки в произвольный момент времени (1.6):


ln²


v = lp = — cos 2nt, 3

lⁿ2
тогда v₁ = v(ti) = — 3

v(t₂) = 0, V3 = v(ts) = 0.

, v2 =

  Натяжение троса в нижнем положении M1 груза

S1

ln⁴
= mg( 1 + —) = 10(1 + 9g

2п⁴

Н « 32,1 Н.

(1.18)

9 • 9,8

)