Методы аппроксимации обобщенных функций и их производных


Материалы за VIIIмеждународна научна практична конференция


Алюков С. В.




                МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ




    Обобщенные функции получили широкое распространение в XX веке, когда новые задачи в физике и математике привели к настоятельной потребности расширить определение функции. Например, при решении задач квантовой механики обычного определения функции, при котором каждому значению аргумента x, взятому из некоторой области, по определенному правилу ставится в соответствие одно значение у, оказалось недостаточно. Физики использовали функции, которые нельзя было определить с точки зрения обычной теории функций.
    Пусть Y — линейное пространство, элементами которого являются функции в смысле обычного определения.
    Если имеется правило, по которому каждой функции у е Y ставится в соответствие некоторое число, то говорят, что на множестве Y задан функционал. Обозначим функционал I: Y ^ R, или проще I(у).
    Функционал называется линейным, если выполняется условие I(«У1 + Ру2) = aI(У1) + PI(у2), VУ1, у2 е Y, Vа, р е R.
*
    Функционал называется непрерывным, если из условия уп ^ у следует выполнение условия I (уп) ^ I (у *), Vуп, у * е Y.
    Будем рассматривать функции на множестве R.
    Назовем функцию ф(x) финитной, если она вне конечного промежутка [a, b] обращается в ноль, причем границы промежутка зависят от ф(x). Всякую непрерывную финитную функцию назовем основной. Совокупность основных функций обозначим С ₀.
    Пусть функция f (x) является обычной в смысле определения, причем она является непрерывной за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва, и ограниченной на любом конечном промежутке.
                                         г/.
    Определим функционал интегралом I(ф) = j f (x)ф(x)dx, который для лю-от
бой основной функции ф( x) будет конечным. Функционал такого вида называется регулярным функционалом.
    Определение. Обобщенной функцией называется любой линейный непрерывный функционал I (ф), заданный на множестве С₀, обладающий свойствами
    1. I(аф1 + рФ2) = aI(ф1) + PI(ф2), Vф1, ф2 е Со, Vа, р е R;
    2. I⁽фп) ^I⁽ф)> если фп > ф в Со.

54

«Найновите научни постижения - 2012» • Том 31. Математика

     Не всякая обобщенная функция является регулярной Обобщенная функ-г/.
ция, которая не может быть представлена интегралом I(ф) = j f (x)ф(x)dx, на-/
зывается сингулярной. Примером сингулярной обобщенной функции может служить функция I (ф) = ф(0). Эту функцию называют 8 - функцией или функцией Дирака.
     В этой статье предложены методы, с помощью которых можно аппроксимировать сингулярные обобщенные функции и их производные, например, 8 -функцию.
     Смысл сингулярных обобщенных функций можно понять, основываясь на их приближениях, воспринимая обобщенную функцию как предел некоторой аппроксимирующей последовательности обычных функций. Например, 8 — функцию можно рассматривать как предел последовательности ступенчатых функций. Однако использование последовательности ступенчатых функций не позволяет в должной мере осуществить представление производных 8 — функции, которые, в свою очередь, также являются обобщенными функциями. Проблема заключается в том, что ступенчатые функции имеют точки разрывов, в которых они не являются дифференцируемыми. Поэтому для представления производных 8 — функции нужно воспользоваться аппроксимирующей последовательностью аналитических функций, имеющих производные любого порядка.
     Выражение, используемое для аппроксимации в этом случае, может иметь вид рекурсивной последовательности функций f (x) = cos( A (A (... A (x)))), где ,,,я..ч„
A(x) = —sin( x). В частности, на рис. 1 изображен график функции
     f (x) = 310cos( A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (x))))))))))))))))))))).



Рис. 1. График приближения 8 - функции

55

Материалы за VIIIмеждународна научна практична конференция

     Как видно из графика, предложенные методы аппроксимации дают гораздо достаточно точное приближение 8 - функции. Причем, точность аппроксимации можно повысить до сколь угодно большой степени, увеличивая число вложенных функций. Высоту пика аппроксимации (амплитуду) можно определить по интегральному условию в определении 8 - функции.
     Для определения высоты пика аппроксимации воспользуемся тем фактом, что 8 — функция является производной функции Хевисайда или функции еди-(1, Vx > 0;
ничного скачка, которая определяется так H (x) = ( (0, Vx < 0.
     Функцию Хевисайда можно аппроксимировать последовательностью функций вида Hₙ (x) = 0,5(1 + fₙ (x)), где последовательность функций fₙ (x) определяется соотношением
      {f ₙ(x) | fₙ(x) = sⁱⁿ((—/²⁾ ■ fₙ _i⁽x))>f[(x) =sⁱⁿx;ⁿ -¹ eNI- c'[-n,n] и рассматривается на отрезке [ -п/ 2, п/ 2]. Например, на рис. 2 показаны графики трех последовательных приближений
     H 9 (x) = 0,5(1 + sin( A (A (A (A (A (A (A (A (x)))))))))),

     H10 (x) = 0,5(1 + sin( A (A (A (A (A (A (A (A (A (x)))))))))),

     H11 (x) = 0,5(1 + sin( A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (x))))))))))),

     где A (x) =— sinx.
               2

     Толщина графика увеличивается по мере увеличения номера аппроксимирующей зависимости.

Рис. 2. Графики аппроксимаций функции Хевисайда

    Находя первые производные приближений функции Хевисайда, мы полу    _________________ d rx          d dH9⁽x)   dH 10⁽x)-dH 11(x) _ , чим последовательные приближения -------------------⁹-, -—- и -для 8 —
                                     dx       dx               dx
функции. Их графики изображены на рис. 3.


56

«Найновите научни постижения - 2012» • Том 31. Математика

    Дифференцируя аппроксимирующие функции рассмотренной последовательности Hₙ (x) = 0,5(1 + fₙ (x)), получим

        dHₙ (x) лⁿ ¹ .',' fn Л

            = — П cos ^ 2 fk ⁽x) J'C⁰S x •


    Подставляя в полученное выражение для производных x = 0, с учетом четности 8 — функции, найдем значение для высоты пика АП аппроксимирующих

функций Hₙ (x)

A

            _--1 ж



n

2 ⁿ

Рис. 3. Графики аппроксимаций 8 - функции

    Так как мы аппроксимировали обобщенные функции аналитическим функциями, то мы можем продифференцировать эти аппроксимирующие функции и найти их производные любого порядка. Тем самым мы можем получить приближения производных обобщенных функций с любой степенью точности. Например, аналогично с тем, как это было сделано в предыдущем параграфе, мы можем построить графики приближений производных 8 — функции. На рис. 4 изображены графики последовательных аппроксимаций первой, второй и третьей производных 8 - функции.
    Таким же образом можно найти и производные более высоких порядков. Построенные графики дают хорошее представление о характере поведения производных 8 - функции. Мысленно увеличивая номер аппроксимирующей функции, по графикам (рис. 4) можно продолжить прослеживаемые тенденции изменения аппроксимаций и представить предельные положения последовательностей функций, аппроксимирующих производные 8 - функции.
    Рассмотренный подход поможет улучшить понимание обобщенных функций, являющимися производными 8 - функции, использовать их не просто как абстрактный математический аппарат, а осознанно понимать их структуру, да



57

Материалы за VIIIмеждународна научна практична конференция

же если они записаны в предельной форме. Данный подход может быть применим и для лучшего понимания других обобщенных функций и характера их поведения.



Рис. 4. Графики аппроксимаций производных 8 — функции

58

«Найновите научни постижения - 2012» • Том 31. Математика

    Известно, что можно аппроксимировать 8 — функцию и другими непрерывно дифференцируемыми функциями, например, такими
     8 (х,а) =--Д---, и > / ,
           л (ах —1)


      а X а -         2 2ч
      8(х,а) = -y=exp(-a х ), и>х, л/л


       а. а а sin (ах)
       8(х,а)  ---------—               л     их



и>х,

    для которых lim 8 (х, а) = 0 (х * 0) и и>х


     —х
lim J8(х, и)Ах = 1.
и>х _
     -х

     Недостаток аппроксимации 8 — функции с помощью третьей из этих функций заключается в высокой погрешности, так как эта функций имеет не только положительные, но и отрицательные значения. Причем последовательность отрицательных значений не ограничена снизу, то есть погрешность может быть сколь угодно большой.
     Что касается аппроксимации с помощью первых двух функций, то они позволяют аппроксимировать периодическую 8 — функции лишь в виде суммы —х
8(x) = ^8(х - 2 лk), что может быть неудобным для практического использова--х
ния, тогда как аппроксимирующие функции по предложенному методу являются периодическими по своей природе и позволяют аппроксимировать периодическую 8 — функцию без каких-либо дополнительных построений. Примером может                 служить               график               функции


            13 л                                                    л


f (х) = ^4cos( A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (х)))))))))))))), A (х) = Л ^пх, 22 изображенный на рис. 5.

     Построенную функцию f (х) можно использовать для аппроксимации функции распределения дискретной случайной величины, используя соотноше-t
ние F(х) = P J f (х)Ах, где P — параметр, определяемый из свойств функции t 0
распределения. Пример так построенной функции распределения приведен на рис. 6.


59

Материалы за VIIIмеждународна научна практична конференция

Рис. 5. График функции, аппроксимирующей периодическую 8 — функцию

Рис. 6. Пример аппроксимации функции распределения дискретной случайной величины

    Литература
    1.     Алюков С.В. Аппроксимация ступенчатых функций в задачах математического моделирования // Математическое моделирование, журнал РАН, 2011, том 23, №:3, С.75-88.
    2.     Alyukov S.V. Approximation of step functions in problems of mathematical modeling // Mathematical models and computer simulations, 2011, vol. 3, № 5, Р. 661 - 669.
    3.     Алюков С.В. Моделирование динамических процессов с кусочнолинейными характеристиками // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2011, том 19, № 5, С. 27 - 34.


60