Бесконечные группы с инволюциями

Министерство образования и науки Российской Федерации

Сибирский федеральный университет

А. И. СОЗУТОВ, Н. М. СУЧКОВ, Н. Г. СУЧКОВА

БЕСКОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ

С ИНВОЛЮЦИЯМИ

Монография

Красноярск

СФУ
2011

УДК 512.745.4

ББК 22.148

С 54

Рецензенты:

В. Д. Мазуров, член-кор. РАН, доктор физ-матем. наук, профессор;

В. П. Шунков, доктор физ-матем. наук, профессор

Созутов, А. И.

С 54
Бесконечные группы с инволюциями : монография / А. И. Созутов,

Н. М. Сучков, Н. Г. Сучкова. - Красноярск : Сибирский федеральный ун-т,

2011. – 149 с.

ISBN 978-5-7638-2127-7

Монография посвящена изложению результатов исследования бесконеч
ных групп с заданными централизаторами инволюций, дважды транзитив
ных групп подстановок и групп с заданной сильно вложенной или сильно

изолированной подгруппой.

Для научных работников, аспирантов и студентов математических

специальностей университетов.

УДК 512.745.4

ББК 22.148

c⃝ Созутов А. И., 2011

c⃝ Сучков Н. М., 2011

c⃝ Сучкова Н. Г., 2011

c⃝ Сибирский федеральный

университет, 2011
ISBN 978-5-7638-2127-7

Оглавление

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

1
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
12

1.1
Используемые обозначения и термины . . . . . . . . . . . .
12

1.2
Группы. Первичные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

1.3
Группы подстановок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26

1.4
Группы Фробениуса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28

1.5
Группы Цассенхауза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29

1.6
Линейные группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

2
ГРУППЫ С ПОЧТИ РЕГУЛЯРНЫМИ ИНВОЛЮЦИЯ
МИ
34

2.1
FC-группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35

2.2
Некоторые свойства 2-групп . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39

2.3
Основные леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46

2.4
Частные случаи теоремы 2.1
. . . . . . . . . . . . . . . . .
49

2.5
Завершение доказательства теоремы 2.1 . . . . . . . . . . .
53

2.6
Следствия и пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56

3
ТОЧНО ДВАЖДЫ ТРАНЗИТИВНЫЕ ГРУППЫ
60

3.1
Обобщение теоремы Жордана
. . . . . . . . . . . . . . . .
61

3.2
Чётные пары Фробениуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65

3

3.3
Обобщение теоремы Холла . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70

3.4
Стабилизатор — FC-группа . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72

3.5
Стабилизатор — 2-группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76

4
ГРУППЫ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ

ЦЕНТРАЛИЗАТОРАМИ ИНВОЛЮЦИЙ
81

4.1
Матричные представления групп L2(Q) . . . . . . . . . . .
82

4.2
Подстановочные представления групп L2(Q) . . . . . . . .
85

4.3
Строение сильно вложенной подгруппы . . . . . . . . . . .
89

4.4
Окончание доказательства теоремы 4.1
. . . . . . . . . . .
95

5
БЕСКОНЕЧНЫЕ Z-ГРУППЫ
98

5.1
Общие леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98

5.2
Характеризация группы L2(Q) . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.3
Строение группы S0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.4
Характеризация групп Sz(Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6
ПРИЛОЖЕНИЯ
120

6.1
Сильно изолированные подгруппы . . . . . . . . . . . . . . 120

6.2
Некоторые следствия теоремы 5.1
. . . . . . . . . . . . . . 126

6.3
Абелевы централизаторы инволюций
. . . . . . . . . . . . 128

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
141

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
146

4

Введение

В монографии излагаются результаты авторов и В. Д. Мазурова

о бесконечных дважды транзитивных группах подстановок, периодиче
ских и смешанных группах с заданными централизаторами инволюций,

либо содержащими сильно вложенную или сильно изолированную под
группу с инволюциями. Большая часть этих результатов получена за по
следние 10 лет, их доказательства разбросаны по нескольким десяткам

статей.

Особая роль инволюции (элемента порядка 2) в теории групп из
вестна давно. Две инволюции всегда порождают прозрачно устроенную

группу — так называемую группу диэдра. В работах Р. Брауэра (50-е го
ды прошлого века) была установлена глубокая взаимосвязь между стро
ением конечной группы и централизаторами её инволюций (см. по этому

поводу стр. 10 монографии Д. Горенстейна [5]). Доказано, в частности,

что имеется лишь конечное число простых конечных групп с заданным

централизатором инволюции. В 1962 г. Д. Томпсон и У. Фейт [29] до
казали свою знаменитую теорему о существовании инволюции в любой

конечной неразрешимой группе. Эти результаты индуцировали много
численные работы по классификации конечных простых групп в терми
нах строения централизаторов инволюций.

Теорема Фейта-Томпсона оставляет четкие следы в классе локаль
5

но конечных групп: все подгруппы без инволюций локально конечной

группы являются локально разрешимыми. Но в дебрях периодических

групп эти следы теряются. Их не найти, например, в группах Новикова
Адяна [1], т. е. свободных группах нечетного периода ≥ 665, в которых

каждая конечная подгруппа циклическая, и тем более в простых беско
нечных периодических группах без инволюций с циклическими собствен
ными подгруппами. Такие монстры построены А. Ю. Ольшанским [16].

Как черные дыры, они могут втянуть в себя элемент любого нечетного

порядка, а вот маленькая инволюция может их взорвать изнутри соглас
но доказанной в 1972 г. замечательной теореме В. П. Шункова [28] о по
чти разрешимости периодической группы с конечным централизатором

инволюции.

Появилась надежда, что некоторые результаты о конечных груп
пах с инволюциями могут быть перенесены на периодические группы.

Но только спустя почти 30 лет В. Д. Мазуровым, а также независимо

А. И. Созутовым и Н. М. Сучковым было получено первое описание пе
риодической группы G с заданными бесконечными централизаторами

инволюций. Предполагалось, что централизатор каждой инволюции в

группе G является элементарной абелевой подгруппой. Более того, ре
зультат оставался справедливым, если вместо периодичности предпола
гать лишь наличие в G конечной инволюции (инволюция i группы G

называется конечной, если |iig| < ∞ для каждого g ∈ G). В этих иссле
дованиях основной анализ был связан со случаем сильной вложенности

в G нормализатора силовской 2-подгруппы.

В теории конечных групп понятие сильно вложенной подгруппы

является фундаментальным [5]. Напомним, что собственная подгруппа B

6

называется сильно вложенной в группе G, если B содержит инволюцию и

для любого элемента g ∈ G∖B пересечение B ∩Bg не содержит инволю
ций. Основополагающий результат о конечных группах с сильно вложен
ной подгруппой принадлежит М. Судзуки, а заключительная классифи
кация таких групп дана Г. Бендером (см. [5], стр 198-199). В частности,

группы L2(2n), n ≥ 2, Sz(22n+1), n ≥ 1, U3(2n), n ≥ 2, исчерпывают спи
сок конечных простых групп с сильно вложенной подгруппой. Первые

исследования периодических групп с сильно вложенной подгруппой бы
ли выполнены в 1982-1985 гг. В. П. Шунковым и А. Н. Измайловым [7,8]

при дополнительных условиях конечности.

Если P, Q — локально конечные поля характеристики 2 и Q не

содержит подполя порядка 4, то нормализаторы силовских 2-подгрупп

в простых локально конечных группах L2(P) и Sz(Q) сильно вложены

и являются группами Фробениуса. В 1986 г. В. П. Шунков записал в

Коуровской тетради [10] вопрос 10.76 о локальной конечности периоди
ческой группы G с бесконечной силовской 2-подгруппой S, которая либо

(a) элементарная абелева, либо (б) изоморфна силовской 2-подгруппе

группы Sz(Q), и при этом NG(S) — сильно вложенная в G группа Фро
бениуса с ядром S.

При условии (а) данный вопрос решил А. И. Созутов [17], затем

им совместно с Н. М. Сучковым [18] был разобран и пункт (б). Было

установлено, что G изоморфна одной из групп L2(P), Sz(Q). При этом

вместо периодичности предполагалось лишь наличие в G конечной ин
волюции.

Заметим, что из условия вопроса вытекает, что подгруппа S сильно

изолирована в G, т. е. содержит централизатор каждого своего неединич
ного элемента. Конечные группы с собственной сильно изолированной

7

подгруппой четного порядка изучены М. Судзуки [40].

Если в группе централизаторы инволюций — абелевы 2-группы, то

это равносильно существованию в ней сильно изолированной абелевой

2-подгруппы S. Такие группы с конечной инволюцией и отличной от

квазициклической подгруппой S классифицированы В. Д. Мазуровым

[14].

Подобный результат получен авторами в упомянутой работе [18].

Пусть S0 - группа периода 4 с центром Z
=
z| z ∈ S0, z2 = 1
и

tZ =
x| x ∈ S0, x2 = t2для каждого t ∈ S0. Этим условиям удовле
творяет силовская 2-подгруппа группы Sz(Q). Доказано, что если S0

- сильно изолированная неинвариантная подгруппа группы G с конеч
ной инволюцией, то G изоморфна группе Sz(Q). Этот результат экви
валентен описанию групп с конечной инволюцией и изоморфными S0

централизаторами инволюций.

В 1959 г. М. Судзуки [40] классифицировал конечные подгруппы с

абелевыми централизаторами инволюций. Н. М. Сучковым [25] дано опи
сание периодических групп 2-ранга > 1 с абелевыми централизаторами

инволюций. При этом общий случай был сведен к ситуации, когда цен
трализатор инволюции сильно изолирован, а его нормализатор сильно

вложен в группе.

Как и в конечном случае, в перечисленных исследованиях группы

G с сильно вложенной подгруппой B, совпадающей с нормализатором

силовской 2-подгруппы, заключительным этапом явилось распознание G

по её действию на множестве Ω сопряженных с B подгрупп. Это действие

дважды транзитивно и только единица оставляет неподвижными три

подгруппы из Ω.

Д. Горенстейн [5, стр. 157] отмечает, что "теория дважды транзи
8

тивных групп подстановок представляет собой одну из наиболее глубо
ких и красивых глав теории конечных простых групп". В свою очередь,

группы Цассенхауза (Z-группы) составляют важнейший подкласс класса

дважды транзитивных групп. Напомним, что Z-группой называется два
жды транзитивная группа подстановок с тривиальным стабилизатором

каждых трёх точек. Конечные Z-группы полностью классифицированы

в работах Х. Цассенхауза, У. Фейта, М. Судзуки и Н. Ито [5, стр. 378].

В частности, если G — конечная простая Z-группа, то G ∼= L2(pn) для

некоторого простого числа p, pn > 3 или G ∼= Sz(2k) для нечетного k > 1.

Эта классификация имела многочисленные приложения в теории конеч
ных групп. Она использовалась, например, при описании CN-групп, т.

е. групп с нильпотентными централизаторами неединичных элементов,

групп с абелевыми и диэдральными силовскими 2-подгруппами и т. д.

В теории бесконечных Z-групп сделаны лишь первые шаги. Ес
ли в Z-группе стабилизатор уже двух точек тривиален, то она на
зывается точно дважды транзитивной группой. К. Жордан [34] еще

в 1872 г. доказал, что конечная точно дважды транзитивная группа

G обладает регулярным абелевым нормальным делителем, а в 1936 г.

Г. Цассенхауз [44] получил полное описание таких групп. Но до настоя
щего времени не известно, переносится ли эта теорема Жордана (даже

при существенных ограничениях на стабилизатор точки) на бесконеч
ные точно дважды транзитивные группы [10, вопросы 11.52, 12.48]. В

известной монографии М. Холла [26] в главе 20 выявлена тесная связь

класса точно дважды транзитивных групп с проективными плоскостями

и почти-полями, а в теореме 20.7.1 доказывается теорема Жордана в бес
конечном случае при условии существования в группе G не более одной

регулярной подстановки, отображающей α в β, где α, β — различные точ
9

ки. Существование регулярной абелевой нормальной подгруппы в точно

дважды транзитивной группе G со стабилизатором точки H установле
но У. Кэрби и Х. Вефельшайдом [35] в предположении, что подгруппа H

конечна над центром; В. Керби [37] и В. Д. Мазуровым [13] при условии,

что H является FC-группой, т. е. группой с конечными классами сопря
женных элементов; В. Керби [36], когда H содержит абелеву подгруппу

индекса 2; Н. М. Сучковым [24], если H — 2-группа. В последнем случае

группа G может быть только конечной.

В работе В. Д. Мазурова [14] доказано, что если G — трижды тран
зитивная группа подстановок, в которой стабилизатор двух точек ком
мутативен и не содержит инволюций, то G ∼= L2(P), P — некоторое поле

характеристики 2, а Т. Петерфалви [39] изучал дважды транзитивные

группы G со стабилизатором точки вида U ⋋ H, где U, H — абелевы

подгруппы, H — стабилизатор двух точек, некоторая инволюция v ин
вертирует H, а если существует инволюция d ∈ H, то CU(d) = 1. Такие

группы изоморфны группам L2(Q) над некоторыми полями Q.

Предположим, что в Z-группе G локально конечный стабилизатор

точки B = Gα и неединичный стабилизатор двух точек H = Gαβ. Тогда

по теореме Фробениуса, которая в полной мере справедлива для локаль
но конечных групп [23], B = U ⋋ H — группа Фробениуса с ядром U

и дополнительным множителем H. В силу теорем Д. Томпсона [42] и Г.

Хигмана [32] подгруппа U нильпотентна. В работах авторов [17,18] изу
чались такие группы с конечной инволюцией при выполнении одного из

следующих условий:

1. U - абелева подгруппа с инволюцией;

2. U - подгруппа с инволюцией, а G содержит подгруппу, изоморфную

симметрической группе S3;

10

3. U ∼= S0.

Доказано, что при условии 1 или 2 G ∼= L2(P), а при условии 3

G ∼= Sz(Q), где P, Q — подходящие локально конечные поля.

Мы предполагаем, что читатель не только владеет минимальными

знаниями высшей алгебры, основ теории групп, но и обладает опреде
ленной математической культурой.

Для удобства чтения в главе 1 дается определение практически

каждого термина, используемого в тексте. Приводятся все результаты,

на которые имеются ссылки. Часть из них снабжена доказательствами.

Монография предназначена для специалистов в области алгебры,

аспирантов, магистров, бакалавров и студентов математических специ
альностей. Она может служить основой спецкурсов и спецсеминаров.

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных иссле
дований (PФФИ, проект 10-01-00509-а).

11

Глава 1

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

В главе излагаются некоторые основные понятия и приводятся из
вестные факты, которые необходимы для доказательств основных ре
зультатов монографии. Предполагается, что читатель знаком с основами

алгебры и теории групп.

1.1
Используемые обозначения и термины

Уточним обозначения, используемые в монографии. Пусть G —

произвольная группа. Для групповой операции в G будет использовать
ся, если не оговорено противное, мультипликативная форма записи.

G# — множество всех неединичных элементов из G;

H ≤ G означает, что H — подгруппа в G;

H < G означает, что H ≤ G и H ̸= G;

G = H + Hg2 + ... + Hgn — разложение группы G на смежные

классы по подгруппе H;

H◁G, означает, что подгруппа H нормальна в G (H — нормальный

делитель группы G);

12