Общая топология. Основные конструкции

УДК 515.12
ББК 22.152
Ф 33

Ф е до р ч у к В. В.,
Ф и л и п п о в В. В. Общая топология. Основные
конструкции: Учеб. пособие. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2006. — 336 с. — ISBN 5-9221-0618-X.

В учебном пособии, представляющем собой изложение курса лекций, читаемых авторами на механико-математическом факультете МГУ, рассмотрены
основные понятия теории топологических пространств: спектры, произведения
и степени топологических пространств, пространства замкнутых и бикомпактных подмножеств, пространства отображений и др., и их приложения к другим
областям математики.
Для студентов математических специальностей вузов.

Учебное издание

ФЕДОРЧУК Виталий Витальевич
ФИЛИППОВ Владимир Васильевич

ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ. ОСНОВНЫЕ КОНСТРУКЦИИ

Редактор Е.Ю. Ходан
Оригинал-макет М.С. Ярыкиной
Оформление переплета А.А. Логунова

Подписано в печать 25.10.05. Формат 6090/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 21. Уч.-изд. л. 21,0. Тираж 2000 экз. Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru

Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099, г. Москва, Шубинский пер., 6

ISBN 5-9221-0618-X

9+HifJ
C-LKQLSO+

ISBN 5-9221-0618-X

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2006

c⃝ В. В. Федорчук, В. В. Филиппов, 2006

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Г л а в а I. Топологические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

§ 1. Топологические пространства и непрерывные отображения. .
9

§ 2. Аксиомы отделимости. Лемма Урысона. Теорема Брауэра–
Титце–Урысона о продолжении функций . .. . . . . . . . . . . . . .
14

§ 3. Метрические пространства. Полные и топологически полные пространства. Некоторые стандартные метрические пространства . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
20

§ 4. Бикомпактные пространства. Лемма Александера. Теорема
Вейерштрасса–Стоуна. Компактность в метризуемых пространствах . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

Г л а в а II.
ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ТОПОЛОГИЧЕСКИХ
ПРОСТРАНСТВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
§ 1. Определения
произведения
топологических
пространств
и отображений . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

§ 2. Послойное и веерное произведение отображений и пространств . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42

§ 3. Теоремы Тихонова. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

§ 4. Примеры топологических произведений и следствия из теорем Тихонова. Бикомпактные расширения . .. . . . . . . . . .. . . .
49

§ 5. Операции над покрытиями. Нульмерные и n-мерные пространства . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56

§ 6. Диадические бикомпакты . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63

Г л а в а III.
ОБРАТНЫЕ
СПЕКТРЫ
ТОПОЛОГИЧЕСКИХ
ПРОСТРАНСТВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
§ 1. Определение и элементарные свойства обратных спектров . .
76

Оглавление

§ 2. Связь спектров и произведений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86

§ 3. Теорема о спектральном представлении отображений. .. . . . .
90

Г л а в а IV. ПРОСТРАНСТВА
ЗАМКНУТЫХ
ПОДМНОЖЕСТВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
§ 1. Верхний и нижний пределы последовательности множеств
95

§ 2. Предел сходящейся последовательности множеств . .. . . . . .
99

§ 3. Топология Виеториса . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 100

§ 4. Пространство expk X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

§ 5. Пространство замкнутых подмножеств бикомпакта. .. .. .. . . . 108

§ 6. Пространство бикомпактных подмножеств . .. . . . . . . . . . . . . 109

§ 7. Метрика Хаусдорфа . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

§ 8. Заключительные замечания. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Г л а в а V. ПРОСТРАНСТВО ОТОБРАЖЕНИЙ . . . . . . . . . . . 117
§ 1. Метрика и норма равномерной сходимости . .. . . . . . . . . . . . 117

§ 2. Бикомпактно-открытая топология и топология поточечной
сходимости в пространстве непрерывных отображений. .. . . . 119

§ 3. Бикомпактно-открытая топология пространства отображений
локально бикомпактного пространства. .. . . . . . . . . . . . . . . . 123

Г л а в а VI. МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ . . . . . . . . . 125
§ 1. Полунепрерывные снизу отображения . .. . . . . . . . . . . . . . . . 125

§ 2. Полунепрерывные снизу отображения с выпуклыми значениями. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 127
§ 3. Симплициальные комплексы и нервы покрытий . .. . . . . . . . . 131

§ 4. Экви-LCn-семейства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

§ 5. Полунепрерывные снизу отображения в банахово пространство со значениями из экви-LCn-семейства . .. . . . . . . . . . . . 140
§ 6. Теорема о продолжении селекции для отображения со значениями из экви-LCn-семейства . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
§ 7. Полунепрерывные сверху отображения . .. . . . . . . . . . . . . . . 151

§ 8. Связь с топологией Виеториса . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 154

Оглавление
5

Г л а в а VII.
КОВАРИАНТНЫЕ ФУНКТОРЫ В КАТЕГОРИИ БИКОМПАКТОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
§ 1. Функторы экспоненциального типа . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

§ 2. Экспоненты канторовых дисконтинуумов . .. . . . . . . . . . . . . 160

§ 3. Пространство мер. Функторы вероятностных мер. .. . . . . . . . 163

§ 4. Функтор суперрасширения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

§ 5. Нормальные и монадичные функторы . .. . . . . . . . .. . . . . . . . 181

Г л а в а VIII. ПРОСТРАНСТВА
ДУГУНДЖИ
И
ПРОСТРАНСТВА МИЛЮТИНА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
§ 1. Теорема Хана–Банаха и тензорное произведение мер . .. . . . . 194

§ 2. Регулярные операторы. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

§ 3. Операторы продолжения и усреднения. .. . . . . . . . . . . . . . . . 199

§ 4. Пространства Милютина. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 203

§ 5. Пространства Дугунджи и нуль-мягкие отображения. .. . . . . 208

§ 6. Несовпадение классов Милютина и Дугунджи . .. . . . . . . . . 219

Г л а в а IX. ПРОСТРАНСТВА ЧАСТИЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ И ПРОСТРАНСТВА РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . . . . . 225
§ 1. Пространства частичных отображений. .. . . . . . . . . .. . . . . . . 225

§ 2. Компактность в пространстве частичных отображений. .. . . . 233

§ 3. Непрерывность зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от начальных условий и правой
части . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
§ 4. Сходимость последовательностей пространств решений . .. . . 249

§ 5. Теорема Кнезepa . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

§ 6. Автономные и близкие к ним пространства . .. . . . . . . . . . . . 260

§ 7. Теорема о существовании стационарной точки . .. . . . . . . . . . 266

§ 8. Теорема Пуанкаре–Бендиксона . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . 270

§ 9. Некоторые геометрические свойства пространств решений . . 277

§ 10. Заключительные замечания. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

Список литературы . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

Предисловие

Топология возникла в результате пересмотра с общей точки зрения
ряда фундаментальных фактов геометрии и математического анализа.
Но уже вскоре после возникновения топологии стало ясно, что в ее
рамках можно не только обсуждать свойства объектов, возникших
в других разделах математики, но, идя по пути, подсказанному приложениями, «конструировать» новые топологические объекты. Так вошли
в топологию и в математику в целом такие понятия, как произведение
топологических пространств, пространство отображений, пространство
замкнутых подмножеств. Эта книга написана как учебник общей топологии, в котором изучение подобных конструкций стоит в центре
изложения. При этом не ставилось целью поместить в относительно
небольшую по объему книгу полное описание всех таких конструкций,
их свойств и приложений, подразумевая достаточно конкретный круг
читателей — студентов-математиков, которые специализируются как
в общей топологии, так и в других областях математики, уже имеют
некоторую начальную подготовку по топологии и могут при необходимости продолжить изучение топологии по другим источникам.
Книга содержит материал ряда спецкурсов, прочитанных на кафедре общей топологии и геометрии механико-математического факультета МГУ. Ее содержание можно разделить на три части. В первой
части излагаются первоначальные понятия и факты общей топологии
(глава I, часть главы II и отдельные куски других глав). Изложение
материала в ней, хотя формально строгое, все-таки достаточно конспективно. Здесь приводится лишь минимум сведений из этой части
топологии, необходимый для дальнейшего изложения.
Ядро книги — вторая часть (главы II–VI), в которой указываются способы построения по одним топологическим объектам других,
новых объектов — «основные конструкции». К таким конструкциям
относятся произведения топологических пространств и отображений,
обратные спектры и их пределы, пространства отображений, пространства замкнутых множеств, пространства частичных отображений и т. д.
Здесь также излагаются теоремы Э. Майкла о селекциях многозначных
отображений, теоремы о зависимости от счетного числа координат
функции, определенной на произведении пространств, спектральная
теорема о гомеоморфизме.

Предисловие
7

Примеры применения основных конструкций и методов общей топологии к современным исследованиям составляет содержание третьей
части книги, где прослеживаются три темы. Первая из них связана
с последовательным изучением диадических бикомпактов, пространств
Милютина, пространств Дугунджи, нуль-мягких отображений. Дальнейшее движение в этом направлении, выходящее уже за рамки этой
книги, приводит к исследованию все более геометрических объектов:
n-мягких отображений, абсолютных ретрактов и экстензоров, бесконечномерных многообразий. С исследованиями по этому направлению,
проводимыми в нашей стране 1) , можно познакомиться по работам
А. Н. Дранишникова, М. М. Заричного, А. В. Иванова, В. В. Федорчука, А. Ч. Чигогидзе, Е. В. Щепина. Из зарубежных авторов в первую
очередь следует отметить Х. Торунчика (Польша) и его учеников,
Дж. Вэста, Т. Чепмэна, Р. Эдвардса и членов возглавляемой ими
большой американской школы геометрической топологии.
Вторая тема связана с ковариантными функторами в категории
бикомпактов. Эта проблематика в настоящее время интенсивно разрабатывается в направлении исследования геометрических свойств конкретных функторов и в направлении изучения классов абстрактных
функторов, выделяемых наложением тех или иных ограничений. Из
российских топологов, занимающихся этой тематикой, кроме уже упомянутых выше, следует отметить В. Н. Басманова, а из зарубежных —
Д. Кертиса (США). Для более детального ознакомления с этой проблематикой можно рекомендовать обзорные статьи [4, 5, 12–15, 26].
Третья тема развивается в главе IX, написанной по мотивам недавних работ В. В. Филиппова. В ней прежде всего вводится новый топологический объект — пространство частичных отображений, представляющих интерес в связи с тем, что на его основе возникает довольно
естественным образом аксиоматический подход к значительной части
теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Собственно изучению самого пространства частичных отображений посвящены только
первые полтора параграфа главы I, а ее основная часть содержит
изложение приложения этого понятия к теории обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом мы не покидаем пределов топологии: в нашем изложении дифференциальные уравнения упоминаются
только для того, чтобы показать, что развиваемая теория имеет вполне
конкретную основу, непосредственно связанную с уравнениями (вне
пределов книги остается то, что мы тем самым распространяем топологическую часть теории обыкновенных дифференциальных уравнений

1) Следует иметь в виду, что первое издание книги было опубликовано
в 1988 г.

Предисловие

на многие типы уравнений с особенностями в правой части: возникают
новые, но уже не полностью топологические методы проверки аксиом
теории для пространств решений уравнений с особенностями.)
К настоящему времени этот подход получил дальнейшее развитие,
покрывая тематику центральной части теории обыкновенных дифференциальных уравнений и тем самым распространяя общую теорию
обыкновенных дифференциальных уравнений на широкие классы уравнений с разрывными и многозначными правыми частями. Глава IX этой
книги до сих пор остается лучшим кратким введением в общетопологические основы нового подхода.
Без дополнительных пояснений пользуемся общепринятыми обозначениями теории множеств и некоторыми ее теоремами. Все необходимые сведения такого рода можно найти в книге П. С. Александрова
«Введение в теорию множеств и общую топологию» [1]. В частности,
предполагаем, что читатель знаком с такими понятиями и фактами
наивной теории множеств, как частично упорядоченное множество,
упорядоченные и вполне упорядоченные множества, порядковые и кардинальные числа, аксиома выбора, теорема Цермело, лемма Цорна,
принцип трансфинитной индукции, равенство τ 2 = τ для бесконечного
кардинального числа τ. Кардинальные числа отождествляются с соответствующими начальными порядковыми числами и поэтому обозначаются тем же символом ωα. Через |A| обозначается мощность множества
A. Как уже было сказано, в некоторых случаях наше обсуждение ряда
понятий общей топологии конспективно. При необходимости для более
полного знакомства с ними можно воспользоваться книгами [2, 3].
Ссылки внутри книги делаются следующим образом: «см. II.6.26»
означает «смотри пункт 26 § 6 главы II», а «см. 1.12» означает «смотри
пункт 12 § 1 этой же главы».
Некоторые доказательства, как правило сводящиеся к автоматической проверке выполнения соответствующих условий или являющиеся
простой комбинацией ранее установленных фактов, оставлены читателю в качестве упражнений. Проведя эти доказательства полностью,
читатель может убедиться в хорошем понимании предыдущего материала.

Г л а в а I

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

§ 1. Топологические пространства и непрерывные
отображения

1.1. Пусть X — множество и T — система его подмножеств,
удовлетворяющая двум условиям:
а) пересечение всякой конечной подсистемы элементов T
принадлежит T ;
б) объединение всякой подсистемы элементов T принадлежит T .
Из а) вытекает, что X ∈ T , поскольку X — пересечение
пустой подсистемы системы T . Аналогично из б) вытекает, что
∅ ∈ T .
Пара (X, T ) называется топологическим пространством,
а семейство T
— топологией. Для краткости символ топологии часто опускают и обозначают топологическое пространство (X, T ) одной буквой X. Из тех же соображений говорят
«пространство» вместо «топологическое пространство». Элементы множества X называются точками топологического пространства X.

1.2. Элементы топологии T называются открытыми множествами пространства X, а дополнения к ним — замкнутыми.
Из а) и б) вытекают свойства:
а′) объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто;
б′) пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто.

1.3. Семейство всех топологий на множестве X упорядочено
отношением включения.

Гл. I. Топологические пространства

Выше было отмечено, что пустое множество и все пространство X всегда открыты. Поэтому пара {∅, X} содержится в любой топологии T на множестве X и, следовательно, является
наименьшей (чаще говорят: слабейшей) на X топологией.
Семейство P(X) всех подмножеств множества X — также
топология на X, очевидно, наибольшая (или сильнейшая). Эта
топология называется дискретной. В дискретном пространстве
всякое множество одновременно открыто и замкнуто.
Числовая прямая R — также топологическое пространство.
Здесь множество открыто тогда и только тогда, когда оно со
всякой точкой содержит и некоторую ее ε-окрестность.

1.4. Произвольное открытое множество, содержащее множество A ⊂ X, называется окрестностью множества A в пространстве X. Окрестности множества A обозначим OA (иногда
обозначают UA). Из а) следует, что пересечение конечного числа
окрестностей множества A является его окрестностью. Из б) следует, что множество A открыто тогда и только тогда, когда для
всякой его точки x существует окрестность Ox, лежащая в A.
Если точка x ∈ X имеет окрестность, состоящую из одной точки, то эта точка называется изолированной в пространстве X.
В дискретном пространстве (см. 1.3) все точки изолированы.

1.5. Пусть (X, T ) — пространство и Y ⊂ X. Семейство
T |Y ≡ {U ∩ Y : U ∈ T }, очевидно, удовлетворяет свойствам а)
и б) топологии. Поэтому (Y , T |Y ) — топологическое пространство. Оно называется подпространством пространства (X, T ).
Если A ⊂ X, OA — окрестность множества A в X, то Y ∩ OA —
окрестность множества Y ∩ A в Y .

1.6. Пусть A — подмножество пространства X. Пересечение
всех замкнутых множеств, содержащих A, обозначается [A]X
или просто [A] и называется замыканием множества A. Объединение всех открытых множеств, содержащихся в A, обозначается
⟨A⟩X или просто ⟨A⟩ и называется внутренностью или открытым ядром множества A.
Из определений непосредственно вытекает, что [A] — наименьшее замкнутое множество, содержащее A, а ⟨A⟩ — наибольшее открытое множество, лежащее в A. Поэтому [F] = F для

§1. Топологические пространства и непрерывные отображения
11

замкнутого множества F, а ⟨U⟩ = U для открытого U. Отсюда,
в частности, получаем

1.7. [[A]] = [A], ⟨⟨A⟩⟩ = ⟨A⟩.
Отметим также эквивалентные друг другу равенства

1.8. [M] = X \ ⟨X \ M⟩,
X \ [M] = ⟨X \ M⟩, ⟨M⟩ =
= X \ [X \ M].
Докажем
первое
из
них.
Ясно,
что
M ⊂ X \ ⟨X \ M⟩
и X \ [M] ⊂ X \ M. Поэтому [M] ⊂ X \ ⟨X \ M⟩, и в случае
[M] ̸= X \ ⟨X \ M⟩ множество ⟨X \ M⟩ не было бы наибольшим
открытым множеством, лежащим в X \ M, поскольку оно было
бы собственным подмножеством множества X \ [M].

1.9. Если всякая окрестность Ox точки x ∈ X пересекается
с множеством A ⊂ X, то x называется точкой прикосновения
множества A. Обозначим множество всех точек прикосновения
множества A через Cl A. Если существует окрестность Ox, лежащая в A, то x называется внутренней точкой множества A.
Множество всех внутренних точек A обозначим Int A. Ясно, что
Cl A = X \ Int(X \ A).

1.10. Пр ед л оже н и е. Cl A = [A], Int A = ⟨A⟩.
До к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что Int A ⊂ A. Пусть x ∈ Int A.
Существует окрестность Ox, лежащая в A. Тогда для произвольной точки y ∈ Ox множество Ox — ее окрестность, лежащая в A,
т. е. y ∈ Int A. Поэтому множество Int A открыто согласно 1.4 и,
значит, ⟨A⟩ ⊃ Int A. С другой стороны, множество ⟨A⟩ является
лежащей в A окрестностью всякой своей точки, т. е. Int A ⊃ ⟨A⟩.
Равенство Cl A = [A] получается из только что доказанного равенства ⟨A⟩ = Int A переходом к дополнениям и применением
равенств 1.8 и 1.9. Предложение 1.10 доказано.

1.11. Отображение f : X → Y пространства X в пространство Y называется непрерывным в точке x ∈ X, если для всякой
окрестности Oy точки y = f(x) найдется такая окрестность Ox,
что f(Ox) ⊂ Oy. Отображение f : X → Y называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке x ∈ X.
Непосредственно проверяется, что каждое из следующих
условий эквивалентно непрерывности отображения f : X → Y :

Гл. I. Топологические пространства

а) прообраз f−1(U) всякого открытого в Y
множества U
открыт в X;
б) прообраз f−1(F) всякого замкнутого в Y множества F
замкнут в X;
в) f([A]) ⊂ [f(A)] для всякого множества A ⊂ X.
Непрерывное отображение f : X → R в числовую прямую
называется непрерывной (вещественной) функцией.

1.12. Пр ед л оже н и е (теорема о сложной функции). Если отображения f : X → Y и g: Y → Z непрерывны, то непрерывна и их композиция g ◦ f : X → Z.
Непосредственно вытекает из условия а) из 1.11.

1.13. Пусть f : X → Y — непрерывное отображение, а Z —
подпространство пространства X. Отображение f, рассматриваемое лишь на множестве Z, обозначается f|Z и называется
ограничением, или сужением отображения f на Z.
Обозначим через iZ : Z → X отображение вложения, т. е.
отображение, ставящее в соответствие точке z ∈ Z ее саму.
Очевидно, что f|Z = f ◦ iZ. В то же время из определения подпространства (1.5) вытекает непрерывность вложения iZ. Итак,
мы доказали

1.14. П р е д л о ж е н и е. Ограничение
непрерывного
отображения непрерывно.

1.15. П р е д л о ж е н и е. Пусть пространство X — конечная сумма своих замкнутых подмножеств Fi, i = 1, ... , k,
и пусть f : X → Y — такое отображение, что f|Fi непрерывно
для каждого i. Тогда отображение f непрерывно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Φ — произвольное замкнутое

подмножество Y . Тогда f−1(Φ) =
ki=1
(f|Fi)−1(Φ). В самом деле,

включение ⊃ очевидно. Пусть теперь x ∈ f−1(Φ). Тогда x принадлежит некоторому Fi и, значит, x ∈ (f|Fi)−1(Φ).
Из условия б) из 1.11 вытекает замкнутость множеств
(f|Fi)−1(Φ). Поэтому замкнуто и f−1(Φ). Снова, применяя условие б) из 1.11, получаем непрерывность f. Предложение 1.15
доказано.

§1. Топологические пространства и непрерывные отображения
13

Из него следует, в частности, что максимум и минимум
конечного числа непрерывных функций суть функции непрерывные.

1.16. Пусть f : X → Y — взаимно однозначное отображение пространства X на пространство Y . Пусть, кроме того,
непрерывны отображение f и обратное ему отображение f−1.
Тогда f называется гомеоморфизмом, а пространства X и Y —
гомеоморфными.
Поскольку топология изучает свойства пространств, сохраняющиеся при гомеоморфизмах, в дальнейшем, как правило, не
различаем гомеоморфные пространства.

1.17. Семейство B открытых подмножеств X называется
(открытой) базой пространства X, если всякое открытое множество пространства X есть объединение некоторых элементов
из B.
Эквивалентное определение базы состоит в том, что для всякой точки x ∈ X и всякой ее окрестности Ox существует такой
элемент U ∈ B, что x ∈ U ⊂ Ox.

1.18. Семейство B открытых подмножеств X называется
(открытой) предбазой пространства X, если всевозможные конечные пересечения элементов B образуют базу X.
Ясно, что семейство B является предбазой пространства X
тогда и только тогда, когда для всякой точки x ∈ X и всякой ее
окрестности Ox существует такой конечный набор {U1, ... , Uk} ⊂

⊂ B, что x ∈
ki=1
Ui ⊂ Ox.

1.19. П р е д л о ж е н и е. Для непрерывности отображения f : X → Y достаточно, чтобы были открыты прообразы
f−1(U) элементов U некоторой предбазы B пространства Y .
До к а з а т е л ь с т в о. Пусть x ∈ X и Of(x) — произвольная
окрестность. Существуют такие элементы U1, ... , Uk предбазы B,

что f(x) ∈
ki=1
Ui ⊂ Of(x). Множества f−1(Ui) открыты по усло
вию. Полагая Ox =
ki=1
f−1(Ui), имеем f(Ox) ⊂ Of(x). Предло
жение 1.19 доказано.