С.А. Бородич

Эконометрика

Практикум

 
Минск 
Москва
 
«Новое знание» 
«ИНФРАМ»
2014

Учебное пособие

УДК 330.43(075.8) 
ББК 65в6я73 
 
Б83

Бородич, С.А.
Эконометрика. Практикум : учеб. пособие / С.А. Бородич. — 
Минск : Новое знание ; М. : ИНФРА-М, 2014. — 329 с. : ил. — 
(Высшее образование: Бакалавриат).
ISBN 978-985-475-629-5 (Новое знание). 
ISBN 978-5-16-009429-8 (ИНФРА-М, print). 
ISBN 978-5-16-100513-2 (ИНФРА-М, online).

Пошагово расписано решение основных задач по эконометрике, 
приводятся необходимые пояснения, отмечаются возможные проблемы 
и даются рекомендации по их преодолению. Решение всех задач при-
ведено на основе использования калькулятора и Excel. Это делает по-
собие доступным для любого пользователя и позволяет углубиться в 
суть решаемых задач.
Для студентов и преподавателей экономических специальностей 
вузов.

УДК 330.43(075.8) 
ББК 65в6я73 

Б83

 
© Бородич С.А., 2013
 
© ООО «Новое знание», 2013
ISBN 978-985-475-629-5 (Новое знание).
ISBN 978-5-16-009429-8 (ИНФРА-М, print). 
ISBN 978-5-16-100513-2 (ИНФРА-М, online).

Р е ц е н з е н т ы:
зав. кафедрой высшей математики № 2 Белорусского национального техни-
ческого университета, кандидат физико-математических наук А.Д. Корзни-
ков;
зав. кафедрой РИВШ Белорусского государственного университета, канди-
дат технических наук С.И. Максимов

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

Оглавление

Предисловие................................................................................................................................6

Глава 1. Вероятностные задачи в экономике.............................................................8
1.1..Базовые.формулы.теории.вероятностей.................................................................8
1.2..Случайные.величины.и.их.основные.характеристики....................................10
1.3..Законы.распределения.случайных.величин.и.таблицы.
критических.точек.распределений..........................................................................13
Примеры решения задач......................................................................................................14

Глава 2. Обработка статистических данных.............................................................30
2.1..Базовые.концепции.математической.статистики..............................................30
2.2..Вычисление.выборочных.характеристик.............................................................31
Примеры решения задач......................................................................................................34

Глава 3. Статистические оценки и проверка гипотез............................................47
3.1..Виды.оценок.и.их.свойства.......................................................................................47
3.2..Статистическая.проверка.гипотез...........................................................................51
3.3..Проверка.гипотезы.о.математическом.ожидании.нормальной.СВ.
при.известной.дисперсии...........................................................................................52
3.4..Проверка.гипотезы.о.математическом.ожидании.нормальной.СВ.
при.неизвестной.дисперсии.......................................................................................53
3.5..Проверка.гипотезы.о.величине.дисперсии.нормальной.СВ.........................54
3.6..Проверка.гипотезы.о.равенстве.математических.ожиданий.двух.
нормальных.СВ.при.известных.дисперсиях.......................................................56
3.7..Проверка.гипотезы.о.равенстве.математических.ожиданий.двух.
нормальных.СВ.при.неизвестных.дисперсиях..................................................56
3.8..Проверка.гипотезы.о.равенстве.дисперсий.двух.нормальных.СВ.............57
3.9..Проверка.гипотезы.о.значимости.коэффициента.корреляции....................58
Примеры решения задач......................................................................................................59

Глава 4. Парная линейная регрессия...........................................................................82
4.1..Суть.регрессионного.анализа....................................................................................82
4.2..Метод.наименьших.квадратов.(МНК)..................................................................84
Примеры решения задач......................................................................................................86

Глава 5. Проверка качества уравнения регрессии.................................................99
5.1..Классическая.линейная.регрессионная.модель..
Предпосылки.метода.наименьших.квадратов....................................................99
5.2..Анализ.точности.определения.оценок.коэффициентов.регрессии.......... 100
5.3..Проверка.гипотез.относительно.коэффициентов.линейного.
уравнения.регрессии................................................................................................. 101
5.4..Интервальные.оценки.коэффициентов.линейного.уравнения..
регрессии........................................................................................................................ 103
5.5..Проверка.общего.качества.уравнения.регрессии..
Коэффициент.детерминации.R2........................................................................... 103
Примеры решения задач................................................................................................... 106

Оглавление

Глава 6. Множественная линейная регрессия....................................................... 133
6.1..Определение.параметров.уравнения.регрессии.............................................. 133
6.2..Расчет.коэффициентов.множественной.линейной.регресcии................... 134
6.3..Дисперсии.и.стандартные.ошибки.коэффициентов..................................... 135
6.4..Интервальные.оценки.коэффициентов.теоретического.
уравнения.регресcии................................................................................................. 136
6.5..Анализ.качества.эмпирического.уравнения.множественной.
линейной.регрессии................................................................................................... 137
6.6..Проверка.статистической.значимости.коэффициентов.
уравнения.регрессии................................................................................................. 137
6.7..Проверка.общего.качества.уравнения.регрессии........................................... 138
6.7.1..Анализ.статистической.значимости.коэффициента..
детерминации.................................................................................................... 140
6.7.2..Проверка.равенства.двух.коэффициентов.детерминации............... 140
6.7.3..Проверка.гипотезы.о.совпадении.уравнений.регрессии.
для.двух.выборок............................................................................................ 142
6.8..Проверка.выполнимости.предпосылок.МНК...
Статистика.Дарбина.—.Уотсона............................................................................ 143
Примеры решения задач................................................................................................... 145

Глава 7. Нелинейная регрессия................................................................................... 172
7.1..Основные.нелинейные.эконометрические.модели........................................ 172
7.2..Признаки.«хорошей».модели.и.ошибки.спецификации............................. 174
Примеры решения задач................................................................................................... 176

Глава 8. Гетероскедастичность..................................................................................... 197
8.1..Обнаружение.гетероскедастичности................................................................... 197
8.1.1..Графический.анализ.остатков.................................................................... 198
8.1.2..Тест.ранговой.корреляции.Спирмена..................................................... 199
8.1.3..Тест.Парка.......................................................................................................... 200
8.1.4..Тест.Глейзера.................................................................................................... 201
8.1.5..Тест.Голдфелда.—.Квандта.......................................................................... 201
8.2..Методы.смягчения.проблемы.гетероскедастичности................................... 202
8.2.1..Метод.взвешенных.наименьших.квадратов.(ВНК)........................... 202
8.2.2..Дисперсии.отклонений.неизвестны......................................................... 204
Примеры решения задач................................................................................................... 205

Глава 9. Автокорреляция................................................................................................ 220
9.1..Суть.и.причины.автокорреляции......................................................................... 220
9.2..Последствия.автокорреляции................................................................................ 220
9.3..Обнаружение.автокорреляции.............................................................................. 221
9.3.1..Графический.метод......................................................................................... 221
9.3.2..Метод.рядов...................................................................................................... 223
9.3.3..Критерий.Дарбина.—.Уотсона.................................................................... 224
9.4..Методы.устранения.автокорреляции.................................................................. 225
9.4.1..Определение.ρ.на.основе.статистики.Дарбина.—.Уотсона............. 227

Оглавление 
5

9.4.2. Метод Кохрана — Оркатта ......................................................................... 228
9.4.3. Метод Хилдрета — Лу.................................................................................. 228
Примеры решения задач .................................................................................................. 229

Глава 10. Мультиколлинеарность............................................................................... 244
10.1. Суть и последствия мультиколлинеарности................................................. 244
10.2. Определение мультиколлинеарности и методы ее устранения............. 245
Примеры решения задач .................................................................................................. 246

Глава 11. Фиктивные переменные в регрессионных моделях ...................... 253
11.1. Модели ANOVA и ANCOVA................................................................................ 253
11.2. Сравнение двух регрессий ................................................................................... 254
11.3. Фиктивная зависимая переменная................................................................... 257
Примеры решения задач .................................................................................................. 259

Глава 12. Динамические модели................................................................................. 273
12.1. Общие положения................................................................................................... 273
12.2. Оценка моделей с лагами в независимых переменных ............................ 273
12.2.1. Метод последовательного увеличения количества лагов........... 274
12.2.2. Преобразование Койка (метод геометрической прогрессии)... 274
12.3. Авторегрессионные модели................................................................................. 276
12.3.1. Модель адаптивных ожиданий............................................................. 276
12.3.2. Модель частичной корректировки...................................................... 277
12.4. Оценка авторегрессионных моделей................................................................ 278
12.5. Проблема автокорреляции остатков. Обнаружение и устранение....... 278
Примеры решения задач .................................................................................................. 279

Глава 13. Системы одновременных уравнений.................................................... 286
13.1. Составляющие систем уравнений..................................................................... 286
13.2. Косвенный метод наименьших квадратов и инструментальные 
переменные ................................................................................................................ 287
13.3. Проблема идентификации ................................................................................... 288
13.4. Необходимые и достаточные условия идентифицируемости................ 288
Примеры решения задач .................................................................................................. 292

Приложения ........................................................................................................................ 313
1. Функция Лапласа (стандартизированное нормальное  
распределение)............................................................................................................... 313
2. Распределение Стьюдента (t-распределение).................................................... 314
3. χ2-распределение........................................................................................................... 315
4. Распределение Фишера (F-распределение)........................................................ 316
5. Критерий Колмогорова............................................................................................... 320
6. Распределение Дарбина — Уотсона........................................................................ 320
7. Критические значения количества рядов для определения 
наличия автокорреляции по методу рядов (α = 0,05) .................................... 326

Рекомендуемая литература........................................................................................... 328

Предисловие

Математическое.моделирование.является.одним.из.самых.эффективных.
методов.экономического.анализа..Ключевым.моментом.такого.моделирова-
ния.представляется.определение.наличия.взаимосвязей.между.эканомиче-
скими.факторами,.выражение.этих.взаимосвязей.в.математических.терми-
нах.и.использование.математических.формул.для.обоснования.выводов.
Формально.«эконометрика».означает.«измерения.в.экономике»..Одна-
ко.область.исследований.данной.дисциплины.существенно.шире..В.ней.на.
основе. реальных. статистических. данных. производится. построение. и. со-
вершенствование.математических.моделей..На.базе.построенных.моделей.
осуществляется.анализ.экономических.процессов,.проверка.определенных.
гипотез.и.делаются.прогнозы.по.возможному.развитию.ситуации.
В.целом.экономические.законы.и.взаимосвязи.достаточно.универсальны,.
но.реальные.условия.создают.определенные.нюансы,.что.приводит.к.неко-
торому.отличию.параметров.моделей.для.различных.производств,.отраслей,.
стран.и.регионов..В.основе.эконометрического.анализа.лежат.статистиче-
ские.концепции.и.подходы..Это.обосновано.тем,.что.большинство.экономи-
ческих.показателей.носят.случайный.характер,.так.как.на.них.воздействует.
непредсказуемое.количество.различных.факторов..Влияние.их.также.непо-
стоянно. и. не. носит. строгий. характер.. Например,. не. вызывает. сомнений.
наличие.существенной.связи.между.доходом.и.потреб.лением..Однако.за-
частую. индивидуумы. с. одинаковыми. доходами. потребляют. по-разному..
Поэтому. использование. методов. математической. статистики. в. экономе-
трике.носит.системный.и.базовый.характер.
Эконометрика. фокусируется. на. исследовании. количественных. пара-
метров. экономических. процессов,. оставляя. качественные. ас.пекты. эконо-
мической. теории.. Начальной. задачей. эконометрики. является. сбор,. обра-
ботка.и.представление.экономических.данных.в.наглядной.и.удобной.для.
математической.обработки.форме.(в.форме.таблиц,.графиков,.диаграмм)..
Следующим.шагом.является.использование.данных.для.построения.и.ана-
лиза.математи.ческих.моделей..Здесь.основной.акцент.делается.на.подборе.
модели.и.определении.ее.параметров,.которые.наилучшим.образом.описы-
вают.реально.существующую.экономическую.ситуацию..Подбор.модели.
называется. этапом. спецификации,. определение. числовых. характеристик.
отобранной.модели.—.этапом.параметризации..Эти.два.этапа.являются.до-
статочно.трудоемкой.и.творческой.частью.эконометрического.анализа..За-
частую. невозможно. подобрать. совершенную. модель. и. приходится. выби-
рать.между.несколькими.конкурирующими.вариантами,.разбивать.общую.
модель. на. несколько. частных,. для. каждой. из. которых. подбираются. свои.
числовые.параметры..Таким.образом,.выбор.формы.модели.является.важ-
нейшей.отправной.точкой.для.последующего.анализа.
Заметим,.что.любая.модель.является.упрощением.реальности.и.содер-
жит.определенную.погрешность..Поэтому.из.всех.рассматриваемых.моде-
лей.с.помощью.соответствующего.статистического.анализа.отбирается.та,.

Предисловие 
7

которая. в. наибольшей. степени. соответствует. эмпирическим. данным,. ха-
рактеру.зависимости,.а.также.экономической.теории..Этап.отбора.наилуч-
шей.модели,.определения.ее.общего.качества,.а.также.качества.ее.отдель-
ных.параметров.называется.этапом.верификации..На.этом.этапе.отбирается.
не. только. самая. подходящая. формула. для. модели,. но. также. уточняется.
состав.наиболее.важных.в.данных.конкретных.условиях.факторов,.которые.
целесообразно.включить.в.модель..Если.модель.удовлетворяет.выбранным.
исследователем.стандартам.качества,.то.она.рекомендуется.для.проведения.
анализа. определенной. экономической. ситуации,. а. также. для. прогноза. ее.
дальнейшего.развития.
Отметим,.что.вскрывая.механизмы.и.взаимосвязи.изучаемых.процессов,.
эконометрические.модели.не.решают.вопрос.об.их.причинах..Однако.эконо-
метрика.является.одним.из.самых.эффективных.и.надежных.инструментов.
общего.экономического.анализа,.что.объясняет.популярность.и.распростра-
ненность.ее.применения.практически.во.всех.ситуациях,.когда.количествен-
ный.анализ.важен.
В.целом.процесс.эконометрического.анализа.можно.разбить.на.следу-
ющие.этапы:
1).выбор.математической.модели.на.основе.экономической.теории;
2).оценка.параметров.модели.на.базе.имеющихся.статистических.данных;
3).проверка.качества.построенной.модели;
4).переход.к.пункту.5),.если.качество.модели.удовлетворительное;.воз-
врат.к.пункту.1),.если.качество.модели.неудовлетворительное;
5).Использование.модели.для.объяснения.экономической.ситуации.и.для.
прогнозирования.
Приведенная.схема.отражает.циклический.характер.совре.менных.эко-
номических.исследований:.от.экономической.теории.к.моделированию;.от.
моделирования.к.совершенствованию.теории.и.проведению.более.обосно-
ванной.и.предсказуемой.экономической.политики..Развитие.пакетов.при-
кладных.программ.сделало.эконометрику.одним.из.ключевых.этапов.эко-
номических.исследований.в.целом.
Данное. руководство. предназначено. для. преподавателей. и. студентов,.
использующих.учебное.пособие.автора.«Эконометрика»..Оно.может.быть.
использовано.также.для.анализа.и.решения.базовых.задач.для.любого.кур-
са.эконометрики.
В.руководстве.пошагово.расписано.решение.задач,.приводятся.необхо-
димые.пояснения,.отмечаются.возможные.проблемы.и.даются.рекоменда-
ции.по.их.преодалению.
Для.решения.большинства.приведенных.задач.могут.быть.использованы.
пакеты.прикладных.программ.Minitab,.SSPS.и.др..Однако.фактически.ре-
шение.всех.задач.приведено.на.основе.использования.калькулятора.и.Excel..
Это.делает.руководство.доступным.для.любого.пользователя.и.позволяет.
углубиться.в.суть.решаемых.задач.

Вероятностные задачи 
В экономике

1.1. Базовые формулы теории вероятностей

Любая.активность,.результат.которой.неоднозначен,.называется.
экспериментом.
Результат.эксперимента.называется.событием..Для.обозначе-
ния.события.используется.любая.заглавная.буква.(А,.В,.С....).или.
набор.букв.
Событие,.которое.не.разбивается.на.более.простые.составные.
части,.называется.элементарным.(например,.выпадение.орла.или.
решки.при.бросании.монеты.или.определенной.комбинации.очков.
при.бросании.игральных.костей).
Вероятность события. —. числовая. характеристика,. опреде-
ляющая.степень.возможности.данного.результата.в.условиях.про-
водимого.экперимента..Вероятность.события.А.обозначается.Р(А),..
0.≤.P(A).≤.1.
Общая формула.вычисления.вероятности.(классический подход):

.
P A
m
n
( ) =
,.
(1.1)

где.n.—.число.элементарных.событий.в.условиях.данного.экспери-
мента;.m.—.число.элементарных.событий,.входящих.в.событие.А..
При. этом. предполагается,. что. все. элементарные. события. равно-

возможны,.а.следовательно,.их.вероятности.равны. 1
n.

Зачастую.для.подсчета.числа.элементарных.событий.необходи-
мо.использовать.формулы.комбинаторики..В.частности,.число.Cn
k .
способов. отбора. k. элементов. из. числа. различных. n. элементов.
определяется.формулой

.
C
n
k
n
k
n
k
!
! (
)!
=
⋅
−
.(j!.=.1.⋅.2.⋅.3.⋅⋅⋅.j)..
(1.2)

1.1. Базовые формулы теории вероятностей 
9

Общая формула вычисления вероятности.(относительная ча‑
стота)

.
P A
m
n
( ) =
,.
(1.3)

где.n.—.число.повторений.одного.и.того.же.эксперимента.в.одина-
ковых. условиях;. m. —. число. экспериментов. из. n. проведенных,.
в.которых.произошло.событие.А.(0.≤.m.≤.n).

Наступление.по.крайней.мере.одного.из.событий.А.или.В.сим-
волически.обозначается.А.+.В..Наступление.двух.событий.А.и.В.
в.одном.и.том.же.эксперименте.обозначается.А ⋅ В.
При. нахождении. вероятности. наступления. события. А. или. В.
используется.формула сложения вероятностей

 
P(A.+.B).=.P(A).+.P(B).-.P(А.⋅.В)..
(1.4)

При. нахождении. вероятности. наступления. двух. событий. А.
и.В.одновременно.используется.формула умножения вероятностей

.
P(А.⋅.В).=.P(A).⋅.P(B|A),.
(1.5)

где.P(B|A).—.вероятность.наступления.события.В.при.условии.на-
ступления.события.А.

Для.независимых.событий.А.и.B.P(B|A).=.P(B).
Предположим,.что.одно.из.непересекающихся.событий.A1,.A2,.
...,.Ak.обязательно.должно.произойти.в.условиях.проводимого.экс-
перимента..Тогда.вероятность.события.В.в.условиях.этого.же.экс-
перимента.определяется.формулой полной вероятности:

 
P(В).=.P(A1).⋅.P(B|A1).+.P(A2).×

.
×.P(B|A2).+.....+.P(Ak).⋅.P(B|Ak)..
(1.6)

Применение.формул.(1.4).и.(1.5).позволяет.определить.вероят-
ность.того,.что.событие.В.наступит.с.определенным.событием.Аj,.
j.=.1,.2,....,.k:

.
P A В
P A P В A
P В
j
j
j
(
)
(
) (
)
( )
|
|
=
=

=
+
+ … +
P A P В A
P A P В A
P A
P В A
P A
P В A

j
j

k
k

(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
|
|
|
|
1
1
2
2

.. (1.7)

1. Вероятностные задачи в экономике

1.2. случайные величины 
и их основные характеристики

Случайной величиной. (СВ). называют. величину,. которая. в. ре-
зультате.наблюдения.принимает.то.или.иное.значение,.заранее.не.
известное.и.зависящее.от.случайных.обстоятельств.
Объем. ВНП,. количество. реализованной. продукции,. прибыль.
фирмы,.размер.чистого.экспорта.за.год.и.т.д..являются.случайными.
величинами.
Различают.дискретные.и.непрерывные.СВ..Дискретной.назы-
вают.такую.СВ,.которая.принимает.отдельные,.изолированные.зна-
чения.с.определенными.вероятностями.(такая.СВ.имеет.счетное.
количество.значений)..Непрерывной.называют.такую.СВ,.которая.
может. принимать. любое. значение. из. некоторого. конечного. или.
бесконечного. числового. промежутка. (т.е.. количество. возможных.
значений.непрерывной.СВ.несчетно)..Например,.можно.считать,.
что.число.покупателей.в.магазине,.побывавших.там.в.течение.дня,.
число.автомобилей,.ремонтируемых.еженедельно.в.данной.мастер-
ской,.число.находящихся.в.аэропорту.самолетов.являются.дискрет-
ными.СВ..Однако.большинство.СВ,.рассматриваемых.в.экономи-
ке,.имеют.настолько.большое.число.возможных.значений,.что.их.
удобнее.представлять.в.виде.непрерывных.СВ..Например,.курсы.
валют,.доход,.объемы.ВНП,.ВВП.и.т.п..обычно.рассматриваются.
как.непрерывные.СВ.
Для.описания.дискретной.СВ.необходимо.установить.соответ-
ствие. между. всеми. возможными. значениями. СВ. и. их. вероятно-
стями..Такое.соответствие.называется.законом распределения дис‑
кретной СВ.. Его. можно. задать. таблично,. аналитически. (в. виде.
формулы).либо.графически.
При.табличном.задании.закона.распределения.дискретной.СВ.Х.
первая.строка.таблицы.содержит.ее.возможные.значения.(х1,.х2,.…,.хk),.
а.вторая.—.их.вероятности.(p1,.p2,.…,.pk):

X
x1
x2
...
xk
pi
p1
p2
...
pk

Обычно.х1.<.х2.<.....<.xk..Обязательно.p1.+.p2.+.....+.pk.=.1.
Основными.числовыми.характеристиками.случайных.величин.
являются.математическое.ожидание,.дисперсия.и.среднее.квадра-
тическое.отклонение.

1.2. Случайные величины и их основные характеристики 
11

Математическое. ожидание. характеризует. среднее. ожидаемое.
значение.СВ,.т.е..приближенно.равно.ее.среднему.значению.
Математическое ожидание М(Х). определяется. следующим.
образом.
Для.дискретной.СВ:

.
M X
x p
i
i
i

k
(
) =
=∑
1

,.
(1.8)

где.k.—.число.всех.возможных.значений.СВ.X.
Для.непрерывной.СВ:

.
M X
xf x dx
(
)
( )
=

−∞

+∞
∫
..
(1.9)

Свойства.математического.ожидания:
1..М(С).=.С,.где.С.—.константа.
2..M(CX).=.C.⋅.M(X).
3..M(X.±.Y).=.M(X).±.M(Y).
4..M(aX.+.b).=.aM(X).+.b,.где.a.и.b.—.константы;
5..Для.независимых.СВ.M(XY).=.M(X)M(Y).
Для.описания.среднего.разброса.значений.случайной.величины.
используют.дисперсию.и.среднее.квадратическое.отклонение.
Дисперсией D(X).СВ.Х.называется.математическое.ожидание.
квадрата. отклонения. СВ. от. ее. математического. ожидания.. Она.
рассчитывается.по.формуле

.
D(X).=.M(X.-.M(X))2.=.M(X2).-.M2(X)..
(1.10)

При.этом.для.дискретной.СВ

.
D X
x
M X
p
x p
M
X
i
i
i

k

i
i
i

k
(
)
(
)
(
)
=
−
(
)
=
−
=
=
∑
∑
2

1

2

1

2
..
(1.11)

Для.непрерывной.СВ

.
D X
x
M X
f x dx
x f x dx
M
X
(
)
(
)
( )
( )
(
)
=
−
(
)
=
−

−∞

+∞

−∞

+∞
∫
∫
2
2
2
.. (1.12)

Свойства дисперсии:
1..D(С).=.0,.где.С.—.константа.
2..D(СX).=.C2D(X).

1. Вероятностные задачи в экономике

3. D(X ± Y) = D(X) + D(Y), где X и Y — независимые СВ.
4. D(aX + b) = a2D(X), где a и b — константы.
Средним квадратическим отклонением s(X) СВ Х называют

квадратный корень из дисперсии D(X):

σ(
)
(
)
X
D X
=
.
(1.13)

Для описания связи между случайными величинами X и Y ис-
пользуют ковариацию или коэффициент корреляции.
Ковариация рассчитывается по формуле

sxy = cov(X, Y) = M((X - M(X))(Y - M(Y)) =

= M(XY) - M(X)M(Y).
(1.14)

Коэффициентом корреляции СВ Х и Y называют величину

ρ
σ
σ σ
σ
xy
xy

x
y

xy
D X D Y
=
=
(
) ( ) .
(1.15)

Зависимость между СВ Х и Y, характеризуемая коэффициен-
том корреляции, называется корреляцией. СВ Х и Y называются
некоррелированными, если rxy = 0, что равносильно равенству sxy = 0.
Если же rxy ≠ 0, то СВ X и Y называют коррелированными.
Свойства коэффициента корреляции:
1. rxx = 1.
2. rxy = ryx.
3. -1 ≤ rxy ≤ 1.
4. Если СВ Х и Y независимы, то rxy = 0.
5. |rxy| = 1 тогда и только тогда, когда Y = a + bx (т.е. между СВ

Х и Y существует линейная функциональная зависимость).
В случае, когда СВ не являются независимыми, а коррелируют

друг друга, формулы расчета дисперсии их суммы либо разности
имеют вид

D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2cov(X, Y),
(1.16)

D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2rxysxsy.
(1.17)

1.3. Законы распределения случайных величин и таблицы критических точек...
13

1.3. Законы распределения случайных величин 
и таблицы критических точек распределений

Случайные величины обычно подчиняются определенному за-
кону распределения либо хорошо аппроксимируются им. Зная за-
кон распределения можно достаточно точно предсказать вероят-
ность попадания случайной величины в тот или иной интервал. 
Для анализа случайных величин в эконометрике обычно исполь-
зуются нормальный закон распределения, а также распределения 
Стьюдента, c-квадрат (Хи-квадрат) и Фишера.
Нормальное распределение случайной величины Х определя-
ется двумя параметрами: матеметическим ожиданием m и средним 
квадратическим отклонением s и задается по формуле

f x
e

x
m
( )

(
)
=

−
−
1
2

2

2
2
πσ
σ
.
(1.18)

Символически нормальное распределение описывается так: 
X ~ N(m, s).
Важнейшим с точки зрения расчетов является стандартизи-

рованное нормальное распределение U, в котором m = 0, s = 1: 
U ~ N(0, 1).
Для этого распределения разработана таблица значений функ-
ции Лапласа Ф(u) = P(0 ≤ U ≤ u) — таблица стандартизированного 
нормального распределения (см. прил. 1).
Заметим, что P(U ≤ u) = Ф(u) + 0,5, если u > 0, и P(U ≤ u) = 
= 0,5 − Ф(−u), если u < 0.
Если X ~ N(m, s), то

P a
X
b
b
m
a
m
(
)
≤
≤
=
−



 −
−




Ф
Ф
σ
σ
.
(1.19)

Распределения Стьюдента (t-распределение), Хи-квадрат (c2-рас-

пределение) и Фишера (F-распределение) получаются вследствие 
алгебраической комбинации нескольких нормальных случайных 
величин. При определенных условиях реальная рассматриваемая 
случайная величина или некая комбинация случайных величин 
могут подчиняться одному из вышеперечисленных законов.
Критические точки (квантили) распределений Стьюдента 
и c2-распределения (прил. 2 и 3) находятся по числу степеней сво-