Устойчивость и бифуркации в системах с косимметрией


Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»








        Л. Г. Куракин, В. И. Юдович




            Устойчивость и бифуркации в системах с косимметрией








Ростов-на-Дону Издательство Южного федерального университета 2009

      УДК 517.928
      ББК 22.161.6
             К 93

Печатается по решению редакционно издательского совета Южного федерального университета

Монография подготовлена и издана в рликлг национального проекта «Образование» по «Программе развития федера,льноего государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования “Южный федеральный университет” на 2007-2010 гг.»


Резензент
доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой вычислительной математики и математической физики Южного федерального университета
М. Ю. Жуков




            Куракин Л. Г., Юдович В. И.
      К93 Устойчивость и бифуркации в системах с косимметрией: монография / Л. Г. Куракин, В. И. Юдович — Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2009. — 208 с.
               ISBN 978-5-9275-0663-7
               В монографии изложена общая теория локальных бифуркаций в динамических системах с косимметрией, обладающих в условиях общего положения непрерывным семейством равновесий с переменным спектром устойчивости. Исследованы бифуркации таких семейств равновесий, которые приводят к рождению вторичных и третичных стационарных режимов, а также автоколебательных периодических режимов.
               Монография адресована научным работникам, преподавателям, аспирантам и студентам математических и физических факультетов.

      ISBN 978-5-9275-0663-7   © Куракин Л. Г. , В. И. Юдович, 2009
                               © Южный федеральный университет, 2009
                               © Оформление. Макет. Издательство
                                   Южного федерального университета, 2009

        Оглавление






Введение                                                               6

I.  Бифуркации, сопровождающие монотонную потерю устойчивости равновесия косимметричной динамической системы                       21
   Введение........................................................... 21
   1.  Метод Ляпунова-Шмидта для уравнения с косимметрией............. 23
       1.1.  Постановка задачи и уравнение разветвления............... 23
       1.2.  Случай общего положения (к — 1)......................... 27
       1.3.  Метод Ляпунова-Шмидта в случае двумерного ядра ......... 28
       1.4.  Бифуркация общего положения для косимметрической системы ...................................................... 31
       1.5.  Случай полного вырождения линейной части уравнения разветвления ........................................................ 34
   2.  Метод центрального многообразия. Случай двукратного нулевого собственного значения.................................... 37
       2.1.  Случай двумерной жордановой клетки (к — 2, dimkerA — 1). Бифуркация устойчивых и неустойчивых дуг...................... 39
       2.2.  Случай общего положения (а 0, г 0): нет локальных бифуркаций ........................................................ 40
       2.3.  Рождение неустойчивой дуги (а 0, г — 0, аоз < 0......... 41
       2.4.  Рождение пары дуг — устойчивой и неустойчивой (а 0, г — 0, аоз — 0, Щи 0)................................... 41
       2.5.  Случай двумерного ядра (к — 2, dimkerA — 2). Седловая бифуркация и бифуркация рождения цикла равновесий «из воздуха» 44
       2.6.  Случай двумерного ядра: бифуркация семейства равновесий, сопровождаемая рождением малой неустойчивой дуги ............................................ 45
       2.7.  Случай двумерного ядра: ответвление малого равновесного цикла от угловой точки семейства равновесий ..................... 49
   3.  Метод центрального многообразия. Случай трехкратного нулевого собственного значения ............................................... 52

3

Оглавление

       3.1.  Жорданова клетка. Рождение устойчивой дуги, образованной равновесиями разного типа......................................... 52
       3.2.  Двумерное ядро. Бифуркации семейств равновесий, сопровождаемые внутренними бифуркациями.................................. 57
   Приложение. Выпрямление несимметричного векторного поля на плоскости 69

II.   Бифуркация ответвления цикла в n-параметрическом семействе динамических систем с косимметрией                                       72
   Введение........................................................... 72
   1. Постановка задачи............................................... 74
   2. Фазовые портреты и перестройка.................................. 78
       2.1.  Главные семейства........................................ 78
       2.2.  Развитие неустойчивой дуги без ответвления цикла ........ 81
       2.3.  Ответвление предельного цикла от равновесия, разделяющего устойчивую и неустойчивую дуги................................. 83
       2.4.  Ответвление предельного цикла от равновесия, разделяющего две устойчивые дуги............................................ 87
   Заключение......................................................... 91
   Приложение А. Несимметрическая версия теоремы о неявной функции ... 95
   Приложение В. Сводка результатов................................... 97


III.  Ответвление предельного цикла от подмногообразия равновесий в системе с мультикосимметрией                                            99
   1. Метод Ляпунова-Шмидта ......................................... 99
       1.1.  Постановка задачи. Основные определения и гипотезы...... 99
       1.2.  Линеаризованное уравнение.............................. 101
       1.3.  Уравнение разветвления циклов.......................... 104
   2. Метод центрального многообразия .............................. 114
       2.1.  Постановка задачи...................................... 114
       2.2.  Бифуркация областей устойчивости....................... 118
       2.3.  Модельные семейства.................................... 121
       2.4.  Ответвление предельного цикла без бифуркации областей устойчивости ..................................................... 123
       2.5.  Ответвление предельного цикла в случае бифуркации областей устойчивости................................................. 124
       2.6.  Случай общего положения. Предельный цикл не ответвляется, и
             области устойчивости не бифурцируют.................... 125

IV.   О бифуркациях равновесий при разрушении косимметрии динамической системы                                                        127
   1. Постановка задачи и уравнения разветвления.................... 127
   2. Случай общего положения (к — 1)............................... 133
   3. Метод Ляпунова-Шмидта в случае двумерного ядра ............... 137

Оглавление

5

V.  Об устойчивости граничных равновесий в системах с косимметрией146
   1.  Обращение теоремы о неявной функции для косимметрических систем 148
   2.  Критические случаи устойчивости............................... 150
       2.1.  Критический случай трехкратного нулевого собственного значения151
       2.2.  Критический случай двукратного нулевого и простой пары чисто мнимых собственных значений................................... 152
       2.3.  Критический случай нулевого и пары чисто мнимых собственных значений (все они просты)..................................... 153
       2.4.  Уравнение на центральном многообразии. Влияние косимметрии на его ряд Тейлора ........................................... 154
       2.5.  Критерии устойчивости и модельные системы............... 157
       2.6.  Устойчивость............................................ 159
       2.7.  Неустойчивость ......................................... 163

VI. Ответвление двумерных инвариантных торов от семейства равновесий в системах с косимметрией                                       165
   Введение.......................................................... 165
   1.  Метод центрального многообразия .............................. 167
       1.1.  Внутренние бифуркации на семействе равновесий........... 172
       1.2.  Отсутствие предельных циклов. Условия существования тора и анализ его спектра устойчивости .............................. 174
   2.  Метод Ляпунова-Шмидта ........................................ 175
       2.1.  Линеаризованное уравнение............................... 175
       2.2.  Уравнение разветвления торов............................ 178
   3.  К задаче о квазипериодических решениях........................ 188
   Пр   иложение А. Главные системы в резонансных случаях............ 193
       А.1. Резонанс 1:2, a»i = 2ш₂............'..................... 193
       А.2. Резонанс 1:3, ац = 3w₂................................... 194
       А.З. Резонанс 1:1, a»i = w₂ .................................. 195
   Приложение В. Доказательство предложения 1.3...................... 195
   Заключение........................................................ 197


Литература

200

        Введение




   Наличие у динамической системы нетривиальной симметрии или ко-симметрии приводит к существованию непрерывных семейств равновесий.
   В обоих случаях мы имеем дело с вырождением бесконечной коразмерности, которое никогда не появляется в общей теории, основанной на последовательном рассмотрении вырождений коразмерностей 1, 2,....
   Причины сильной неединственности равновесий в системах с косим-метрией и в системах с симметрией двойственны [83,111,112]: наличие косимметрии указывает на скрытую недоопределенность системы, тогда как наличие симметрии говорит о ее скрытой переопределенности.
   Теория косимметрии [68,110] возникла в связи с объяснением необычного характера первого перехода в двумерной задаче фильтрационной конвекции. Д. В. Любимов [46] обнаружил, что в результате первого бифуркационного перехода при зарождении конвективных движений в подогреваемой снизу пористой среде, заполняющей горизонтальный цилиндр с произвольной формой поперечного сечения, возникает однопараметрическое семейство устойчивых стационарных течений. В. И. Юдович [68, 110] доказал существование этого семейства и показал, что причиной такого специфического перехода является наличие у соответствующего дифференциального уравнения нетривиальной косимметрии.
   Члены семейства равновесий косимметричной динамической системы обладают изменчивым спектром устойчивости [68,110], что принципиально отличает такое семейство от орбиты действия любой динамической группы симметрии. Равновесия, принадлежащие одной орбите группы симметрии, лишены индивидуальности, и поэтому теория бифуркаций в симметричных системах рассматривает скорее бифуркации орбит, а не равновесий в отдельности.

б

Введение

7

   Роль симметрии в современной физике, и, в частности, в теории бифуркаций, хорошо известна [87-89,113]. Что касается косимметрии и ее роли, то исследование все еще находится в самом начале, но, мы верим, имеет немалые перспективы. Развитие теории устойчивости и теории локальных бифуркаций в косимметрических динамических системах актуально, в частности, в связи с обнаруженными в последнее время нетривиальными косимметриями в ряде задач математической физики. Известные ныне примеры — фильтрационная конвекция жидкости [68,110], в частности, многокомпонентной и магнитной [71,79,81], системы классической механики с симметричной потенциальной энергией [70,112], модели фазовых переходов антиферромагнетиков [82], задачи о волнах на поверхностях раздела жидкостей [49,50,103,104]. Разумеется, речь здесь идет о него-лономных косимметриях, голономные косимметрии суть дифференциалы интегралов системы, и, конечно, хорошо известны.
   В данном исследовании дается полная картина локальных бифуркаций в системах с косимметрией.
   Применяются оба существующих подхода к исследованию локальных бифуркаций — метод Ляпунова-Шмидта [11] и метод центрального многообразия [3,63]. Метод Ляпунова-Шмидта не связан ограничениями размерности ядра линеаризованного оператора. Метод центрального многообразия дает наглядную геометрическую картину локальных фазовых портретов системы и во многих случаях удобней для исследования устойчивости движения.
   Все результаты теории бифуркаций, полученные методом Ляпунова-Шмидта, представлены в виде полиномиальных неравенств для коэффициентов уравнений разветвления, заданных в виде явных формул — через корневые векторы линеаризованной системы и ее сопряженной. Таким образом, применение этих результатов к конкретным системам сводится просто к вычислению по явным формулам. Указанная форма коэффициентов разветвления удобна для вычислений и программирования на ЭВМ. Она эффективна как для конечномерных, так и для бесконечномерных систем.
   В данной монографии не нашлось места для приложений, полученных в ней общих результатов для косимметричных динамических систем. Дело в том, что в физически осмысленных задачах значительная часть работы (вычисление критических значений, собственных векторов, коэф

Введение

фициентов уравнений разветвления метода Ляпунова-Шмидта или коэффициентов модельных уравнений метода центрального многообразия) может быть проделана лишь с применением компьютера. Такая работа последние десять лет регулярно проводится ростовскими и пермскими математиками [15-17,86,98,99]. Бифуркации, описанные в данной монографии, исследованы в их работах численными методами в моделях фильтрационной конвекции жидкости в пористой среде.
   Теория и вычислительный эксперимент идут в тесной связи при изучении динамических систем с косимметрией, подсказывая друг другу направления исследования. Например, бифуркация ответвления цикла от непрерывного семейства равновесий сначала была обнаружена численно, и лишь затем уже обоснована теоретически. Между тем теория нередко шла впереди вычислительного эксперимента. Например, долгое время в моделях фильтрационной конвекции жидкости не удавалось обнаружить бифуркацию ответвления тора от семейства равновесий, описанную в работах [43,102]. Недавно она была найдена [17].
   Далее нам понадобится ряд фактов, определений и терминов, введенных в основном в работах В. И. Юдовича.
   Косимметрия векторного поля (и определяемого им автономного дифференциального уравнения на многообразии), по определению, есть аннулирующая его в каждой точке дифференциальная 1-форма [68,70,76,110, 111]. Если задана риманова или псевдориманова структура на многообразии, то косимметрию можно отождествить с векторным полем.
   Поскольку далее все рассмотрения носят локальный характер, ограничимся диференциальными уравнениями на линейном (банаховом или гильбертовом) пространстве.
   Равновесие векторного поля косимметрично, если косимметрия на нем аннулируется. В динамической системе с косимметрией в условиях общего положения встречается непрерывное однопараметрическое семейство некосимметричных равновесий [68,70,76,110,111]. В невырожденном случае спектр устойчивости меняется вдоль такого семейства [68,110], но из-за неизолированности равновесий обязательно содержит точку нуль. Равновесие семейства устойчиво, если весь его спектр устойчивости, кроме простого нулевого собственного значения, лежит внутри левой полуплоскости [47].
   Устойчивость равновесия понимается как нейтральная устойчивость

Введение

9

вдоль семейства равновесий и, одновременно, асимптотическая устойчивость в трансверсальных к нему направлениях.
   Семейство равновесий в условиях общего положения разбивается на устойчивые и неустойчивые по линейному приближению дуги. Разделяющие их равновесия будем называть граничными.
   В то время как все равновесия, принадлежащие одной орбите группы симметрии, теряют устойчивость при одном и том же значении параметра, в косимметричной системе потеря устойчивости оказывается растянутой. Сначала на устойчивой дуге равновесий при некотором значении параметра появляется нейтрально-устойчивая в линейном приближении точка, которая затем при изменении параметра превращается в неустойчивую дугу.
   Колебательная потеря устойчивости изолированного равновесия сопровождается, как правило, ответвлением от него предельного цикла. Между тем появление нейтральной колебательной моды у одного из равновесий первоначально устойчивого семейства, вообще говоря не приводит к возникновению автоколебательного режима. Для этого должно выполняться некоторое скалярное равенство. В работе В. И. Юдовича [74] отмечается, что к выводу о несуществовании периодического автоколебания в условиях общего положения пришли также Д. Любимов и Д. Брацун (результат был доложен на школе-семинаре НЕЗАТЕГИУС-92) на основе анализа амплитудных уравнений на физическом уровне строгости.
   Предельный цикл в условиях общего положения может вообще не родиться, а может родиться из граничного равновесия в ходе развития неустойчивой дуги. Этот эффект затягивания бифуркации рождения цикла был обнаружен и проиллюстрирован примерами в работах , в которых использовался метод Ляпунова-Шмидта [74,75,80].
   В главе I исследованы бифуркации, сопровождающие монотонную потерю устойчивости равновесия, являющегося в косимметричной системе в ситуации общего положения членом однопараметрического семейства. Методами Ляпунова-Шмидта и центрального многообразия проанализированы бифуркации такого семейства равновесий, а также внутренние бифуркации: переходы типа фокус-узел, узел-седло и т. д. при движении вдоль семейства. Описан ряд сценариев ветвления семейств равновесий и изменения структуры их дуг, состоящих из однотипных равновесий. Детально исследованы бифуркации устойчивых и неустойчивых дуг, ели-

Введение

пание и распад семейств равновесий, бифуркация потери гладкости семейством равновесий, а также ответвление малого равновесного цикла от угловой точки семейства равновесий. Переменность спектра вдоль семейства вызывает ряд новых явлений, которые не встречаются ни в классическом случае изолированного равновесия, ни при бифуркации семейств равновесий системы с симметрией. Среди них затягивание по параметру ветвления семейства равновесий, потеря устойчивости по Ляпунову семейством равновесий с сохранением свойства притяжения, возникновение и гибель новых устойчивых и неустойчивых дуг на семействе равновесий.
   В пункте 1 первой главы изложены результаты, полученные методом Ляпунова-Шмидта. Исследована бифуркация семейств равновесий в динамической системе с косимметрией и вещественным параметром в результате монотонной потери устойчивости равновесий однопараметрического семейства. Рассмотрен как случай общего положения, так и все вырождения коразмерностей один и два.
   Дана постановка задачи, и с применением спектральных проекторов выведено общее уравнение разветвления. Существенно, что уравнение разветвления наследует косимметрию [68].
   Разобран случай одномерного уравнения разветвления, когда применима косимметричная версия теоремы о неявной функции [68].
   Показано, что основные вырождения в задаче о структуре множества равновесий связаны с размерностью ядра линеаризованного поля, а не со строением спектрального подпространства. Детально исследованы двумерные уравнения разветвления. Рассмотрена ситуация, когда линейная часть уравнения разветвления невырождена, а также и случай ее вырождения. Изучены возможные вырождения — вплоть до самого сильного, когда равновесные режимы существуют лишь при критическом значении параметра и заполняют двумерную поверхность в окрестности теряющего устойчивость равновесия.
   Описаны:
  1) двустороняя седловая бифуркация;
  2) одностороняя бифуркация рождения равновесного цикла «из воздуха»;
  3) бифуркация потери гладкости семейством равновесий — образование нулевого угла на гладком семействе.

Введение

11

Рассмотрены также следующие бифуркации семейств равновесий:
  4) столкновение — расхождение пары семейств равновесий;
  5) двусторонняя бифуркация рождения равновесного цикла из изолированного равновесия;
  6) бифуркация «вспыхивающего» равновесия — случай, когда изолированное равновесие существует лишь при единственном значении параметра.
   В пунктах 2, 3 главы I метод центрального многообразия применяется для исследования ветвления равновесий, а также изменения их устойчивости. Мы следуем плану, предложенному в лекциях Арнольда [2]. Рассмотрение различных критических случаев позволило указать ряд типичных сценариев (последовательностей бифуркаций) распада и слияния различных семейств равновесий. Исследованы бифуркации двух видов: а) семейств равновесий; Ь) устойчивых дуг на этих семействах. Разобраны также и пересечения таких бифуркаций.
   Рассмотрены все вырождения коразмерности < 2, кроме двух:
  i) трехмерная жорданова клетка при дополнительном нелинейном вырождении;
  ii) четырехмерная жорданова клетка.
   Говоря о ситуации (скажем, бифуркации или сценарии) коразмерности 1, мы подразумеваем, что она встречается неустранимым образом (сохраняется при малых гладких косимметричных возмущениях) в однопараметрических семействах косимметричных векторных полей.
   Оставшиеся неразобранными случаи i) и ii) заслуживают отдельного рассмотрения, поскольку наиболее интересные эффекты в них связаны с бифуркацией ответвления медленного предельного цикла [65], требующей иных методов исследования.
   Для каждого вида вырождения указаны условия типичности и построены главные семейства. Они получаются переходом от заданной системы к ее сужению на центральное многообразие, разложением векторного поля системы в ряд Тейлора, уменьшением числа параметров заменами переменных и отбрасыванием несущественных слагаемых.
   В каждом случае, когда центральное многообразие двумерно, для главной системы построены бифуркационные диаграммы и характерные фа

Введение

зовые портреты, топологический тип которых не меняется, пока векторный параметр, двигаясь в пространстве параметров, не пересечет нейтральное множество. Для трехмерных главных семейств мы ограничились аналитическим исследованием бифуркаций семейств равновесий и их разбиением на устойчивые и неустойчивые дуги без приведения соответствующих фазовых портретов (принципиально это трудностей не составляет, но ответ чрезвычайно разветвлен и громоздок). В трехмерном случае, помимо граничных, указаны равновесия, отделяющие в семействе равновесия разного типа, например, устойчивый фокус и устойчивый узел. Бифуркации равновесий при движении вдоль семейства (изменение устойчивости, переходы типа фокус-узел, узел-седло и т. д.) можно назвать внутренними.
   Пункт 2 первой главы посвящен случаю, когда спектр устойчивости равновесия имеет двукратное нулевое собственное значение.
   Прежде всего разбирается случай одномерного ядра линеаризованного оператора. В этих условиях семейство равновесий меняется регулярным образом, но устойчивые дуги на нем могут бифурцировать. Наряду со случаем общего положения, изучены бифуркации рождения одной неустойчивой дуги либо пары дуг — устойчивой и неустойчивой.
   Затем рассматривается случай двумерного ядра линеаризованного оператора. Последовательно описаны следующие бифуркации:
  1° седловая бифуркация и бифуркация рождения цикла равновесий «из воздуха»;
  2° бифуркация семейства равновесий, сопровождаемая бифуркацией рождения малой неустойчивой дуги;
  3° ответвление малого равновесного цикла от семейства равновесий. Эта бифуркация связана с возникновением на первоначально гладком семействе острия — нулевого угла.
   В подпункте 3.1 разбирается случай трехкратного нулевого собственного значения (жорданова клетка). Показано, что в рассматриваемых условиях все сводится к исследованию трехмерной системы, имеющей семейство равновесий, расположенное на прямой. Описана бифуркация рождения устойчивой дуги, одно граничное равновесие которой соответствует монотонной потере устойчивости, а второе — колебательной. На этой малой устойчивой дуге имеется точка, разделяющая два типа устойчивых

Введение

13

равновесий: фокусы и узлы.
   Подпункт 3.2 посвящен случаю трехкратного нулевого собственного значения при двумерном ядре. Установлен общий вид системы. Описаны бифуркации ее семейств равновесий, а также равновесий, отделяющих в семействах равновесия различного типа.
   В приложении к главе I показано, что на плоскости В'¹ косимметричное векторное поле можно распрямить в окрестности любой неособой точки косимметрии (даже и равновесия данной системы), то есть привести систему к виду:
У1 =           У2 = О,
где (yi, уг) 6 К² - переменная, а е — параметр системы. Заметим, что в этой системе невозможна бифуркация ответвления цикла от семейства равновесий.
   В главе II изучена бифуркация ответвления предельного цикла (бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа) от одномерного гладкого подмногообразия равновесий динамической системы, зависящей от векторного параметра и допускающей косимметрию. Применяется метод центрального многообразия. Основной результат — топологическая классификация локальных фазовых портретов вблизи известного равновесия, когда параметр системы близок к его критическому значению, отвечающему колебательной неустойчивости. Тем самым дано детальное описание явлений, не наблюдающихся в классическом случае изолированного равновесия: (а) потери устойчивости семейством равновесий с сохранением свойства притяжения, (Ь) затягивания рождения цикла по параметру, (с) возможности сверхкритических неустойчивых автоколебаний. Явления (Ь) и (с) впервые были обнаружении в работах [74,75,80], в которых применялся метод Ляпунова-Шмидта.
   В пункте 1 главы II переходим к системе уравнений на центральном многообразии [3], которая затем приводится к нормальной форме. Эта система наследует косимметрию и обладает однопараметрическим семейством равновесий.
   В пункте 2 проводится дальнейшая обработка системы уравнений на центральном многообразии. Отбрасывая высшие члены разложения Тейлора, приходим к модельной системе (нормализованная струя по терминологии работы [6]). При помощи масштабных замен переменных и еще