Батыршин И.З.
Недосекин А.О.

Стецко А.А.

Тарасов В.Б. и др.

Нечеткие гибридны е

системы . Теория

и практика

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 510.63
ББК 32.813
Н 59

Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту 06-01-14087

Б а т ы р ш и н
И. З., Н е д о с е к и н
А. О., С т е ц к о
А. А., Та р а-
с о в В. Б., Я з е н и н А. В., Яр у ш к и н а Н. Г. Нечеткие гибридные систе-
мы. Теория и практика / Под ред. Н. Г. Ярушкиной. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2007. — 208 с. — ISBN 978-5-9221-0786-0.

Книга посвящена современным подходам к математическому и компью-
терному моделированию нечеткости. Рассмотрены операции нечеткой логики
и их обобщения. Широко представлен контекст современной теории нечет-
ких систем: синергетический искусственный интеллект, нечеткие нейронные
и нечеткие эволюционные гибриды, возможностное программирование.
Наряду с теоретическими вопросами в книге описаны приложения теории
нечетких гибридных систем к задачам портфельного, инвестиционного и рис-
кового анализа, а также к задачам проектирования телекоммуникационных
сетей.
Книга будет полезна исследователям, аспирантам, всем интересующимся
проблемами нетрадиционных логик и искусственного интеллекта. Студенты,
изучающие интеллектуальные информационные системы, смогут освоить но-
вейшие интеллектуальные технологии.

ISBN 978-5-9221-0786-0

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2007

c⃝ И. З. Батыршин, А. О. Недосекин,
А. А. Стецко, В. Б. Тарасов,
А. В. Язенин, Н. Г. Ярушкина, 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . . . . . . .. .. .. .. .. .
6

Г л а в а 1.
Структурно-алгебраические и функционально-аксиома-
тические основы описания НЕ-факторов . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
10
§ 1.1. НЕ-факторы в информатике и искусственном интеллекте . .. .. .. .
10
1.1.1. Анализ и классификация НЕ-факторов (10). 1.1.2. Струк-
турно-алгебраические основы описания НЕ-факторов: от преду-
порядоченных множеств к решеткам и бирешеткам (13).
§ 1.2. Способы формализации НЕ-факторов на основе нечетких моде-
лей и родственных формализмов. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .
16
1.2.1. Формализация неточности (16).
1.2.2. Формализация
нечеткости (17).
1.2.3. Формализация противоречивости (20).
1.2.4. Формализация неопределенности (20). 1.2.5. Формализа-
ция НЕ-факторов на полярных шкалах (25).
§ 1.3. Представление логико-лингвистических связок и модификаторов
в теории нечетких множеств . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .
29
1.3.1. Операции утверждения и формализация логико-лингви-
стических модификаторов (29).
1.3.2. Операции отрицания.
Способы формирования отрицаний (30).
1.3.3. Операции от-
рицания в теории нечетких множеств (34).
1.3.4. Операции
конъюнкции и дизъюнкции. Классические операции конъюнк-
ции и дизъюнкции в нечеткой логике (36).
1.3.5. Операции
импликации (41).
1.3.6. Операции осреднения. OWA-операции
Ягера (43).

Г л а в а 2.
Основные операции нечеткой логики и их обобщения. . .
45
§ 2.1. Операции Заде и алгебры Клини . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
45
2.1.1. Операции Заде (45).
2.1.2. Фокальные алгебры Кли-
ни (49).
2.1.3. Метрические алгебры Клини и меры нечетко-
сти (51). 2.1.4. Система аксиом для операций Заде (53).
§ 2.2. Операции отрицания . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .
54
2.2.1. Операции отрицания на линейно упорядоченном множе-
стве. Основные понятия (54).
2.2.2. Отрицания на [0, 1] (60).
2.2.3. Сжимающие и разжимающие отрицания на [0, 1] (63).
2.2.4. Биективные отрицания на [0, 1] (66).
§ 2.3. Операции конъюнкции и дизъюнкции . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .
67
2.3.1. Предварительные
замечания
(67).
2.3.2. t-нормы
и
t-конормы (68).
2.3.3. Параметрические
классы
t-норм

Оглавление

и t-конорм (73).
2.3.4. Обобщенные операции конъюнкции
и дизъюнкции (75).
2.3.5. Примеры параметрических классов
обобщенных конъюнкций (80).
2.3.6. Пример нечеткого моде-
лирования с обобщенными параметрическими операциями (83).
2.3.7. G-конъюнкции и G-дизъюнкции (85).

Г л а в а 3.
Теоретические основы гибридных систем. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
88
§ 3.1. Основные принципы системного подхода в информатике. .. .. .. .. .
88
§ 3.2. Интегрированные, гибридные и синергетические системы в ин-
форматике . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .
90
§ 3.3. Анализ вариантов построения гибридных интеллектуальных си-
стем и систем вычислительного интеллекта . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
95
§ 3.4. Синергетический искусственный интеллект . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
98
§ 3.5. Нечеткие эволюционные и генетические гибриды . .. .. .. .. .. .. .. .. .
101
3.5.1. Нечеткие генетические алгоритмы (101).
§ 3.6. Нечеткие нейронные сети и распределенные нечеткие системы
106
3.6.1. Моделирование нечетких логико-лингвистических систем
на нейронных сетях (106).
3.6.2. Обобщенные модели логиче-
ских и нечетких нейронов (107).

Г л а в а 4.
Обобщение нечетких нейронных сетей. Варианты струк-
туры . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
111
§ 4.1. Определение нечеткой нейронной сети . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .
111
§ 4.2. Архитектуры гибридных систем (ГС). .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .
112
4.2.1. NNFLC — нечеткий контроллер на основе НС (Neu-
rons network fuzzy logiс controller). Структура NNFLC. Обу-
чение NNFLC (112).
4.2.2. ANFIS — адаптивная НС, осно-
ванная на системе нечеткого вывода (adaptive network based
Fuzzy Inference System). Структура ANFIS и ее обучение (115).
4.2.3. NNDFR — НС для нечетких умозаключений (Neuron Net-
work Driven Fuzzy Reasoning). Структура NNDFR. Обучение
NNDFR (116). 4.2.4. GARIC — обобщенный приближенный вы-
вод, основанный на интеллектуальном контроле (Generalized Ap-
proximate Reasoning based Intelligent Control). Структура и обу-
чение GARIC (117).
4.2.5. Нечеткая сеть Fuzzy Net (FUN).
Структура нечеткой сети Fuzzy Net (119).
§ 4.3. Пример использования ГС. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
120
§ 4.4. Алгоритмы обучения для нечеткой нейронной сети примера . .. .
123
§ 4.5. Нечеткие генетические гибриды. Нейронные сети с генетиче-
ским обучением . .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
124
4.5.1. Определение нечеткой системы с генетической настрой-
кой (ГНС) (124).
4.5.2. ГА — средство настройки нечетких
систем (124).
4.5.3. Нечеткое управление генетической систе-
мой (124).
§ 4.6. Системы генетического проектирования нечетких нейронных
сетей . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .
127

Оглавление
5

Г л а в а 5.
Возможностное
программирование,
обобщение
задач
экономической информатики . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
129
§ 5.1. Нечеткие случайные величины и их распределения в возмож-
ностно-вероятностном контексте. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .
129
§ 5.2. Представление нечетких случайных величин и расчет их число-
вых характеристик . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
131
§ 5.3. Возможностно-вероятностные модели оптимизации и принятия
решений . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .
134
§ 5.4. Модели и методы портфельного анализа в нечеткой случайной
среде . .. . . . . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . . . . . .. .. .. .. .. .
135
5.4.1. Ожидаемая доходность и риск портфеля в условиях нечет-
ких случайных данных (135). 5.4.2. Базовые модели портфель-
ного анализа в возможностно-вероятностном контексте (136).
§ 5.5. Методы решения . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .
137
§ 5.6. Оценка риска инвестиций для решающих нечетких факторов
инвестиционного проекта . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
140
5.6.1.
Оценка
риска
инвестиционного
проекта
(140).
5.6.2. Нечетко-множественная
модель
инвестиционного
про-
екта (141).
5.6.3. Метод
оценки
риска
неэффективности
проекта (145).
5.6.4. Пример оценки риска инвестиций (149).
5.6.5. Простейший способ оценки риска инвестиций (151).

Г л а в а 6.
Гибридные системы, обобщение некоторых задач инфор-
матики . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
155
§ 6.1. Способы
представления
неопределенности
в
базах
данных,
нечеткие базы данных, извлечение знаний . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
155
6.1.1. Грубые множества З. Павлака (155). 6.1.2. Нечеткая ре-
ляционная алгебра (156).
§ 6.2. Обобщение задачи моделирования трафика в телекоммуникаци-
онных сетях . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .
160
6.2.1. Представление трафика вычислительной сети с помощью
нечеткой вероятностной величины (160).
6.2.2. Проектирова-
ние вычислительных сетей на основе байесовских сетей дове-
рия (164).
6.2.3. Система моделирования роутинга телекомму-
никационных сетей на основе нечетких гиперграфов (168).
Заключение . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
178

Список литературы . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . .. .. .. .. .. .
181

Оглавление

и t-конорм (73).
2.3.4. Обобщенные операции конъюнкции
и дизъюнкции (75).
2.3.5. Примеры параметрических классов
обобщенных конъюнкций (80).
2.3.6. Пример нечеткого моде-
лирования с обобщенными параметрическими операциями (83).
2.3.7. G-конъюнкции и G-дизъюнкции (85).

Г л а в а 3.
Теоретические основы гибридных систем. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
88
§ 3.1. Основные принципы системного подхода в информатике. .. .. .. .. .
88
§ 3.2. Интегрированные, гибридные и синергетические системы в ин-
форматике . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .
90
§ 3.3. Анализ вариантов построения гибридных интеллектуальных си-
стем и систем вычислительного интеллекта . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
95
§ 3.4. Синергетический искусственный интеллект . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
98
§ 3.5. Нечеткие эволюционные и генетические гибриды . .. .. .. .. .. .. .. .. .
101
3.5.1. Нечеткие генетические алгоритмы (101).
§ 3.6. Нечеткие нейронные сети и распределенные нечеткие системы
106
3.6.1. Моделирование нечетких логико-лингвистических систем
на нейронных сетях (106).
3.6.2. Обобщенные модели логиче-
ских и нечетких нейронов (107).

Г л а в а 4.
Обобщение нечетких нейронных сетей. Варианты струк-
туры . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
111
§ 4.1. Определение нечеткой нейронной сети . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .
111
§ 4.2. Архитектуры гибридных систем (ГС). .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .
112
4.2.1. NNFLC — нечеткий контроллер на основе НС (Neu-
rons network fuzzy logiс controller). Структура NNFLC. Обу-
чение NNFLC (112).
4.2.2. ANFIS — адаптивная НС, осно-
ванная на системе нечеткого вывода (adaptive network based
Fuzzy Inference System). Структура ANFIS и ее обучение (115).
4.2.3. NNDFR — НС для нечетких умозаключений (Neuron Net-
work Driven Fuzzy Reasoning). Структура NNDFR. Обучение
NNDFR (116). 4.2.4. GARIC — обобщенный приближенный вы-
вод, основанный на интеллектуальном контроле (Generalized Ap-
proximate Reasoning based Intelligent Control). Структура и обу-
чение GARIC (117).
4.2.5. Нечеткая сеть Fuzzy Net (FUN).
Структура нечеткой сети Fuzzy Net (119).
§ 4.3. Пример использования ГС. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
120
§ 4.4. Алгоритмы обучения для нечеткой нейронной сети примера . .. .
123
§ 4.5. Нечеткие генетические гибриды. Нейронные сети с генетиче-
ским обучением . .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
124
4.5.1. Определение нечеткой системы с генетической настрой-
кой (ГНС) (124).
4.5.2. ГА — средство настройки нечетких
систем (124).
4.5.3. Нечеткое управление генетической систе-
мой (124).
§ 4.6. Системы генетического проектирования нечетких нейронных
сетей . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .
127

Оглавление
5

Г л а в а 5.
Возможностное
программирование,
обобщение
задач
экономической информатики . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
129
§ 5.1. Нечеткие случайные величины и их распределения в возмож-
ностно-вероятностном контексте. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .
129
§ 5.2. Представление нечетких случайных величин и расчет их число-
вых характеристик . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
131
§ 5.3. Возможностно-вероятностные модели оптимизации и принятия
решений . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .
134
§ 5.4. Модели и методы портфельного анализа в нечеткой случайной
среде . .. . . . . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . . . . . .. .. .. .. .. .
135
5.4.1. Ожидаемая доходность и риск портфеля в условиях нечет-
ких случайных данных (135). 5.4.2. Базовые модели портфель-
ного анализа в возможностно-вероятностном контексте (136).
§ 5.5. Методы решения . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .
137
§ 5.6. Оценка риска инвестиций для решающих нечетких факторов
инвестиционного проекта . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
140
5.6.1.
Оценка
риска
инвестиционного
проекта
(140).
5.6.2. Нечетко-множественная
модель
инвестиционного
про-
екта (141).
5.6.3. Метод
оценки
риска
неэффективности
проекта (145).
5.6.4. Пример оценки риска инвестиций (149).
5.6.5. Простейший способ оценки риска инвестиций (151).

Г л а в а 6.
Гибридные системы, обобщение некоторых задач инфор-
матики . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
155
§ 6.1. Способы
представления
неопределенности
в
базах
данных,
нечеткие базы данных, извлечение знаний . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
155
6.1.1. Грубые множества З. Павлака (155). 6.1.2. Нечеткая ре-
ляционная алгебра (156).
§ 6.2. Обобщение задачи моделирования трафика в телекоммуникаци-
онных сетях . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .
160
6.2.1. Представление трафика вычислительной сети с помощью
нечеткой вероятностной величины (160).
6.2.2. Проектирова-
ние вычислительных сетей на основе байесовских сетей дове-
рия (164).
6.2.3. Система моделирования роутинга телекомму-
никационных сетей на основе нечетких гиперграфов (168).
Заключение . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
178

Список литературы . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . .. .. .. .. .. .
181

Введение

Основные тенденции развития нечетких систем.
Принципы синергетического интеллекта

Научное направление — «нечеткие системы» — относится к одному
из направлений искусственного интеллекта, которое Д. А. Поспелов
назвал нейробионическим. Это направление ставит перед собой цель
воспроизвести искусственным образом те процессы, которые проте-
кают в мозгу человека, и пытается создать технические средства
для повторения биологических структур мозга. Оно резко отличается
от программно-прагматического или информационного направлений,
в которых основной целью работ считают создание наиболее удобных
для разработчика и пользователя средств решения интеллектуальных
задач.
Математические методы искусственного интеллекта (ИИ), исполь-
зуемые нейробионическим направлением, настолько сильно отличаются
от методов, используемых программно-прагаматическим направлением,
что даже получили другое название — вычислительный интеллект.
Сложно ответить на вопрос о роли «вычислительного интеллекта» в ре-
шении фундаментальных проблем. В 1972 г. известный американский
математик Р. Е. Калман писал: «Наиболее серьезные возражения про-
тив выдвигаемой профессором Заде идеи «нечеткого» анализа систем
заключаются в том, что недостаток методов системного анализа вовсе
не является принципиальной проблемой в теории систем. Эта проблема
должна решаться на основе развития существующих концепций и бо-
лее глубокого изучения природы систем». В 1990 г. в книге известного
специалиста по теории систем Дж. Клира говорится противоположное:
«Одним из способов работы с очень сложными системами, возможно
самым важным, является допущение неточности при описании дан-
ных...» Математический аппарат для этого подхода, разрабатываемый
с середины 60-х годов, известен как «теория нечетких множеств».
С точки зрения фундаментальной проблемы искусственного интел-
лекта — проблемы моделирования как восприятия, так и мышления —
«вычислительный интеллект», завершив почти сорокалетний этап раз-
вития своего математического аппарата, возвращается к коренной

Введение
7

проблеме искусственного интеллекта — к семантике знаков. Идеи Заде
о нечеткой грануляции и вычислении на словах объединяют восприя-
тие, как нечеткую гранулу, и логический вывод (распространение огра-
ничений, мышление) в терминах естественного языка. Вероятно, самым
существенным достижением «вычислительного интеллекта» является
создание способа описания систем, сочетающего число и слово, сиг-
нал и понятие, восприятие и абстракцию, непрерывное и дискретное.
Именно такой способ описания нужен для сложных технических си-
стем. Все вышесказанное позволяет надеяться, что у данного научного
направления многое осталось впереди, поэтому вычислительный интел-
лект относится к несомненным перспективам развития искусственного
интеллекта в XXI веке.
Сегодня все более и более очевидной становится ограниченность
общенаучной парадигмы классического рационализма. Современный
мир насыщен сложными самоорганизующимися системами, объеди-
ненными в неоднородные эволюционирующие сети, и уникальными
динамическими объектами управления, которые не поддаются точному
и полному описанию. Само существование подобных объектов неот-
делимо от управления неопределенностью. Одностороннее стремление
к получению точных и непротиворечивых знаний, отбрасывание инди-
видуальных мнений и смутных идей не соответствует реалиям обще-
ства. Одним из первых это отметил Л. Заде, который писал: «С учетом
нашего преклонения перед всем точным, строгим и количественным
и нашего пренебрежения ко всему нечеткому, нестрогому и качествен-
ному неудивительным оказался приход эры цифровых компьютеров;
однако до сих пор эти компьютеры оказались весьма эффективными
лишь при работе с механистическими, т. е. неживыми, системами,
поведение которых определяется законами механики, физики, химии,
электромагнетизма. К сожалению, этого нельзя сказать о гумани-
стических системах, в которых центральное место занимают люди»
[Заде, 1976]. Им было предложено следующее толкование текущей
ситуации: «Неэффективность обычных компьютеров в работе с гума-
нистическими системами является выражением принципа несовмести-
мости, согласно которому высокая точность несовместима с большой
сложностью». В свою очередь, В. К. Финн обратил внимание на то,
что во многих научных областях, особенно в гуманитарных науках,
в основном фигурируют не понятия, а идеи, что означает наличие
принципиальных ограничений на строгость рассуждений [Финн, 1999].
На наш взгляд, здесь большие перспективы открывает использо-
вание идей и принципов синергетики. Синергетика есть междисци-
плинарное научное направление, изучающее универсальные закономер-
ности процессов самоорганизации, эволюции и кооперации. Ее цель
состоит в построении общей теории сложных систем, обладающих
особыми свойствами. В отличие от простых, сложные системы имеют
следующие основные характеристики:

Введение

Основные тенденции развития нечетких систем.
Принципы синергетического интеллекта

Научное направление — «нечеткие системы» — относится к одному
из направлений искусственного интеллекта, которое Д. А. Поспелов
назвал нейробионическим. Это направление ставит перед собой цель
воспроизвести искусственным образом те процессы, которые проте-
кают в мозгу человека, и пытается создать технические средства
для повторения биологических структур мозга. Оно резко отличается
от программно-прагматического или информационного направлений,
в которых основной целью работ считают создание наиболее удобных
для разработчика и пользователя средств решения интеллектуальных
задач.
Математические методы искусственного интеллекта (ИИ), исполь-
зуемые нейробионическим направлением, настолько сильно отличаются
от методов, используемых программно-прагаматическим направлением,
что даже получили другое название — вычислительный интеллект.
Сложно ответить на вопрос о роли «вычислительного интеллекта» в ре-
шении фундаментальных проблем. В 1972 г. известный американский
математик Р. Е. Калман писал: «Наиболее серьезные возражения про-
тив выдвигаемой профессором Заде идеи «нечеткого» анализа систем
заключаются в том, что недостаток методов системного анализа вовсе
не является принципиальной проблемой в теории систем. Эта проблема
должна решаться на основе развития существующих концепций и бо-
лее глубокого изучения природы систем». В 1990 г. в книге известного
специалиста по теории систем Дж. Клира говорится противоположное:
«Одним из способов работы с очень сложными системами, возможно
самым важным, является допущение неточности при описании дан-
ных...» Математический аппарат для этого подхода, разрабатываемый
с середины 60-х годов, известен как «теория нечетких множеств».
С точки зрения фундаментальной проблемы искусственного интел-
лекта — проблемы моделирования как восприятия, так и мышления —
«вычислительный интеллект», завершив почти сорокалетний этап раз-
вития своего математического аппарата, возвращается к коренной

Введение
7

проблеме искусственного интеллекта — к семантике знаков. Идеи Заде
о нечеткой грануляции и вычислении на словах объединяют восприя-
тие, как нечеткую гранулу, и логический вывод (распространение огра-
ничений, мышление) в терминах естественного языка. Вероятно, самым
существенным достижением «вычислительного интеллекта» является
создание способа описания систем, сочетающего число и слово, сиг-
нал и понятие, восприятие и абстракцию, непрерывное и дискретное.
Именно такой способ описания нужен для сложных технических си-
стем. Все вышесказанное позволяет надеяться, что у данного научного
направления многое осталось впереди, поэтому вычислительный интел-
лект относится к несомненным перспективам развития искусственного
интеллекта в XXI веке.
Сегодня все более и более очевидной становится ограниченность
общенаучной парадигмы классического рационализма. Современный
мир насыщен сложными самоорганизующимися системами, объеди-
ненными в неоднородные эволюционирующие сети, и уникальными
динамическими объектами управления, которые не поддаются точному
и полному описанию. Само существование подобных объектов неот-
делимо от управления неопределенностью. Одностороннее стремление
к получению точных и непротиворечивых знаний, отбрасывание инди-
видуальных мнений и смутных идей не соответствует реалиям обще-
ства. Одним из первых это отметил Л. Заде, который писал: «С учетом
нашего преклонения перед всем точным, строгим и количественным
и нашего пренебрежения ко всему нечеткому, нестрогому и качествен-
ному неудивительным оказался приход эры цифровых компьютеров;
однако до сих пор эти компьютеры оказались весьма эффективными
лишь при работе с механистическими, т. е. неживыми, системами,
поведение которых определяется законами механики, физики, химии,
электромагнетизма. К сожалению, этого нельзя сказать о гумани-
стических системах, в которых центральное место занимают люди»
[Заде, 1976]. Им было предложено следующее толкование текущей
ситуации: «Неэффективность обычных компьютеров в работе с гума-
нистическими системами является выражением принципа несовмести-
мости, согласно которому высокая точность несовместима с большой
сложностью». В свою очередь, В. К. Финн обратил внимание на то,
что во многих научных областях, особенно в гуманитарных науках,
в основном фигурируют не понятия, а идеи, что означает наличие
принципиальных ограничений на строгость рассуждений [Финн, 1999].
На наш взгляд, здесь большие перспективы открывает использо-
вание идей и принципов синергетики. Синергетика есть междисци-
плинарное научное направление, изучающее универсальные закономер-
ности процессов самоорганизации, эволюции и кооперации. Ее цель
состоит в построении общей теории сложных систем, обладающих
особыми свойствами. В отличие от простых, сложные системы имеют
следующие основные характеристики:

Введение

1) множество неоднородных компонентов;
2) активность (целенаправленность) компонентов;
3) множество различных, параллельно проявляющихся взаимосвя-
зей между компонентами;
4) семиотическая природа взаимосвязей;
5) кооперативное поведение компонентов;
6) открытость;
7) распределенность;
8) динамичность, обучаемость, эволюционный потенциал;
9) неопределенность параметров среды.
Особое место в синергетике занимают вопросы спонтанного об-
разования упорядоченных структур различной природы в процессах
взаимодействия, когда исходные системы находятся в неустойчивых
состояниях. Следуя И. Пригожину [Пригожин, 2002]. Синергетику
можно кратко охарактеризовать как «комплекс наук о возникающих
системах».
Согласно синергетическим моделям, эволюция системы сводится
к последовательности неравновесных фазовых переходов. В работах
И. Пригожина и Г. Хакена [Пригожин, 2002; Хакен, 1985] принцип
развития формулируется как последовательное прохождение крити-
ческих областей (точек бифуркаций). Вблизи точек бифуркации на-
блюдается резкое усиление флуктуации. Выбор, по которому пойдет
развитие после бифуркации, определяется в момент неустойчивости.
Поэтому зона бифуркации характеризуется принципиальной непред-
сказуемостью — неизвестно, станет ли дальнейшее развитие системы
хаотическим или родится новая, более упорядоченная структура. Здесь
резко возрастает роль неопределенности: случайность на входе в нерав-
новесной ситуации может дать на выходе катастрофические послед-
ствия. В то же время сама возможность спонтанного возникновения
порядка из хаоса — важнейший момент процесса самоорганизации
в сложной системе.
Мягкие вычисления — это сложная компьютерная методология,
основанная на нечеткой логике, генетических вычислениях, нейроком-
пьютинге и вероятностных вычислениях. Составные части не конкури-
руют, но создают эффект взаимного усиления для достижения робаст-
ности, низкой цены решения, повышения эффективности приложений.
Четыре составные части мягких вычислений включают в себя:
• нечеткую логику (приближенные вычисления, грануляция инфор-
мации, вычисление на словах);
• нейрокомпьютинг (обучение, адаптация, классификация, систем-
ное моделирование и идентификация);
• генетические вычисления (синтез, настройка и оптимизация с по-
мощью систематизированного случайного поиска и эволюции);
• вероятностные вычисления (управление неопределенностью, сети
доверия, хаотические системы, предсказание).

Введение
9

Традиционные компьютерные вычисления (hard computing) «слиш-
ком точны» для реального мира. Имеется два класса проблем для
мягких вычислений: во-первых, существуют проблемы, для решения
которых полная информация не может быть получена, и, во-вторых,
проблемы, определение которых недостаточно полно. Такие пробле-
мы — норма для сложных технических систем, систем экономического
планирования, систем жизни, социальных систем большой размерности
и систем принятия решений человеком.
«По мере возрастания сложности системы наша способность фор-
мулировать точные, содержащие смысл утверждения о ее поведе-
нии уменьшается вплоть до некоторого порога, за которым точность
и смысл становятся взаимоисключающими» — так сформулировал
принцип неопределенности для человеческих рассуждений Л. Заде —
основоположник теории нечетких систем и автор интегрирующего (зон-
тичного) термина. Термин «мягкие вычисления» был предложен им
в 1994 г. на семинаре в Беркли (Калифорния).
Часто используется и другой интегрирующий термин — вычисли-
тельный интеллект. Очень многие работы, в основном западных иссле-
дователей, направлены на разработку гибридных систем. В настоящее
время существуют в большинстве своем нейро-нечеткие системы. Од-
нако мы начинаем видеть растущее числе нечетко-генетических, нейро-
генетических и нейро-нечетко-генетических систем.

Введение

1) множество неоднородных компонентов;
2) активность (целенаправленность) компонентов;
3) множество различных, параллельно проявляющихся взаимосвя-
зей между компонентами;
4) семиотическая природа взаимосвязей;
5) кооперативное поведение компонентов;
6) открытость;
7) распределенность;
8) динамичность, обучаемость, эволюционный потенциал;
9) неопределенность параметров среды.
Особое место в синергетике занимают вопросы спонтанного об-
разования упорядоченных структур различной природы в процессах
взаимодействия, когда исходные системы находятся в неустойчивых
состояниях. Следуя И. Пригожину [Пригожин, 2002]. Синергетику
можно кратко охарактеризовать как «комплекс наук о возникающих
системах».
Согласно синергетическим моделям, эволюция системы сводится
к последовательности неравновесных фазовых переходов. В работах
И. Пригожина и Г. Хакена [Пригожин, 2002; Хакен, 1985] принцип
развития формулируется как последовательное прохождение крити-
ческих областей (точек бифуркаций). Вблизи точек бифуркации на-
блюдается резкое усиление флуктуации. Выбор, по которому пойдет
развитие после бифуркации, определяется в момент неустойчивости.
Поэтому зона бифуркации характеризуется принципиальной непред-
сказуемостью — неизвестно, станет ли дальнейшее развитие системы
хаотическим или родится новая, более упорядоченная структура. Здесь
резко возрастает роль неопределенности: случайность на входе в нерав-
новесной ситуации может дать на выходе катастрофические послед-
ствия. В то же время сама возможность спонтанного возникновения
порядка из хаоса — важнейший момент процесса самоорганизации
в сложной системе.
Мягкие вычисления — это сложная компьютерная методология,
основанная на нечеткой логике, генетических вычислениях, нейроком-
пьютинге и вероятностных вычислениях. Составные части не конкури-
руют, но создают эффект взаимного усиления для достижения робаст-
ности, низкой цены решения, повышения эффективности приложений.
Четыре составные части мягких вычислений включают в себя:
• нечеткую логику (приближенные вычисления, грануляция инфор-
мации, вычисление на словах);
• нейрокомпьютинг (обучение, адаптация, классификация, систем-
ное моделирование и идентификация);
• генетические вычисления (синтез, настройка и оптимизация с по-
мощью систематизированного случайного поиска и эволюции);
• вероятностные вычисления (управление неопределенностью, сети
доверия, хаотические системы, предсказание).

Введение
9

Традиционные компьютерные вычисления (hard computing) «слиш-
ком точны» для реального мира. Имеется два класса проблем для
мягких вычислений: во-первых, существуют проблемы, для решения
которых полная информация не может быть получена, и, во-вторых,
проблемы, определение которых недостаточно полно. Такие пробле-
мы — норма для сложных технических систем, систем экономического
планирования, систем жизни, социальных систем большой размерности
и систем принятия решений человеком.
«По мере возрастания сложности системы наша способность фор-
мулировать точные, содержащие смысл утверждения о ее поведе-
нии уменьшается вплоть до некоторого порога, за которым точность
и смысл становятся взаимоисключающими» — так сформулировал
принцип неопределенности для человеческих рассуждений Л. Заде —
основоположник теории нечетких систем и автор интегрирующего (зон-
тичного) термина. Термин «мягкие вычисления» был предложен им
в 1994 г. на семинаре в Беркли (Калифорния).
Часто используется и другой интегрирующий термин — вычисли-
тельный интеллект. Очень многие работы, в основном западных иссле-
дователей, направлены на разработку гибридных систем. В настоящее
время существуют в большинстве своем нейро-нечеткие системы. Од-
нако мы начинаем видеть растущее числе нечетко-генетических, нейро-
генетических и нейро-нечетко-генетических систем.

Г л а в а 1

СТРУКТУРНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ

И ФУНКЦИОНАЛЬНО-АКСИОМАТИЧЕСКИЕ

ОСНОВЫ ОПИСАНИЯ НЕ-ФАКТОРОВ

§ 1.1. НЕ-факторы в информатике и искусственном
интеллекте

Термин НЕ-факторы был введен А. С. Нариньяни (см. [Нариньяни,
1998, 1999]) с целью единого представления различных ситуаций,
в которых содержательно отрицается одно из свойств классических
формальных систем — точность, определенность, однозначность, пол-
нота, непротиворечивость и пр. Он же стал инициатором комплексного
исследования различных НЕ-факторов. Кроме того, НЕ-факторы в ис-
кусственном интеллекте (ИИ) изучались в работах В. Н. Вагина [Ва-
гин, 1998], Ю. Р. Валькмана [Валькман, 1997]; Д. Дюбуа и А. Прада
[Дюбуа, Прад, 1990], В. Б. Тарасова [Тарасов, 2001] и др.
Однако еще раньше отдельные НЕ-факторы были рассмотрены
в рамках проблем информатики, теории систем, теории управления,
теории принятия решений и пр. Так, анализ феномена нечеткости впер-
вые провел М. Блэк. Им введены «профили согласованности», которые
можно рассматривать как прямые предшественники функций принад-
лежности. Затем Л. Заде сформулировал известный принцип несовме-
стимости и предложил общий подход к моделированию неточности
границ и неопределенности на основе нечетких множеств (функций
распределения возможности) [Zadeh, 1965, 1978].

1.1.1. Анализ и классификация НЕ-факторов. В книге [Алек-
сеев и др., 1997] дана классификация видов неопределенности в за-
дачах управления. В ней различаются неизвестность, неполнота
и недостоверность информации, причем выделяются ситуации физи-
ческой (объективной, стохастической) и лингвистической (субъектив-
ной, нестохастической) недостоверности.
В работах В. Б. Тарасова были исследованы основные виды НЕ-
факторов инженерных знаний на начальных этапах проектирования
и разработаны варианты их формализации (см. [Тарасов, 1987]).
В частности, были отмечены:

1.1. НЕ-факторы в информатике и искусственном интеллекте
11

а) неполнота, фрагментарность исходных данных и суждений, обу-
словленные недостаточным, неполным знанием характеристик но-
вых материалов, особенностей технологических процессов, усло-
вий работы новых конструкций;
б) нечеткость представлений о взаимосвязях между проектными
параметрами, связанная с отсутствием аналитических зависимо-
стей между ними или вычислительной сложностью;
в) принципиальные ограничения по точности определения как ко-
личественных параметров, так и, в особенности, качественных
факторов решения (для таких факторов, как качество, простота,
ремонтопригодность инженерных конструкций естественные фи-
зические шкалы вообще отсутствуют; их учет всегда зависит от
опыта и интуиции специалиста).

В свою очередь Д. Дюбуа и А. Прад также проводят основное
разграничение между неточностью и неопределенностью. Неточ-
ность относится к содержанию имеющейся информации, а неопределен-
ность — к ее истинности, понимаемой в смысле соответствия реальной
действительности или правдивости эксперта [Дюбуа, Прад, 1990]. При
этом ими развивается единый подход к моделированию этих двух видов
НЕ-факторов на основе мер (квазимер) возможности и необходимо-
сти, а также интерпретации функции распределения возможности как
нечеткого множества.
Сам А. С. Нариньяни указывает на существование четырех ис-
ходных типов НЕ-факторов: неточность, недоопределенность, неод-
нозначность, нечеткость. Здесь неточное значение есть величина,
которая может быть получена с ограниченной точностью, не пре-
вышающей некий порог, определяемый природой соответствующего
параметра.
Недоопределенное значение представляет собой оценку некоторого
денотата, который является по своей природе более точным, чем позво-
ляет установить доступная нам в данный момент времени информация.
Неоднозначность предполагает наличие распределения (возможно-
сти, вероятности, уверенности, правдоподобия и пр.)
Наконец, нечеткое (точнее, лингвистическое) значение приписы-
вается лингвистическим переменным.
При оценивании объектов на полярных шкалах, т. е. в случае ис-
ходных суждений типа «X есть F + и X есть F −», можно столкнуться
со следующими НЕ-факторами [Тарасов, 2001].

Противоречивость: одновременное присутствие в оценке как положи-
тельного F +, так и отрицательного F − свойств, которые обычно
имеют различные степени выраженности, например wF + («сла-
бо» F +) и vF − («сильно» F −).
Неизвестность: отсутствие информации о проявлении свойств F +
или F − на данной шкале.

Г л а в а 1

СТРУКТУРНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ

И ФУНКЦИОНАЛЬНО-АКСИОМАТИЧЕСКИЕ

ОСНОВЫ ОПИСАНИЯ НЕ-ФАКТОРОВ

§ 1.1. НЕ-факторы в информатике и искусственном
интеллекте

Термин НЕ-факторы был введен А. С. Нариньяни (см. [Нариньяни,
1998, 1999]) с целью единого представления различных ситуаций,
в которых содержательно отрицается одно из свойств классических
формальных систем — точность, определенность, однозначность, пол-
нота, непротиворечивость и пр. Он же стал инициатором комплексного
исследования различных НЕ-факторов. Кроме того, НЕ-факторы в ис-
кусственном интеллекте (ИИ) изучались в работах В. Н. Вагина [Ва-
гин, 1998], Ю. Р. Валькмана [Валькман, 1997]; Д. Дюбуа и А. Прада
[Дюбуа, Прад, 1990], В. Б. Тарасова [Тарасов, 2001] и др.
Однако еще раньше отдельные НЕ-факторы были рассмотрены
в рамках проблем информатики, теории систем, теории управления,
теории принятия решений и пр. Так, анализ феномена нечеткости впер-
вые провел М. Блэк. Им введены «профили согласованности», которые
можно рассматривать как прямые предшественники функций принад-
лежности. Затем Л. Заде сформулировал известный принцип несовме-
стимости и предложил общий подход к моделированию неточности
границ и неопределенности на основе нечетких множеств (функций
распределения возможности) [Zadeh, 1965, 1978].

1.1.1. Анализ и классификация НЕ-факторов. В книге [Алек-
сеев и др., 1997] дана классификация видов неопределенности в за-
дачах управления. В ней различаются неизвестность, неполнота
и недостоверность информации, причем выделяются ситуации физи-
ческой (объективной, стохастической) и лингвистической (субъектив-
ной, нестохастической) недостоверности.
В работах В. Б. Тарасова были исследованы основные виды НЕ-
факторов инженерных знаний на начальных этапах проектирования
и разработаны варианты их формализации (см. [Тарасов, 1987]).
В частности, были отмечены:

1.1. НЕ-факторы в информатике и искусственном интеллекте
11

а) неполнота, фрагментарность исходных данных и суждений, обу-
словленные недостаточным, неполным знанием характеристик но-
вых материалов, особенностей технологических процессов, усло-
вий работы новых конструкций;
б) нечеткость представлений о взаимосвязях между проектными
параметрами, связанная с отсутствием аналитических зависимо-
стей между ними или вычислительной сложностью;
в) принципиальные ограничения по точности определения как ко-
личественных параметров, так и, в особенности, качественных
факторов решения (для таких факторов, как качество, простота,
ремонтопригодность инженерных конструкций естественные фи-
зические шкалы вообще отсутствуют; их учет всегда зависит от
опыта и интуиции специалиста).

В свою очередь Д. Дюбуа и А. Прад также проводят основное
разграничение между неточностью и неопределенностью. Неточ-
ность относится к содержанию имеющейся информации, а неопределен-
ность — к ее истинности, понимаемой в смысле соответствия реальной
действительности или правдивости эксперта [Дюбуа, Прад, 1990]. При
этом ими развивается единый подход к моделированию этих двух видов
НЕ-факторов на основе мер (квазимер) возможности и необходимо-
сти, а также интерпретации функции распределения возможности как
нечеткого множества.
Сам А. С. Нариньяни указывает на существование четырех ис-
ходных типов НЕ-факторов: неточность, недоопределенность, неод-
нозначность, нечеткость. Здесь неточное значение есть величина,
которая может быть получена с ограниченной точностью, не пре-
вышающей некий порог, определяемый природой соответствующего
параметра.
Недоопределенное значение представляет собой оценку некоторого
денотата, который является по своей природе более точным, чем позво-
ляет установить доступная нам в данный момент времени информация.
Неоднозначность предполагает наличие распределения (возможно-
сти, вероятности, уверенности, правдоподобия и пр.)
Наконец, нечеткое (точнее, лингвистическое) значение приписы-
вается лингвистическим переменным.
При оценивании объектов на полярных шкалах, т. е. в случае ис-
ходных суждений типа «X есть F + и X есть F −», можно столкнуться
со следующими НЕ-факторами [Тарасов, 2001].

Противоречивость: одновременное присутствие в оценке как положи-
тельного F +, так и отрицательного F − свойств, которые обычно
имеют различные степени выраженности, например wF + («сла-
бо» F +) и vF − («сильно» F −).
Неизвестность: отсутствие информации о проявлении свойств F +
или F − на данной шкале.

Гл. 1. Основы описания НЕ-факторов

Неточность: приближенный, интервальный характер оценки свойства
F + или F −, например: F + = [F +
min, F +
max].
Нечеткость: переход от простой, точечной или интервальной, к слож-
ной, двумерной или многомерной, оценке, связанной с построени-
ем некоторого распределения (функции принадлежности), харак-
теризующего вербальную, лингвистическую степень проявления
F + или F −.
Наряду с вышеперечисленными НЕ-факторами информации и зна-
ний следует учитывать и синергетические НЕ-факторы (в том числе:
необратимость, нелинейность, неустойчивость, неравновесность,
незамкнутость) [Пригожин, 1989; Хакен, 1985]. Многие синерге-
тические НЕ-факторы можно иначе назвать конструктивными НЕ-
факторами развития.
Так, необратимость характеризует направленность эволюции (во
времени). Она выступает как проявление всеобщей асимметрии при-
роды, как процесс постоянного нарушения симметрии при развитии
(по М. Планку, в природе невозможны процессы, при которых ко-
нечному состоянию отдается меньшее предпочтение, чем начальному).
С необратимостью связан «энтропийный барьер», который определяет
единственное направление времени и выступает как принцип отбора
допустимых начальных условий в сложных системах.
Неравновесность определяет возникновение диссипативных струк-
тур, связанных с рассеиванием энергии. Как раз неравновесность
и есть то, что порождает порядок из хаоса [Пригожин, Стенгерс,
2000]. Неравновесность в сложной системе — не источник ее распа-
да, а наоборот, основание для становления упорядоченности, причина
спонтанного структурогенеза.
В этой связи следует упомянуть о принципе устойчивого нерав-
новесия Э. С. Бауэра, согласно которому живые (и только живые)
системы никогда не бывают в равновесии, а исполняют за счет своей
свободной энергии работу против равновесия. Живая система должна
быть открытой и активной.
Неустойчивость означает несохранение близости состояний слож-
ной системы в процессе ее эволюции. Неустойчивость является прин-
ципиальной особенностью изменяющихся систем, она выступает как
необходимое условие их самоорганизации и развития. Системы, не
обладающие неустойчивостью, не могут эволюционировать.
Наконец, нелинейность возникает в результате нарушения адди-
тивности в процессе развития сложной системы (принцип суперпози-
ции не работает).

Примеры. Среди известных психологических концепций, активно
используемых в ИИ и опирающихся на идею неравновесности как ис-
точника развития, следует отметить теорию когнитивного диссонан-
са и модель структурного баланса (и, соответственно, дисбаланса)
по Хайдеру. Суть теории диссонанса можно выразить в следующих

1.1. НЕ-факторы в информатике и искусственном интеллекте
13

основных положениях: 1) могут существовать диссонансные отношения
или отношения неравновесия, несоответствия между когнитивными
(информационными) элементами; 2) возникновение диссонанса вызы-
вает стремление к его уменьшению в интересах достижения консо-
нанса, т. е. равновесия; 3) проявления подобного стремления состоят
в изменении поведения, изменении отношения или в намеренном по-
иске новой информации и формировании новых мнений относительно
породившего диссонанс суждения или объекта.
Здесь термины диссонанс и консонанс характеризуют особый тип
отношений между парами (n-ками) элементов. Так, обычно считается,
что два элемента, x и y, находятся между собой в диссонансном
отношении, если x → ⌉y.
Теория структурного баланса расширяет концепцию когнитивного
диссонанса, включая в себя качестве базиса не только когнитивные
элементы, но и межличностные отношения.
1.1.2. Структурно-алгебраические основы описания НЕ-фак-
торов: от предупорядоченных множеств к решеткам и бирешет-
кам.
Предупорядоченное множество. Предупорядоченным множеством
называется такое множество X, на котором определено бинарное отно-
шение предпорядка ∠, удовлетворяющее следующим условиям [Бирк-
гоф, 1984]:
(I) рефлексивность: x ∠ x ∀x ∈ X
(II) транзитивность: если x ∠ y и y ∠ z, то x ∠ z ∀x, y, z ∈ X.
Иными словами, предупорядоченное множество можно представить
в виде пары QO = ⟨X, ∠⟩.
Частично упорядоченное множество. Множество X называется
частично упорядоченным, если на нем определено бинарное отноше-
ние x ⩽ y, обладающее следующими свойствами:
(I) рефлексивность: x ⩽ x ∀x ∈ X;
(II) транзитивность: если x ⩽ y и y ⩽ z, то x ⩽ z ∀x, y, z ∈ X;
(III) антисимметричность: если x ⩽ y и y ⩽ x, то x = y
∀x, y ∈ X,
x ̸= y.
При рассмотрении частично упорядоченных множеств важную роль
играет принцип двойственности, по которому отношение, обратное для
отношения порядка, само является упорядоченностью. Соответственно,
если Φ — утверждение о частично упорядоченных множествах, то,
заменяя в нем ⩽ на ⩾, получаем утверждение, двойственное исходно-
му Φ.
Цепь. Частично упорядоченное множество, удовлетворяющее, к то-
му же, условию
(IV) полнота (линейность): x ⩽ y или y ⩽ x ∀x, y ∈ X,
называется линейно упорядоченным множеством или цепью K [Бирк-
гоф, 1984].

Гл. 1. Основы описания НЕ-факторов

Неточность: приближенный, интервальный характер оценки свойства
F + или F −, например: F + = [F +
min, F +
max].
Нечеткость: переход от простой, точечной или интервальной, к слож-
ной, двумерной или многомерной, оценке, связанной с построени-
ем некоторого распределения (функции принадлежности), харак-
теризующего вербальную, лингвистическую степень проявления
F + или F −.
Наряду с вышеперечисленными НЕ-факторами информации и зна-
ний следует учитывать и синергетические НЕ-факторы (в том числе:
необратимость, нелинейность, неустойчивость, неравновесность,
незамкнутость) [Пригожин, 1989; Хакен, 1985]. Многие синерге-
тические НЕ-факторы можно иначе назвать конструктивными НЕ-
факторами развития.
Так, необратимость характеризует направленность эволюции (во
времени). Она выступает как проявление всеобщей асимметрии при-
роды, как процесс постоянного нарушения симметрии при развитии
(по М. Планку, в природе невозможны процессы, при которых ко-
нечному состоянию отдается меньшее предпочтение, чем начальному).
С необратимостью связан «энтропийный барьер», который определяет
единственное направление времени и выступает как принцип отбора
допустимых начальных условий в сложных системах.
Неравновесность определяет возникновение диссипативных струк-
тур, связанных с рассеиванием энергии. Как раз неравновесность
и есть то, что порождает порядок из хаоса [Пригожин, Стенгерс,
2000]. Неравновесность в сложной системе — не источник ее распа-
да, а наоборот, основание для становления упорядоченности, причина
спонтанного структурогенеза.
В этой связи следует упомянуть о принципе устойчивого нерав-
новесия Э. С. Бауэра, согласно которому живые (и только живые)
системы никогда не бывают в равновесии, а исполняют за счет своей
свободной энергии работу против равновесия. Живая система должна
быть открытой и активной.
Неустойчивость означает несохранение близости состояний слож-
ной системы в процессе ее эволюции. Неустойчивость является прин-
ципиальной особенностью изменяющихся систем, она выступает как
необходимое условие их самоорганизации и развития. Системы, не
обладающие неустойчивостью, не могут эволюционировать.
Наконец, нелинейность возникает в результате нарушения адди-
тивности в процессе развития сложной системы (принцип суперпози-
ции не работает).

Примеры. Среди известных психологических концепций, активно
используемых в ИИ и опирающихся на идею неравновесности как ис-
точника развития, следует отметить теорию когнитивного диссонан-
са и модель структурного баланса (и, соответственно, дисбаланса)
по Хайдеру. Суть теории диссонанса можно выразить в следующих

1.1. НЕ-факторы в информатике и искусственном интеллекте
13

основных положениях: 1) могут существовать диссонансные отношения
или отношения неравновесия, несоответствия между когнитивными
(информационными) элементами; 2) возникновение диссонанса вызы-
вает стремление к его уменьшению в интересах достижения консо-
нанса, т. е. равновесия; 3) проявления подобного стремления состоят
в изменении поведения, изменении отношения или в намеренном по-
иске новой информации и формировании новых мнений относительно
породившего диссонанс суждения или объекта.
Здесь термины диссонанс и консонанс характеризуют особый тип
отношений между парами (n-ками) элементов. Так, обычно считается,
что два элемента, x и y, находятся между собой в диссонансном
отношении, если x → ⌉y.
Теория структурного баланса расширяет концепцию когнитивного
диссонанса, включая в себя качестве базиса не только когнитивные
элементы, но и межличностные отношения.
1.1.2. Структурно-алгебраические основы описания НЕ-фак-
торов: от предупорядоченных множеств к решеткам и бирешет-
кам.
Предупорядоченное множество. Предупорядоченным множеством
называется такое множество X, на котором определено бинарное отно-
шение предпорядка ∠, удовлетворяющее следующим условиям [Бирк-
гоф, 1984]:
(I) рефлексивность: x ∠ x ∀x ∈ X
(II) транзитивность: если x ∠ y и y ∠ z, то x ∠ z ∀x, y, z ∈ X.
Иными словами, предупорядоченное множество можно представить
в виде пары QO = ⟨X, ∠⟩.
Частично упорядоченное множество. Множество X называется
частично упорядоченным, если на нем определено бинарное отноше-
ние x ⩽ y, обладающее следующими свойствами:
(I) рефлексивность: x ⩽ x ∀x ∈ X;
(II) транзитивность: если x ⩽ y и y ⩽ z, то x ⩽ z ∀x, y, z ∈ X;
(III) антисимметричность: если x ⩽ y и y ⩽ x, то x = y
∀x, y ∈ X,
x ̸= y.
При рассмотрении частично упорядоченных множеств важную роль
играет принцип двойственности, по которому отношение, обратное для
отношения порядка, само является упорядоченностью. Соответственно,
если Φ — утверждение о частично упорядоченных множествах, то,
заменяя в нем ⩽ на ⩾, получаем утверждение, двойственное исходно-
му Φ.
Цепь. Частично упорядоченное множество, удовлетворяющее, к то-
му же, условию
(IV) полнота (линейность): x ⩽ y или y ⩽ x ∀x, y ∈ X,
называется линейно упорядоченным множеством или цепью K [Бирк-
гоф, 1984].