Численное решение задач тепломассообмена. Часть 1. Теплопроводность

А.И. Мустейкис, Л.П. Юнаков

Численное решение задач тепломассообмена. 

Часть 1. Теплопроводность

Москва

Инфра-М

2016

А.И. Мустейкис, Л.П. Юнаков

Численное решение задач тепломассообмена. 

Часть 1. Теплопроводность

Москва

Инфра-М; Znanium.com

2016

Мустейкис, А.И.

Численное решение задач тепломассообмена. Часть 1. 

Теплопроводность: электронное учебное пособие / А.И. Мустейкис, Л.П. 
Юнаков. – 2-е изд. – М.: Инфра-М; Znanium.com, 2016. – 51 с.

DOI: 10.12737/18009

ISBN 978-5-16-104343-1 (online)

Описывается методика решения задач теплопроводности численными методами. 
Приведены схемы построения дискретных аналогов дифференциальных уравнений и 
примеры решения конкретных задач. Предназначено для студентов, обучающихся по 
специальности 24.05.02 «Проектирование авиационных и ракетных двигателей» и 
13.03.03 «Энергетическое машиностроение».

ISBN 978-5-16-104343-1 (online)
© А.И. Мустейкис, Л.П. Юнаков, 2015, 

2016

Содержание

Введение .............................................................................................................................. 4

1. Сущность численных методов.................................................................................... 7

2. Стационарная одномерная теплопроводность........................................................ 9

2.1 Получение дискретного аналога........................................................................... 9

2.2 Граничные условия............................................................................................... 14

2.3 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений................. 16

2.4 Примеры решения задач ...................................................................................... 19

3. Стационарная двух- и трехмерная теплопроводность........................................ 29

3.1 Получение дискретного аналога для двух- и трехмерной задачи................ 29

3.2 Методы решения системы линейных алгебраических уравнений для двух
и трехмерной задачи.................................................................................................... 31

3.3 Пример решения задач ......................................................................................... 33

4. Нестационарная одномерная теплопроводность.................................................. 39

4.1 Получение дискретного аналога......................................................................... 39

4.2 Устойчивость расчетных схем ............................................................................ 42

4.3 Алгоритм решения нестационарных задач...................................................... 43

4.4 Пример решения задач ......................................................................................... 44

5. Определение коэффициента теплопроводности ................................................... 47

Список литературы......................................................................................................... 51

Введение

Численное решение дифференциального уравнения состоит из набора чисел, 

по которому можно построить распределение зависимой величины . В этом 

смысле численный метод подобен лабораторному эксперименту, где имеется 

возможность определить распределение измеряемой величины в рассматриваемой 

области по набору показаний приборов. При экспериментальном исследовании 

используется результат, состоящий из конечного числа значений, достаточного для 

практических целей. Однако наиболее полно определить поведение объекта с 

помощью эксперимента возможно только на полномасштабной установке. В 

большинстве случаев полномасштабные опыты чрезмерно дороги и часто 

невозможны, поэтому эксперименты проводятся на маломасштабных моделях. При 

этом полученную информацию необходимо экстраполировать на натурный объект, а 

общие правила для этого часто отсутствуют. Кроме того, на маломасштабных 

моделях не всегда можно воспроизвести все свойства полномасштабного объекта.

В качестве основных неизвестных в численных методах рассматриваются 

значения зависимой переменной  в конечном числе точек (сеточных узлах или 

узловых точках) расчетной области. Рассматривая значения в узловых точках, 

непрерывная информация точного решения дифференциального уравнения, 

заменяется дискретными значениями. Значения переменных в группе узловых точек 

связываются алгебраическим уравнением, называемым дискретным аналогом. Это 

уравнение получается из дифференциального уравнения, описывающего изменение 

величины , и, следовательно, несет ту же физическую информацию, что и 

дифференциальное уравнение. Численные методы включают в себя получение 

алгебраических уравнений для переменных и алгоритм решения этих уравнений. 

При получении дискретных аналогов необходимо использовать предположение о 

характере профиля изменения величины  между узловыми точками, а расчетная 

область разбивается на конечное число подобластей, с каждой из которых можно 

связать свой предполагаемый профиль. Эта систематическая дискретизация 

пространства 
и 
зависимых 
переменных 
делает 
возможным 
замену 

дифференциальных уравнений, описывающих процесс, простыми алгебраическими 

уравнениями, которые могут быть решены относительно просто. При очень 

большом числе узловых точек изменение  между соседними точками становится 

малым, 
конкретный 
характер 
предполагаемого 
профиля 
становится 

несущественным, и решение дискретных уравнений сближается с точным решением 

соответствующего дифференциального уравнения.

Преимущества и недостатки численного моделирования.
Численные 

методы имеют следующие преимущества:

 Низкая 
стоимость. 
Стоимость 
затраченного 
машинного 
времени 

существенно ниже стоимости экспериментального исследования;

 Скорость. Численные методы предоставляют возможность за короткое 

время просчитать сотни вариантов конструкций и выбрать оптимальный.

 Полнота информации. Для расчета доступна вся расчетная область и все 

представляющие интерес параметры, отсутствуют возмущения, вносимые 

датчиками при экспериментальном исследовании.

 Возможность моделирования реальных и идеальных условий. Численное 

решение можно получить для реальных условий при решении инженерных задач, 

и исключать все несущественные явления для изучения закономерностей 

физического процесса.

К недостаткам численных методов относится то, что результат решения 

зависит от численного метода и математической модели изучаемых процессов. Т.к. 

численное решение дает количественное выражение закономерностей присущих 

математической модели, то при несоответствии модели физическому явлению 

можно получить ненадежные результаты. Поэтому результаты расчета желательно 

сравнить с экспериментальными данными.

Используемые обозначения

T - температура,

t - время,

C - теплоемкость материала,

k - коэффициент теплопроводности материала,

 - плотность материала,

z
y
x
,
,
- оси Декартовой системы координат.

1. Сущность численных методов

Решением 
дифференциальных 
уравнений, 
описывающих 
физические 

процессы, являются непрерывные функции зависимых переменных от координат и 

времени. Получение такого решения, особенно для системы дифференциальных 

уравнений в частных производных, очень трудно, а зачастую невозможно. 

Численные методы позволяют получить решение таких систем уравнений для 

конечного числа точек пространства (расчетных узлов). Рассматривая значения в 

узловых точках, мы заменяем непрерывную информацию, содержащуюся в точном 

решении дифференциального уравнения, дискретными значениями. В этом суть 

метода дискретизации, лежащего в основе всех численных методов. Получаемые в 

результате алгебраические уравнения носят название дискретного аналога 

дифференциального уравнения. Далее эти алгебраические уравнения решаются 

известными методами решения систем алгебраических уравнений.

Стоит отметить, что получить дискретный аналог дифференциального 

уравнения можно нескольким способами:


Использование рядов Тейлора;


Вариационный метод;


Метод взвешенных невязок и т.д.

Все 
эти 
способы,
по 
сути,
являются 
чисто 
математическими, 
не 

учитывающими физику процесса. 

Метод контрольного объема выделяется среди прочих способов получения 

дискретного аналога тем, что это единственный метод, основанный на 

использовании 
 
физических 
законов 
сохранения 
для
некоторого 
объема 

пространства.

Основная идея метода контрольного объема легко понятна и поддается 

прямой физической интерпретации. Расчетную область разбивают на некоторое 

число непересекающихся контрольных объемов таким образом, что каждая узловая 

точка содержится в одном контрольном объеме. Дифференциальные уравнения 

интегрируют по каждому контрольному объему. Для вычисления интегралов 

используют кусочные профили, которые описывают
изменение зависимых 

переменных между узловыми точками. В результате находят дискретный аналог

дифференциального уравнения, в который входят значения зависимых переменных

в нескольких узловых точках.

Полученный подобным образом дискретный аналог выражает закон 

сохранения зависимой переменной для конечного контрольного объема точно так 

же, как дифференциальное уравнение выражает закон сохранения для бесконечно 

малого контрольного объема. Одним из важных свойств метода контрольного 

объема является то, что в нем заложено точное интегральное сохранение таких 

величин, как масса, количество движения и энергия на любой группе контрольных 

объемов и, следовательно, на всей расчетной области. Это свойство проявляется при 

любом числе узловых точек, а не только в предельном случае очень большого их 

числа. Таким образом, даже решение на грубой сетке удовлетворяет точным

интегральным балансам.

В данном пособии будет рассматриваться решение задач теплопроводности с 

помощью метода контрольного объема.

2. Стационарная одномерная теплопроводность

2.1 Получение дискретного аналога

В данном пособии будем рассматривать применение численных методов для 

решения задач теплопроводности в твердых телах (металлах, изоляторах и пр.).  

Численное решение задачи можно начинать, когда законы, управляющие 

физическим процессом, выражены в математической форме, обычно в виде 

дифференциальных уравнений в частных производных. Подробный и полный вывод 

этих уравнений можно найти в стандартных учебниках по теплопередаче.

Остановимся на описании общего вида дифференциального уравнения 

нестационарной трехмерной теплопроводности:

S
z
T
k
z
y
T
k
y
x
T
k
x
t
T
C














































,                 (2.1)

где S - источниковый член уравнения (например, тепловой поток внутри тела за 

счет протекания электрического тока).

Здесь левая часть уравнения описывает изменение температуры в точке тела в 

течение времени, а правая часть описывает тепловые потоки, за счет которых 

происходит данное изменение: тепловой поток, связанный с разностью температур 

внутри тела по закону Фурье и внутренние источники тепла.

Описанное выше уравнение представляет зависимую переменную T
как 

функцию трех пространственных координат и времени: 
)
,
,
,
(
t
z
y
x
T
T 
, которые 

являются в свою очередь независимыми переменными.

В случае стационарной одномерной теплопроводности уравнение (2.1) имеет 

вид:

0








S
dx
dT
k
dx
d
(2.2)

Для получения дискретного аналога будет использовано показанное на

рисунке 2.1 расположение узловых точек. В центре нашего внимания оказывается 

точка P, окруженная точками E и W (Е – восточная сторона, т.е. направление вдоль 

оси х, W – западная сторона, т. е. направление, обратное направлению оси х). 

Штрихом показаны границы контрольного объема, его размер равен 
x
 . Эти 

границы обозначены буквами е и w.  w
x

и  e
x

- расстояние от точки Р до точек W

и Е соответственно.

Рисунок 2.1 Шаблон узловых точек для одномерной задачи.

Интегрируя (2.2) по выделенному таким образом контрольному объему, 

получаем

0

















e

w
w
e

SdV
dx
dT
kA
dx
dT
kA
,       (2.3)

где A - площадь поперечного сечения контрольного объема (для удобства 

рассуждений считаем ее постоянной по всей расчетной области).

Для 
дальнейшего 
построения 
дискретного 
аналога 
нам 
необходимо 

определить температурный градиент (описываемый производной dx

dT ) на гранях 

контрольного объема и изменение величины S в пределах контрольного объема.

Температурный градиент можно определить, зная профиль температуры между 

точками W, P и E. Наиболее простыми видами профилей являются ступенчатый и 

кусочно-линейный (рисунок 2.2). В ступенчатом профиле предполагается, что 

значение температуры остается неизменным на протяжении всего контрольного 

объема. В кусочно-линейном профиле изменение температуры между узловыми 

точками описывается линейными интерполяционными функциями.