Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Математическое описание кривой фракционных эффективностей пылеотделителей

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 619899.01.99
Самсонов, В. Т. Математическое описание кривой фракционных эффективностей пылеотделителей : диссертация / В. Т. Самсонов // Научные работы институтов охраны труда ВЦСПС. Выпуск 90. - Москва : ПРОФИЗДАТ, 1974. - 10 с. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/467570 (дата обращения: 28.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
ВЦСПС

ВСЕСОЮЗНЫЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОХРАНЫ ТРУДА.· МОСКВА

НАУЧНЫЕ РАБОТЫ

ИНСТИТУТОВ

ОХРАНЫ ТРУДА

ВЦСПС

Выпуск 90

Москва

ПРОФИЗДАТ — 1974

УДК 697.942

Инж. В. Т. САМСОНОВ

(Московский институт охраны труда)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ КРИВОЙ

ФРАКЦИОННЫХ ЭФФЕКТИВНОСТЕИ ПЫЛЕОТДЕЛИТЕЛЕЙ

Основным недостатком применяющихся в проектной практике методик рас
чета степени обеспыливания воздуха является то, что в них не учитывается изменение способности пылеотделителей осаждать пыль при изменении размеров аппарата, расхода и свойств обеспыливаемого газа, концентрации пыли и других 
факторов (методика, приведенная в Строительных нормах и правилах СНиП I—
Г.5, методика Института по промышленной и санитарной очистке газов и др.).
Вследствие этого расчеты эффективности пылеотделителей оказываются недостаточно точными и, как правило, завышенными.

Способность пылеотделителей осаждать пыль наилучшим образом характе
ризуют фракционные эффективности, поэтому для уточнения метода расчета 
необходимо в первую очередь определить уравнение кривой фракционных эффективностей и затем с учетом этого уравнения рассчитывать общую эффективность.

Попытки математического описания процесса осаждения пыли в пылеотде
лителях (например, в циклонах) делались многими авторами. Главным образом 
рассматривались две модели процесса: детерминированная и стохастическая. 
Наибольшее число работ посвящено изучению детерминированной модели, в которой влияние на процесс факторов, имеющих случайный характер, обычно не 
учитывается. Считается, что все частицы пыли размером больше граничного размера осаждаются в аппарате, более мелкие — выносятся с воздухом. Граничный 
размер частиц определяется из условия равновесия сил, способствующих осажде
нию частиц в аппарате, и сил, препятствующих осаждению. Все эти модели процесса вследствие большого числа принятых при их разработке допущений и исключения из рассмотрения факторов случайного характера являются слишком далекими от реальных процессов. Неоднократно выполнявшиеся экспериментальные 
проверки расчетных формул (Сыркин, Стаирман и др.) выявили большое расхождение вычисленных и опытных значений эффективности осаждения пыли в центробежных пылеотделителях. Подробный анализ этих решений дан, например, в 
работе 
[1].

В последние годы процесс осаждения пыли в пылеотделителях, промышлен
ных сепараторах и классификаторах стал рассматриваться как стохастический. 
Например, в работах [2, 3] этот процесс рассматривается как марковский случайный процесс. Решая со многими допущениями уравнение Фоккера — Планка —
Колмогорова, авторы этих работ получали уравнения кривой фракционных эффективностей для того или иного аппарата.

Но, вследствие того что процесс осаждения пыли в пылеотделителях счита
ется случайным процессом марковского типа, эта модель является слишком упрощенной. Так, например, в работе [4] показано, что движение совокупности твердых 
частиц в воздушном потоке в общем случае нельзя представить в виде случайного 
процесса с независимыми приращениями. Вследствие многих принятых допущений получаемые при рассмотрении таких моделей решения оказываются приближенными, не учитывающими влияния на величину фракционных эффективностей 
изменения режима работы пылеотделителей.

В этой статье рассмотрен иной подход к определению уравнения кривой 

фракционных эффективностей, позволивший получить достаточно точное решение. Каждая частица, находящаяся в зоне сепарации пылеотделителя, может испытывать воздействие сил детерминированного характера: силы тяжести, центробежной силы, силы электростатического поля, силы аэродинамического сопротивления осредненного движения или комбинации этих и других сил, а также случайные 
воздействия, обусловленные турбулентностью потока, циркуляционными токами, 
колебаниями расхода воздуха, взаимодействием частиц между собой и со стенками 
аппарата и т. п.

Если бы случайные воздействия на частицы отсут
ствовали, разделение пыли на улов и унос было бы идеальным и кривая фракционных эффективностей имела бы 
вид, изображенный на рис. 1. На оси ординат отложены 
фракционные эффективности, представляющие собою 
долю частиц бесконечно узкой фракции в осажденной 
пыли от общего количества частиц той же фракции в исходной пыли, а по оси абсцисс — граничные размеры частиц пыли.

Рис. 1. Кривая фракционных эффективностей
фр


при идеальном процессе сепарации.

В реальных условиях идеальное разделение частиц практически неосуще
ствимо, так как случайные воздействия, проявляющиеся в той или иной мере в лю
бом пылеотделителе, приводят к тому, что граничный размер частиц рассеивается 
и кривая фракционных эффективностей приобретает форму, показанную на рис. 2.
В работе [5] путем обработки большого количества опытных данных показано, что 
такая форма кривой фракционных эффективностей характерна практически для 
всех типов пылеотделителей.
На первом этапе решения рассмотрим уравнение движения частицы пыли в зоне 
сепарации при отсутствии случайных воздействий. Для многих прикладных задач 
уравнение движения совокупности частиц может быть сведено к уравнению движения отдельной частицы в некотором среднем поле скоростей газообразной сре
ды [6]. Это позволяет многие результаты, полученные 
при исследовании движения отдельной частицы в невозмущенной другими частицами среде, использовать
для объяснения явлений, наблюдаемых при движении 
множества частиц.

Рис. 2. Кривая фракционных эффективностей
фр


циклона, построенная по опытным данным.

Предположим, что воздушный поток стационарен; частица пыли имеет простую геометрическую форму; 
кривизна траекторий элементарных объемов несуще
го потока невелика и можно пренебречь неравномерностью давления на частицу 
при движении; сопротивление движению частицы подчиняется закону Стокса. При 
этих условиях запишем уравнение движения частицы в безразмерном виде:

2

0

0
18

чx u
v
v
u
F
l
t





 



,
(1)

где
ч
 — плотность вещества частицы;

x — размер частицы;
uо — характерная скорость воздушного потока;
lо — характерный размер потока;
 —динамическая вязкость воздуха;

/
v
dl dt

— вектор скорости центра тяжести частицы;

u —вектор скорости воздушного потока;
t —;время;
F — безразмерная суммарная внешняя сила.
При движении равновесной частицы в зоне сепарации влиянием силы инер
ции можно пренебречь, поэтому после преобразований можно записать:

c

c

cv
v
u
A
u


,
(2)

где с — безразмерный коэффициент; 

vс — седиментационная скорость частицы;
uc — сепарационная скорость потока;

— орт ускорения силового поля.

Из уравнения (2) может быть получен один параметрический критерий по
добия — критерий сепарации 
/
c
c
v
u = idem. Этот критерий характеризует разделе
ние пыли в пылеотделителе.

Предположим, что турбулентный поток является локально однородным, изо
тропным и стационарным, а размер взвешенных частиц x настолько мал по сравнению с внутренним масштабом турбулентности
r
 , что критерий Рейнольдса от
носительного движения частиц Reч, и воздуха Re меньше единицы.

С позиций теории вероятностей значение скорости ui в точке турбулентного 

потока представляет собой случайную величину; отношение седиментационной 
скорости частиц к сепарационной скорости потока также является случайной величиной.

Характер взаимодействия взвешенных частиц с турбулентными пульсациями 

скорости разных масштабов определяется отношением частоты пульсаций данного 
масштаба к характерной частоте 

1/
/
ч
cv



 a
,

где 
ч
 — время релаксации частицы;

а — ускорение силового поля.
Если взвешенная частица имеет большую инерционность, то даже самые 

крупномасштабные пульсации не успевают привести ее в движение. При
L




(
L
 — частота пульсаций, имеющих масштаб L порядка характерного размера потока) частицу будут увлекать пульсации всех масштабов. Если
L






(

 — ча
стота пульсаций, масштаб которых равен внутреннему масштабу турбулентности

r
 ), то частица будет увлекаться теми пульсациями, частоты которых малы по 
сравнению с  , и обтекаться пульсациями, у которых частоты велики по сравнению с  . Пульсации с частотами, близкими к  , будут частично обтекать и частично увлекать взвешенную частицу.

Для определения характеристик движения частиц относительно воздуха 

необходимо знать связь между лагранжевыми временными корреляциями случайных величин vi и ui. Эта связь установлена в работе [7]. На основании корреляционной функции относительного движения частиц определена их средняя квадратичная скорость
2
u , которая для случая 
L


(характерный для промышленной

пыли диапазон размеров частиц) совпадает со средней квадратичной скоростью 
турбулентных пульсаций скорости потока.

Таким образом, на основании изложенного можно заключить, что граничная 

скорость седиментации частиц в зоне сепарации должна быть равна среднеквадратичной пульсации скорости.

Чтобы определить, будет ли та или иная частица пыли вынесена из зоны се
парации, необходимо найти вероятность превышения квадратичных пульсаций 
скорости над седиментационной скоростью этой частицы:

2
{
}
c
c
u
v



.

В данном случае вероятность можно рассматривать как долю совершающих
ся во времени благоприятных реализаций случайного процесса сепарирования частиц пыли. Но можно рассматривать и множество одновременно совершающихся 
реализаций, т. е. рассматривать движение не отдельных частиц, а большого числа 

независимо движущихся частиц. Тогда вероятность Р можно трактовать как долю 
частиц, оказавшихся в заданной области, например вынесенных из зоны сепарации.

В связи с этим кривую фракционных эффективностей пылеотделителей 

можно рассматривать как график функции распределения вероятностей величины 
превышения седиментационной скорости частиц над квадратичной пульсацией 
скорости потока.

Определим распределение вероятности величины квадратичной пульсации 

скорости турбулентного потока. Для случая однородного и локально изотропного 
турбулентного потока при больших числах Рейнольдса справедливо соотношение

2
1/3
(
)
cu
l


,
(3)

где  — удельная диссипация кинетической энергии, т. е. количество энергии, переходящей в теплоту в единице массы воздуха за единицу времени;

l—масштаб пульсаций.
В турбулентном потоке удельная диссипация энергии является случайной 

функцией от координат xi и времени t, флуктирующей вместе с полем скоростей 
u(xi, t) [8]. Эти флуктуации зависят от особенностей крупномасштабного движения 
и прежде всего от критерия Рейнольдса, определяющего величину отношения 
/
L  , 

т. е. число каскадов в иерархии вихрей различных порядков, по которой последовательно передается кинетическая энергия, прежде чем диссипироваться и перейти 
в теплоту. Поскольку статистические свойства поля
( , )
ix t

не могут не сказываться 

на распределениях вероятностей для мелкомасштабных компонентов турбулентности, эти распределения должны изменяться при изменении критерия Рейнольдса и 
других характеристик осредненного течения. А. Н. Колмогоров и А. М. Обухов 
сделали предположение о том, что диссипация
( , )
ix t

имеет логарифмически нор
мальное распределение вероятности. Для оправдания этого предположения А. М. 
Обухов сослался на работу А. Н. Колмогорова [9], в которой показано, что логарифмически нормальное распределение асимптотически соответствует распределению размеров частиц, получаемых в результате ряда последовательных независимых дроблений. Такой процесс дробления может служить естественной моделью 
каскадного процесса последовательного порождения все меньших и меньших турбулентных образований. В работе А. М. Яглома [10] приведено доказательство того, что логарифм величины удельной диссипации имеет нормальное распределение 
вероятности.

В связи с этим плотность распределения вероятности  можно записать в 

виде:

2

0

2

(ln
ln
)
1
( )
exp
2ln
2
ln








 











P
,
(4)

Где
2
ln

 —дисперсия;

0
ln — среднее значение логарифма величины удельной диссипации.
Дисперсия может быть представлена в виде следующей зависимости:

2

1
ln
ln Re
a
b

 

,

где Re — критерий Рейнольдса для потока.

Логарифм средней удельной диссипации равен

2

0
ln
ln
ln
/ 2






.

Для расстояний l из инерционного интервала энергетического спектра тур
булентности ( L
l

 ) величина
l
также имеет логарифмически нормальное 

распределение.

В потоках с развитой турбулентностью возникновение крупных вихрей и их 

дробление происходит бурно, что автоматически вводит полную случайность процесса дробления. В течение некоторого интервала времени в функциях распределения вероятностей происходят случайные изменения и в результате их обобщения 
становится возможным получить распределение размеров наблюдаемых вихрей.

Сделаем предположение о том, что процесс каскадного дробления вихрей 

аналогичен процессу дробления твердых частиц, рассмотренному в работе [9]. Тогда можно считать, что плотность распределения размеров вихрей, пересекающих 
ту или иную точку сечения турбулентного потока, асимптотически стремится к логарифмически нормальному:

2

0

2

(ln
ln
)
1
( )
exp
2ln
2
ln
l
l

l
l
l

l














P
, 
(5)

где
0
lnl и 
2
ln
l
 —среднее значение и дисперсия логарифма размера вихря.

Дисперсия 
2
ln
l
 , по-видимому, может быть определена по уравнению, ана
логичному уравнению дисперсии
2
ln

 . С учетом формул (3), (4) и (5) определим 

произведение случайных величин ε и l. Произведение логарифмически нормальных случайных величин можно представить в виде

z = l
 =ехр(х+y),

где х и у — нормально распределенные случайные величины, имеющие плотности 
f1(x) и f2(y).

Для определения плотности распределения суммы независимых нормально 

распределенных случайных величин х и у может быть применена формула свертки:

2
2
1
1
( )
exp
2
2

x
x

x
y
x
y

ym
y
m
f
dy


 























 




















,
(6)

где
( )
f  — плотность распределения случайной величины  = х + у;

mх, mу — средние значения случайных величин х и у;

x
 , 
y

— стандартные отклонения величин х и у.

Плотность распределения f( ) является сверткой или композицией функций 

f1(x) и f2(y). Введем обозначения:

x
y
m
m





; 
y
y
m
 

.

После преобразований выражения (6) получим:

2
2

2
2

1
1
(
)
( )
exp
2
2
x
y
x
y

f
d





 































.

Преобразуем выражение в квадратных скобках следующим образом:

2

2
2
2
2
2

2
2
2
2
2
2

(
)
x
y
x

x
y
x
y
x
y
y
x
y

 



 




 























.

Обозначив выражение в круглых скобках буквой t, после преобразований 

получим:

2

2
2
2

2
2

1
exp
2

( )
exp
2
2

x
y

x
y

t
f
d



 




 

























.

Интеграл в этом выражении равен 2 . Подставив значение
x
y
m
m





,

получим:

2

2
2
2
2

(
)
1
( )
exp
2(
)
2 (
)

x
y

x
y
x
y

m
m
f




 

















Подставив вместо  сумму логарифмов величин  и l и возведя  l в степень 

1/3, получим плотность распределения квадратичной пульсации скорости

2
2
2

2
0

2
2

[ln
ln(
) ]
1
(
)
exp
2ln
2
ln
u
u

u
u
u

u






















P
, 
(7)

где 
2

0
ln(
)
u
— среднее значение логарифма квадратичной пульсации скорости по
тока;

2
ln
u
 — дисперсия.

Рассматривая в соответствии с ранее приведенным определением фракцион
ную эффективность как вероятность превышения седиментационной скорости частицы над сепарационной скоростью потока, получим функцию распределения в 
следующей форме:

lg
2
2

2
0

2

[lg
lg(
) ]
1
(
)
exp
lg
2ln
2
ln

cv

c

c
c

u
u

v
u
u
v
d
v











 










P
, 
(8)

где 
2
2

0
lg(
) ]
u
— среднее значение;

2
ln
u
 — дисперсия.

Логарифм средней квадратичной величины сепарационной скорости может 

быть представлен в виде:

2

2
2

0
0
2

lg
lg(
)
lg(
)
2

u
u
u
M






,

где М — коэффициент перевода натуральных логарифмов в десятичные.

Дисперсию
2
ln
u
 можно представить в виде следующей зависимости:

2
lg
lgRe
u
m
n
 

,

где m, n — опытные коэффициенты, учитывающие конструктивные особенности

аппарата, влияние пыли на структуру потока (при больших концентрациях), наличие неосновных зон сепарации пыли (вторичный унос осажденной пыли) и др.

Выражение (8) представляет собой уравнение кривой фракционных зффек
тивностей воздушных и жидкостных сепараторов, классификаторов и центрифуг 
любого типа, в том числе сухих и мокрых пылеотделителей, а также электрофильтров.

Числитель дроби, стоящей в фигурных скобках формулы (8), можно пред
ставить в виде отношения седиментационной скорости частиц к сепарационной 
скорости, представляющего собою аналог полученного ранее критерия сепарации.

Среднее значение и дисперсия функции распределения (8) являются пере
менными величинами, зависящими от конструкции аппаратов и режима их действия. Эти параметры являются основными характеристиками любого пылеотделителя. Среднее значение характеризует граничную величину седиментационной 
скорости частиц, осаждаемых в аппарате с эффективностью 50%, так как при этой 
эффективности

2
lg
lg
cv
u

.

Стандартное отклонение lg
u

характеризует качество или четкость сепара
ции.

Таким образом, уравнение (8) является функцией распределения граничных 

скоростей седиментации частиц пыли.

Влияние на эффективность осаждения таких случайных факторов, как взаи
модействие частиц между собою и со стенками аппарата, циркуляционные потоки, 
зоны вторичной сепарации и пр., учитываются в виде дополнительных коэффициентов. В тех случаях, когда необходимо получить гомохронные моменты времени 
при испытаниях аппаратов разных размеров, следует учесть критерий гомохронности:

0
0
/
Ho
u t
L


где uо, Lо — характерные скорость и размер потока;

t0 — характерное время.
Логарифм этого критерия войдет в виде слагае
мого в числитель дроби, стоящей в фигурных скобках 
выражения (8).

Рис. 3. Кривая фракционных эффективностей 

циклона ЦН-11, построенная по уравнению (10).

Таким образом, уравнение кривой фракционных 

эффективностей пыле-отделителей в общем виде 
можно записать, введя принятое в технической лите
ратуре обозначение интеграла Гаусса:

0

0

lg(
/
)
lg
lg[ (
)]

lgRe

c

фр

v
u
Ho
f X

m
n









  







, 
(9)

где 
фр

— фракционная эффективность;

uо — медианное значение сепарационной скорости потока;

f (X) — функция неучтенных факторов (удельное орошение, степень распы
ла жидкостей и т. п.);

0
 — символ интеграла Гаусса. 
В качестве примера приведем уравнение кривой фракционных эффективно
стей циклона ЦН-11, численные значения коэффициентов которого получены путем обработки опытных данных П. А. Коузова [11]:

0

lg
lg
2,089

0,1lgRe 0,228

c
ср

фр

v
u






  







, 
(10)

где uср — средняя скорость потока, определяемая путем деления расхода очищаемого воздуха на площадь поперечного сечения цилиндрической части корпуса 
циклона, м/с.

Кривая фракционных эффективностей, построенная по уравнению (10) для 

диаметра циклона 300 мм и Re=105, приведена на рис. 3. Эта кривая аналогична по 
форме кривой, приведенной на рис. 2, но в отличие от нее является общей кривой 
для всех режимов и размеров циклона и лишь несколько изменяет свой наклон к 
оси абсцисс при изменении критерия Рейнольдса.

Выводы

1. Попытки аналитическим путем определить уравнение кривой фракцион
ных эффективностей приводили к решениям, имеющим преимущественно качественный характер.

2. На основании уравнения движения частицы в зоне сепарации пылеотдели
телей получен параметрический критерий сепарации, представляющий собою отношение седиментационной скорости частиц пыли к характерной сепарационной
скорости потока.

3. Предложена стохастическая модель процесса осаждения пыли в пылеотде
лителях, на основании рассмотрения которой получено уравнение кривой фракционных эффективностей сепараторов различного типа, в том числе пылеотделителей. На основании этого уравнения и уравнения кривой дисперсного состава осаждаемой из воздуха пыли может быть достаточно точно рассчитана общая эффективность осаждения пыли в аппаратах.

ЛИТЕРАТУРА

1 Калмыков А. В. Современное состояние теории центробежного пылеотделе-ния. — В сб.: 

Аэродинамика тепло- и массообмена в дисперсных потоках. М., «Наука», 1967.

2 Molerus О. Stochastisches Modell der Gleichgewichtssichtung. — "ChemieIngenieur-Technik", 1967, 

Bd. 39, N 13.

3 Сульг Е. О., Романков П. Г., Рашковская Н. Б. и др. К математическому описанию кривых раз
деления. — «Теоретические основы химической технологии», 1971, т. 5, № 5.

4 Буевич Ю. А. К статистической механике частиц, взвешенных в потоке газа.: — «Прикладная 

математика и механика», 1968, т. 32, вып. 2.

5 Самсонов В. Т. О методике определения эффективности пылеотделителей. — «Научные рабо
ты институтов охраны труда ВЦСПС». М., Профиздат, 1965, вып. 5 (37).

6 Волощук В. М. Введение в гидродинамику грубодисперсных аэрозолей. Л., Гидрометеоиздат, 

1971.

7 Левич В. Г., Кучанов С. И. Движение частиц, взвешенных в турбулентном потоке. — «Доклады 

АН СССР», 1967, т. 174, № 4.

8 Монин А. С, Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности. Ч. 2. М., 

«Наука», 1967.

9 Колмогоров А. Н. О логарифмически нормальном распределении размеров частиц при дробле
нии. — «Доклады АН СССР», 1941, т. 31, № 2.

10 Яглом А. М. О влиянии флуктуации диссипации энергии на форму характеристик турбулент
ности в инерционном интервале. — «Доклады АН СССР», 1966,т. 166, № 1.

11 Коузов П. А. Сравнительная оценка эффективности циклонов различных типов. — «Научные 

работы институтов охраны труда ВЦСПС». М., Профиздат, 1969.вып. 60.