Практикум по высшей математике. Часть 1

Москва
 ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК
ИНФРА-М
2013

Практикум По
высшей математике

и.г. Лурье, т.П. фунтикова

Лурье И.Г., Фунтикова Т.П.
Практикум по высшей математике. Часть 1: Учебное пособие. — 
М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М,  2013. —  80 с. 

ISBN 978-5-9558-0289-3 (Вузовский учебник) 
ISBN 978-5-16-006335-5 (ИНФРА-М)

Настоящее учебное пособие составлено в соответствии с действующей учебной программой по высшей математике для вузов и предназначено для студентов 
первых и вторых курсов всех специальностей. Особую помощь учебное пособие 
окажет студентам-заочникам, которые самостоятельно, без повседневной помощи 
преподавателя изучают курс высшей математики и желают приобрести необходимые умения и навыки в решении задач. Подробно рассмотренные практические 
задания окажут неоценимую помощь студентам при самостоятельной работе в 
изучении курса математики.

 

© Вузовский учебник, 2009, 2012

ISBN 978-5-9558-0289-3 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-006335-5 (ИНФРА-М)

Умение решать задачи – практическое искусство  
подобное плаванию, или катанию на лыжах,  
или игре на фортепиано.  
Научится этому можно лишь подражая  
избранным образцам и постоянно тренируясь…  
Д.Пойа 
 
Вступление. 
 
 
Профессиональный 
уровень 
современного 
специалиста 
во 
многом зависит от того, освоил ли он современный математический 
аппарат и умеет ли использовать его при анализе сложных 
практических задач в различных областях деятельности. Поэтому в 
подготовке специалиста широкого профиля изучение математики 
занимает значительное место.  

 
Цель предлагаемого учебного пособия – помочь студентам 
научиться самостоятельно решать задачи по различным разделам 
высшей математики, предусмотренной учебной программой. Пособие 
рассчитано прежде всего на студентов, обучающихся заочно, но может 
быть полезным и студентам стационарных учебных заведений, а также 
преподавателям ведущим практические занятия. 

 
Пособие содержит разбор и подробное решение типовых задач по 
разделам 
линейной 
алгебры, 
аналитической 
геометрии,  
дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной 
переменной, дифференциальному исчислению функций нескольких 
переменных и интегрированию обыкновенных дифференциальных 
уравнений.  

Материал учебного пособия построен таким образом, что краткие 
теоретические сведения, указания и промежуточные результаты 
приведены по ходу разбора примеров и задач. Поэтому, студент, 
пользующийся этим пособием, должен перед решением практических 
заданий по каждой теме изучить относящийся к этой теме 
теоретический материал и только после этого приступать к разбору 
практических заданий. Для этого необходимо обратить внимание на 
основные определения и теоремы, относящиеся к данной теме, 
постараться понять и запомнить наиболее часто используемые 
формулы. При необходимости можно выписать таблицы различных 
формул. После этого перейти к изучению разобранных в учебном 
пособии примеров и задач. Внимательно прочитайте условие. 

Постарайтесь продумать ход решения задачи самостоятельно. При 
необходимости, просмотрите предложенные решения, стараясь их 
осмыслить. 
Далее 
можно 
пытаться 
воспроизвести 
решение 
разобранных примеров и задач. Если вам удалось разобрать 
предлагаемыми способами примеры, задачи и методы их решения в 
данном пособии, то можно переходить к задачам для самостоятельного 
решения по другим сборникам задач по математике. 

 
Желаем вам успеха! 

Решение задач является наиболее характерной 
и специфической разновидностью 
свободного мышления. 
У.Джеймс 
 
1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. 
 
Определители. Матрицы. Системы. 
 
Определитель второго порядка. 

 
1
2
12
 2
2
11

2
2
       
1
2

12
       
11
a
a
a
a
a
a

a
a
=
 

Определитель третьего порядка. 

33
21
12
11
32
23
31
22
13
31
23
2
1
13
32
1
2
33
 2
2
11

33
     
2
3
       
1
3

23
     
2
2
       
1
2

13
      
12
       
11

a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

a
a
a

a
a
a

a
a
a

−
−
−
+
+
=

  
Пример. Определить x из уравнения: 

x

x
x

    
1
     
1

1
     
    
1
1
     
1
    
=0. 

 
Решение:  

x

x

x

    
1
     
1

1
     
    
1

1
     
1
    

= x3+1+1- x-x-x=0. 

x3-3x+2=0 
x3-2x-x +2=0 
x(x2-1)-2(x-1)=0 
(x-1)(x(x+1)-2)=0 
(x-1)( x2 +x-2)=0 
x1=1, x2=1, x3=-2. 
 

Пример. Вычислить матрицу 
Β
+
Α
5
2
, если 
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
=
Α
1
  
1
  
2

3
  
2
  
1
, 
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
=
Β
3
  
2
  
1

1
  
1
  
0
. 

Решение. 

Β
+
Α
5
2
=
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛⋅
1
  
1
  
2
3
  
2
  
1
2
+
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛⋅
3
  
2
  
1
1
  
1
  
0
5
=
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
2
  
2
  
4

6
  
4
  
2
+
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
5
1
  
0
1
  
5

5
    
5
   
0
=
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
7
1
  
2
1
  
9

1
1
    
9
   
2
. 

 

Пример. Найти произведение матрицы-строки
)
2
- 7
  
5
(
=
Α
 

на матрицу
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
=
Β

1
   
3
   
2

2
    
4
     
1
1
    
3
     
2
. 

 
 
 
Решение. 

(
)
(
).
1
2
    
7
3
    
1
2

)1
-(
)
2
-(
2
7
1
5
       
3
)
2
-(
4
7
3
5
       
)
2
-(
)
2
-(
1
7
2
5

1
   
3
   
2

2
    
4
     
1

1
    
3
     
2

)
2
- 7
  
5
(

=

=
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
=

⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
⋅
=
Β
⋅
Α

    Замечание.
3
1
3
1
3
1
×
×
×
=
Β
⋅
Α
C
. 
 

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы 
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
=
Α

5
    
1
   
3

1
    
2
    
4
2
    
1
    
3

. 

Решение. 
∗
−
Α
⋅
Α
=
Α
det
1
1
, где 
∗
Α - присоединенная матрица, которая состоит из 

алгебраических дополнений транспонированной матрицы Α . 

⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛

Α
Α
Α

Α
Α
Α

Α
Α
Α

=
Α∗

33
23
13

32
22
12

31
21
11

    
    

    
    

    
    

 

36
1
   
3 

2
    
4 
2
5
    
3 

1
    
4 
1
5
   
1

1
    
2 
3

5
    
1
   
3

1
    
2
    
4
2
    
1
    
3
det
=
⋅
−
⋅
−
⋅
=
=
Α
. 

⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
⋅
=
Α−

2
       
6
     
10

11
    
1
2
    
17

5
      
3
      
1
1 

36
1
1
 

Проверка. 
Ε
=
Α
⋅
Α−1
 

Ε
=
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
=
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
⋅
=
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
⋅
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
⋅
=
Α
⋅
Α −

1
    
0
    
0 

0
    
1
    
0 

0
    
0
    
1 

36
     
0
      
0
  

0
     
6
3
     
0
  

0
      
0
     
6
3 

36
1

5
    
1
   
3

1
    
2
    
4

2
    
1
    
3

2
       
6
     
10

11
    
1
2
    
17

5
      
3
      
1
1 

36
1
1
 

Пример. Систему уравнений записать в матричной форме и 
решить ее с помощью обратной матрицы. 

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=
+
+

−
=
+
−
=
−
+

1
2
2
3

3
3
2
6
2

z
y
x

z
y
x
z
y
x
 
 
 
 
 
 
 
(1) 

Решение. Пусть А – матрица коэффициентов при неизвестных, Х – 
матрица-столбец неизвестных x, y, z и Н – матрица-столбец из 
свободных членов. 

⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
−
−
=

2
    
2
    
3

1
    
3
  
2
2
  
1
     
1
A
,  
 
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
=

z

y
x
X
,  
 
 
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
−
=

1 

3
6 
H
 

Левую часть системы (1) можно записать в виде произведения 
матриц А ⋅ Х, а правую – в виде матрицы Н. Следовательно, имеем 
матричное уравнение. 
А ⋅ Х = Н 
 
 
(2) 
Если определить матрицы А отличен от нуля, то матрица А имеет 
обратную матрицу А-1. Умножив обе части равенства (2) на матрицу А-1 
получим 
А-1 ⋅ А ⋅ Х = А-1 ⋅ Н. 
Так как А-1 ⋅ А = Е, где Е – единичная матрица, а Е ⋅ Х = Х, то 
Х = А-1 ⋅ Н 
 
 
(3) 
Формулу (3) называют матричной записью решения системы 
линейных 
уравнений. 
Чтобы 
воспользоваться 
формулой 
(3), 
необходимо сначала найти обратную матрицу А-1. Вычислим 
определитель Δ(А): 

( )
(
)
(
) (
)
(
)
35
9
4
2
3
4
2
6
2
    
3
3
  
2
2
2
   
3
1
   
2
1
2
    
2
1
  
3
1

2
   
2
    
3

1
   
3
  
2
2
  
1
    
1
−
=
+
⋅
−
−
−
−
−
=
−
⋅
−
+
⋅
−
−
⋅
=
−
−
=
Δ A

 
Так как Δ(А) = -35 ≠ 0, то матрица А имеет обратную матрицу А-1. 
Теперь вычислим алгебраические дополнения Aij элементов 
матрицы А, где i = 1,2,3; j= 1,2,3. 
(
)
ij
j
i
ij
M
A
+
−
=
1
 

2
   
3

1
   
2

2
     
2
     
3

1
     
3
  
2

2
  
1
   
1

12
−
=
−

−
−

−
=
A
 

(
)
8
2
    
2

1
  
3
1
1
1
11
−
=
−
⋅
−
=
+
A
, 
 
(
)
1
2
    
3

1
    
2
1
2
1
12
−
=
⋅
−
=
+
A
 

 

(
)
13
2
    
3

3
  
2
1
3
1
13
=
−
⋅
−
=
+
A
,  
(
)
6
2
    
2

2
  
1
1
1
2
21
−
=
−
⋅
−
=
+
A
 

 

(
)
8
2
    
3

2
  
1
1
2
2
22
=
−
⋅
−
=
+
A
,  
(
)
1
2
    
3

1
    
1
1
3
2
23
=
⋅
−
=
+
A
 

 

(
)
5
1
   
3
2
   
1
1
1
3
31
−
=
−
−
⋅
−
=
+
A
,  
(
)
5
1
    
2
2
  
1
1
2
3
32
−
=
−
⋅
−
=
+
A
 

 

(
)
5
3
  
2
1
     
1
1
3
3
33
−
=
−
⋅
−
=
+
A
 

Запишем обратную матрицу: 

⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛

−

−
−

−
−
−

−
=
−

5
   
1
     
13

5
   
8
    
1

5
  
6
  
8

35
1
1
A
 

По формуле (3) найдем решение данной системы уравнений в 
матричной форме: 

(
)
(
)
(
)
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛

−
=
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
−

−

−
=
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛

⋅
−
−
⋅
+
⋅
⋅
−
−
⋅
+
⋅
−

⋅
−
−
⋅
−
⋅
−

−
=
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
−
⋅
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛

−
−
−

−
−
−

−
=
⋅
=
−

2
1

1

70
35

35

35
1

1
5
   
3
1
    
6
13
1
5
   
3
8
   
6
1

1
5
   
3
6
   
6
8

35
1

1
3

6

5
   
1
     
13
5
   
8
    
1

5
  
6
  
8

35
1
1 H
A
X

 
Отсюда: 
 
 
 
x=1, y=1, z=-2. 
 
Пример. Решить систему линейных уравнений 

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=
+
+

=
+
+

=
+
+

.
39
16
25
5

,
18
12
14
3

,0
13
7
2

3
2
1

3
2
1

3
2
1

x
x
x

x
x
x

x
x
x
 

Решение. За первое ведущее уравнение примем первое уравнение 
системы, а за первое ведущее неизвестное х1; первый ведущий элемент 
есть а11 = 2. Исключим х1 из второго и третьего уравнений, прибавив ко 
второму уравнению ведущее, умноженное на – 3/2, а к третьему – 
ведущее, умноженное на – 5/2. Имеем 

(
)
(
)
(
)
(
)
⎪⎩

⎪⎨

⎧

=
−

=
−

=
+
+

.
39
2
/
33
2
/
15
  

,
18
2
/
15
2
/
7
   

,0
13
7
2

3
2

3
2

3
2
1

x
x

x
x

x
x
x
 

 
 
Первый шаг закончен. Второе и третье уравнения образуют 
первую подсистему. За второе ведущее уравнение примем второе 
уравнение системы, а за второе ведущее неизвестное х2; второй 
ведущий элемент есть 7/2. Исключив х2 из третьего уравнения, 
получаем 

(
)
(
)
(
)
⎪⎩

⎪⎨

⎧

=
−

=
−

=
+
+

.7
/
3
7
/
3
       
          

,
18
2
/
15
2
/
7
   

,0
13
7
2

3

3
2

3
2
1

x

x
x

x
x
x
 

Второй шаг закончен. Вторая подсистема состоит из одного 
третьего уравнения. В результате обратного хода получаем  

(
)
(
)
[
] (
)
(
)(
)
[
]
(
)(
)
(
)
(
)
[
]
⎪⎩

⎪⎨

⎧

−
=
−
+
⋅
−
=
+
−
=

=
−
+
=
+
=

−
=

.4
1
13
3
7
2
/
1
13
7
2
/
1

3
1
2
/
15
18
7
/
2
2
/
15
18
7
/
2

,1

3
2
1

3
2

3

x
x
x

x
x

x
 

Итак, решение данной системы таково: х1 = –4, х2 = 3, х3 = –1. В 
данном случае r = n = 3, решение единственное. 

Если вы хотите научиться плавать,  
то смело входите в воду,  
а если хотите научиться решать задачи 
 – решайте их. 
Д.Пойа. Математическое открытие 
 
2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. 
 
Линейные операции над векторами. Скалярное, векторное и смешанное 
произведения векторов. 
 
Пример. Даны точки А(-1;2;3), В(5;-3;4) и С(2;1;6). Найти 
координаты вектора 
AC
AB
a
⋅
+
=
2
. 
Решение. 
Найдем 
{
} {
}
1;5
;6
3
4;2
3
;1
5
−
=
−
−
−
+
=
AB
 
и 

{
} {
}
3;1
;3
3
6;2
1;1
2
−
=
−
−
+
=
AC
. Получим 
(
)
{
}
3
2
1;
1
2
5
;3
2
6
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
=
a
 
или 
{
}
7;7
;
11 −
=
a
. 
 
Пример. Найти модуль и направляющие косинусы вектора 

b
а
с
3
2 −
=
, если 
{
}
1;2;0
=
a
, 
{
}
0;1
;2 −
=
b
. 

Решение. Получаем 
{
}
3
;1;2
−
=
с
, 
89
=
с
, 

89
2
cos
=
α
, 

89
1
cos
=
β
, 

89
3
cos
−
=
γ
. 

Если 
),
,
,
(
  
),
,
,
(
  
),
,
,
(
z
y
x
z
y
x
z
y
x
c
c
c
c
b
b
b
b
a
a
a
a
=
=
=
то  

скалярное произведение    
 ,
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
b
a
+
+
=
⋅
векторное произведение    

k
b
b

a
a
j
b
b

a
a
i
b
b

a
a

b
b
b

a
a
a

k
j
i

b
a

y
x

y
x

z
x

z
x

z
y

z
y

z
y
x

z
y
x
⋅
+
⋅
−
⋅
=
=
×
   

  
 
   

  
 
  

  

  
   

  
  

    
    

, 

смешанное произведение   

z
y
x

z
y
x

z
y
x

c
c
c

b
b
b

a
a
a

c
b
a

   
   

   
   

   
   

=
⋅
⋅
. 

Пример. Найти угол ϕ между векторами 
n
p
a
3
+
=
 и 
n
p
b
−
= 2
, 
где p  и n  - единичные векторы, образующие угол 1200. 

Решение. 
(
) (
)
5,3
3
5
2
2
3
2
2
−
=
−
⋅
+
=
−
⋅
+
=
⋅
n
n
p
p
n
n
n
p
b
a
;